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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式 §2.2 鸽巢原理的加强形式 §2.3 Ramsey定理
2013年8月6日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式
鸽巢原理是组合学中最简单、最基本原理 也叫抽屉原理 (又称为或重叠原理或狄利克雷原理）。
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例2.2.4 用鸽巢原理的加强形式证明例2.1.6
证明：假设长为n2+1的实数序列中没有长度为 n+1的递增子序列，下面证明其必有一长度为 n+1的递减子序列。 令mk表示从ak开始的最长递增子序列的长 度，因为实数序列中没有长度为n+1的递增子 序列，所以有：
例2.2.2 一家汽车租赁公司共有105辆汽车，共有 座位600个，证明至少有一辆6座以上的汽车？ 证明：根据推论2.2.3，
600 105 6
所以至少有一辆6座以上的汽车。
例2.2.3 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小 相等的200个小扇形，在大盘上任选100个小扇形 涂成黑色，其余的100个小扇形涂成白色，而将 小盘上的200个小扇形任意涂成黑色或白色。现 将大小两只圆盘的中心重合，转动小盘使小盘上 的每个小扇形含在大盘上小扇形之内。证明：有 一个位置使小盘上至少有100个小扇形同大盘上 相应的小扇形同色。
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证明：对于任意一个整数，它除以100的余数 显然只能有如下100种情况， 0，1，2，3，……，99 而现在有任意给定的52个整数，我们需要构 造51个盒子，即对这100个余数进行分组， 共51组： {0}，{1，99}，{2，98}，{3，97}，……， {49，51}，{50}
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反证法。假定每个盒子里的物体都小于
，则至多是 ≤n (
m n 1 m n 1
m n
个。
个，那么n个盒子里的物体总数 =m，与m个物体矛盾。
)<n•
m n
因此原结论成立。
例2.2.1 一个袋子里装了10个苹果，11个橘 子，12个香蕉，至少取出多少个水果才能 保证已经取出10个相同种类的水果
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定理2.2.1的证明
(反证法)
对于i＝1，2，…，n，假设第i个盒子 里至多含有qi-1个物品，则n个盒子里 物品数的总和不超过 q1+q2+…+qn - n 这与已知条件中的 物品总数为(q1+q2+…+qn – n+1)相矛盾。 故假设不真，原结论成立。
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几个例子
例2.1.1 共有12个属相，今有13个 人，则必有两人的属相相同
例2.1.2 有5双不同的袜子混在一 个抽屉里，我们至少从中选出多 少只袜子才能保证找到1双袜子？
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解 应用定理2.1.1，共有5个盒子，
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§2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1 (鸽巢原理的加强形式)
设q1 , q2 ,..., qn都是正整数， 若把q1 q2 ... qn n 1个物体放入n个盒子里， 则 或者第一个盒子里至少含有q1个物体， 或者第二个盒子里至少含有q2个物体， ....., 或者第n个盒子里至少含有qn 个物体。
所以有 1≤a1<a2<a3<…<a77≤12×11=132 (2.1.1) 考虑数列 a1,a2,…，a77，a1+21,a2+21,…，a77+21, 它们都在1与132+21=153之间，共有154项， 由定理2.1.1知，其中必有两项相等
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由（2.1.1）式知a1,a2,…，a77这77项互不相等 ，从而a1+21,a2+21,…，a77+21这77项也互不 相等，所以一定存在1≤i<j≤77，使得 aj=ai+21.
1 mk n(k 1,2,, n 2 1).
根据推论2.2.3，这相当于把n2+1个物体
m1 , m2 ,, mn 2 1
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放入n个盒子1，2，…，n中，必有一个盒子i里 面至少有
n 2 1 1 n n 1 n n
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与简单形式的关系
上节的鸽巢原理的简单形式是这一原理的特 殊情况，即q1 = q2 = … = qn= 2，有 q1 + q2 +… +qn－n + 1 = n + 1
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第二章 鸽巢原理和Rams≤Li≤n 且 1≤Mi≤n不成立。原结论成立。 •这个例子的结论是1935年由数学家保罗· 艾狄 胥（Erdös）和乔治· 塞克尔斯（Szekeres）首 先给出的，它还有更为有趣的表述：n2+1个人 肩并肩地站成一排，则总能选除n+1个人，让 他们向前迈出一步，所形成新一排的身高是递 增或递减的。
证明：首先对每一列而言，因为有4行， 但只有3种颜色选择。根据定理2.1.1，则 必有两个单元格的颜色相同。另外，每列 中两个单元格的不同位置组合有=6种，这 样一列中两个同色单元格的位置组合共有 18种情况，
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而现在共有19列，根据定理2.1.1，无论怎样涂 色，则必有两列与图中的某一列相同，即各自 所包含的两个同色单元格的位置相同、颜色相 同。即结论成立。
因此 21= aj-ai =(b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj)-(b1+b2+…+bi) = bi+1+bi+2+…+bj. 这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 她刚好下了21盘棋。
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例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格，每 个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选择， 证明：无论怎样涂色，其中必有一个由单元 格构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一 种颜色。
证明:令b1，b2，…，b77分别为这11周中他每天 下棋的次数，并作部分和 a1=b1, a2=b1+b2, …， a77=b1+b2+…+b77.
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根据题意，有bi≥1(1≤i≤77),且 bi+bi+1+…+bi+6≤12(1≤i≤71),
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推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 个物体 n
m n
m 表示取天棚运算是大于等于 n
m n
的最小正整数
证明：根据
m m m 1 的定义有： n n n
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证明 如图2.2.1所示，使大小两盘中心重合，
固定大盘，转动小盘，则有200个不同位 置使小盘上的每个小扇形含在大盘上的小扇形 中，由于大盘上的200个小扇形中有100个涂 成黑色，100个涂成白色，所以小盘上的每个 小扇形无论涂成黑色或白色，在200个可能的 重合位置上恰好有100次与大盘上的小扇形同 色，因而小盘上的200个小扇形在200个重合 位置上共同色100×200=20000次，平均每个 位置同色20000÷20=100次。由推论2.2.3知 ，存在着某个位置，使同色的小扇形数大于等 于100个。
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反证法。假设即不存在长度为n+1的递增子序 列，也不存在长度为n+1的递减子序列即1≤Li≤n 且 1≤Mi≤n，其中1≤i≤n2 + 1，由集合论的知识 知道集合{(Li, Mi)}的元素数为n2，根据定理 2.1.1，必然有（Li, Mi） = (Lj, Mj)（i < j），当 然Li = Lj，而且Mi = Mj。对于序列中的元素ai, aj， 分两种情况：
解 根据定推论2.2.1，若将3×(10-1)+1=28个物体 放入3个盒子中，则至少有一个盒子中有10个物 体。显然物体就是三种水果，而盒子就是三类水 果，结论是保证已经取出10个相同种类的水果等 价于或者取出10个苹果或者取出10个橘子或者取 出10个香蕉。因此答案是至少取28个水果才能保 证已经取出10个相同种类的水果。
每个盒子对应1双袜子。 如果选择5+1=6只袜子分别放到它所 属那双袜子的盒子中，则必有两只袜 子落入同一个盒子中，即为一双袜子 。因此我们至少从中选出6只袜子才 能保证找到1双袜子。
• 本例实际上是知道n个盒子，而找 n+1个物体的问题。
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例2.1.3对任意给定的52个整数， 证明：其中必存在两个整数，要么 两者的和能被100整除，要么两者 的差能被100整除。
例2.1.6证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1
组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列。 证明：由题意，设Li 是从ai 开始的递减子 序列的最大长度，Mi是从ai开始的递增子 序列的最大长度，则对于i从1到n2 + 1的 每个i的取值，都有（Li, Mi）与之对应。