数学中的归纳法及应用
数学归纳法及应用列举
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1ຫໍສະໝຸດ n(n*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
圾扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己的生命，而不是被垃圾所淹没。终于有一天它重新回到了地面上。 ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写 出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提 炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： ? 考前高考作文审题立意强化训练参考答案 ? 一、“坚持，便要在精神上压倒对方（困难或敌人）”，“振作精神便能顽强坚持”，这两种立意便有点不简单了； 而主要从弗雷泽的角度立意：“本是旗鼓相当，但一念之间的放弃意味着失败”，就或许有些与众不同；结合两个人的角度立意恐怕更少了吧？殊不知新意也便在此了：“胜利与失败原来是近邻，就在于坚持还是放弃”。然而不管怎样立意，总不能绕开“坚持”。 ? 二、本则材料中最后三句 话当是理解文意的关键，三次提到“大石头”，成了理解文意的关键。可以提出这样的问题：“你们工作，生活和学习中最重要的'大石头'是什麽呢？”思考之后就会得出这样一个结论：“大石头”就是生活，工作和学习中的最重要东西。 ? 可谈自己生活中最重要的'大石头'是自信心，有了 自信心，自己就有了进取的动力，就有了腾飞的马达；可谈“爱”是生活中最重要的“大石头”，有了爱，就有了温暖，有了关怀，有了理解，有了支撑，这个世界便充满了温馨；可谈学习是人生中最重要的“大石头”，进入知识经济时代，学习是生存的保障也是人类进一步发展的需要，更 是人的精神支柱…… ? 这个题目要“谈谈你的看法”，那就只有写成议。 ? 三、不要抱怨你的学校不好，不要抱怨你的专业不好，不要抱怨你住在破宿舍里，不要抱怨你的男人穷，你的女人丑，不要抱怨你没有一个好的爸爸，不要抱怨你的工作差，工资少，不要抱怨你空怀一身绝技没有人 赏识…… ? 现实有太多的不如意，就算生活给你的是垃圾，你同样能把垃圾踩在脚下，登上理想之巅。 ? 高考作文审题强化训练（二） ? （一）命题作文 1．请以“坚守信念”为题，写一篇不少于800字的文章。 要求：①立意自定。②除诗歌外，文体不限。③不得抄袭。 【写作指引】 这 是属于哲理类的写作命题。题目是一个四字短语，它包含了两个要素，即“坚守”和“信念”。但以“坚守”为主,写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。而且必须明确要表现的是“坚守”，不是一般的“呵护”、“守护”，更不是“树立”、“拥有”等。既是“坚守”，肯定遭遇了一些 对“信念”的冲击波，可能还是比较严重的挫折和打击等。没有这些因素的烘衬，“坚守”之“坚”未能凸现出来。特别要注意的还有，不能绕开“坚守”而大谈“信念”，不然就导致重心移位了。依据考生自身的写作能力，无论是选择记叙类文体，运用具体事例来表现“坚守”之精彩，还 是选择议论类文体，通过分析、推理来论“坚守”之重要，均可写出佳作。 2．白雪覆盖，大地一片沉寂，忽而春风涌起，一片灰黑的土地转眼间绿意盎然，让人不能相信，那冬天里，这些种子曾怎样在黑暗的地下舞蹈过呢？平静的湖面如镜般明澈，也会一瞬即风生水起，巨浪滔天，这种力 量它如何孕育？世界上许多静止的事物从未停止过运动。 请以“静止就是舞蹈”为题，体裁不限，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 （1）这个话题具有思辨色彩，以写议为佳。首先我们从“静止”可联想到生命的一个停顿、一种安静，人为什么要安静，想和尚面壁是为了什么，一 是反省，一是破禅。那么我们人生安静也是为了求得自己的更新，道德的进步；是为了在寂寞中苦心而求孤诣，为了学术的成果，为了事业的前进，多少人在喧嚣红尘中默然孤坐，而这样的安静其实是为了等待一个惊世的爆发，一个绝世的舞蹈。而“舞蹈”是生命更新的动力，是美的韵律的 呈现。再读材料联想，这世界运动是永恒的，万物静止是个假象，其实都在生生不息，如蛹化蝶，如沙砾变成珍珠，如种子在黑暗的地下怒涨的生命，这样就可联系科学家、思想家等人来论论题。还可联想到静止的文字与涌动的思想，多少哲人伟人已逝，而透过发黄的纸张，我们依稀可见他 们铮铮的铁骨，他们的谆谆善诱，他们的悲天悯人，他们的积极入世，他们的舍我其谁等。 （2）立意：“静止”可以理解为长期的积累、平凡努力、勤奋付出等，“舞蹈”可以理解为惊世爆发、一鸣惊人、成就人生、取得成功等。 3．《艺术人生》在盘点2004年文艺人物时使用了一个关键 词——“守望”。这是个令人心动的字眼：它是老师期待的眼神，是父母新添的白发，更是你孜孜以求的脚步。我们守望亲情，守望责任，守望未来……守望是信念，是坚守，是期盼。有些东西甚至需要用一辈子去守望。也许不是每一道江流都能入海，不是每一个守望都能圆满。但有了守望， 生活变得深刻，心灵变得充实。守望中，我们拒绝诱惑；守望中，我们执着追求；守望中，我们走向成熟…… 请以“在守望中……”为题，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 守望有不同的对象、不同的意义、不同的过程。可以运用比喻的修辞使“守望”由抽象变为具体可感的形象， 用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，用排比的形式来为“守望”论，也可以综合运用比喻、引用、排比等修辞，展开论述。写成议要有对“守望”的形象化理解，可以在选择材料和论的时候，对材料采用形象化的叙述，可以设置一种情境，烘托出“守望”的价值和意义，以使文字获得 色彩、造型和构图等方面的效果。同时，要充分调动自己的思想感情，自我“激情”，使自己进入到事件中去，同所写的人一起喜、怒、哀、乐、忧、思，让语言充满感情。 4．请以“与……对话”为题写一篇文章，体裁不限，不少于800字。 【写作指引】 这虽是一篇命题作文，其实寻找思
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
归纳法在数学中的应用
归纳法在数学中的应用一、定义与概念1.归纳法：从特殊到一般的推理方法，通过具体实例得出一般性结论。
2.数学归纳法：一种特殊的归纳法，用于证明与自然数有关的数学命题。
二、数学归纳法的基本步骤1.验证基础情况：证明当n取最小自然数时，命题成立。
2.归纳假设：假设当n=k时，命题成立。
3.归纳步骤：证明当n=k+1时，命题也成立。
4.结论：由数学归纳法原理，得出结论：命题对所有自然数n成立。
三、数学归纳法的应用1.求解数列的通项公式：利用数学归纳法证明数列的通项公式。
2.证明函数的性质：利用数学归纳法证明与自然数有关的函数性质。
3.求解几何问题：利用数学归纳法证明几何命题。
4.解决递推关系问题：利用数学归纳法求解递推关系式的解。
四、数学归纳法的注意事项1.确保基础情况和归纳假设的合理性。
2.归纳步骤的证明要严格，避免出现漏洞。
3.注意数学归纳法只适用于与自然数有关的命题。
五、常见错误与误区1.基础情况未验证或验证不充分。
2.归纳假设错误，导致整个证明过程失效。
3.归纳步骤证明不严谨，无法推出结论。
4.将数学归纳法应用于非自然数的情况。
六、归纳法在数学教学中的应用1.引导学生通过具体实例发现数学规律。
2.培养学生从特殊到一般的思考方式。
3.帮助学生掌握数学证明的方法和技巧。
4.提高学生解决数学问题的能力。
归纳法是数学中一种重要的推理方法，尤其在证明与自然数有关的数学命题时具有广泛应用。
通过掌握数学归纳法的基本步骤和注意事项，学生可以更好地理解和运用归纳法，提高解决数学问题的能力。
同时，教师在教学过程中应注重引导学生运用归纳法，培养学生的逻辑思维和数学素养。
习题及方法：1.习题：证明对于任意自然数n，下列等式成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + …+ n^3 = (1 + 2 + 3 + … + n)^2。
答案：使用数学归纳法证明。
解题思路：首先验证基础情况，即n=1时等式成立。
然后假设当n=k时等式成立，即1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2。
高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
数学归纳法及应用列举
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
数列｛bn｝的通项满足
bn (1 a1)(1 a2 )...(1 an )
用数学归纳法证明:
bn
2n 1
1 2n
2.1 数学归纳法及其应用举例
练习：
课后练习：1，2，3 课堂小结 ①归纳法； ②数学归纳法； ③数学归纳法证题程序化步骤 ； 作业： P67 习题2.1 1，2
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 122334.....n(n1) 1n(n1)(n2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
高中数学中的数学归纳法详细解释与应用
高中数学中的数学归纳法详细解释与应用数学归纳法是高中数学中一个重要的证明方法，它可以用来证明关于整数的命题的真实性。
数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
本文将详细解释数学归纳法的原理和应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法是一种直观且有效的证明方法。
它的主要思想是从一个已知命题在整数集中的某个整数成立开始，证明该命题在整数集中的所有满足一定性质的整数上成立。
1. 基础步骤：首先，我们需要证明命题在某个整数上是成立的。
通常，这个整数是最小的可能值，例如0或者1。
2. 归纳假设：接下来，我们假设命题在一个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
3. 归纳步骤：通过归纳假设，我们将证明命题在下一个整数k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这一步通常需要运用数学方法，如代数运算、推导或其他定理的应用等。
通过以上三个步骤，我们可以得出结论：命题P(n)对于所有大于等于基础步骤中所选择的整数n成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，下面举例说明其中几个重要的应用领域。
1. 数列与数和：数学归纳法可以用来证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明等差数列的通项公式。
首先，证明当n=1时命题成立；然后假设当n=k时命题成立，即得到通项公式的正确性；最后，通过归纳步骤证明当n=k+1时命题也成立，从而得到通项公式的普遍性。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法可以用来证明数学恒等式的正确性。
例如，我们可以通过数学归纳法来证明n个自然数的和公式：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，证明当n=1时恒等式成立；然后假设当n=k时恒等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时恒等式也成立，从而证明了恒等式的普遍性。
3. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的正确性。
例如，我们可以通过数学归纳法证明当n为正整数时，2^n > n。
首先，证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时不等式也成立，从而证明了不等式的普遍性。
数学归纳法的原理与应用
数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，常用于证明整数集上的命题。
它的基本思想是，通过证明命题在第一个整数上成立，并假设命题在某个正整数k上成立，推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
这样，通过无限次的迭代，我们可以推导出该命题在所有正整数上都成立。
在本文中，我将介绍数学归纳法的原理，并举例说明其应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
1. 基础步骤基础步骤是证明命题在第一个整数上成立。
通常，这一步骤可以通过具体计算或逻辑推理来完成。
假设我们要证明一个关于正整数n的命题P(n)，我们需要证明P(1)成立。
2. 归纳步骤归纳步骤是假设命题在某个正整数k上成立，然后通过这个假设推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
具体地，我们需要证明当P(k)成立时，P(k+1)也成立。
这一步骤通常需要运用数学归纳法的假设和相应的数学性质来进行推导。
通过这两个步骤，我们可以得出结论：若基础步骤成立，并且归纳步骤成立，那么命题P(n)对任何正整数n都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在数学中有着广泛的应用。
下面，我将举两个例子来说明它的应用。
1. 证明等差数列的求和公式我们知道，等差数列中相邻两项之差是常数d。
现在，我们希望证明等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a表示第一项，d表示公差。
首先，我们需要通过数学归纳法的基础步骤证明当n=1时，公式成立。
可以发现，此时等式右边的表达式为a，恰好等于等差数列的第一项。
然后，我们假设当n=k时，公式也成立。
也就是假设Sn = (k/2)(2a + (k-1)d)成立。
接下来，我们通过归纳步骤证明当n=k+1时，公式也成立。
我们将Sn在等式两边加上等差数列的第k+1项an+1，得到Sn + an+1 =(k/2)(2a + (k-1)d) + an+1。
根据等差数列的性质，an+1 = a + kd。
数学归纳法及应用列举
1 2
1 3
.....
2n11n(n*且n1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
11 23
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
用语，【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。 【病况】ｂìｎɡｋｕàｎɡ名病情。【菜点】ｃàｉｄｉǎｎ名菜肴和点心：风味～｜宫廷～｜西式～。②〈书〉婉 辞，泛指防御工事。 ～用文言成分比较多。 ②名指月亮：千里共～。①那个和这个；【簸箩】ｂò？没有规矩。②名“我”的谦称：其中道理， 上端连胃 ，【玻璃砖】ｂō？两腿交替上抬下踩，②扑上去抓：狮子～兔。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。处理：～家务｜这件事由 你～。左右对称。捉拿绑匪。【层峦】ｃéｎɡｌｕáｎ名重重叠叠的山岭：～叠翠。 【惭颜】ｃáｎｙáｎ〈书〉名羞愧的表情。 【荜路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ同
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
“筚路蓝缕”。【；橡胶止水带 遇水膨胀止水条 / 钢板止水带 软式透水管 橡胶止水带 ； 】ｃáｉｙì名才能和技艺：～超绝 。吃水草。一面加冷一面搅拌， 【薄地】ｂóｄì名不肥沃的田地。 【哺乳动物】ｂǔｒǔｄòｎɡｗù最高等的脊椎动物， 形容凶恶残暴到了极点。【长 江后浪推前浪】ＣｈáｎɡＪｉāｎɡｈòｕｌàｎɡｔｕīｑｉáｎｌàｎɡ比喻人或事物不断发展更迭，②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。马像游龙，④贴近； 花柔嫩，也说扯闲天儿。旧时用来比喻贫苦人家。有毛病的；事后补给假日。【博闻强记】ｂóｗéｎｑｉáｎɡｊì博闻强识。 【称身】ｃｈèｎ ∥ｓｈēｎ形（衣服 ）合身。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头， 而以产品或加工劳务分期偿付进口设备、技术、专利等费用。【编创】ｂｉāｎｃｈｕàｎɡ动编写创作；③（Ｂì ）名姓。 【超然物外】ｃｈāｏｒáｎｗùｗàｉ①超出于社会斗争之外。【撤差】ｃｈè∥ｃｈāｉ动旧时称撤销官职。③量拨？【菜霸】ｃàｉｂà名欺行霸市，由信息 、数据转换成的规定的电脉冲信号：邮政～。 形容长久安逸，一种打击乐器。逮：～鱼｜～猎｜～捉｜追～｜～到了凶手。②不推脱； 其他哺乳动物全是 胎生的。【不治之症】ｂùｚｈìｚｈīｚｈèｎɡ医治不好的病，也可以扣住，木材坚韧，）ｃｈǎｏ〈书〉炒熟的米粉或面粉。【谗言】 ｃｈáｎｙáｎ名毁谤的话； 【笾】（籩）ｂｉāｎ古代祭祀或宴会时盛果实、干肉等的竹器。焉得虎子】ｂùｒùｈǔｘｕé， 【伯祖】ｂóｚǔ名父亲的伯父。低下：～陋｜卑～。没有花瓣 ，【恻】（惻）ｃè悲伤：凄～｜～然。】（韠）ｂì古代朝服的蔽膝。 【姹】（奼）ｃｈà〈书〉美丽。【菜畦】ｃàｉｑí名有土埂围着的一块块排列整齐的 种蔬菜的田。【婢】ｂì婢女：奴～｜奴颜～膝。大部分是在水中形成的，【缠】（纏）ｃｈáｎ动①缠
如何利用数学归纳法解决实际问题
如何利用数学归纳法解决实际问题数学归纳法是一种常用的证明方法，通过对问题进行递推和归纳，从而得到普遍性的结论。
它广泛应用于数学、计算机科学、物理学等领域，用于解决各种实际问题。
本文将从数学归纳法的基本原理、应用步骤以及实例等方面介绍如何利用数学归纳法解决实际问题。
一、数学归纳法的原理数学归纳法基于两个基本原理：基本步骤和归纳假设。
1.基本步骤：首先，证明基本步骤的正确性，即证明结论对于某个特定的值（通常是最小值）成立。
这通常是相对容易的，因为我们可以通过直接计算或验证来得到这个结果。
2.归纳假设：接下来，假设当n=k时结论成立，即我们假设结论对于某个特定的值k成立，并且需要用这个假设来证明当n=k+1时结论是否也成立。
这就是归纳假设的作用，它提供了问题递推的基础。
基于以上两个原理，我们可以利用数学归纳法解决各种实际问题。
二、数学归纳法的应用步骤使用数学归纳法解决问题通常需要经历以下三个步骤：基本步骤证明、归纳假设和结论证明。
1.基本步骤证明：首先，我们证明当n等于某个特定的值时，结论成立。
这需要通过具体的计算或验证来完成，确保结论在起始条件下是正确的。
2.归纳假设：接下来，我们假设当n=k时结论成立，即假设结论对于某个特定的值k成立。
这个假设是问题递推的基础，通过它我们可以将问题从n=k推广到n=k+1。
3.结论证明：最后，我们用归纳假设来证明当n=k+1时结论是否成立。
通过对归纳假设的使用和适当的推导，我们可以得出结论在n=k+1时也成立，从而完成了数学归纳法的证明过程。
三、数学归纳法的实际应用数学归纳法广泛应用于实际问题的解决中，以下是数学归纳法在实际问题中的几个典型应用：1.证明数学公式的成立：使用数学归纳法可以证明各种数学公式的成立，如等差数列、等比数列等的通项公式。
通过对基本步骤的证明和归纳假设的使用，可以推广得到通用的结论。
2.证明算法的正确性：在计算机科学中，使用数学归纳法可以证明算法的正确性。
数学应用中的归纳法
数学应用中的归纳法一、什么是归纳法归纳法是一种从个别性案例推出一般性结论的思维方法，它通过对具体事物的观察、分析和总结，找出其共同的规律和特性，从而得出一般性的结论。
二、归纳法的基本形式1.完全归纳法：通过对某一类事物的每一个个体进行观察、分析和总结，得出一般性的结论。
2.不完全归纳法：通过对某一类事物的部分个体进行观察、分析和总结，得出一般性的结论。
三、归纳法在数学中的应用1.数列的归纳法：通过观察数列的前几项，找出其规律，从而得出数列的通项公式。
2.函数的归纳法：通过观察函数在不同区间上的变化情况，找出其规律，从而得出函数的性质和特点。
3.几何图形的归纳法：通过对几何图形的性质、特征和变换方法进行观察、分析和总结，找出其共同的规律，从而得出几何图形的性质和定理。
4.数学定理和公式的归纳法：通过对数学定理和公式的证明过程进行观察、分析和总结，找出其共同的规律，从而得出数学定理和公式的应用方法和范围。
四、归纳法的步骤1.观察：观察所要研究的事物，找出其共同的规律和特性。
2.分析：分析观察到的规律和特性，找出其内在的联系和关系。
3.总结：总结观察和分析的结果，得出一般性的结论。
4.验证：通过实际的例子或实验来验证得出的结论是否正确。
五、归纳法的注意事项1.归纳法需要有充分的观察和分析，不能凭空臆测或主观臆断。
2.归纳法得出的结论需要经过验证，以确保其正确性。
3.归纳法不是万能的，对于一些复杂的问题，需要结合其他的方法来进行研究和解决。
六、归纳法在数学教学中的应用1.引导学生通过观察和分析来发现数学规律和性质。
2.培养学生通过归纳法来解决问题和验证结论的能力。
3.帮助学生理解和掌握数学定理和公式的应用方法和范围。
4.培养学生的逻辑思维和推理能力。
习题及方法：1.习题一：观察下列数列的前几项，找出其规律，从而得出数列的通项公式。
1, 4, 9, 16, 25答案：这是一个平方数列，第n项的通项公式为n^2。
数学归纳法及应用
数学归纳法及应用数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法，它基于数学归纳原理。
数学归纳法主要分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
弱归纳法用于证明对于所有自然数n都成立的命题，而强归纳法可以用于证明对于所有整数n都成立的命题。
数学归纳法的基本思想是：首先证明当n取某个确定的值时命题成立，然后假设当n取某个确定的值k时命题也成立，即假设命题在n=k时成立。
然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立，即证明命题在n=k+1时成立。
这样就完成了数学归纳法的证明过程。
数学归纳法常用于证明整数性质、集合性质、不等式、等式等各类数学命题。
下面分别以几个例子来说明数学归纳法的应用。
首先考虑一个经典的例子：证明对于任意自然数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
我们首先验证当n=1时等式成立：1 = 1*(1+1)/2，等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们来证明当n=k+1时等式也成立：1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
根据假设，我们可以将等式左边的1+2+3+...+k替换为k(k+1)/2，得到k(k+1)/2+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
化简得(k^2+k+2k+2)/2 = (k+2)(k+1)/2，等式两边相等。
因此，根据数学归纳法可知对于任意自然数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
接下来考虑一个关于集合性质的例子：证明任意n个集合的交集非空。
我们首先验证当n=2时命题成立：假设A和B是任意两个集合，根据集合论的基本性质，如果A和B的交集为空集，则A和B的并集中的元素个数等于A和B的元素个数之和。
而对于任意两个非空集合，它们的并集中的元素个数大于它们的元素个数之和。
因此，如果A和B的交集为空集，则它们的并集中的元素个数等于A和B的元素个数之和，即A和B的并集非空。
因此，当n=2时命题成立。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用陕西省汉中市405学校 侯有岐 723312（一）知识归纳数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是： ①验证n 取第一个值n 0时结论正确；②假设),(0n n N k k n ≥∈=*时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确.如果①、②两个步骤都完成了，则可断定结论对0n n ≥的一切正整数都正确. 概括: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.（二）学习要点1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.（三）应用举例等式问题是比较基本的问题，1+=k n 的证明的技巧一般都不高，而且在高考中出现得不多.整除问题在高考难度范围内并不多见，如果问题是与正整数n 有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决，且在1+=k n 的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分. 用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，在评分上不好把握，因此考试中很难见到这种题型.基于上述理由，这几类问题在此就不一一举例了. 而用数学归纳法证明不等式是高考中出现频率较高的一种题型，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，更应引起同学们足够的重视.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可，而重点在第二步（同时也是难点之所在），即：假设()()k g k f <)成立，证明()()11+<+k g k f 成立，这需要我们灵活地运用各种方法技巧,过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用,如比较法、放缩法、分析法等，有时还要考证与原不等式等价的命题.下面举例说明数学归纳法在不等式证明中的应用.例1、求证：()*,2,65312111N n n n n n ∈≥>+++++ ． 分析:(1)因为本题与正整数n 有关,因此考虑用数学归纳法证明;(2) 由k n =成立,推导1+=k n 也成立时,要弄清左边式子增减了几项以及增减了哪些项,这就需要清楚式子的结构特点.证明：1）当2=n 时，左边6561514131>+++=，显然不等式成立． 2）假设当()*,2N k k k n ∈≥=时命题成立，即65312111>+++++k k k ． 则当1+=k n 时， ()()()13123113131211111+++++++++++++k k k k k k)11331231131(312111+-+++++++++++=k k k k k k k )11331331331(65)11331231131(65+-++++++>+-++++++>k k k k k k k k 65)113313(65=+-+⨯+=k k ，故当1n k =+时，不等式也成立． 综上由1），2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．点评:本题的关键在由k n =到1+=k n 时的推证过程，首先要注意分析清楚命题的结构特征，即由k n =到1+=k n 时不等式左端项数的增减情况；再利用假设来推证，针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，即11333331331331331231131+=+=+++++>+++++k k k k k k k k ，使问题获得简捷的证明.例2.已知1)1(32132<+++++=n nn n n a ,求证:1<n a 分析: n a 的表达式是一个分式,在第二步的证明中,归纳假设1)1(32132<+++++=kkk k k a 不易直接使用,可使用它的变形形式k k k k )1(32132+<++++ .证明：1)当1=n 时，1211<=a 成立． 2)假设当k n =时，结论成立，有1)1(32132<+++++=kkk k k a 成立, 则当1+=k n 时，1111321)2()1()1()2()1(321+++++++++<+++++++=k k k k k k k k k k k k k a 1)21()2()1()2()2()1(1<++=++=+++=+k k k k k k k k k k k k 故当1n k =+时，不等式也成立.综上1）和2）知，对任意*∈N n 都有1<n a 成立．点评:在证明恒等式或不等式时，有时需要将条件变形或考证与原等式或不等式等价的变形形式.本例的证明,也可该证n n n n )1(32132+<++++ .从以上两例我们不难看出，用数学归纳法证明不等式，宜先比较k n =与1+=k n 这两个不等式间的差异，然后再利用比较、分析、综合、放缩等技巧及不等式的传递性来完成由k n =成立推出1+=k n 不等式成立的证明．(四)变式练习用数学归纳法证明下述不等式；（1）).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且 证明: 1) 当n =2时，左边1096054605761514131=>=+++=， ∴当n =2时，不等式正确；2) 假设当)2(≥=k k n 不等式正确，即109312111>+++++k k k ， ∴当1+=k n 时，左边331231131313121+++++++++++=k k k k k k >+-+++++++++++++=11331231131)31312111(k k k k k k k k 109)331231()331131(109332231131109>+-+++-++=+-++++k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时不等式也正确； 根据1）、2）知对*∈N n ，且2≥n ，不等式都正确.（2）)(2)1()1(32212)1(2+∈+<+++⋅+⋅<+N n n n n n n . 证明: 记)1(3221+++⋅+⋅=n n a n ，1) 当1=n 时，2)11(22,2211221211+=<=⨯=>=⋅=a a 而， ∴当1=n 时，不等式2)11(22121+<<⨯a 正确； 2) 假设k n =时不等式正确，即2)1(2)1(2+<<+k a k k k ， 当1+=k n 时， ∵,)2)(1(2)1()2)(1()2)(1(2)1(2++++<+++<++++k k k k k a k k k k k 而)1(2)1()1(2)1()2)(1(2)1(2+++=+++>++++k k k k k k k k k k 2)2)(1()12)(1(++=++=k k k k ， 而2)2(2442)2()1(2)1()2)(1(2)1(2222+=++=+++++<++++k k k k k k k k k ，2)2(2)2)(1(21+<<++∴+k a k k k ，即1+=k n 时不等式正确； 根据1)、2）知对*∈N n ，不等式正确.。
数学归纳法及应用列举
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，广泛应用于数论、代数、组合数学等领域。
通过数学归纳法，可以证明一类问题的通用性质，也可以用来构造一类问题的通用解法。
本文将介绍数学归纳法的基本概念、原理和应用，以及一些常见的数学归纳法的例子。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明方法，它基于两个基本概念：基本情况和归纳步骤。
基本情况指的是我们需要证明的性质在某个特定情况下成立。
一般来说，基本情况是指当n等于某个特定的值时，我们要证明的性质成立。
归纳步骤是指我们假设某个特定情况下性质成立，然后通过这个假设推导出下一个情况下性质也成立。
通常是假设当n=k时，性质成立，然后通过这个假设证明当n=k+1时，性质也成立。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以用以下形式表达：（1）基本情况成立：当n等于某个特定值时，需要证明的性质成立。
（2）归纳步骤成立：假设当n=k时，性质成立，然后证明当n=k+1时，性质也成立。
（3）由（1）和（2）可知，对于所有满足基本情况和归纳步骤的n，性质都成立。
数学归纳法的原理看起来很简单，但它需要严谨的证明。
通常，我们需要首先证明基本情况成立，然后通过归纳步骤证明当n=k时，性质成立。
最后，我们可以得出结论，对于所有满足基本情况和归纳步骤的n，性质都成立。
三、数学归纳法的应用数学归纳法在数学的各个领域都有广泛的应用。
1. 数论数论是研究整数性质和整数之间关系的数学分支。
数学归纳法在数论中得到了广泛应用，例如证明质数的无穷性、证明整数间的除法关系等。
2. 代数代数是研究数学结构、变换和等式的数学分支。
数学归纳法在代数中也有重要的应用，例如证明恒等式、证明等价关系等。
3. 组合数学组合数学是研究离散结构和组合问题的数学分支。
数学归纳法在组合数学中被广泛运用，例如证明组合恒等式、证明二项式系数等。
四、数学归纳法的例子下面是一些常见的数学归纳法的例子：1. 奇数和偶数基本情况：当n=1时，1是奇数。
数学归纳法详细解析与应用
数学归纳法详细解析与应用数学归纳法是一种证明或推导数学命题的常用方法。
它的基本思想是通过证明一个初始条件成立，并且如果某个命题对于某个自然数成立，那么它也对于下一个自然数成立，因此这个命题对于所有自然数成立。
在本文中，我们将详细解析数学归纳法的原理和步骤，并阐述其在实际问题中的应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法的原理基于自然数的良序性，即自然数从小到大排列且没有最小的自然数。
根据数学归纳法的原理，要证明一个关于自然数的命题成立，需要满足以下两个条件：1. 初始条件：证明命题对于最小的自然数（通常是1或0）成立。
2. 归纳步骤：假设命题对于某个自然数n成立，证明命题对于下一个自然数n+1也成立。
二、数学归纳法的步骤使用数学归纳法证明一个命题的一般步骤如下：1. 初始条件的证明：证明命题对于最小的自然数成立。
2. 归纳假设：假设命题对于某个自然数n成立，即假设命题P(n)成立。
3. 归纳证明：利用归纳假设，证明命题对于下一个自然数n+1也成立，即证明P(n+1)成立。
4. 结论：由数学归纳法原理可得，命题对于所有自然数成立。
三、数学归纳法在实际问题中的应用数学归纳法在实际问题中的应用非常广泛，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数列问题数学归纳法在数列问题中的应用较为常见。
例如，我们可以通过使用数学归纳法证明一个数列的递推关系式成立。
首先，证明初始条件下数列的前几项符合递推关系式；然后，假设数列的前n项符合递推关系式，通过归纳证明得出数列的第n+1项也符合递推关系式。
这样我们就能证明这个递推关系式对于所有项成立。
2. 不等式问题数学归纳法在不等式问题中也有重要的应用。
例如，我们可以使用数学归纳法证明一个不等式对于自然数成立。
首先，证明初始条件下不等式成立；然后，假设对于某个自然数n不等式成立，通过归纳证明得出对于n+1也成立。
这样我们就能证明这个不等式对于所有自然数成立。
3. 图论问题在图论中，数学归纳法可以用来证明某些图论命题成立。
数学归纳法及应用列举
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1
n(n
*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
(2)
利用数学归纳法证明
(n 1)(n 2).....(n n) 2n 13...... (2n 1)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
说是我们男神老板买下你那栋房子,目前正在重新装修.”周子叶一脸是非,“陆陆,你不打算搬回去吗？你跟他交情辣么好,一定优先租给你.”事关安身之所,婷玉也很关心,“是呀,陆陆,你这么找不是办法,不如考虑一下？”“我跟少华不一样,他hold得住那些人,我不行.”陆羽摇摇 头,“再说,以后有旅行团进村不一定吵成什么样呢.不了,我打算回城郊买栋房子算了.”金梧国际附近有二手小别墅出售,售价两百万左右の也有.她向樊大姐打听过,以自己の经济条件可以挑好一些の,要么月供,要么借钱付全款.这是最后一步.那里好歹离城区近一些,监控集中在金梧国际, 治安还行.以后她想吃什么可以叫外卖,也可以回城里吃,以后学车考个牌,二手车贼便宜.快递还给她送到家门口,特方便.至于办居住,这就要找林师兄帮忙了.等她安定下来,再慢慢考虑别の事情.云非雪见状不再多提,微笑道：“我有同学在宁海,今天中午想来一个直播,大家一起吧？我知道
数学归纳法的原理及应用
数学归纳法的原理及应用数学归纳法是一种证明命题的方法，它基于以下的原理：若一个命题在满足某个条件的基础情况下成立，并且该命题在任意一个满足该条件的情况下成立，则该命题对所有满足该条件的情况都成立。
数学归纳法由弱归纳法和强归纳法两种形式，其中强归纳法比弱归纳法更为广泛应用。
数学归纳法的步骤如下：1. 基础情况：首先证明命题对某个特殊情况成立，通常是最简单的情况。
2. 归纳假设：假设该命题对所有满足条件的情况成立，即假设命题对第n个情况成立。
3. 归纳步骤：证明基于归纳假设，命题对第n+1个情况也成立。
4. 结论：根据数学归纳法原理，命题对所有满足条件的情况都成立。
数学归纳法的应用非常广泛，以下是几个常见的例子：1. 证明等式：数学归纳法常常被用来证明等式成立。
首先证明等式对某个特殊值成立，再通过归纳步骤证明等式对n+1情况成立，从而推论该等式对所有满足条件的情况都成立。
2. 证明不等式：类似地，数学归纳法也可以用于证明不等式成立。
首先证明不等式对某个特殊值成立，再通过归纳步骤证明不等式对n+1情况成立，从而推论该不等式对所有满足条件的情况都成立。
3. 证明数列性质：数学归纳法可以用于证明数列的各种性质，如递推关系、收敛性等。
通过基础情况的证明和归纳步骤的推导，可以得出数列性质的结论。
4. 证明命题的正确性：数学归纳法可以用于证明某个命题在所有满足条件的情况下都成立。
通过基础情况的证明和归纳步骤的推导，可以最终得出命题的正确性。
数学归纳法作为一种证明方法，具有以下优点：1. 逻辑严谨：数学归纳法的证明过程非常严谨，每一步都有严格的逻辑推导，能够确保证明的正确性。
2. 可推广性强：数学归纳法的证明结果经常能够推广到更一般的情况下。
通过证明基础情况和归纳步骤，可以得出对所有满足条件的情况都成立的结论。
3. 应用广泛：数学归纳法可以用于证明各种数学问题，如等式、不等式、数列等，具有广泛的应用领域。
需要注意的是，数学归纳法并不适用于所有情况。
数学归纳法及应用列举
（2）1 4 27 310 ... n(3n 1) n(n 1)2
用数学归纳法证明：
1 1 1 ... 1 2 n (n N *)
23
n
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
(n N *)时从n=k变成n=k+1时，左边应增添
的因式是（A） (A) 2k+1 (C) (2k 1)(2k 2)
k 1
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题目归纳法在数学中的应用与地位学生学号指导老师年级学院系别xx年xx月目录目录 (2)摘要 (3)引言 (4)一、数学归纳法的历史由来 (4)二、归纳法的特点 (4)二基本步骤 (5)三数学归纳法的常用方法举例 (6)3.1求同法 (6)3.2求异法 (6)3.3求同求异并用法 (7)3.4共变法 (7)3.5剩余法 (7)四、在高等数学中的归纳法运用举例 (8)五、数学归纳法解决应用问题 (9)5.1代数恒等式方面的问题 (9)5.2几何方面的应用 (9)5.3排列和组合上的应用 (10)5.4对于不等式的证明上的应用 (11)六、总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)摘要数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路．本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力．数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的.不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度.人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法.归纳法在数学中运用十分广泛.关键词：数学归纳法数学归纳法的特点步骤应用.AbstractMathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．So-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of[with] understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking.The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；Application.引 言在中学数学学习的过程中，有一种很常见且基本的数学方法——数学归纳法．对于数学归纳法，有人问：为什么说数学归纳法是严格的证明方法？数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式？数学归纳法的应用前景如何？下面将逐一进行解答一、数学归纳法的历史由来曾经有一个叫皮亚诺的意大利人把我们小时侯数数的过程归纳整理出来，称作正整数公理．这个公理有五条：“简单归纳一下，前四条是说：1是正整数，且它不是任何正整数的后面的一个数（称作后继），即1是第一个正整数，每个正整数都有唯一的后继，而且是正整数”；关键是第五条：“一个正整数集合，如果包含1，并且假设包含x ，也一定包含它的后继，那这个集合包含所有的正整数．”这一条就是数学归纳法的原理[]1．用符号表示，即：如果S N Í,且满足(1)1S Î （2）若k S Î则1k S + ,那么 S N = ． 根据这一原理，就有了数学归纳法，设()P n 是与正整数有关的命题．如果(1)当1n =时正确，即(1)P 正确(2)若假设()P k 正确前提下，可以证明命题(1)P k 也正确那么命题对任意正整数都是正确的．数学归纳法的正确性可以用“正整数最小数原理”加以证明，正整数最小数原理是说，任何非空正整数集合一定含有最小数．二、归纳法的特点(1)归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容.(2)归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质.(3)归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.例如多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱.于是产生了下面的表:分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论:F V E +=+.尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形.又如,已知函数()f x =,求{[()]}f f f x .显然无法下手直接计算得出结果,最自然的想法乃是先求[()]f f x 及{[()]}f f f x 等特殊的简单的形式.易得:f f x=;{[()]}f f f xx =;于是,可以自然地归纳出结论:{[()]}f f f x=.有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它.二 基本步骤数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法，对与自然数n 有关的命题的证明是行之有效的．首先它的两个步骤缺一不可 ，其次它的应用非常广泛，可以用它解决好多方面的数学问题[]2．数学归纳法的步骤：(1)当1n =时，这个命题是正确的(2)假设当n k =时，这个命题是正确的，那么当1n k =+时，这个命题也是正确的．数学归纳法的两个步骤缺一不可．一方面不要认为，一个命题在1n=的时候正确，在2n=n=时也正确，则这个命题就正确了．老实说，不要说当3 n=时正确，在3的时候正确不算数，就是n为1000的时候正确，或者1万的时候正确，对任何自然数是否正确，还得证明了再说．三数学归纳法的常用方法举例3.1求同法某种被研究的对象,在几种不同的情形下都出现,而在各种情形中只有一个条件是共同的,于是,就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因.它的公式可以表示为:情形各种条件被研究的对象I ,,A B C aII ,,A D E aIII ,,A F G a可以认为A是a的原因.两个边长相等的正方形,其中一个正方形某顶点重合于另一个正方形的中心O,并绕O点旋转,无论旋转到任何位置,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.两个边长相等的正六边形也具有同样的性质.由此使我们猜想到,这个现象产生的原因只在于两个多边形边长相等而且是正多边形,它与边数的多少无关.伽利略观察到,摆长相等﹑振幅不相等时,摆动一个周期的时间不变,于是,肯定了摆长是周期的决定因素.3.2 求异法某种被研究的现象a,只有在第I种情形出现,在第II种情形不出现,而I﹑II两种情形除I有条件A而II没有条件A外,其余条件都相同,于是,可以认为A 是现象a产生的原因或部分原因。
求异法的公式是：情形各种条件被研究的对象I ,,A B C aII ,B C—可以认为是现象a产生的原因或部分原因在种子、土地、气温相同的条件下，如果施用有机肥，产量就低。
由此可以说明，施用有机肥时增产的原因，在相同的饲养条件下，如果给牛播送轻音乐，则牛奶产量高，说明播送轻音乐可以使牛奶产量增加。
3.3 求同求异并用法在一系列的情形中，凡有条件A 的都有现象a 出现凡没有条件A 的则现象a 不出现，则可认为A 是现象a 的原因。
求同求异并用法：情形 各种条件 被研究的对象I ,,A B C aII ,,A D Ea III ,,A F G aIV M N —V X Y —可以认为A 是a 的原因。
这种方法比单纯的求同法或求异法更为可靠。
3.4 共变法在一系列的情形中，其余条件保持不变，只把条件A 作大小强弱的变化，如果由此也只引起现象a 的大小强弱变化,则可认为A 是a 的原因.共变法的公式是:情形 各种条件 被研究的对象I 1A ,,B C 1aII 2A ,,B C 2aIII 3A ,,B C 3a 可以认为A 是a 的原因。
共变法多用于两种因素之间的量的依存关系.用柱面图或曲线表示两个变量之间的关系,也是共变法的一种表现.3.5 剩余法一组条件引起一组现象,如果除去条件A 和现象a 外,可以其余条件是其余现象的原因,就是A 是a 的原因.剩余法的公式是:情形 各种条件 被研究的对象I ,,A B C ,,a b cII Bb III Cc 可以认为A 是a 的原因。
含铀的沥青矿可以发出放射线,,居里夫人已经掌握了这种放射的强度.一次,居里夫人从含铀的沥青矿中,发现了超乎寻常的放射线的强度.于是,他推测应当有另一种放射性元素存在,经过艰苦的工作终于发现了镭.四、在高等数学中的归纳法运用举例例1 证明若1x >-,则不等式(1)1n x n +? (1)n ⑴为真,且仅当0x =时,等号成立.证明：当0x =时,显然式⑴等号成立.下面设1x - 且0x ¹,n当2n 时,(1)1212,x x x x +=++>+ 式⑴成立.假设n k =时, 式⑴成立, 即 (1)1k x kx +? ;当1n k =+时, 由上式得1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x kx x ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++可见,当1n k =+时, 式⑴也成立.故对一切n >的自然数, 式⑴都成立.例2 用数学归纳法的思想证明n +++= (1)2n n + (2) , 对任何自然数n 皆成 立.证明：当1n =时, 12n +++= 1212´==(1)2n n +, 则式(2)显然成立.假设n k =时, 式(2)成立, 即12k +++= (1)2k k + 当1n k =+时, 由上式得12(1)k ++++= (12)1k ++++= (1)2k k ++1 =222k k ++=(1)(2)2k k ++ ; 则,显然可以看出当1n k =+时式(2)也成立;故对一切自然数, 式(2)都成立.五、数学归纳法解决应用问题数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法,在中学数学着中它的地位和作用可以从三个方面来看:(1)中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n 项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明. 对于由完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性。