高等数学曲面积分与曲线积分重点难点
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。
是有向曲面 在点 处的单位法向量
或
3．曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图）
(A)曲线积分(直接法)
（B）曲面积分（直接法）
4．格林公式，高斯公式及斯托克斯公式（表格）
类型
内容
格林公式
高斯公式
斯托克斯公式
定理
设闭区域 由分段光滑的曲线L围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有
设空间闭区域 是由分片光滑的闭
5．在平面区域 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图）
6．全微分方程（框图）
7．注解（注一至注十）（表格）
三．考点与难点
考点：
1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。
2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯
公式。
3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。
两类曲线积分之间的联系
（平面上）
（空间上）
。 。
是有向曲线 在点 处的单位切向量
或
（B）两类曲面积Baidu Nhomakorabea及相互之间联系
类型
内容
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
定义
（光滑曲面）───积分曲面
（在 上有界）───被积函数。
参见注解之注五（第12页）。
（光滑有向曲面）───积分曲面
（在 上有界）───被积函数。
2．联系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。
3．公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。
两类曲面积分之间的联系
4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。
难点：
应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。
四．例题及题解（见第十四页至第二十一页）
例 至例
五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页）
习题（一）至习题（十五）
六．试卷（见第三十一页至第三十八页）
(3)线密度为被积函数的曲线弧 或 的质量。
变力
沿有向曲线 所作的功
变力
沿有向曲线 所作的功
向量形式
，
, 的定义见左侧。
， 的定义见左侧。
性质
1．
（ 为常数）
2．
（ ）
3．设在 上 ，则
特别地
1．
（ 为常数）
2．
（ ， 与 的方向一致）
3． 是 的反向曲线弧，则
解题方法
1．直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注三（第7页、第12页）。
参见注解之注六（第13页）。
几何意义及
物理意义
当 为空间薄片 的面积。
面密度为 的空间薄片 的质量。
流速 的流体
（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面
的通量（流量）。
向量形式
性质
1．
（ 为常数）
2．
3．在 上 ，则
特别地
1．
（ 为常数）
2．
（ 与 的方向一致）
3． 是 取相反侧的有向曲面，则
解题方法
1．直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注七（第8页、第13页）。
（在 上有界）───被积函数
参见注解之注一（第12页）
平面：
空间：
类似定义： 、 。
（光滑有向曲线弧）───积分弧段
（在 上 有界）
───被积函数
（在 上 有界）───被积函数
参见注解之注二（第12页）
几何意义及
物理意义
平面： ；空间：
(1)当被积函数为1时是曲线弧 或 的弧长。
(2)平面：当 非负，为与 轴平行的柱面侧面积。[柱面底是 ，高是 ]。
2．联系法：化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。
3．公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。
1．直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注八（第8页、第13页）。
曲面 所围成。函数
在 上具有一阶连续偏导数，则有
设 为分段光滑的空间有向曲线，函数
。
在曲面 （连同边界 ）上具
有一价连续偏导数，则有
公式
其中 是 的取正向的边界曲线。
这里 是 的整个边界曲面的外侧。 是 上点 处的法向量的方向余弦。
是以 为边界的分片光滑的有
向曲面。 的正向与 的侧符
合右手规则。
向量形式
2，联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。
3，公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第9页）。
2．联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。
1，直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注四（第7页、第12页）。当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第10页）。
是 在点 处的单位法向量。
4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。
5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）。
二．主要内容(见第二页至第十三页)
1．主要内容联系（框图）
2．曲线积分和曲面积分（表格）
3．曲线和曲面积分的解题步骤（框图）
4．格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格）
第十二章 曲线积分与曲面积分
一．基本要求
1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。
2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。
3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。
试卷 、试卷 、试卷
七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页）
试卷 、试卷 、试卷 答案及题解
二．主要內容 1。主要内容联系（框图）
2．曲线积分和曲面积分（表格）
（A）两类曲线积分及相互之间联系
类型积分类型
内容
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定义
平面：
空间：
（光滑曲线弧）───积分弧段
（在 上有界）───被积函数
是有向曲面 在点 处的单位法向量
或
3．曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图）
(A)曲线积分(直接法)
（B）曲面积分（直接法）
4．格林公式，高斯公式及斯托克斯公式（表格）
类型
内容
格林公式
高斯公式
斯托克斯公式
定理
设闭区域 由分段光滑的曲线L围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有
设空间闭区域 是由分片光滑的闭
5．在平面区域 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图）
6．全微分方程（框图）
7．注解（注一至注十）（表格）
三．考点与难点
考点：
1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。
2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯
公式。
3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。
两类曲线积分之间的联系
（平面上）
（空间上）
。 。
是有向曲线 在点 处的单位切向量
或
（B）两类曲面积Baidu Nhomakorabea及相互之间联系
类型
内容
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
定义
（光滑曲面）───积分曲面
（在 上有界）───被积函数。
参见注解之注五（第12页）。
（光滑有向曲面）───积分曲面
（在 上有界）───被积函数。
2．联系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。
3．公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。
两类曲面积分之间的联系
4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。
难点：
应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。
四．例题及题解（见第十四页至第二十一页）
例 至例
五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页）
习题（一）至习题（十五）
六．试卷（见第三十一页至第三十八页）
(3)线密度为被积函数的曲线弧 或 的质量。
变力
沿有向曲线 所作的功
变力
沿有向曲线 所作的功
向量形式
，
, 的定义见左侧。
， 的定义见左侧。
性质
1．
（ 为常数）
2．
（ ）
3．设在 上 ，则
特别地
1．
（ 为常数）
2．
（ ， 与 的方向一致）
3． 是 的反向曲线弧，则
解题方法
1．直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注三（第7页、第12页）。
参见注解之注六（第13页）。
几何意义及
物理意义
当 为空间薄片 的面积。
面密度为 的空间薄片 的质量。
流速 的流体
（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面
的通量（流量）。
向量形式
性质
1．
（ 为常数）
2．
3．在 上 ，则
特别地
1．
（ 为常数）
2．
（ 与 的方向一致）
3． 是 取相反侧的有向曲面，则
解题方法
1．直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注七（第8页、第13页）。
（在 上有界）───被积函数
参见注解之注一（第12页）
平面：
空间：
类似定义： 、 。
（光滑有向曲线弧）───积分弧段
（在 上 有界）
───被积函数
（在 上 有界）───被积函数
参见注解之注二（第12页）
几何意义及
物理意义
平面： ；空间：
(1)当被积函数为1时是曲线弧 或 的弧长。
(2)平面：当 非负，为与 轴平行的柱面侧面积。[柱面底是 ，高是 ]。
2．联系法：化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。
3．公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。
1．直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注八（第8页、第13页）。
曲面 所围成。函数
在 上具有一阶连续偏导数，则有
设 为分段光滑的空间有向曲线，函数
。
在曲面 （连同边界 ）上具
有一价连续偏导数，则有
公式
其中 是 的取正向的边界曲线。
这里 是 的整个边界曲面的外侧。 是 上点 处的法向量的方向余弦。
是以 为边界的分片光滑的有
向曲面。 的正向与 的侧符
合右手规则。
向量形式
2，联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。
3，公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第9页）。
2．联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。
1，直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注四（第7页、第12页）。当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第10页）。
是 在点 处的单位法向量。
4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。
5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）。
二．主要内容(见第二页至第十三页)
1．主要内容联系（框图）
2．曲线积分和曲面积分（表格）
3．曲线和曲面积分的解题步骤（框图）
4．格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格）
第十二章 曲线积分与曲面积分
一．基本要求
1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。
2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。
3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。
试卷 、试卷 、试卷
七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页）
试卷 、试卷 、试卷 答案及题解
二．主要內容 1。主要内容联系（框图）
2．曲线积分和曲面积分（表格）
（A）两类曲线积分及相互之间联系
类型积分类型
内容
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定义
平面：
空间：
（光滑曲线弧）───积分弧段
（在 上有界）───被积函数