时间序列的平稳性及其检验课件
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时间序列的平稳性和单位根检验.PPT65页
Nhomakorabea 谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
时间序列的平稳性和单位根检验.
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
时间序列的平稳性和单位根检验.
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
9-0时间序列的平稳性及其检验
• 根据Bartlett的理论：k~N(0,1/19)
因此任一rk(k>0)的95%的置信区间都将是 [ Z 0 . 0 • 2 , Z 0 . 0 5 • ] 2 [ 1 . 9 5 1 / 1 , 1 6 . 9 1 9 / 1 ] 6 [ 0 . 4 9 , 0 . 4 4 ]
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
Randomቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 自相关系数
Q LB
Q LB
rk (k=0,1,…17)
rk (k=0,1,…17)
1 -0.031 2 0.188 3 0.108 4 -0.455 5 -0.426 6 0.387 7 -0.156 8 0.204 9 -0.340 10 0.157 11 0.228 12 -0.315 13 -0.377 14 -0.056 15 0.478 16 0.244 17 -0.215 18 0.141 19 0.236
n
P lim x i2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
因此任一rk(k>0)的95%的置信区间都将是 [ Z 0 . 0 • 2 , Z 0 . 0 5 • ] 2 [ 1 . 9 5 1 / 1 , 1 6 . 9 1 9 / 1 ] 6 [ 0 . 4 9 , 0 . 4 4 ]
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
Randomቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 自相关系数
Q LB
Q LB
rk (k=0,1,…17)
rk (k=0,1,…17)
1 -0.031 2 0.188 3 0.108 4 -0.455 5 -0.426 6 0.387 7 -0.156 8 0.204 9 -0.340 10 0.157 11 0.228 12 -0.315 13 -0.377 14 -0.056 15 0.478 16 0.244 17 -0.215 18 0.141 19 0.236
n
P lim x i2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
时间序列平稳性分析(课件)
时间序列平稳性分析(课件)时间序列平稳性分析文章结构•时间序列的概念•平稳性检验•纯随机性检验•spss的具体操作1.1时间序列分析的概念•时间序列是一个按时间的次序排列起来的随机数据集合。
而时间序列分析是概率论与数理统计学科的一个重要分支，它以概率统计学为理论基础来分析随机数据序列（或称为动态数据序列）并对其建立相应的数学模型，即对模型定阶，进行参数估计，进一步将用于预测。
在对时间序列进行分析的时候我们的前提任务是如何进行的呢？2.1平稳性检验•••••特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性检验概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性特征统计量•均值t EXt•方差Var(Xt)E(Xt t)xdFt(x)2(x t)dFt(x)•协方差•自相关系数(t,s)E(Xt t)(XS)S(t,s)(t,s)DXt DXs平稳时间序列的定义•严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳•宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。
它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
•满足如下条件的序列称为严平稳序列正整数m，t1,t1,...,tm T,正整数t,有Ft1,t2,...,tm（x1,x2,...,xm）Ft1t,t2t,...,•满足如下条件的序列称为宽平稳序列1)EXt,t T2)EXt,为常数，t T2tmt（x1,x2,...,x3)（t,s）（k,k s t）,t,s,k且k s t T•常数性质•自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关1）延迟k自协方差函数（k）（t,t k）,k为整数2）延迟k自相关系数k（k）（0）自相关系数的性质••••规范性对称性非负定性非唯一性平稳性的检验•时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应、无明显该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征•自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。
时间序列的平稳性及其检验
section data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
⒉经典回归模型与数据的平稳性
❖ 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
❖ 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
❖ 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量
❖ 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
表 9.1.1 一个纯随机序列与随机游走序列的检验
序号 Random1 自相关系数
Q LB
rk (k=0,1,…17)
Random2
rk
自相关系数
Q LB
(k=0,1,…17)
1 -0.031 K=0, 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 3 0.108 K=2, -0.393 4 -0.455 K=3, -0.147 5 -0.426 K=4, 0.280 6 0.387 K=5, 0.187 7 -0.156 K=6, -0.363 8 0.204 K=7, -0.148 9 -0.340 K=8, 0.315 10 0.157 K=9, 0.194 11 0.228 K=10, -0.139 12 -0.315 K=11, -0.297 13 -0.377 K=12, 0.034 14 -0.056 K=13, 0.165 15 0.478 K=14, -0.105 16 0.244 K=15, -0.094 17 -0.215 K=16, 0.039 18 0.141 K=17, 0.027 19 0.236
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
⒉经典回归模型与数据的平稳性
❖ 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
❖ 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
❖ 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量
❖ 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
表 9.1.1 一个纯随机序列与随机游走序列的检验
序号 Random1 自相关系数
Q LB
rk (k=0,1,…17)
Random2
rk
自相关系数
Q LB
(k=0,1,…17)
1 -0.031 K=0, 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 3 0.108 K=2, -0.393 4 -0.455 K=3, -0.147 5 -0.426 K=4, 0.280 6 0.387 K=5, 0.187 7 -0.156 K=6, -0.363 8 0.204 K=7, -0.148 9 -0.340 K=8, 0.315 10 0.157 K=9, 0.194 11 0.228 K=10, -0.139 12 -0.315 K=11, -0.297 13 -0.377 K=12, 0.034 14 -0.056 K=13, 0.165 15 0.478 K=14, -0.105 16 0.244 K=15, -0.094 17 -0.215 K=16, 0.039 18 0.141 K=17, 0.027 19 0.236
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
时间序列数据的平稳性检验PPT课件
23
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• 二、协整检验的具体方法
• （一）EG检验和CRDW检验
• 假如Xt和Yt都是I (1)，如何检验它们之间是否 存在协整关系，我们可以遵循以下思路：
首先用OLS对协整回归方程yt xt t
进行估计。
然后，检验残差e t 是否是平稳的。因为如果
Xt和Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组
25
第25页/共61页
• 此外，也可以用协整回归的Durbin-Watson
统计检验（Cointegration regression
Durbin-Watson test,简记CRDW）进行。
CRDW检验构造的统计量是：
•
DW
(et et1)2 (et )2
对应的零假设是：DW=0
26
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19
第19页/共61页
第三节 协整的概念和检验
• 一、协整的概念和原理
• 有时虽然两个变量都是随机游走的，但它们的 某个线形组合却可能是平稳的。在这种情况下， 我们称这两个变量是协整的。
• 比如：变量Xt和Yt是随机游走的，但变量 Zt=Xt+Yt可能是平稳的。在这种情况下，我们
称Xt和Yt是协整的，其中 称为协整参数
合都是非平稳的，e t 残差 也将是非平稳的。
24
第24页/共61页
e • 检验 t 是否平稳可以采用前文提到的单位根
检验，但需要注意的是，此时的临界值不能再 用(A)DF检验的临界值，而是要用恩格尔和格 兰杰（Engle and Granger）提供的临界值， 故这种协整检验又称为（扩展的）恩格尔格兰 杰检验(简记(A)EG检验）。
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• 二、协整检验的具体方法
• （一）EG检验和CRDW检验
• 假如Xt和Yt都是I (1)，如何检验它们之间是否 存在协整关系，我们可以遵循以下思路：
首先用OLS对协整回归方程yt xt t
进行估计。
然后，检验残差e t 是否是平稳的。因为如果
Xt和Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组
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• 此外，也可以用协整回归的Durbin-Watson
统计检验（Cointegration regression
Durbin-Watson test,简记CRDW）进行。
CRDW检验构造的统计量是：
•
DW
(et et1)2 (et )2
对应的零假设是：DW=0
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第三节 协整的概念和检验
• 一、协整的概念和原理
• 有时虽然两个变量都是随机游走的，但它们的 某个线形组合却可能是平稳的。在这种情况下， 我们称这两个变量是协整的。
• 比如：变量Xt和Yt是随机游走的，但变量 Zt=Xt+Yt可能是平稳的。在这种情况下，我们
称Xt和Yt是协整的，其中 称为协整参数
合都是非平稳的，e t 残差 也将是非平稳的。
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e • 检验 t 是否平稳可以采用前文提到的单位根
检验，但需要注意的是，此时的临界值不能再 用(A)DF检验的临界值，而是要用恩格尔和格 兰杰（Engle and Granger）提供的临界值， 故这种协整检验又称为（扩展的）恩格尔格兰 杰检验(简记(A)EG检验）。
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《平稳时间序列》课件
市场波动
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
5.2 时间序列的平稳性及其检验
模型2的估计
结论： 中国实际居民消费 总量增长率序列 GY是平稳的。
检验对数序列lnY
• 首先对lnY的水平序列进行检验，三个模型中参数估计值的统计量的值 均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设，即中国实 际居民消费总量的对数序列是非平稳的。
• 再对lnY的1阶差分序列进行检验，自动选择检验模型滞后项，确定滞 后阶数为0，得到模型3的估计结果：
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
模型1 模型2 模型3
ADF检验模型
• 检验过程
• 实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 • 何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时停止检
验。 • 否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• 检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相 应的临界值表。
• 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等;
• 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以当年价表示的消费额、收 入等常是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶 单整。
• 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。
• 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种 序列被称为非单整的（non-integrated）。
四、平稳性的单位根检验
1、DF检验（Dicky-Fuller Test）
X t X t1 t X t X t1 t
随机游走，非平稳
对该式回归，如果确实发现ρ=1，则 称随机变量Xt有一个单位根。
X t ( 1) X t1 t X t1 t
等价于通过该式判断是否存在 δ=0。
• 通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列平稳性的单位根检验。
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实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本）， 因此，只能计算样本自相关函数（Sample autocorrelation function）。
图9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
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17
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0
分子是时间序列之后K期的协方差，分母是方差， 因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why）
13
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k +t 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
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三、平稳性检验的图示判断
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
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例9.1.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
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2
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
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3
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据（panel data/time-series cross-
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 …… Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
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• 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t
由于t是一个白噪声，则序列{ Xt}是平稳的。
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时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
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二、时间序列数据的平稳性
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时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的；
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定义,一个白噪声序列是平稳的。
例9.1.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：
Xt=Xt-1+t
这里， t是一个白噪声。
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容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知
(1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
(2)
(Xi X)2/n
依概率收敛： P li( m (X iX )2/n )Q n
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5
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”
特性：
Plim(ˆ)
n
注意：在双变量模型中：
ˆxiui xiui/n
xi2
xi2/n
因此： P li m ˆP li m xiui/n0
n
P lim xi2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
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⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法
第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 随机时间序列模型的识别和估计 第三节 协整分析与误差修正模型
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1
§9.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
section data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
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4
Hale Waihona Puke ⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”
要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：
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• 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的 时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种 围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具 有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
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16
Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数；
2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
图9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
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• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0
分子是时间序列之后K期的协方差，分母是方差， 因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why）
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2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k +t 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
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三、平稳性检验的图示判断
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
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例9.1.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
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一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
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⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据（panel data/time-series cross-
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 …… Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
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• 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t
由于t是一个白噪声，则序列{ Xt}是平稳的。
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时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
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二、时间序列数据的平稳性
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时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的；
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定义,一个白噪声序列是平稳的。
例9.1.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：
Xt=Xt-1+t
这里， t是一个白噪声。
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容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知
(1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
(2)
(Xi X)2/n
依概率收敛： P li( m (X iX )2/n )Q n
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第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”
特性：
Plim(ˆ)
n
注意：在双变量模型中：
ˆxiui xiui/n
xi2
xi2/n
因此： P li m ˆP li m xiui/n0
n
P lim xi2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
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⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法
第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 随机时间序列模型的识别和估计 第三节 协整分析与误差修正模型
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§9.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
section data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
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Hale Waihona Puke ⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”
要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：
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• 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的 时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种 围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具 有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
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Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数；
2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；