数值传热学 西安交大 第五章
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2.紧凑定义
aE 1 P ,1 P , 0 e e De 2
5.3.3. 指数格式 含义：与一维模型方程的精确解相对应的离散方程构 成指数格式。 导出方法：将精确解表示成三点变量间的代数方程。 1.对流扩散总通量密度 定义 J u d 则一维模型方程为：
e w 1 1 ( u )e ( u)w [( u )e ( u ) w ] aE aW [( u )e ( u ) w ] 2 ( x)e 2 ( x) w W
aE
aW
D, 定义界面扩导 x
界面流量
F u
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22/46
FUD： aE De (1 Pe ,0) aW Dw (1 Pw ,0)
aW (i 1) aE (i ) 1 P ,0 (1 P ,0 ) D D P ,0 P ,0 P
所以
aE
与
aW
中只要一个函数的结构已知，另
一个即可据此关系而得。定义格式只要给定其中一个 系数的表示式即可,今后均定义东侧系数。 5.3.2 混合格式(hybrid scheme) 1.图解式定义
aE 以 P 为横坐标，以 为纵坐标 De
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Spalding提出（对u >0)：
aE De
0, P 2 1 1 P , P 2 2 P , P 2
8/46
uL x
特点分析 Pe＝0，纯扩散，直线分布 随Pe的增加，曲线不断下凸； 当Pe＝10时，大部分地区
0
当x接近于L时，才急剧上升 当x=L ，
L
9/46
上述变化趋势与Peclet数的物理意义相一致：
Pe
uL
u
/L
对流作用 扩散作用
Pe小－扩散占优势，故变量接近于直线分布； Pe大－对流占优势，上游的作逐渐明显， 流体上游 的信息传到下游；传热学理论分析中当Pe大于100 时可以不计轴向导热即据此而得。 我们希望所构建的离散方程形式也具有这样的 物理特性。
数值传热学
第五章 对流扩散方程的离散格式(1)
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER 2011年10月17日, 西安
1/46
第5 章 对流－扩散方程的离散格式 5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.3 混合格式及乘方格式 5.4 五种三点格式系数的特性及其应用 5.5 关于假扩散的讨论 5.6 克服或减轻假扩散的方法 5.7对流-扩散方程离散形式稳定性分析 5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件的处理
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5.2.2 一维对流-扩散方程的中心差分离散 1. 对一维模型方程在P控制容积内做积分，取分段 线性型线，经整理可得：
1 e 1 w e 1 w 1 ( u)w ] E [ ( u )e ] W [ ( u)w ] P [ ( u ) e 2 ( x)e 2 ( x) w ( x)e 2 ( x) w 2
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为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算 中质量守恒一定要满足，于是
3. 中心差分离散方程特性分析 由
aPP aEE aW W
可得
1 1 ( De Fe )E ( Dw Fw )W 均分网格 a a 2 2 P E E W W 1 1 aE aW ( De Fe ) ( Dw Fw ) 常物性 2 2
一维稳态无源项对流扩散方程CD格式的离散形式：
aPP aEE aW W
1 aE De Fe 2
1 aW Dw Fw 2
aP aE aW ( Fe Fw )
如果在迭代求解过程中连续性方程能够满足－质量 守恒得到保证，则：
Fe Fw 0
aP aE aW
2. 控制容积积分法－给出界面上被求函数的插值方式
分段线性，均分网格 1 e w dx x x w x (E Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) / 2 (P W ) / 2 E W
e
x
2x
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5.1.3 两种对流项离散格式间的联系 1. 同一种格式的两种构造方式的截差相同； 2. 同一种格式的两种构造方式的截差首项的系数不同。 3. Taylor 展开给出的是一点上的离散形式，而 控制容积积分法给出的是控制容积内导数的积分 中值的离散形式：
aP
故得：
aE
aW
aPP aEE aW W
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2. 系数间关系的寻找 将
aP
做如下变化：
1 e 1 w aP ( u )e ( u)w 2 ( x)e 2 ( x) w W
1 e 1 w ( u )e ( u )e ( u )e ( u)w ( u)w ( u)w 2 ( x)e 2 ( x) w W
E max( Fe, 0)
Patankar教授提出一种专门符号表示FORTRAN 的 Max： X ,Y 类似地有：
( u ) w W Fw ,0 P Fw ,0
，于是有：
( u )e P Fe ,0 E Fe ,0
3. 对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程
dx
dJ 0, 或 dx
J const
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对控制容积P： J e J w 2.对流扩散总通量密度的解析表达式 将对流扩散方程的精确解代入J 的定义式： x uL exp(Pe ) 1 Pe L 0 (L 0 ) exp(Pe) 1
x Pe x exp( Pe ) 1 exp( Pe ) d L L ] J u u[0 (L 0 ) ] [(L 0 ) L dx exp( Pe) 1 exp( Pe) 1
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5.3 混合格式及乘方格式 5.3.1. 三点格式系数 5.3.2. 混合格式 5.3.3. 指数格式 5.3.4. 乘方格式 5.3.5. 五种三点格式系数的表示式及图示
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aE , aW
的关系
5.3 混合格式及乘方格式 5.3.1. 三点格式系数 aE , aW 的关系 1. 三点格式－界面上未知函数用界面两侧两个节点 之值来表示的格式称为三点格式，一维问题离散方程 组矩阵为三对角阵，二维问题为五对角阵。 2. 三点格式系数
1F 1F (1 )E (1 )W 2D 2D P ( D D) / D
1 1 (1 P )E (1 P )W 2 2 2
P 称为网格Peclet数。给定 E ,W 据上式可算出
P 。 P
u ( x)
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给定 W 100,E 200 由前式对 P 0,1,2,4 得出结果如右。 精确解据
0 exp( L ) 1 uL L 0 exp( ) 1 uL x
P 2
计算，其中
uL
Pe
基于整个长度，这里 Pe 2 P
P 4
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P 大于2以后，数值解出现了异常： P 小于其左右
邻点之值，在无源项情况下是不可能的。原因在于 1 1 此时系数 aE (1 P ) 小于零，即东邻点的影响 2 2 是负的，违反物理常识。 5.2.3 对流项的迎风差分 节点之值
aE , aW 之间有密切关系:
均取决于界面上的流量与扩导；e，w的位置是相对的
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aE (i ) 与 aW (i 1) 共享一个界面，有相同的扩导与相同
绝对值的流量，必然有一定的联系。 1 1 CD: aE De (1 Pe ) aW Dw (1 Pw ) 2 2 同一界面上有 Pe Pw P De Dw D
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第5 章 对流－扩散方程的离散格式 5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.3 混合格式及乘方格式 5.4 五种三点格式系数的特性及其应用 5.5 关于假扩散的讨论 5.6 克服或减轻假扩散的方法 5.7对流-扩散方程离散形式稳定性分析 5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件的处理
aW (i 1) aE (i ) 1 1 1 P (1 P ) P D D 2 2 a E (i ) 与 aW (i 1) 相同，物理 物理意义：如为纯扩散，
作用相减为零；如为对流（u>0），i 对i+1有作用， 但 i+1对i 无影响,故 aW (i 1) 比 aE (i ) 多了对流作用。
P
1. 控制容积法的定义－界面上未知函数永远取上游
e
P , ue 0 E , ue 0
w
W , uw 0 P , uw 0
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O(x)
2. 紧凑形式(compact form) 为以后讨论方便，将界面值与流量组合到一起：
( u )e Fee P max( Fe ,0)
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5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.2.1 一维对流-扩散模型方程的分析解
d ( u ) d d ( ), dx dx dx
物性参数与流速 均为已知的常数
x 0, 0 ; x L, L
该常微分方程的分析解为：
x exp( ) 1 exp( Pe ) 1 0 exp( ux / ) 1 L L L 0 exp( uL / ) 1 exp( uL / ) 1 exp( Pe) 1
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aPP aEE aW W
a E D e Fe , 0
aP aE aW ( Fe Fw )
aW D w Fw , 0 0
由于 aE 0, aW 0 因此FUD总可以得出物理上 自上世 合理的解（physically plausible solution)， 五十年代提出以来，半个世纪中得到广泛地采用。 但因其格式截断误差较大（假扩散严重）不宜作 为获得数值解最终结果的计算格式。
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5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
5.1.1 对流项离散格式的重要性 1.影响到数值解的准确性 2.影响到数值解的稳定性 3.影响到数值解的经济性 5.1.2 两种构造对流项离散格式的方法 5.1.3 两种对流项离散格式间的联系
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5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项从数学上只是一阶导数，但其物理背景（强 烈的方向性）使其离散成为数值计算中的一个难点： 1. 影响到数值解的准确性(accuracy) 例如一阶截差的格式包含严重的数值计算误差。
1 e w dx x w x x
e
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5.2 对流项的中心差分及迎风差分 5.2.1 一维模型方程的分析解 5.2.2 一维对流-扩散方程的中心差分离散 5.2.3 对流项的迎风差分 1. 控制容积法的定义 2. 紧凑形式 3. 对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程
2. 影响到数值解的稳定性 (stability)
著名的中心差分CD，三阶迎风TUD以及QUICK 都只是条件稳定。 3.影响到数值解的经济性 (economics)
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5.1.2 两种构造对流项离散格式的方法 1. Taylor 展开法－给出一点上导数的差分表示式 如CD
E W i 1 i 1 )P x 2x 2x
2.紧凑定义
aE 1 P ,1 P , 0 e e De 2
5.3.3. 指数格式 含义：与一维模型方程的精确解相对应的离散方程构 成指数格式。 导出方法：将精确解表示成三点变量间的代数方程。 1.对流扩散总通量密度 定义 J u d 则一维模型方程为：
e w 1 1 ( u )e ( u)w [( u )e ( u ) w ] aE aW [( u )e ( u ) w ] 2 ( x)e 2 ( x) w W
aE
aW
D, 定义界面扩导 x
界面流量
F u
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FUD： aE De (1 Pe ,0) aW Dw (1 Pw ,0)
aW (i 1) aE (i ) 1 P ,0 (1 P ,0 ) D D P ,0 P ,0 P
所以
aE
与
aW
中只要一个函数的结构已知，另
一个即可据此关系而得。定义格式只要给定其中一个 系数的表示式即可,今后均定义东侧系数。 5.3.2 混合格式(hybrid scheme) 1.图解式定义
aE 以 P 为横坐标，以 为纵坐标 De
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Spalding提出（对u >0)：
aE De
0, P 2 1 1 P , P 2 2 P , P 2
8/46
uL x
特点分析 Pe＝0，纯扩散，直线分布 随Pe的增加，曲线不断下凸； 当Pe＝10时，大部分地区
0
当x接近于L时，才急剧上升 当x=L ，
L
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上述变化趋势与Peclet数的物理意义相一致：
Pe
uL
u
/L
对流作用 扩散作用
Pe小－扩散占优势，故变量接近于直线分布； Pe大－对流占优势，上游的作逐渐明显， 流体上游 的信息传到下游；传热学理论分析中当Pe大于100 时可以不计轴向导热即据此而得。 我们希望所构建的离散方程形式也具有这样的 物理特性。
数值传热学
第五章 对流扩散方程的离散格式(1)
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER 2011年10月17日, 西安
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第5 章 对流－扩散方程的离散格式 5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.3 混合格式及乘方格式 5.4 五种三点格式系数的特性及其应用 5.5 关于假扩散的讨论 5.6 克服或减轻假扩散的方法 5.7对流-扩散方程离散形式稳定性分析 5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件的处理
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5.2.2 一维对流-扩散方程的中心差分离散 1. 对一维模型方程在P控制容积内做积分，取分段 线性型线，经整理可得：
1 e 1 w e 1 w 1 ( u)w ] E [ ( u )e ] W [ ( u)w ] P [ ( u ) e 2 ( x)e 2 ( x) w ( x)e 2 ( x) w 2
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为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算 中质量守恒一定要满足，于是
3. 中心差分离散方程特性分析 由
aPP aEE aW W
可得
1 1 ( De Fe )E ( Dw Fw )W 均分网格 a a 2 2 P E E W W 1 1 aE aW ( De Fe ) ( Dw Fw ) 常物性 2 2
一维稳态无源项对流扩散方程CD格式的离散形式：
aPP aEE aW W
1 aE De Fe 2
1 aW Dw Fw 2
aP aE aW ( Fe Fw )
如果在迭代求解过程中连续性方程能够满足－质量 守恒得到保证，则：
Fe Fw 0
aP aE aW
2. 控制容积积分法－给出界面上被求函数的插值方式
分段线性，均分网格 1 e w dx x x w x (E Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) / 2 (P W ) / 2 E W
e
x
2x
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5.1.3 两种对流项离散格式间的联系 1. 同一种格式的两种构造方式的截差相同； 2. 同一种格式的两种构造方式的截差首项的系数不同。 3. Taylor 展开给出的是一点上的离散形式，而 控制容积积分法给出的是控制容积内导数的积分 中值的离散形式：
aP
故得：
aE
aW
aPP aEE aW W
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2. 系数间关系的寻找 将
aP
做如下变化：
1 e 1 w aP ( u )e ( u)w 2 ( x)e 2 ( x) w W
1 e 1 w ( u )e ( u )e ( u )e ( u)w ( u)w ( u)w 2 ( x)e 2 ( x) w W
E max( Fe, 0)
Patankar教授提出一种专门符号表示FORTRAN 的 Max： X ,Y 类似地有：
( u ) w W Fw ,0 P Fw ,0
，于是有：
( u )e P Fe ,0 E Fe ,0
3. 对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程
dx
dJ 0, 或 dx
J const
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对控制容积P： J e J w 2.对流扩散总通量密度的解析表达式 将对流扩散方程的精确解代入J 的定义式： x uL exp(Pe ) 1 Pe L 0 (L 0 ) exp(Pe) 1
x Pe x exp( Pe ) 1 exp( Pe ) d L L ] J u u[0 (L 0 ) ] [(L 0 ) L dx exp( Pe) 1 exp( Pe) 1
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5.3 混合格式及乘方格式 5.3.1. 三点格式系数 5.3.2. 混合格式 5.3.3. 指数格式 5.3.4. 乘方格式 5.3.5. 五种三点格式系数的表示式及图示
20/46
aE , aW
的关系
5.3 混合格式及乘方格式 5.3.1. 三点格式系数 aE , aW 的关系 1. 三点格式－界面上未知函数用界面两侧两个节点 之值来表示的格式称为三点格式，一维问题离散方程 组矩阵为三对角阵，二维问题为五对角阵。 2. 三点格式系数
1F 1F (1 )E (1 )W 2D 2D P ( D D) / D
1 1 (1 P )E (1 P )W 2 2 2
P 称为网格Peclet数。给定 E ,W 据上式可算出
P 。 P
u ( x)
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给定 W 100,E 200 由前式对 P 0,1,2,4 得出结果如右。 精确解据
0 exp( L ) 1 uL L 0 exp( ) 1 uL x
P 2
计算，其中
uL
Pe
基于整个长度，这里 Pe 2 P
P 4
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P 大于2以后，数值解出现了异常： P 小于其左右
邻点之值，在无源项情况下是不可能的。原因在于 1 1 此时系数 aE (1 P ) 小于零，即东邻点的影响 2 2 是负的，违反物理常识。 5.2.3 对流项的迎风差分 节点之值
aE , aW 之间有密切关系:
均取决于界面上的流量与扩导；e，w的位置是相对的
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aE (i ) 与 aW (i 1) 共享一个界面，有相同的扩导与相同
绝对值的流量，必然有一定的联系。 1 1 CD: aE De (1 Pe ) aW Dw (1 Pw ) 2 2 同一界面上有 Pe Pw P De Dw D
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第5 章 对流－扩散方程的离散格式 5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.3 混合格式及乘方格式 5.4 五种三点格式系数的特性及其应用 5.5 关于假扩散的讨论 5.6 克服或减轻假扩散的方法 5.7对流-扩散方程离散形式稳定性分析 5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件的处理
aW (i 1) aE (i ) 1 1 1 P (1 P ) P D D 2 2 a E (i ) 与 aW (i 1) 相同，物理 物理意义：如为纯扩散，
作用相减为零；如为对流（u>0），i 对i+1有作用， 但 i+1对i 无影响,故 aW (i 1) 比 aE (i ) 多了对流作用。
P
1. 控制容积法的定义－界面上未知函数永远取上游
e
P , ue 0 E , ue 0
w
W , uw 0 P , uw 0
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O(x)
2. 紧凑形式(compact form) 为以后讨论方便，将界面值与流量组合到一起：
( u )e Fee P max( Fe ,0)
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5.2 对流项的中心充分及迎风差分 5.2.1 一维对流-扩散模型方程的分析解
d ( u ) d d ( ), dx dx dx
物性参数与流速 均为已知的常数
x 0, 0 ; x L, L
该常微分方程的分析解为：
x exp( ) 1 exp( Pe ) 1 0 exp( ux / ) 1 L L L 0 exp( uL / ) 1 exp( uL / ) 1 exp( Pe) 1
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aPP aEE aW W
a E D e Fe , 0
aP aE aW ( Fe Fw )
aW D w Fw , 0 0
由于 aE 0, aW 0 因此FUD总可以得出物理上 自上世 合理的解（physically plausible solution)， 五十年代提出以来，半个世纪中得到广泛地采用。 但因其格式截断误差较大（假扩散严重）不宜作 为获得数值解最终结果的计算格式。
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5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
5.1.1 对流项离散格式的重要性 1.影响到数值解的准确性 2.影响到数值解的稳定性 3.影响到数值解的经济性 5.1.2 两种构造对流项离散格式的方法 5.1.3 两种对流项离散格式间的联系
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5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项从数学上只是一阶导数，但其物理背景（强 烈的方向性）使其离散成为数值计算中的一个难点： 1. 影响到数值解的准确性(accuracy) 例如一阶截差的格式包含严重的数值计算误差。
1 e w dx x w x x
e
6/46
5.2 对流项的中心差分及迎风差分 5.2.1 一维模型方程的分析解 5.2.2 一维对流-扩散方程的中心差分离散 5.2.3 对流项的迎风差分 1. 控制容积法的定义 2. 紧凑形式 3. 对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程
2. 影响到数值解的稳定性 (stability)
著名的中心差分CD，三阶迎风TUD以及QUICK 都只是条件稳定。 3.影响到数值解的经济性 (economics)
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5.1.2 两种构造对流项离散格式的方法 1. Taylor 展开法－给出一点上导数的差分表示式 如CD
E W i 1 i 1 )P x 2x 2x