多元线性回归模型统计检验
多元线性回归的统计检验
2
R
1
(1
R2 )
n 1
n k 1
2.方程总体线性的显著性检验（F检验）
方程显著性F检验的模型：
Yi 0 1X1i 2 X 2i ... k X ki ui
检验参数k是否显著为零。 按照假设检验的原理和程序，原假设与备择假
2是随机干扰项的方差，实际计算中用 代
替。
服从正态分布如下：
j
j N(j, 2cjj )
t j j
S
j
j j
c jj
ee n k 1
t(n k 1)
t 检验
在变量显著性检验中，针对 假设为：
设X j计的原假设和备择
H0 : j 0
给定一个显著H性1：水平j α，0得到临界值t 2
或者
2
R
F
k
2
(1 R )
(n k 1)
变量的显著性检验（ t 检验）
多元线性回归模型，方程的总体线性关系式显 著的，并不能说明每个解释变量对被解释变量 的影响都是显著的。因此必须对每个解释变量 进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被 保留在模型中。
t 统计量
参数估计量的方差：
cCoj表jv(示) 矩 2阵(X( XXX)1)主1 V对ar角(线j) 上 的2c jj第j个元素。 2
因此，在多元回归模型之家比较拟合优度，R2 不是一个合适的指标。
可调整的可决系数
思路：在样本容量一定的情况下，增加解释变 量必定使得自由度减少，所以要将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，剔除 变量个数对拟合优度的影响。公式如下：
RSS
2
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元线性回归——模型、估计、检验与预测
多元线性回归——模型、估计、检验与预测⼀、模型假设传统多元线性回归模型最重要的假设的原理为：1. ⾃变量和因变量之间存在多元线性关系，因变量y能够被x1,x2….x{k}完全地线性解释；2.不能被解释的部分则为纯粹的⽆法观测到的误差其它假设主要为：1.模型线性，设定正确；2.⽆多重共线性；3.⽆内⽣性；4.随机误差项具有条件零均值、同⽅差、以及⽆⾃相关；5.随机误差项正态分布具体见另⼀篇⽂章：回归模型的基本假设⼆、估计⽅法⽬标：估计出多元回归模型的参数注：下⽂皆为矩阵表述，X为⾃变量矩阵(n*k维)，y为因变量向量（n*1维）OLS（普通最⼩⼆乘估计）思想：多元回归模型的参数应当能够使得，因变量y的样本向量在由⾃变量X的样本所构成的线性空间G（x）的投影（即y’= xb）为向量y 在线性空间G(x)上的正交投影。
直⽩⼀点说，就是要使得(y-y’)’(y-y’)最⼩化，从⽽能够使y的预测值与y的真实值之间的差距最⼩。
使⽤凸优化⽅法，可以求得参数的估计值为：b = (x’x)^(-1)x’y最⼤似然估计既然已经在假设中假设了随机误差项的分布为正态分布，那么⾃变量y的分布也可以由线性模型推算出来（其分布的具体函数包括参数b在内）。
进⼀步的既然已经抽取到了y的样本，那么使得y的样本出现概率（联合概率密度）最⼤的参数即为所求最终结果与OLS估计的结果是⼀致的矩估计思想：通过寻找总体矩条件(模型设定时已经有的假设，即⽆内⽣性)，在总体矩条件中有参数的存在，然后⽤样本矩形条件来进⾏推导未知参数的解。
在多元回归中有外⽣性假设：对应的样本矩为：最终估计结果与OLS⽅法也是⼀样的。
三、模型检验1.拟合优度检验（1）因变量y是随机变量，⽽估计出来的y’却不是随机变量；（2）拟合优度表⽰的是模型的估计值y’能够在多⼤程度上解释因变量样本y的变动。
（3）y’的变动解释y的变动能⼒越强，则说明模型拟合的越好y-y’就越接近与假设的随机误差（4）⽽因变量的变动是由其⽅差来描述的。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
第二章 多元线性回归模型
ˆ ˆ ˆ) ( Y Y 2Y Xβ β X Xβ 0 ˆ β
ˆ X Y X Xβ 0
得到：
ˆ XY XXβ
ˆ β ( X X) 1 X Y
于是：
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
1 ( X ' X) X 1 1 X2 1 X1 1 1 X 2 n X n X i 1 X n
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
e e ˆ n k 1 n k 1
2
e i2
二、最大或然估计
对于多元线性回归模型: i N 0, 2 , i 1, 2, , n
易知:
Yi ~ N ( X i β , 2 ) 其中: Xi 1 Xi1 Xi1 Xik
j
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 Yi , X ij , i 1, 2,, n; j 0,1, 2,, k , 其中X i 0 1
k 1个未知参数，如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Y i 0 1 X i1 2 X i 2 k X ik , i 1, 2,, n
五、多元线性回归模型的参数估计实例
地区城镇居民消费模型
• 被解释变量：该地区城镇居民人均消费Y
• 解释变量：
– 该地区城镇居民人均可支配收入X1 – 前一年该地区城镇居民人均消费X2
• 样本：2006年，31个地区
数据
地区 2006年消费 支出 Y
北 天 河 山 辽 吉 上 江 浙 安 福 江 山 河 京 津 北 西 宁 林 海 苏 江 徽 建 西 东 南 14825.4 10548.1 7343.5 7170.9 7666.6 7987.5 7352.6 6655.4 14761.8 9628.6 13348.5 7294.7 9807.7 6645.5 8468.4 6685.2
5、计量经济学【多元线性回归模型】
那么，多元线性样本回归函数 (方程) (3.3) 式的矩阵
表达式为： ˆ0
ˆ1
其中：ˆ
ˆ2
M
ˆk
(
Yˆ
YYˆˆ12 M
Yˆn
k 1)1
Yˆ X ˆ, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (3.7)
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 L k X k1 1 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. L k X k 2 2 Yn 0 1 X1n 2 X 2n L k X kn n
M
k
(k 1)1
n
n1
2、多元线性回归模型的几种形式：
并且，记
Y
Y1
Y2
为被解释变量的观测值向量；
M
Yn n1
1 X11 X 21 L
记
X 1 M
X12 M
X 22 M
L
1 X1n X 2n L
Xk1
X
k
Yi 0 1X1i 2 X 2i L k X ki i , , , ,i 1, 2,L , n, , , , (3.1)
多元线性回归模型实验报告
多元线性回归模型实验报告实验报告：多元线性回归模型1.实验目的多元线性回归模型是统计学中一种常用的分析方法，通过建立多个自变量和一个因变量之间的模型，来预测和解释因变量的变化。
本实验的目的是利用多元线性回归模型，分析多个自变量对于因变量的影响，并评估模型的准确性和可靠性。
2.实验原理多元线性回归模型的基本假设是自变量与因变量之间存在线性关系，误差项为服从正态分布的随机变量。
多元线性回归模型的表达形式为：Y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn+ε，其中Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，b0、b1、b2、..、bn表示回归系数，ε表示误差项。
3.实验步骤（1）数据收集：选择一组与研究对象相关的自变量和一个因变量，并收集相应的数据。
（2）数据预处理：对数据进行清洗和转换，排除异常值、缺失值和重复值等。
（3）模型建立：根据收集到的数据，建立多元线性回归模型，选择适当的自变量和回归系数。
（4）模型评估：通过计算回归方程的拟合优度、残差分析和回归系数的显著性等指标，评估模型的准确性和可靠性。
4.实验结果通过实验，我们建立了一个包含多个自变量的多元线性回归模型，并对该模型进行了评估。
通过计算回归方程的拟合优度，我们得到了一个较高的R方值，说明模型能够很好地拟合观测数据。
同时，通过残差分析，我们检查了模型的合理性，验证了模型中误差项的正态分布假设。
此外，我们还对回归系数进行了显著性检验，确保它们是对因变量有显著影响的。
5.实验结论多元线性回归模型可以通过引入多个自变量，来更全面地解释因变量的变化。
在实验中，我们建立了一个多元线性回归模型，并评估了模型的准确性和可靠性。
通过实验结果，我们得出结论：多元线性回归模型能够很好地解释因变量的变化，并且模型的拟合优度较高，可以用于预测和解释因变量的变异情况。
同时，我们还需注意到，多元线性回归模型的准确性和可靠性受到多个因素的影响，如样本大小、自变量的选择等，需要在实际应用中进行进一步的验证和调整。
计量经济学 )多元线性回归模型的统计检验
ˆ) 0 X i1 (Yi Y i
ˆ) 0 X i 2 (Yi Y i
… X (Y Y ˆ) 0 ik i i
所以 从而
ˆ )(Y ˆ Y ) 0 (Y Y
i i
ˆ ) 2 (Y ˆ Y )2 (Y Y ) (Y Y i i i i
解释的那部分离差的大小。
• 那么，TSS、ESS、RSS之间存在的如下关系：
总离差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和
TSS
=
ESS
+
RSS
关于TSS=ESS+ RSS的证明过程（教材P73） 证明： 将TSS，即总离差平方和进行分解：
ˆ ) (Y ˆ Y )) 2 TSS (Y Y ) 2 ((Y Y
• 拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合 程度。
• 在一元回归模型中，拟合优度检验是通过构造 一个可以表征拟合程度的统计量R2来实现。
• 在多元回归模型中，也可以用该统计量来衡量 样本回归线对样本观测值的拟合程度。
总离差平方和、回归平方和及残差平方和
• 定义
TSS (Y Y ) 2
i
2 ˆ y i
y
2 i
1
yi
ei
2 2
检验模型的拟合优度。 R2叫做多重可决系数，也简称为可决系数或判定系数。
毫无疑问，R2越接近于1，模型的拟合优度越高。 但是在应用过程中人们发现，如果在模型中增加一个解释变量， 那么模型的回归平方和随之增大，从而R2也随之增大。 这就给人一个错觉：要使模型拟合得好，就必须增加解释变量。 所以，用来检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾向。
说 明
2.3 回归模型的统计检验
在应用中我们会发现，如果在模型中增加一个解 释变量，模型的解释功能增强了，判定系数 计 算公式中的分子—回归平方和就会增大，因而 2 就增大。这就给人一种错觉：似乎要使模型拟合 R 的更好，就必须增加解释变量。但是，在样本容 量一定的情况下，增加解释变量必定使的自由度 减少。所以，用于检验拟合优度的统计量必须能 够防止这种倾向，我们可用自由度来调整 ， 用 来表示调整后的判定系数，以剔除解释变 R2 量的数目与样本容量的影响，使具有不同样本容 2 R 量和解释变量数目的回归方程可以进行拟合优度 的比较。
ˆ ˆ ˆ ˆ = b0 ∑ei + b1 ∑ x1i ei + b2 ∑ x2i ei + ...... + bk ∑ xki ei = 0
且 故
∑ yei = y ∑ei = 0
ˆ ∑( yi − y)2 = ∑( yi − y)2 + ∑ei
ESS + RSS 残差平方和
2
（2-6）
上式记成 TSS = 总平方和
ES S (k − 1) F= = RSS (n − k )
不全为0 不全为
(Yi − Y ) 2 /( k − 1) ∑ ˆ ~ F ( k − 1, n − k ) 2 ∑ (Y − Yˆ ) /(n − k )
i i
给定显著性水平
分布表中自由度为 α ，查F分布表中自由度为 k-1
和 n-k 的临界值 Fα (k − 1, n − k ) ，并通过样本观测 值计算F值 值计算 值
一、模型的拟合优度检验
所谓拟合优度，即模型对样本数据的近似程度。 由于实际观察得到的样本数据是对客观事实的 一种真实反映，因此，模型至少应该能较好的 描述这一部分客观实际情况。为了考察模型的 拟合优度，需要构造一个指标——判定系数 （可决系数）。 认识判定系数之前让我们回顾一下关于样本与 总体回归函数，了解总离差分解。
多元线性回归模型的统计检验
2、t检验
设计原假设与备择假设：
H0：i=0 H1：i0
（i=1,2…k）
给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由
样本求出统计量t的数值，通过
|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)
来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是
否应包括在模型中。
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以 决定是否作为解释变量被保留在模型中。
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
1、t统计量
由于
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素，于 是参数估计量的方差为：
其中2为随机误差项的方差，在实际计算时 ，用它的估计量代替:
因此，可构造如下t统计量
给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值 ：
一元例：F(1,21)=4.32
二元例： F(2,19)=3.52
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验 关系的讨论
由 R2 1RS/S(nk1) 与
TS/S(n1)
可推出：
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中, 给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093
从回归计算中已得到：
计算得参数的置信区间：
0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)
如何才能缩小置信区间？
•增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大 ，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量 ，还可使样本参数估计量的标准差减小；
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，它在研究多个自变量与一个因变量之间的关系时具有重要的应用价值。
本文将介绍多元线性回归模型的公式和参数估计方法，并讨论如何进行统计推断和假设检验。
一、多元线性回归模型的公式多元线性回归模型的一般形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1至Xk表示自变量，β0至βk表示模型的参数，ε表示误差项。
在多元线性回归模型中，我们希望通过样本数据对模型的参数进行估计，从而得到一个拟合度较好的回归方程。
常用的参数估计方法有最小二乘法。
二、参数估计方法：最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型的参数。
参数估计的公式如下：β = (X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β表示参数矩阵，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的矩阵。
三、统计推断和假设检验在进行多元线性回归分析时，我们经常需要对模型进行统计推断和假设检验，以验证模型的有效性和可靠性。
统计推断是通过对模型参数的估计，来对总体参数进行推断。
常用的统计推断方法包括置信区间和假设检验。
1. 置信区间：置信区间可以用来估计总体参数的范围，它是一个包含总体参数真值的区间。
2. 假设检验：假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
常见的假设检验方法有t检验和F检验。
在多元线性回归模型中，通常我们希望检验各个自变量对因变量的影响是否显著，以及模型整体的拟合程度是否良好。
对于各个自变量的影响，我们可以通过假设检验来判断相应参数的显著性。
通常使用的是t检验，检验自变量对应参数是否显著不等于零。
对于整体模型的拟合程度，可以使用F检验来判断模型的显著性。
F检验可以判断模型中的自变量是否存在显著的线性组合对因变量的影响。
在进行假设检验时，我们需要设定显著性水平，通常是α=0.05。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
在建立多元线性回归模型后，我们需要对其进行一系列的检验，以确保模型的准确性和可靠性。
本文将介绍多元线性回归模型的检验方法。
模型假设在进行多元线性回归模型检验前，我们首先需要明确模型所假设的条件。
多元线性回归模型假设以下几个条件：1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：不同自变量之间相互独立。
3.同方差性：模型的误差项在自变量的每个取值下具有相同的方差。
4.正态性：误差项服从正态分布。
多元线性回归模型检验方法1. 相关系数检验在建立多元线性回归模型时，我们首先需要对自变量和因变量之间的相关关系进行检验。
常用的方法是计算各个自变量和因变量之间的相关系数，并通过假设检验确定其显著性。
2. 模型整体显著性检验在多元线性回归模型中，我们需要判断整体回归关系是否显著。
常用的方法是计算模型的F统计量，并通过显著性检验确定其结果。
F统计量的计算公式如下：$$ F = \\frac{(SSR/k)}{(SSE/(n-k-1))} $$其中，SSR为回归平方和，k为模型自变量个数，SSE为误差平方和，n为样本的观测值个数。
F统计量服从自由度为k和n-k-1的F分布。
3. 自变量的显著性检验除了整体显著性检验外，我们还可以对每个自变量进行显著性检验，以确定其对因变量的贡献程度。
常用的方法是计算自变量的t统计量，并通过显著性检验确定其结果。
t统计量的计算公式如下：$$ t = \\frac{\\hat{\\beta_j}}{\\sqrt{MSE \\cdot (X^TX)^{-1}_{jj}}} $$其中，$\\hat{\\beta_j}$为第j个自变量的估计系数，MSE为均方误差，(X T X)jj−1为自变量矩阵X的逆矩阵元素。
4. 模型的拟合度检验除了检验自变量的显著性外，我们还需要评估模型的拟合度。
多元线性回归模型的检验
多元线性回归模型的检验1多元性回归模型与一元线性回归模型一样,在得到参数的最小二乘法的估计值之后,也需要进行必要的检验与评价,以决定模型是否可以应用;1、拟合程度的测定;与一元线性回归中可决系数r2相对应,多元线性回归中也有多重可决系数r2,它是在因变量的总变化中,由回归方程解释的变动回归平方和所占的比重,R2越大,回归方各对样本数据点拟合的程度越强,所有自变量与因变量的关系越密切;计算公式为：其中,2.估计标准误差估计标准误差,即因变量y的实际值与回归方程求出的估计值之间的标准误差,估计标准误差越小,回归方程拟合程度越程;其中,k为多元线性回归方程中的自变量的个数;3.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验,即检验整个回归方程的显著性,或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切;能常采用F检验,F统计量的计算公式为：根据给定的显著水平a,自由度k,n-k-1查F分布表,得到相应的临界值Fa,若F > Fa,则回归方程具有显著意义,回归效果显著；F < Fa,则回归方程无显著意义,回归效果不显著;4.回归系数的显著性检验在一元线性回归中,回归系数显著性检验t检验与回归方程的显著性检验F检验是等价的,但在多元线性回归中,这个等价不成立;t检验是分别检验回归模型中各个回归系数是否具有显著性,以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素;检验时先计算统计量ti；然后根据给定的显著水平a,自由度n-k-1查t分布表,得临界值ta或ta / 2,t > t − a或ta / 2,则回归系数bi与0有显著关异,反之,则与0无显著差异;统计量t的计算公式为：其中,Cij是多元线性回归方程中求解回归系数矩阵的逆矩阵x'x − 1的主对角线上的第j 个元素;对二元线性回归而言,可用下列公式计算：其中,5.多重共线性判别若某个回归系数的t检验通不过,可能是这个系数相对应的自变量对因变量的影平不显著所致,此时,应从回归模型中剔除这个自变量,重新建立更为简单的回归模型或更换自变量;也可能是自变量之间有共线性所致,此时应设法降低共线性的影响;多重共线性是指在多元线性回归方程中,自变量之彰有较强的线性关系,这种关系若超过了因变量与自变量的线性关系,则回归模型的稳定性受到破坏,回归系数估计不准确;需要指出的是,在多元回归模型中,多重共线性的难以避免的,只要多重共线性不太严重就行了;判别多元线性回归方程是否存在严惩的多重共线性,可分别计算每两个自变量之间的可决系数r2,若r2 > R2或接近于R2,则应设法降低多重线性的影响;亦可计算自变量间的相关系数矩阵的特征值的条件数k = λ1 / λpλ1为最大特征值,λp为最小特征值,k<100,则不存在多重点共线性；若100≤k≤1000,则自变量间存在较强的多重共线性,若k>1000,则自变量间存在严重的多重共线性;降低多重共线性的办法主要是转换自变量的取值,如变绝对数为相对数或平均数,或者更换其他的自变量;检验当回归模型是根据动态数据建立的,则误差项e也是一个时间序列,若误差序列诸项之间相互独立,则误差序列各项之间没有相关关系,若误差序列之间存在密切的相关关系,则建立的回归模型就不能表述自变量与因变量之间的真实变动关系;检验就是误差序列的自相关检验;检验的方法与一元线性回归相同;。
第三章多元线性回归模型（stata）
第三章多元线性回归模型（stata）⼀、邹式检验（突变点检验、稳定性检验）1.突变点检验1985—2002年中国家⽤汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭⼈均可⽀配收⼊（t x ，元），数据见表。
表中国家⽤汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭⼈均可⽀配收⼊（t x ）数据年份 t y （万辆） t x （元）年份 t y （万辆） t x （元）1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 19932002下图是关于t y 和t x 的散点图：从上图可以看出，1996年是⼀个突变点，当城镇居民家庭⼈均可⽀配收⼊突破元之后，城镇居民家庭购买家⽤汽车的能⼒⼤⼤提⾼。
现在⽤邹突变点检验法检验1996年是不是⼀个突变点。
：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等HH：备择假设是两个⼦样本对应的回归参数不等。
1在1985—2002年样本范围内做回归。
在回归结果中作如下步骤(邹⽒检验)：1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest）⽤似然⽐作chow检验，chow检验的零假设：⽆结构变化，⼩概率发⽣结果变化* 估计前阶段模型* 估计后阶段模型* 整个区间上的估计结果保存为All* ⽤似然⽐检验检验结构没有发⽣变化的约束得到结果如下;(如何解释)2.稳定性检验（邹⽒稳定性检验）以表为例，在⽤1985—1999年数据建⽴的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加⼊样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。
* ⽤F-test作chow间断点检验检验模型稳定性* chow检验的零假设：⽆结构变化，⼩概率发⽣结果变化* 估计前阶段模型* 估计后阶段模型* 整个区间上的估计结果保存为All* ⽤F 检验检验结构没有发⽣变化的约束*计算和显⽰ F 检验统计量公式，零假设：⽆结构变化然后 dis f_test 则得到结果;* F 统计量的临界概率然后得到结果* F 统计量的临界值然后得到结果(如何解释)⼆、似然⽐（LR ）检验有中国国债发⾏总量（t DEBT ，亿元）模型如下：0123t t t t t DEBT GDP DEF REPAY u ββββ=++++其中t GDP 表⽰国内⽣产总值（百亿元），t DEF 表⽰年财政⾚字额（亿元），t REPAY 表⽰年还本付息额（亿元）。
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3
实验报告2：多元线性回归模型的估计和统计检验
实验实训报告课程名称：计量经济学实验开课学期：2011-2012学年第一学期开课系（部）: 经济开课实验（训）室：数量经济分析实验室学生姓名：专业班级：_____________________________学号：________________________________重庆工商大学融智学院教务处制实验题目实验概述【实验（训）目的及要求】目的：掌握多元线性回归模型的估计、检验。
要求：在老师指导下完成多元线性回归模型的建立、估计、统计检验，并得到正确的分析结果。
【实验（训）原理】当多元线性回归模型在满足线性模型古典假设的前提下，最小二乘估计结果具有无偏性、有效性等性质，在此基础上进一步对估计所得的模型进行经济意义检验及统计检验。
实验内容【实验（训）方案设计】1、创建工作文件和导入数据；2、完成变量的描述性统计；3、进行多元线性回归估计；4、统计检验：可决系数分析（R2）；（2）参数显著性分析（t检验）；（3）方程显著性分析（F检验）；5、进行变量非线性模型的线性化处理，并比较不同模型的拟合优度（因变量相同时）。
实验背景选择包括中央和地方税收的“国家财政收入”中的“各项税收”（简称“TAX）作为被解释变量，以反映国家税收的增长。
选择“国内生产总值（GDP ”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表（FIN）;选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表（PRIC），并将它们设为影响税收收入的解释变量。
建立中国税收的增长模型，并对已建立的模型进行检验。
【实验（训）过程】（实验（训）步骤、记录、数据、分析）1根据实验数据的相关信息建立Workfile ;在菜单中依次点击File\New\Workfile, 在出现的对话框"Workfile range ”中选择数据频率。
因为本例分析中国1978-2002年度的税收（Tax）与GDR财政支出（FIN）、商品零售物价指数（PRIC）之间关系，因此，在数据频率选项中选择“ Annual ”选项。
多元线性回归模型的统计检验
第三节 多元线性回归模型的统计检验
单击添加副标题
1、拟合优度检验（ R2检验） 2、方程的显著性检验（F检验） 3、变量的显著性检验（t检验）
一、拟合优度检验
R2越接近于1，模型的拟合效果越好。
问 题
如果在模型中增加一个解释变量，R2往往会增大（Why?）
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容易产生错觉：要使模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
单击此处添加小标题
但实际上，通过增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关。
单击此处添加小标题
R2度量模型拟合效果失真，R2需调整 。
单击此处添加小标题
调整的思路：将RSS与TSS分别除以各自的自由度。 因为，在样本容量一定的情况下，增加解释变量一方面可以减小残差，另一方面也使其自由度减少。
调整的R2小于R2； 调整的R2可以为负。
02
给定显著性水平，查表得到临界
03
值F(k , n-k-1)。
04
F检验的拒绝域
1-
01
F
02
F
03
f ((k , n-k-1)，拒绝H0，接受H1 ，模型在总体上存在显著的线性关系； 若F F (k , n-k-1)，接受H0 ，模型在总体上的线性关系不显著。
R2与调整的R2
二、方程的显著性检验（F检验）
即检验模型 中的参数j (j =1,……,k)是否显著不为0。
检验模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立。
提出原假设与备选假设： H0：1= 2 = = k=0 H1：j 不全为0 (j =1,……,k) 构造检验统计量并计算其值 F统计量
F检验的思想来自于TSS的分解： TSS = ESS + RSS 其中，ESS表示X对Y的线性作用结果。
多元线性回归模型的统计检验
我们所要进行的统计检验包括两个方面，一方面检验回归方程对样本数据的拟合程度，通过可决系数来分析；另一方面检验回归方程的显著性，通过假设检验对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断，包括对回归方程线性关系的检验和对回归系数显著性的检验。
一、拟合优度检验
Testing the Simulation Level
变量显著性检验即对回归系数的显著性进行检验，如果变量是显著的，那么回归系数应该显著地不为0。于是，在变量显著性检验中设计的原假设为：
H0：i=0
而备择假设为：
H1: i0
其中 的下角标i，在一元回归模型中取值1：
在二元回归模型中取值1、2。
可见，Ｆ与R2同向变化：当R2 ＝０时，Ｆ＝０；当R2=时，Ｆ为无穷大；R2越大，Ｆ值也越大。
因此，Ｆ检验是所估计回归总显著性的一个度量，也
是对
的一个显著性检验。即：
检验原假设
，等价于检验
Back
9、静夜四无邻，荒居旧业贫。。10、雨中黄叶树，灯下白头人。。11、以我独沈久，愧君相见频。。12、故人江海别，几度隔山川。。13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。14、他乡生白发，旧国见青山。。15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。16、行动出成果，工作出财富。。17、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。。9、没有失败，只有暂时停止成功！。10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。13、不知香积寺，数里入云峰。。14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。15、楚塞三湘接，荆门九派通。。。16、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。。17、空山新雨后，天气晚来秋。。9、杨柳散和风，青山澹吾虑。。10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。11、越是没有本领的就越加自命不凡。12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。16、业余生活要有意义，不要越轨。17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。
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Adjusted R-squared 0.994919 S.D. dependent var 372.6339
S.E. of regression
26.56264 Akaike info criterion 9.523012
Sum squared resid 13405.90 Schwarz criterion
GDPP
0.221359 0.060973 3.630462 0.0018
CONSP(-1)
0.451408 0.170318 2.650380 0.0158
C
120.7253 36.51374 3.306299 0.0037
R-squared
0.995403 Mean dependent var 928.4909
实现。
问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了 模型最好地拟合了样本观察值，为什么还要检验 拟合程度？
2、总体平方和、回归平方和、残差平方和定义
TSS (YiY)2总体平方和(Total Sum of Squares) ESS (Y ˆi Y)2回归平方和(Explained Sum of Squares) RSS (Yi Y ˆi)2残差平方和(Residual Sum of Squares)
可决系数r2
r2 ESS 1RSS TSS TSS
r2越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题： 如果在模型中增加一个解释变量， r2往往增大(?) 是否越多的解释变量，模型拟合的越好？
在消费模型中，Eviews软件估计结果
Dependent Variable: CONSP
Method: Least Squares
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
Prob. 0.0000 0.0000 905.3304 380.6334 9.929800 10.02854 9.954632 0.550636
§2.4 多元线性回归模型的 统计检验和区间估计
Statistical Test and Interval Estimation of
Multiple Linear Regression Model
拟合优度检验 AIC和SC准则 方程的显著性检验（F 检验） 变量的显著性检验（t 检验） 参数估计量的区间估计 预测值的区间估计 受约束回归 参数稳定性检验
问题：既然RSS反映了样本观测值与估计值偏 离的大小，可否直接用它来作为拟合优度检验 的统计量？ 统计量必须是相对量。
TSS、ESS、RSS之间的关系 TSS=ESS+RSS
3、一个有趣的现象：
Y i YY i Y ˆY ˆi Y
Y i Y2=Y i Y ˆ2Y ˆi Y2
Sum squared resid 23237.06
Log likelihood
-112.1927
F-statistic
2859.544
Prob(F-statistic)
0.000000
Std. Error t-Statistic 0.007222 53.47471 14.88402 13.51241
在消费模型中，Eviews软件估计结果
Dependent Variable: CONSP
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1979 2000
Included observations: 22 after adjustments
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Sample: 1978 2000
Included observations: 23
Variable
Coefficient
GDPP
0.386180
C
201.1189
R-squared
0.992710
Adjusted R-squared 0.992363
S.E. of regression
33.26450
9.671791
Log likelihood
-101.7531 Hannan-Quinn criter. 9.558060
F-statistic
2056.887 Durbin-Watson stat
1.278902
Prob(F-statistic)
0.000000
调整后的可决系数R2
R2 1RSS nk1 TSS n1
2 Y i Y
Y i Y ˆ i2
Y ˆ i Y 2
关键是在于TSS=ESS+RSS推导过程中用到 的一组矩条件：
X jiY i Y ˆ 0 j 0 ,1 ,...,k
矩条件在大样本下成立，只有一个样本时肯 定不成立，在样本足够大时近似成立。
4、拟合优度检验统计量:可决系数r2和调整后的 可决系数R2
问题：
• 为什么以R2作为检验统计量避免了片面增加 解释变量的问题？
• R2多大才算通过拟合优度检验？
• 注意“伪回归”(spurious regression problem) 问题。
二、AIC、SC准则 (Akaike information criterion, AIC Schwarz criterion, SC)
说明
由计量经济模型的数理统计理论要求的
以多元线性模型为例
包括拟合优度检验、总体显著性检验、变量显 著性检验、偏回归系数约束检验、模型对时间 的稳定性检验、参数估计量的区间估计、预测 值的区间估计、受约束回归。
一、拟合优度检验 (Testing of Simulation Level)
1、概念 检验模型对样本观测值的拟合程度 通过构造一个可以表征拟合程度的统计量来
AIC ln ei2 2(k 1)
n
n
SC ln ei2 k ln n nn
AIC、SC准则要求：在模型中增加解释变量的条件 是能够减少AIC值或SC值。
在消费模型中, 用AIC、SC准则判断是否新增解释变量
Dependent Variable: CONSP