求中心天体的质量与密度

求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度

1.加速度: 表面上

Mm GM

G

R 2 mg

得

g

= R 2

非表面

万有引力与航天）

基础知识：

一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星

G

丰

R h

a = GM ~ 2 R h

2

Mm mv G

r r

v2

G M m=mr2

r ■ 2r 3

半

径）

Mm

G*mr（〒）（2

二）

2r3

T2G

（已知线速度与

半

（已知角线速度

与

（已知周期与半

径）

—（已知周期）

如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周 期的平方即：片=詈是一个常量，与任何因数都 无关。

三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引

总结：

M

左

G

角速度三个

中，只

「、频率f 、

转

中，频任意组苔 會物理量

理量。

：、研究对象：绕中心天体表面运行的行 星

-Mm mv 2

（已知线速度

与

半径）

G =mR R

3

R

M

二

G

（已知角线速度

与

半径）

P=— 4nG

（已知角速度） 2~ Mm - mR （） 2

G

F=mR （〒）

M 2『R

3

T 2

G

（已知周期与半

径）

力等于重力

R+

Mm

(R h)2

=mg

2

g(R h)

G

（已知某高

度

处的重力加速度与距离）

四、研究对象：地球表面的物

体，

万有引力等于重力

Mm

R2

二

mg

gR2

G

体表面的重力加速度与半径）

P =

（已知中心

天

3g

训练题（真题）

1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方

向抛出一小球，经过时间t,小球落在星球表■■面，测得抛出点与落地点之间的距离为L,若；a b 抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地地c 点间的距离为3 L,已知两落地点在同一水平图

面上，该星球的半径为R，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度p.

［解析］此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度.

根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为

y =£gt2

设初始平抛小球的初速度为V,则水平位移

为X=vt.有(1gt2)2 (vt)^L2①

2

当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt.所以有罰2)2 (2vt)2=(、3L)2②

在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G学③

R

联立以上三个方程解得M二弓里

3Gt

而天体的体积为V=4「R3，由密度公式得

3

天体的密度为。

2某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N,把此物体放在航天器中，若航天器以加速度-g（g为地球表面的重力加速度）垂直地面

上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N，忽略地球自转的影响，已知地球半径R，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时，重力为mg -160N①

根据万有引力定律，在地面附近有mg二響②

R

在距地面某一高度h时，由牛顿定律得Fz-mg=ma③

根据万有引力定律，得mg=洛需④ ①②③④式并代

入数据解得h = 3R。

1、已知地球的半径为R，地面的重力加速度为

g,引力常量为G。可求得地球的平均密度p

—O

答案3g/4n GR

【解析】由mg=G曙和P = M s M得P

-n：R

3

3g

4GR

1 •根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量

2

由mg=G^得皿=詈.（式中M g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径•）

2 •根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

2 2

小Mm v 24

G—2 m mr mr—2~

r r T

若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度•或线速度v,可求得中心天体的质量

2 rv

GT

1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（）

A. 地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r

B. 月球绕地球运行的周期T和地球的半径r

C. 月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D. 月球绕地球运动的周期T和轨道半径r

［解析］解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径.已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A项不对.已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B项不对•已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G^^m=mr2可以求出中心天体地球的质量，所以C r 丿

2

项正确.由G啤w笃求得地球质量为

r T

42r3 -GT2，