集训队第一部分答案

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苏联中学生数学奥林匹克集训队试题及其解答(1984—1992)

苏联中学生数学奥林匹克集训队试题及其解答(1984—1992)《苏联中学生数学奥林匹克集训队试题及其解答（1984—1992）》是一本收录了苏联时期中学生数学奥林匹克竞赛试题及其解答的书籍。

其中，1984-1991年称为全苏联数学奥林匹克集训队，1992年苏联已经解体，故称为跨共和国数学奥林匹克集训队。

这本书包含了第1-330题的详细解答。

需要注意的是，这本书并非官方出版物，而是由民间爱好者整理汇编的资料。

以下是部分试题的示例：1. （1984年第1题）设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1。

求f'(x)，并求f'(x)的零点。

答案：f'(x) = 6x^2 - 6x + 1。

f'(x)的零点为x = 1/2。

2. （1985年第2题）设a、b、c是等差数列的三项，a、b、c、d是等比数列的四项。

已知a + b + c = 12，a * b * c = 24，求d的值。

答案：由等差数列性质，a + c = 2b。

由等比数列性质，b^2 = ac。

联立这两个方程，可以解得a = 4，b = 4，c = 4。

因此，d = 4。

3. （1986年第3题）设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B在x 轴上，点C在y轴上。

求△ABC面积的最大值。

答案：设点B的坐标为(x, 0)，点C的坐标为(0, y)。

则△ABC的面积S = 1/2 * |x * 3 - 2 * y|。

为使S最大，需要使x * 3 - 2 * y最大。

当x = 2，y = 3时，S取得最大值，最大值为6。

物理奥林匹克国家集训队资料汇编

奥赛集训试题1. 两个质量均为m 的实心小球半径1r ，2r 分别置于一Rt ∆状的斜面两侧斜面质量M 一角030放在光滑水平面上。

斜面与两小球摩擦系数均为μ；求使两球纯滚的μ的最小值。

2. 一匀质正方体箱，质量2m ，边长b ，仅AB 脚与地面接触正中央有一匀质圆盘，质量m与桌面接触，摩擦系数大，图示地面比较奇特；P 前光滑P 后摩擦系数μ开始时桌与盘同以0v 驶入粗糙区。

3. 无限长载流直导线通以电流I 现一矩形线框，长1l 宽2l 框与导线处于同以竖直面内，长于线平行，将框在靠近导线处静止释放，已知线框电阻R 。

质量m ，重力加速度g 。

1. 写出其动力学方程2. 若运动过程中加速度有极小值，求位速关系。

4.三质点质量分别为m ，M ，m 限制在半径R 轨道上（光滑）用厚长为0，劲度系数为r 1k 的弹簧把m 和M 相连。

从左至右，将质点偏离平衡位置角1θ，2θ，3θ做为广义坐标（质点可相互穿过） 1.写出体系的动能，势能 2.写出体系的lagrange 量 3.写出体系的lagrange 方程5.长2a 的云之感限制在竖直xoy 面，x ，y 轴光滑0l =，θ=α解除限制，杆自由运动。

1.杆未离y 轴时角速度6、光子气的势，力学，已知斯特藩常数σ（1）推导光子气的准静态过程中，T ，V 满足关系，光子气在大热源00,()T T T T >以卡诺循环工作，求热机效率（不可直用热二）（2）体积0V 光子气极短时间内绝热自由膨胀成08V 的瞬间非平衡态，等体绝热条件下，经一段时间成平衡态。

求瞬间非平衡态与初态光子数之比1r ，平衡态与初态光子数之比2r 。

（3）初态0T 0V 经过Q du =β的准静态过程达08V 末态（3.1）末态T（3.2）吸热量Q 和熵变S ∆ （3.3）2β=时求Q ，S ∆7、绝热大气1r r T P const -=在均匀重力场中处于流体平衡mg dp pdz kt =-（0z =时，0p ε=）（1）在z 处: 1()p k z ε=ε平动，求1max z z ，当75r =时为多少？（2）在z 处：2()p P z ε=ε求2maxz z ，当75r =时为多少？8.首54010⨯个分子，分子只有3离散的能级，其能量和角动量分别为02ε，0ε，0，2，1，0光子角动量为1，初：02ε，0ε，0能级52010⨯个，51610⨯个，5410⨯个外界条件不变时平衡服从Boltzman 分布，80RTn n e-=（1）定量计算有无分子光谱的发射谱，吸收谱（2）强度比为多少？9.第一类超导体，具零电阻和完全抗磁性，在同一温度T 下，具临界磁场与电流。

数学集训队预科班每周习题(1)参考答案精编版

2013秋季数学集训队预科班每周习题(1)（参考答案）
星期一
1.数一数，画一画。

(用○表示每种物体的个数，画在下面的横线上)
○○ ○○○○
○○○ ○○○○○○
○○○○○○○ ○○○○○○○○
2.把数量相同的图形用线连起来。

3.你会画什么,就在右边的方框里画上什么,数量和左边同样多。

（数量是5的任何图形）
1.看数画△。

2 △△ 5 △△△△△
8 △△△△△△△△ 3 △△△
2.再画几个○,使○的个数与左边的数同样多。

⑴ 6 ○○ ○○○○ ⑵ 9 ○○○○ ○○○○○
3.把多余的划去,不够的补上，使方框里的图形个数与下面的数一样多。

星期三
1.连线：把物体的个数与正确的数相连。

2.请在横线上画出与☆同样多的△。

3.数一数，每种图形各有多少个？
○○☆△☆□○△□□△☆□□□○○○○
○有 7 个，△有 3 个，□有 6 个，☆有 3 个。

1.看数继续涂色。

6 8
2.把正方形右边的1个○涂黑，再把正方形左边的2个○涂黑。

3.给下面数量少的图形涂色。

★★★★★★ ❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀
○○○○○○○ ▲▲▲▲▲
星期五
1.看数,将图中缺少的图形补齐。

2、有5个小朋友分星星，每个小朋友分到2颗。

那么哪一堆星星比较合适，在下面的（）里打“√”。

（）（ √ ）（）
3.数一数，圈一圈。

小明和小朋友们一起吃饭。

吃饭前筷子散放在桌上，那么最多有 5 个小朋友吃饭。

2014年六年级杯赛赛前集训和答案

六年级赛前集训（一）1. 计算403572015715107⨯++⨯+⨯ 的结果为多少？2. 五年级进行数学竞赛，一班占参加比赛总人数的31，二班与三班参加比赛人数比为11 ：13。

已知二班比三班少8人。

五年级一共有多少人参加比赛？3. 图中,o 为圆心,oc 垂直于ab,三角形abc 的面积为45平方厘米,求阴影部分的面积。

4. 李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内，已知东院内养的鸡有40只；现在把西院养的鸡数的1/4卖给商店，1/3卖给工厂，再把剩下的鸡和东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院总数的50%。

原来东、西两院一共养多少只鸡？5. 某小学共有697人，已知低年级人数的1/2等于中年级学生数的2/5，低年级学生数的1/3等于高年级学生数的2/7，该校高年级有学生______人? 低、中年级各有学生多少人?6. 甲乙两车分别从ab两地出发相向而行.出发时,甲乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%，这样，当甲到达b地时，乙离a地还有10千米。

那么ab两地相距多少千米？7.右图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。

（取3.14）8. 右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．9. 将1～3000的整数按照右表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于(1)1997 (2)2160 (3)2142能否办到？若办不到，简单说明理由．若办得到，写出正方框里的最大数和最小数．10. 甲、乙两只电动老鼠爬杆，甲鼠的爬杆高4米，乙鼠的爬杆高4.5米。

如果甲乙两鼠同时从爬杆的下端开始往上爬，其爬行的速度之比是4:3，甲鼠爬到另一端立刻下降，下降的速度是上升速度的3倍，问当甲鼠下降与乙鼠上升到同一时，乙鼠上了多少米？11. 甲乙丙三人去旅游，甲负责买车票，乙负责买食品，丙负责买饮料，结果乙花的钱是甲的9/10, 丙花的钱是乙的2/3.根据费用均摊的原则,丙又拿出35元还给甲和乙.问:甲乙分别应得多少元?12. 小明参加了一项竞赛有100道题，比赛规则是每做对一题加3分，答错一道题扣1分，如果进行下一轮比赛的资格分数是100分，问小明至少要答对多少道题？13. 租用仓库堆放3吨货物,每月租金7000元,这些货物原计划要销售3个月,由于降低了价格,结果2个月就销售完了,由于节省了租仓库的租金,所以结算下来,反而比计划多赚了1000元.请你算一算,每千克货物价格降低了多少元?14. 铁路旁有一条平行小路，一行人与一骑车人同时从A城出发沿铁路旁前行，行人速度为7.2千米/小时，骑车人速度为18千米/小时。

IOI2021国家集训队作业总结部分题解

IOI2021国家集训队作业总结部分题解前⾔（写题解鸽了）下⽂中会对作业的每道题⽬做个⼈评价。

尽量客观，但难免有主观意愿，如有异议可友好讨论。

评价的符号表达：E 表⽰不在作业中或质量较低的题⽬，⼀般只有很⽆聊的模拟或阅读或板⼦会质量较低，这部分题⽬⼀定不会写题解；H 表⽰质量中等的题⽬，⼀般是知识不难、算法思考的弯路较少、坑点也很少的题，这部分⼀些有点意思的可能会写题解；C 表⽰较⾼质量的题⽬，算法难度（包括证明）、代码难度、⼤坑点、命题创意都可以体现⾼质量，⼤部分会写题解。

G 表⽰质量极⾼的题⽬，⼀般是我被坑了很久或者卡了很久或者完全不会（可能现在都不怎么会）或者印象特别深刻的题⽬，这部分⼀定会写题解。

Easy Hard Chaos Glitch因为是集训队作业所以质量⼤部分和难度相关，但很有趣的清新题的质量也会标的⽐较⾼。

更新⽇志2020.11.24：DJ,ED,MB,SI,UI2020.11.20：加了 EI 的 BB 证明；EC,EJ,LD,LE2020.11.16：BB,CJ,DA,DH,ME2020.11.13：FC,FF,KE,JG2020.11.12：AJ,AL,BK,CH,HI,KD,TEA.WF2014编号A B C D E F G H I J K L评价C C H E C H C C C G H G***J. Skiing按照 $y$ 坐标从⼩到⼤排序。

有⼀个显然的 dp：设 $f_{i,j}$ 表⽰从 $i$ 开始以初速度为 $j$ 滑最多能滑多少个点。

但是其状态⾁眼可见的多。

注意到对于 $f_{i,j}$ 中相邻且值相等的 $j$ 可以合并成⼀个区间⼀起转移。

故可以将 $f_i$ 的所有状态看成若⼲个三元组 $(l,r,t)$表⽰速度在 $[l,r]$ 内答案为 $t$。

有⼀个结论是对于确定的 $i$，$f_i$ 构成的三元组个数是 $O(n)$ 的，但我找了 wyp 和 slz，后⾯⼜通过⽞秘⽅式找了 WF2014 的直播和 bmerry 的博客，都没有找到这个结论的证明。

六年级集训队第一次随课测验(答案)

A D
E
H G
B
F
C
I
【答案】
7 60
6. 某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时 81 分钟，所注入的水量等于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水 49 分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水管还需要一起注水分钟，方能将水池注满． 2 1 1 【分析】 9 18 6 假设两个水管同时注水需要 x 分钟注入
5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ， E 、 F 分别为 AB 、 BC 上的中点，则四边形 EBGH 的 . 面积是
A D
E
H G
B
F
C
【分析】延长 AF 交 CD 的延长线于 I，则 IF FD ,进一步可得： DH : HE DI : AE 4 :1 , DG : GB DI : AB 2 :1 , DH DG 4 2 8 S DHG : S DEB DE DB 5 3 15 8 8 1 1 2 则 S DHG S DEB ( ) 15 15 2 2 15 1 2 7 则四边形 EBGH 的面积为 SBDE S HDG 4 15 60
直线走，则猫最少需要
步才能保证抓住老鼠．
【分析】如下图，采用黑白相隔染色后不难发现：图中除了线段 AB 外，其余各条线段的两个端点都被染成黑白两种颜色，一开始的时候猫和老鼠都在白色，如果两只动物都在黑白点之间交替走动的话，猫永远抓不到老鼠。所以猫一开始时必须采取的策略是经过三角形 ABC，这样当猫走了 3 步重新回到 C 点（白点）时，老鼠下一步必将进入黑点，此时老鼠只能走到 D 点或 F 点（否则它下一步就会被猫抓住），这时猫第四步只需走入 G 点，那么接下来就能在两步之内抓住老鼠，因此在这种最佳策略下猫只需走 6 步就能抓住老鼠。 E

中国数学集训队试题答案

中国数学集训队试题答案一、选择题1. 在等差数列中，首项为3，公差为5，第10项的数值是多少？A. 53B. 58C. 63D. 68答案：C2. 若复数z满足|z - 2| = |z + 2|，则z在复平面上对应的点位于哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第四象限D. 坐标轴上答案：D3. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(2)的值。

A. -2B. 0C. 4D. 6答案：C4. 一个圆的周长为12π，那么这个圆的面积是多少？A. 36πB. 24πC. 12πD. 6π答案：A5. 一个正方体的体积为64立方厘米，那么它的表面积是多少？A. 64平方厘米B. 96平方厘米C. 128平方厘米D. 192平方厘米答案：B二、填空题1. 若一个等比数列的前三项分别为2，6，18，则该数列的第5项为_______。

答案：542. 已知一个圆的半径为r，那么这个圆的切线与半径相交所形成的三角形的面积与圆的面积之比为_______。

答案：1/(2πr^2)3. 若一个二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, 2)，则a +b +c = _______。

答案：14. 一个等差数列的前n项和为S_n，已知S_5 = 35，S_7 = 70，则S_8 - S_5 = _______。

答案：355. 一个圆的直径为10cm，求该圆的周长和面积（取π = 3.14）。

周长：_______，面积：_______。

答案：周长：31.4cm，面积：78.5平方厘米三、解答题1. 已知一个等差数列的前三项和为9，公差为2，求该数列的前五项。

解：设等差数列的第一项为a，则前三项分别为a，a+2，a+4。

根据题意，有：a + (a + 2) + (a + 4) = 93a + 6 = 93a = 3a = 1所以该等差数列的前五项为：1, 3, 5, 7, 9。

2015华杯金牌种子集训营试卷答案(1-5)

一、填空题（每小题10分，共80分）1.【答案】1232.【答案】53.【答案】62.54.【答案】4955.【答案】46.【答案】53297.【答案】5588.【答案】33二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.【答案】9010.【答案】822和52811.【答案】不能12.【答案】60三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13.【答案】714.【答案】29一、填空题（每小题10分，共80分）1、【答案】2572、【答案】113、【答案】704、【答案】25205、【答案】11 12．6、【答案】487、【答案】258、【答案】7二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、【答案】9，例：3、5、9、2、14、3810、【答案】811、【答案】113412、【答案】乙（后取者）有必胜策略三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13、【答案】40%．14、【答案】178一、填空题（每小题10分，共80分）1.【答案】142. 【答案】303.【答案】344.【答案】5 25.【答案】32．6.【答案】2015．7.【答案】38．8.【答案】42．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.【答案】7．10.【答案】4:9．11.【答案】四个角．12.【答案】84 ．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13.【答案】364．14.【答案】45．一、填空题（每小题10分，共80分）1、【答案】1007 10042、【答案】33、【答案】114、【答案】80015、【答案】5 3 86、【答案】97、【答案】158、【答案】3.75厘米二、解析下列各题（每题10分，共40分）9、【答案】1:310、【答案】132111、【答案】412、【答案】60三、解析下列各题（每小题15分，共30分）13、【答案】16．14、【答案】（1）86；（2）5一、填空题（每小题10分，共80分） 1. 【答案】22. 【答案】53. 【答案】654. 【答案】此题为错题，作废，可都加上10分5. 【答案】246. 【答案】50350220117. 【答案】508. 【答案】7二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9. 【答案】不能10. 【答案】1:611. 【答案】10012. 【答案】0三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13. 【答案】201414. 【答案】1389。

集训队第一部分答案

A
1
3
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
B
C
2
4
6
8
【分析与解】因为由小号房间进入到相邻的大号房间；所以到大号房间的通路数等于与其相邻的小号房间的通路数；
A\1 1\1 3\1 5\1 7\5
B\1
2\2
4\3
6\4
8\10 C\10
如图所示，由标数法，有共有10 条通路。
【第12题】在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以 2 ；如果输入的是奇数，就把它加上 3 ；对产生的数继续进行同样的运算。这样进行了 3 次，得出结果是 27 。原来输入的数可能是 ________ 。
【第4题】某人工作一年的报酬是18000 元和一台全自动洗衣机。他干了 7 个月，得到 9500 元和一台全自动洗衣机。这台洗衣机价值 ________ 元。
【分析与解】
这个人每个月的报酬是 18000 9500 12 7 1700 元；
这台洗衣机价值1700 12 18000 2400 或1700 7 9500 2400 元。
【分析与解】如果是奇数，逆推只能乘以 2 ；如果是偶数，逆推可以乘以 2 ，也能减去 3 ； ① 27 2 54 ， 54 2 108 ，108 2 216 ； ② 27 2 54 ， 54 2 108 ，108 3 105 ； ③ 27 2 54 ， 54 3 51， 51 2 102 ；原来输入的数可能是 216 ，105 ，102 。
【分析与解】因为李明每分钟做 3 道题；所以李明 60 3 20 秒钟做1道题；所以李明 20 5 100 秒钟做 5 道题；因为张强每做 5 道题比李明少用 6 秒钟；所以张强100 6 94 秒钟做 5 道题；所以张强每道题用时 94 5 18.8 秒；所以张强做完100 道题需要18.8 100 1880 秒；所以李明1880 秒钟做1880 20 94 道题；即张强做完100 道题时，李明已做完 94 道题。

51届集训队训练题(陶平生讲稿)

由①、②以及 2a= n−1 an+1 − 3an ，有
a2n+1 =3a2n + 2a2n−1 =3[an2 + 2an−1(2an − 2an−1)] + 2[(an − 2an−1)2 + (2an−1)2 ]
= 3[an2 + (an+1 − 3an )(5an − an+1)] + 2[(4an − an+1)2 + (an+1 − 3an )2 ]
用以 α − β 为减数的一次变换来替代．（这是由于，从 ai < a 可得等式
=3[−an2+1 −14an2 + 8anan+1] + 2[2an2+1 + 25an2 −14anan+1]
=
a2 n+1
+ 8an2
− 4anan+1
=
பைடு நூலகம்
(an+1
− 2an )2
+ (2an )2
……③
a2n+2 = 3a2n+1 + 2a2n = 3[(an+1 − 2an )2 + (2an )2 ] + 2[an2 + 2an−1(2an − 2an−1)]
解：设
a(k) 1
,
a2(k
)
,,
an(k
)
是在对初始数列作了
k
次变换后所得的数列，而
α
k
是在作第
k
次
变换时所取的减数α 之值；
若取= a1
1 2

2018秋季数学集训三队C教材每周习题(1)参考答案

2018秋季数学集训三队C 教材每周习题(1)参考答案星期一1.观察下面各数列的变化，然后在括号内填入合适的数。

（1）1，5，9，13，17，（ 21 ），（ 25 ）（2）3，4，6，9，13，18，（ 24 ），（ 31 ），（ 39 ）（3）2，3，6，11，18，（ 27 ），（ 38 ）（4）7，14，21，28，（ 35 ），（ 42 ）2.按规律填数。

（1）2，3，5，9，17，（ 33 ），（ 65 ）（2）2，4，10，28，82，（ 244 ），（ 730 ）（3）94，46，22，10，（ 4 ），（ 1 ）（4）2，6，12，20，（ 30 ），（ 42 ）（5）1，2，4，8，16，（ 32 ），（ 64 ）（6）1，8，27，64，125，（ 216 ），343（7）1，9，2，8，3，（ 7 ），4，6，5，5星期二3.观察下列图形的变化规律，然后在横线上填入所缺的图形。

4.按顺序观察下列各图的变化，在横线上画出合适的图形。

5.在下图中空缺处，填上合适的数。

星期三6.观察下图中的变化规律，并在空格处填上适当的数。

（146528 2476073836 56940A B C D E1 2 3 48 7 6 59 10 11 1216 15 14 13… … … …（2）（3）星期四 7.有一列数组，它们按照一定的顺序排列：（2，3，1，5），（4，6，2，10），（6，9，3，15）……。

第20个数组内是四个数分别是多少？解：2×20＝40，3×20＝60，1×20＝20，5×20＝100，即第20个数组（40，60，20，100）。

答：第20个数组内是四个数分别是40，60，20，100。

8.有一列数，按如下规律依次排列：2，0，1，0，2，0，1，0，……。

这列数的第2010个数是多少？解：2010÷4＝502（组）……2（个）→ 0答：这列数的第2010个数是0。

2023中国国家数学集训队测试题解答

2023中国国家数学集训队测试题解答今年的数学集训队测试题涉及到了许多重要的数学知识和技巧，下面我将为您详细解答每道题目。

1. 题目一：已知函数$f(x)$满足$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=x$，求$f(2)$的值。

解答：将$x=2$代入方程，得到$f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2$。

同时，将$x=\frac{1}{2}$代入方程，得到$f\left(\frac{1}{2}\right)+f(2)=\frac{1}{2}$。

将两个方程联立解得$f(2)=\frac{3}{4}$。

2. 题目二：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n-1$，求$a_n$的表达式。

解答：观察数列前几项，发现$a_2=3$，$a_3=5$，$a_4=9$，$a_5=17$，$a_6=33$，$a_7=65$，可以猜测$a_n=2^n-1$。

可以通过数学归纳法证明，当$n=1$时，$a_1=2=2^1-1$，当$n=k$时，$a_k=2^k-1$，则当$n=k+1$时，$a_{k+1}=2a_k-1=2(2^k-1)-1=2^{k+1}-2-1=2^{k+1}-1$，证明完毕。

3. 题目三：已知函数$y=\frac{2x^2-1}{x^2-2x-1}$，求$y$的最大值。

解答：将$y$展开为$y=2-\frac{3}{x^2-2x-1}$，可以看出$y$的取值与$\frac{1}{x^2-2x-1}$有关。

观察函数$y$在定义域内的变化，发现$y$在$(-\infty,-1)\cup(1,2)$上是递增的，在$(-1,1)\cup(2,+\infty)$上是递减的。

由此可知$y$的最大值为$2$。

4. 题目四：设$P$是$2$次多项式，$P(x)+1$能被$x^2-x$整除，$P(x)-1$能被$x^2+x$整除，$P(2)=1$，$P(4)=-1$，求$P(x)$的表达式。

09年中国奥数国家集训队训练题(一)

2009年中国数学奥林匹克国家集训队协作体练习题（一）答案1、已知非负实数x ，y ，z 满足41332222=+++++z y x z y x ①，求z y x ++的最大值与最小值．解：由①式及均值不等式，得427()22223121⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z y x ()2331+++≥z y x ， ∴23≤++z y x ，当且仅当1=x ，21=y ，0=z 时等号成立故z y x ++的最大值为23．由于z y x ++的最大值是在“中值”，即23121+=+=+z y x 时取得，故可猜测其最小值应在“边值”，即0==y x ，2322-=z 时取得，下面利用局部调整法求解．固定z ，并记()A z y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+22223427121（常数），则 ()12121212+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+++y x A y x ．将x ，y 调整为0，y x +因为有()()121021212++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x∴调整后，2121⎪⎭⎫⎝⎛+++y x 不增，即y x +不增于是，可令0=x ，则由①式可得()42623122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++z y ．类似地，再将y ，z 调整为0，z y +，仍可得z y +也不增．故当0==y x ，2322-=z 时，z y x ++取得最小值2322-．另解：当0==y x ，2322-=z 时，2322-=++z y x又由x ，y ，z 0≥及①式，可得()()z y x z y x +++++32()yx zx yz xy z y x z y x ++++++++++=223222241332222=+++++≥z y x z y x ，即()()41332≥+++++z y x z y x解得2223+-≥++z y x 或2223--≤++z y x （舍去）综上所述，z y x ++的最小值为2322-．2、设常数N n ∈，2≥n ，求最大的实数λ，使不等式()n n n a a a a a 21212++++≥- λ ①对所有正整数n a a a <<< 21成立．解：（先猜后证）当i a i =()n i ≤≤1时，由①式可得142--≤n n λ．下面证明()n n n a a a a n n a 21421212++++--≥- ②对所有正整数n a a a <<< 21成立．由整数的疏密性，知()k n a a n k --≤，n k ≤≤1，所以()[]∑∑-=-=----≤--1111142142n k kn k kk n an n an n()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=211142n n a n n n n()()242---=n n a n n()()22141++----=n n n a a a n()()2211-+---≤n n n a a a （∵1+<≤n n a a n ）n n a a 22-=此即②式．综上所述，142max --=n n λ．3、设1a ，2a ，…，6a ；1b ，2b ，…，6b ；1c ，2c ，…，6c 都是1，2，3，4，5，6的排列，求∑=61i i i i c b a 的最小值．解：记∑==61i ii ic b aS ，则6616i i i i c b a S =∏⋅≥=()63!66⋅==!66=572=160>．下面证明：161>S ．注意到222111,,c b a c b a 这6个数的几何平均值为512，且2751226<<．所以这6个数中必有一个不小于27，也必有一个不大于26.又1，2，3，4，5，6中任三个数（允许重复）之积都不等于26. ∴其中的不大于26的数必不大于25. 不妨设27111≥c b a ，25222≤c b a ，则()()()66655544433322211122221112c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a S +++++-=()66655544433322211122222527c b a c b a c b a c b a c b a c b a +++-≥()661232533i i i i c b a =∏⋅⨯+-≥()5725332+-=33057252-+=161>故由整数的疏密性，知162≥S ．另一方面，当()()6,5,4,3,2,1,61=a a ，()()2,1,6,3,4,5,61=b b ，()()2,6,1,3,4,5,61=c c 时，162=S ．故162min =S ．4、给定正整数3>k ，记集合{}是非负整数、、z y x z y x S k k k ++=，将集合S 中的数从小到大排列，得到一个数列{}n a ，即有<<<<<=+1210n n a a a a ．求证：31118⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-k n k n n aa a ， ,5,4,3=n ．分析：要适当处理数列中的项与k k k z y x ++之间的关系．——利用x 、y 、z的存在性得到．证明：对于01>+n a ，N x ∈∃，使()kn k x a x 11+≤<+． ①对于01>-+k n x a ，N y ∈∃，使()kk n k y x a y 11+≤-<+．②对于01>--+k k n y x a ，N z ∈∃，使()kk k n k z y x a z 11+≤--<+． ③即N z y x ∈∃,,，使()kk k n k k k z y x a z y x 11+++≤<+++．再由数列的定义，知k k k n z y x a ++≥． ∴()k kn n z z a a -+≤-+11．且由①、②、③知，()k kk y y z -+<1，()k kk x x y -+<1．又3≥n ，∴21≥+n a ．于是由①知1≥x ．∴()()kk k k k k k k kx C C C x x x 211211⋅<+++≤-+-- ．当1≥y 且1≥z 时，同理有()kk kkyyy 211⋅≤-+-，()k k k kz z z 211⋅≤-+-∴k k k y z 21⋅<-，k k k x y 21⋅<-． ∴n n a a -+1()()kkk kk kk kkyzz z 2221111⋅⋅<⋅<-+≤---()()()kk k k k kk kk k k xy 222221111111111⋅⋅⋅<⋅⋅=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛--()kk kk k k x2221121112⋅⋅⋅=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--()211132⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅<k k kx ．且当0=y 或0=z 时，上式也成立，故()2111312⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅<-k k kn n xa a ．又由k k k k n x z y x a ≥++≥， ∴31118⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅<-k n k n n aa a ．5、设k 为正整数，Z A ⊆，若存在Z x x x k ∈,,,21 ，使得对j i ≠∀，有()()φ=++A x A x j i，则称A 为一个k 集，其中{}A a a x A x ∈+=+．证明：若t A A A ,,,21 分别为t k k k ,,,21 集，且Z A A A t = 21，则111121≥+++tk k k ．证明：定义()∑≥∈=,αααA A xx P ，这里10<<x ．由Z A A A t = 21，知()xx x x P ti A i -=+++≥∑=11121①对每一个i A ，由于i A 是i k 集，所以存在整数ik i i i S S S ,,,21，使得()()φ=++i i i i A S A Sv u，v u =∀ ○*不妨设0≥wi S （i k w ≤≤1），则由○*知()()ik iiii S S S A xxxx P +++⋅ 21展开式中的项两两不同，从而()()xxx xxxx P ik iiii S S S A -=+++≤+++⋅111221②由①、②得11121≥+++∑=ti S S S ik iiixxx③在③式中，让+→1x ，则有111≥∑=ti ik．2009年中国数学奥林匹克国家集训队协作体练习题（四）1、已知非负实数x ，y ，z 满足41332222=+++++z y x z y x ①，求z y x ++的最大值与最小值．2、设常数N n ∈，2≥n ，求最大的实数λ，使不等式()n n n a a a a a 21212++++≥- λ ①对所有正整数n a a a <<< 21成立．3、设1a ，2a ，…，6a ；1b ，2b ，…，6b ；1c ，2c ，…，6c 都是1，2，3，4，5，6的排列，求∑=61i i i i c b a 的最小值．4、给定正整数3>k ，记集合{}是非负整数、、z y x z y x S k k k ++=，将集合S 中的数从小到大排列，得到一个数列{}n a ，即有<<<<<=+1210n n a a a a ．求证：31118⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-k n k n n a a a ， ,5,4,3=n ．5、设k 为正整数，Z A ⊆，若存在Z x x x k ∈,,,21 ，使得对j i ≠∀，有()()φ=++A x A x j i，则称A 为一个k 集，其中{}A a a x A x ∈+=+．证明：若t A A A ,,,21 分别为t k k k ,,,21 集，且Z A A A t = 21，则111121≥+++tk k k ．。

2023年中国数学奥林匹克国家集训队第一次测试试题

2023年中国国家集训队选拔2023年中国国家集训队测试一第一天1.设整数n≥2，A1A2···A2n是圆内接凸2n边形.已知形内存在一点P，满足∠P A1A2=∠P A2A3=···=∠P A2n A1.求证：ni=1|A2i−1A2i|=n i=1|A2i A2i+1|其中A2n+1=A1.2.某次聚会有n个人参加.已知其中共有不超过n对朋友，且两人握手当且仅当他们有公共朋友.设整数m≥3，且满足n≤m3.求证：存在一个人A，A握过手的人数不超过A的朋友数的m−1倍.3.（1）设a,b是互质的正整数.求证：存在实数λ,β，使得对任意正整数m，均有λm−β≤m−1k=1{ak m}·{bk m}≤λm+β.（2）求证：存在正整数N，使得对任意质数p>N，若正整数a,b,c满足p∤(a+b)(b+c)(c+a)，则至少存在[p12]个1≤k≤p−1，使得{ak p}+{bk p}+{ck p}≤1.12023年中国国家集训队测试一第二天4.对正整数m,n记S(m,n)={(a,b)∈N2+|1≤a≤m,1≤b≤n,gcd(a,b)=1}.求证：对任意正整数d,r，存在不小于d的整数m,n，使得|S(m,n)|≡r(mod d).5.设P1,···,P n是△ABC内的点，满足P1,···,P n,A,B,C中任意三点不共线.求证:可以将△ABC划分为2n+1个小三角形，使得每个小三角形的顶点都来√n+1个.自P1,···,P n,A,B,C，且含A,B,C中至少一个的小三角形不少于n+6.求证：（1）在复平面中，每条过原点的直线（实轴除外）上至多有一点z，使得1+z23是实数.z64（2）对任意非零复数a和任意实数θ，方程1+z23+az64=0在Sθ={z∈C|Re(ze−iθ≥|z|cosπ20)}中都有根.2。

2005年国家集训队选拔考试(一)解答(沈阳)

2005年国家集训队选拔考试（一）解答第一天3月31日上午8：20—12：20辽宁沈阳每题21分一、设圆O 的内接凸四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点为P ，过P 、B 两点的圆O 1与过P 、A 两点的圆O 2相交于两点P 和Q ，且圆O 1，圆O 2分别与圆O 相交于另一点E 、F 。

求证：直线PQ ，CE ，DF 共点或者互相平行。

证法一因为CDF CAF PAF PJF ∠=∠=∠=∠，所以PJ ∥CD 。

同理IP ∥CD ，所以I 、P 、J 三点共线。

又 -︒=∠180FDC F C D ︒=∠180-∠ECD=180°-∠EIJ 所以E 、F 、J 、I 四点共圆。

这样，由根心定理知，三个圆：⊙（IEFJ ），⊙O 1，⊙O 2两两的公共弦IE ，PQ ，JF 共点或者互相平行，即直线PQ 、CE 、DF 共点或互相平行。

证法二因为∠ECD=∠EBD=∠EBP=180°-∠PQE ，所以C 、E 、Q 、H 四点共圆。

同理H 、Q 、F 、D 四点共圆。

又C 、E 、F 、D 四点共圆，所以HQ 是⊙（CEQH ）和⊙（HQFD ）的根轴，CE 是⊙（CEQH ）和⊙O 的根轴，FD 是⊙（HQFD ）和⊙O 的根轴，由根心定理，PQ 、CE 、DF 三线共点。

证法三由根心定理，直线BE 、AF 、PQ 共点或者互相平行。

在圆内接六边形ACEBDF 中，直线AC 与直线BD 的交点为点P ，直线BE 与直线AF 的交点在直线PQ 上，直线CE 与直线DF 交点在直线PQ 上，所以由Pascal 定理知，直线CE 、FD 、PQ 共点或者互相平行。

证法四设直线PQ 交AB 于G ，连接QE ，QF ，则 ∠BEC=∠BAP ， ∠DFA=∠ABP ， ∠AFQ=∠APG ， ∠QEB=∠GPB 所以∠DFQ+∠QEC∠DFA+∠AFQ+∠QEB+∠BEC ∠ABP+∠APG+∠GPB+∠BAP 180°设直线CE ，DF 分别交圆O 1，圆O 2于另一点I ，J ，连接PI ，PJ 则 ∠IPG+∠GPJ=∠QEC+∠DFQ=180° 故I 、P 、J 三点共线。

集训入营考试题及答案大全

集训入营考试题及答案大全一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是正确的数学表达式？A. 2+3=5B. 3x+2=11C. 4/2=2D. 5-2=3答案：C2. 英语中，"Hello"的中文意思是什么？A. 再见B. 你好C. 晚安D. 谢谢答案：B3. 以下哪个国家不是G20成员国？A. 中国B. 美国C. 巴西D. 挪威答案：D4. 计算机中，1GB等于多少MB？A. 1024MBB. 1000MBC. 512MBD. 2000MB答案：A5. 以下哪个元素的化学符号是“Fe”？A. 铜B. 铁C. 锌D. 铅答案：B6. 地球的自转周期是多少小时？A. 24小时B. 12小时C. 48小时D. 72小时答案：A7. 以下哪个国家位于亚洲？A. 巴西B. 阿根廷C. 印度D. 南非答案：C8. 光速在真空中的速度是多少？A. 299,792,458米/秒B. 300,000,000米/秒C. 299,000,000米/秒D. 298,000,000米/秒答案：B9. 以下哪个是太阳系中的行星？A. 月球B. 火星C. 冥王星D. 小行星带答案：B10. 人体最大的器官是什么？A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤D. 肺答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 圆的面积公式是 ________。

答案：πr²2. 英语中，“book”的中文意思是 ________。

答案：书3. 牛顿第二定律的公式是 ________。

答案：F=ma4. 元素周期表中，氢的原子序数是 ________。

答案：15. 计算机中，1KB等于 ________ 字节。

答案：10246. 地球的公转周期是 ________ 天。

答案：3657. 国际象棋中，王的移动方式是每次 ________ 格。

答案：一8. 光年是长度单位，表示光在真空中一年内传播的距离，其数值是________ 米。

集训入门测试题及答案

集训入门测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 太阳从东边升起C. 月亮是地球的卫星D. 以上都是2. 计算下列表达式的值：$ 3 + 4 \times 2 $ 的结果是：A. 10B. 14C. 20D. 30二、填空题1. 请填写以下成语的下半部分：_________，后生可畏。

答案：老马识途2. 请写出化学元素周期表中，原子序数为26的元素名称。

答案：铁（Fe）三、简答题1. 请简述牛顿第三定律的内容。

答案：牛顿第三定律，又称作用与反作用定律，指的是当一个物体对另一个物体施加力时，另一个物体也会对第一个物体施加一个大小相等、方向相反的力。

2. 请解释什么是光合作用，并简述其过程。

答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌利用光能将水和二氧化碳转化为葡萄糖和氧气的过程。

主要过程包括光依赖反应和光合作用的暗反应（光合磷酸化），其中光依赖反应产生能量丰富的ATP和NADPH，而暗反应则利用这些能量和还原力将二氧化碳转化为有机物。

四、计算题1. 一个长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm和6cm，请计算其体积。

答案：长方体的体积计算公式为 V = 长× 宽× 高。

将给定的数值代入公式，得到V = 10cm × 8cm × 6cm = 480cm³。

2. 如果一个圆的半径是5cm，求其面积。

答案：圆的面积计算公式为A = πr²。

将半径 r = 5cm 代入公式，得到A = π × (5cm)² = 25π cm²。

五、论述题1. 论述互联网对现代社会的影响。

答案：互联网对现代社会的影响是深远和多方面的。

首先，它极大地促进了信息的流通和交流，使人们能够快速获取世界各地的新闻和知识。

其次，互联网改变了人们的工作方式，远程工作和在线协作成为可能。

再次，互联网也改变了人们的社交方式，社交媒体和即时通讯工具让人们即使身处不同地方也能保持联系。

2021数学国家集训队考试题(第一天)

令证明：
Xi,j = a1,j + · · · + ai−1,j + ai,j + ai,j−1 + · · · + ai,j, Yi,j = am,j + · · · + ai+1,j + ai,j + ai,j+1 + · · · + ai,n.
∏m ∏n
∏m ∏n
Xi,j ≥
Yi,j .
i=1 j=1
®´Leabharlann 3. 给定正整数 n. 证明：对任意整数 a1, a2, · · · , an，集合
1, 2,
···
,
n(n − 2
1)
中
至少有
⌈ n(n − 19
6) ⌉
个元素不能表示成
ai
−
aj
(1
≤
i, j
≤
n)
的形式.
这里，⌈x⌉
表示
不小于实数 x 的最小整数.
1
i=1 j=1
2. 给定正整数 n, k，n > k2 > 4.
试求最大的正整数 N ，使得可以选择 n × n 方格表中的 N 个方格，将它们分别染为若干种颜色之一，满足对于这 N 个方格中的任意 k 个，只要它们既不同行也不同列，就一定存在这 k 个方格中的两个同色，也一定存在这 k 个方格中的两个异色.
2021 中国数学国家集训队选拔考试· 第一次
试题来源于网络，由猿辅导老师翻译. 最终以官方公布为准
第一天
1. 给定正整数 m, n. 设非负实数 ai,j (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) 满足
ai,1 ≥ ai,2 ≥ · · · ≥ ai,n, a1,j ≥ a2,j ≥ · · · ≥ am,j, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.