向量知识结构图
用思维导图促进学生深度学习——以《平面向量数量积解题策略》复习为例
用思维导图促进学生深度学习——以《平面向量数量积解题策略》复习为例江苏省通州高级中学（226300）尹晓宇［摘要］借助思维导图科学、完整地呈现数学思维的全过程，让学生在原有认知结构中融入新的知识，形成新旧知识相互联系.同时，帮助学生厘清解题思路，提高学生解决综合问题的能力.［关键词］思维导图；深度学习；平面向量；复习［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）05-0019-02思维导图是一种思维工具，它以图解的形式和网状的结构储存、组织、优化、输出信息，一般从中心主题开始进行思维发散，建立与其相关的一级主题，一级主题下又包含若干二级主题，以此类推，建立起树状结构.思维导图，在创建过程中还可以使用图片颜色、线条粗细等变化建立联系。
学生在复习阶段，通过画思维导图可以将知识点按照不同层次呈现出来，通过纵横的串联、对比、差异分析等方式形成系统、清晰的知识脉络，加深对知识的理解，从而提高学习的效率.学生在回忆、反思和练习提升阶段，利用思维导图进行学习，前后对比、摸索研究知识的特点，能触类旁通.一、思维导图对深度学习的价值深度学习具有以下几个主要特征.在学习态度上，学习者对所学知识持有怀疑、批判的态度，这是深入思考的前提；在学习方法上，学习者能够整合知识，将新知识纳入已有的知识体系中，形成完整的知识链条；在学习动力上，学习者有强烈的促进自身发展的需求，有积极向上的内驱力.数学学习中，解题思路的优化，就是深度学习的具体体现.思维导图能够为学生提供思考的方向.学生在画思维导图构建新的知识网络时，必然要在相关的已有知识进行信息检索，从已有的知识结构中获取相应的信息，分辨不同的观点、看法，建立新旧知识网络的关联，形成新的思维导图，进而促使自己的认知得到提高.在高中数学学习过程中，通过绘制、修改和应用思维导图可以有效促进学生数学深度学习.高中数学的教学任务十分繁重，教师必须要通过有限的课堂活动引导学生全面熟悉、掌握各个数学知识，且要客观分析高考数学的命题方向，引导学生完成相应的解题任务，从中总结有效的解题方法.平时教学，教师一直在赶教学进度，忽视了思维总结、教学反思，因此导致学生的数学思维结构呈现出碎片化、零散的状态，最直接的表现便是学生无法灵活迁移应用所学知识，解题思路固化.面对这一现实问题，借助思维导图可以完整展现数学知识结构，由此引导学生掌握各个知识点的内在联系，可以很好地优化学生的思路，使其实现深度学习.因此，教师要尝试利用思维导图来优化数学教学效果.二、借助思维导图促进学生数学深度学习的案例（片段节选）（一）教学内容高三复习微专题《平面向量的数量积解题策略》.（二）教学目标1.熟练掌握解决向量数量积问题的基本方法：定义法、投影法、基底法、坐标法.2.理解极化恒等式的定义与几何意义以及极化恒等式在平面向量数量积中的应用.3.通过绘制思维导图，比较出平面向量数量积问题不同解题思路的优劣.（三）教学重难点重点：理解和运用基底法、坐标法解决向量数量积问题.难点：运用极化恒等式解决向量数量积问题.（四）教学主要流程教学片段一：先引导学生对向量知识模块的基本概念进行梳理和回顾（如图1）.数学·考试研究||a=()x2-x12+()y2-y12b在a方向上的投影为||b cosθ=a·b||a设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b||a·||ba∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0a⊥b⇔b·a=0⇔x1x2+y1y2=0图1设计意图：通过学生回忆知识点，逐渐绘制出平面向量知识概念的思维导图.以思维导图的形式展现平面向量的知识网络，为学生提供运用思维导图记笔记的方法.原本的课堂小结设计方式是以传统的条目形式，对平面图形中的向量数量积问题基本解题策略进行归纳：1.特殊化，2.定义法，3.投影法，4.基底法，5.坐标法，6.极化恒等式.这样的总结方式中规中矩，虽然全面，但是不利于学生的记忆和选择.于是笔者尝试改用思维导图的方式进行呈现，让学生进行阐述，不拘泥于顺序，引出一条思维链即可进行深度的挖掘和方法总结，最后一条条的思维链就建立起来了.教学片段二平面图形中的向量数量积问题基本解题策略思维导图（如图2）：a·b=14[]()a+b2-()a-b2a·b为||a与b在aa·b=||a||b cosθa·b=()x1,y1()x2,y2=x1x2+y1y2图2设计意图：以思维导图进行课堂小结，展现思考的过程.一级结构为题目，二级结构为题目中的条件指向的方法，三级结构为该方法的解题思路和主要步骤.这样的方式能让学生比较各种方法的特征和优劣，能够快速结合题目的类型选择合适的方法解题，促进学生的深度学习.教师同样可利用思维导图优化课堂总结，通过思维导图整理一节课的重点知识、各个知识点的内在关联、新旧知的内在联系等.三、借助思维导图促进数学深度学习的思考思维导图是一种思维方式的呈现，不是一种固定的模式.在教学过程中，思维导图的形式层级不是一下子就画出来的，是在教学过程中，边教学边绘制的，逐渐形成一个思维的网络.在这过程中，学生表现出极大的热情，充分调动学生学习的积极性和主动性，提高学生的课堂参与度，促使学生产生深入学习的欲望.目前，高中数学教学领域正在全面提倡培养学生自主学习能力，需要教师主动调整师生关系、互动形式，调动学生的主观能动性.在此过程中，为了减少学生的无效学习行为，教师可利用思维导图引导、监督学生实现自主学习.思维导图也有助于学生发现知识网络上的短板，及时查漏补缺.课前以思维导图的形式回顾基本知识概念，如果学生在哪一个点上思考不下去了，那么此处就是思维的“断点”，就需要及时补上.总之，在高中数学教学过程中利用思维导图来促进学生的深度学习是十分重要的，教师要客观分析思维导图的制作方法，自觉将其运用到自己的教学中去.［参考文献］［1］刘北平.思维导图在高中数学教学的实践研究［D］.武汉：华中师范大学，2018.［2］刘慧年.思维导图在高中数学教学中的应用研究［J］.成才之路，2018（12）：34.（责任编辑黄桂坚）数学·考试研究。
求向量组的一组基-概述说明以及解释
求向量组的一组基-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在线性代数中，向量组是一个非常重要的概念，它由若干个向量组成，可以在空间中描述一些几何结构或者运动规律。
在研究向量组的过程中，我们常常需要找到向量组的一组基，这是实现向量组最简化表示的关键步骤。
本文将深入探讨如何求解向量组的一组基，通过分析向量组的秩、线性无关组等概念，帮助读者理解基的概念以及如何应用它们来描述向量空间中的结构。
同时，我们将总结各种求解基的方法，并探讨在不同领域中应用向量组基的重要性，希望读者通过本文的阅读能够对向量组的基有一个更深入的理解。
1.2文章结构1.3 目的在本文中，我们的目的是探讨修复新建文本文档的方法。
随着信息技术的不断发展和普及，文档编写和管理变得越来越重要。
然而，我们经常会遇到新建文本文档损坏或无法打开的问题，这给工作和学习带来了一定的困扰。
因此，本文的目的是帮助读者了解如何有效地修复新建文本文档，减少潜在的数据丢失和工作延误，从而提高工作效率和学习质量。
通过本文的介绍和操作步骤，读者将能够掌握修复文档的技巧，避免不必要的困扰，确保文档的完整性和可用性。
修复文档不仅能帮助我们更好地管理和利用信息资源，还能提升我们的工作和学习效率，更好地应对日常工作和学习中的各种挑战。
因此，本文的目的在于引导读者正确理解和掌握修复新建文本文档的方法，提高工作和学习的效率和质量。
1.3 目的本文的目的是探讨如何求解给定向量组的一组基。
在线性代数中，向量组的基是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解向量空间的结构和性质。
通过求取向量组的一组基，我们可以得到向量空间中的一组最小的线性无关的向量集合，这对于研究向量空间的性质和应用具有重要意义。
通过本文的讨论，读者将能够了解如何利用线性代数的基本理论和方法来求解向量组的一组基，从而进一步掌握向量空间的基本概念和性质。
同时，本文还将介绍一些实际问题中求解向量组基的方法和技巧，帮助读者在实际应用中更好地理解和运用向量空间的知识。
tex 列向量-概述说明以及解释
tex 列向量-概述说明以及解释1.引言1.1 概述列向量是线性代数中的一个重要概念，在数学和工程等领域都有广泛的应用。
它是由一列按照特定顺序排列的元素构成的向量。
与行向量相对应，列向量的元素是按照垂直方向排列的。
列向量具有以下特点：首先，它可以用来表示一组有序的数值数据，例如向量空间中的坐标、向量的系数或向量的特征值等。
其次，列向量可以作为矩阵的列，是矩阵运算中不可或缺的基础元素。
此外，列向量还可以用来描述向量空间的基、线性变换的特征向量以及模型参数等。
在进行列向量的运算时，可以进行加法、减法、数乘等操作。
列向量的加法和减法可以通过对应位置的元素相加或相减得到新的列向量。
数乘是指将一个标量与列向量的每个元素相乘，得到一个新的列向量。
总之，列向量是线性代数中一个重要且基础的概念，它具有广泛的应用价值。
通过对列向量的定义、特点和运算的学习，可以更好地理解和应用线性代数的相关知识。
在接下来的内容中，我们将更加详细地探讨列向量的定义、性质以及其在数学和工程中的应用。
文章结构部分的内容可以从以下几个方面展开阐述：1.2 文章结构在本文中，我们将按照以下结构来组织我们的讨论：1. 引言：首先，我们将对本文的主题进行概述，并介绍列向量在数学和应用领域的重要性。
2. 正文：接下来，我们将详细讨论列向量的定义和特点。
我们将介绍什么是列向量以及它们与行向量的区别。
我们还将探讨列向量的表示形式以及它们在矩阵中的应用。
3. 正文：在本节中，我们将讨论列向量的运算。
我们将介绍列向量的加法和减法运算，以及对应的性质和规则。
此外，我们还将讨论列向量与标量的乘法和向量之间的乘法运算，以及它们在线性代数中的应用。
4. 结论：最后，我们将总结列向量的重要性和应用。
我们将强调列向量在向量空间、线性方程组和数据分析等领域的作用，并展示其在实际问题中的应用案例。
此外，我们还将展望列向量的未来发展，并观察其在机器学习和人工智能等领域的潜在应用。
高等代数1
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
高二数学算法和程序框图试题
高二数学算法和程序框图试题1.执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入（）A．B．C．D．【答案】C【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S n循环前/0 1第一次是 1 2第二次是 3 4第三次是 7 8第四次是 15 16，因为输出：S=15．所以判断框内可填写“n＞8”，故选：B．【考点】程序框图．2.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）.A．B．C．2D．1【答案】A【解析】由程序框图得：，即输出的值具有周期性，最小正周期为3，且,所以输出的值为.【考点】程序框图.3.给出如图的程序框图，则输出的数值是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】该程序框图的功能是计算的值；因为所以输出的数值是.【考点】程序框图、裂项抵消法求和.4.执行如图的程序框图，输出S的值为( ).A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】该程序框图的功能是计算的值，故选B.【考点】程序框图.5.执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最大值是（）A．15B．14C．7D．6【答案】A【解析】初始值：成立，运行第一次成立，运行第二次成立，运行第三次成立，运行第四次不成立，循环终止，输出输入整数的最大值是15.故选A.【考点】循环结构.6.如图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在____的下位．【答案】数乘.【解析】知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联，由于向量共线的充要条件是向量数乘中的一种，故在知识结构图中，向量共线的充要条件应该放在数乘的下位．【考点】结构图．7.按流程图的程序计算，若开始输入的值为=2，则输出的的值是（）A．3B．6C．21D．156【答案】C【解析】第一次运行，计算，不成立，往否的方向进行；第二次运行，计算，不成立，往否的方向进行；第三次运行，计算，不成立，往否的方向进行；第四次运行，计算，成立，往是的方向进行；输出。
结构向量自回归(SVAR)模型操作步骤课件
VS
模型适用性
在确定阶数后，需要检验模型是否适用于 数据，可以通过残差检验、单位根检验等 方法进行。
识别模型结构
结构识别
根据经济理论和数据特性，确定SVAR模型的结构，即变量之间的长期关系。常用的方法包括基于经济理论的约 束、基于数据的约束等。
约束检验
在确定了模型结构后，需要进行约束检验，以确保模型的有效性和准确性。常用的方法包括约束检验统计量、约 束检验图形等。
异方差性检验
通过GARCH等模型检验残差是否存在异方差性， 以判断模型是否合适。
诊断统计量
AIC和BIC值
01
通过比较不同模型的AIC和BIC值，选择具有较小值的模型，以
判断模型拟合优度。
FБайду номын сангаас计量
02
在约束性检验中，通过F统计量检验模型中各个约束是否显著，
以判断模型的有效性。
残差相关性检验
03
通过自相关图和偏自相关图检验残差是否存在相关性，以判断
应用场景
说明SVAR模型在宏观经济分析 、金融市场分析等领域的应用 场景和价值。
CHAPTER
04
SVAR模型的诊断与检验
残差诊断
残差图
通过绘制残差随时间变化的图形，可以直观地观 察残差的趋势和异常值。
残差正态性检验
通过统计检验方法，如Jarque-Bera检验，检验残 差是否符合正态分布假设。
整模型参数。
CHAPTER
05
SVAR模型的预测与应用
预测未来值
确定模型参数
通过估计SVAR模型的参数，可以 分析变量之间的动态关系，为预 测未来值提供依据。
预测时间序列数据
利用SVAR模型对时间序列数据进 行拟合，通过模型参数和历史数 据，预测未来的数值。
高中数学必修及选修教材学习知识体系结构与框架
第一章集合集合与函数概函数及其定义念概念表示方法：列举法、描述法根本关系：交集、并集、补集、全集、属于根本运算交、并、补元素的概念、个数概念定义域、值域对应关系区间：闭开，半开半闭展示发放：图像法、列表函数的单调性增函数基本性质最大、最小值定义义奇偶性；判断方法减函数a r a s a r s指数与指数幂的运算( a r) s a rs( ab) r a r b r第二章整数指数幂基本初等函数指数函数互为反函数对数函数幂函数指数幂指数函数性质对数与对数运算对数函数及性质定义：有理数指数幂无理数指数幂定义定义域 R性质值域〔 0,+ ∞〕图像过定点〔 0，1〕单调性对数底数真数定义log a ( M N ) log a M log a N运算log a M log a M log a NNlog a M n nlog a M定义定义域图象值域过点〔 1， 0〕性质单调性过〔 1,1 〕性质奇偶性单调性第三章]函数与程函数的应用函数模型及应用定义关系方程的根与函数的零点零点定理二分法定义用二分法求方程的近视根求根步骤几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例建立实际问题的函数模型必修二第一章空间几何体锥、柱、台、球的结构特征空间几何体的结构简单组合体的结构特征正视图三视图侧视图俯视图空间几何体的三视图与直观图斜二侧画法直观图平行投影与中心投影锥、柱、台的外表积与体积空间几何体的表面积与体积球的外表积与体积第二章平面：公理1、公理 2、公理3共面相交直线平行直线：点、直线、平面间的位置关系空间点、直线、平面间的位置关系直线、平面平行的判定及性质直线、平面垂直的判定及性质空间中直线与直线的位置公理 4关系异面直线平行平面与平面间的位置关系相交直线在平面空间中直线与内平面的位置关相交系平行直线与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理第三章直线与方程倾斜角 0°≤α＜ 180°直线的倾斜角与斜率斜率 k tanl1 //l2k1k2,b1b2两条直线平行与垂直的判定l 1l2k 1k 21点斜式y y1k(x x1 )截距式 y kx b直线的方程两点式yy1x x1y2y1x2x1一般式 Ax By C0两条直线的交点坐标A1 x B1 y C10A2 x B2 y C20两点间的距离公式|AB|(x x)2(y y)22121直线的交点坐标与距离公式点到直线的距离Ax0 By0CdB 2A 2平行线间的距离第四章圆的标准方程x a 2y b 2r 2圆的一般方程圆的方程y2x 2Dx Ey F0d r l 与 C 相交直线与圆的位置关系d r l 与 C相切圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系概念空间直角坐标系空间两点间的距离公式d r l与 C相离相交 R r d R r内切d Rr外切 d Rr内含 d Rr相离 d Rr辗转相除法与更相减损术必修三算法的概念第一章算法秦久韶算法算法与程序框图顺序结构程序框图条件结构循环结构输入语句、输出语赋值语句初根本算法语句步条件语句、循环语句算法案例第二章随机抽样统用样本估计总体计变量间的相关关系抽签法简单随机抽样随机法系统抽样求极差分层抽样决定组距组数将数据分组用样本频率分布估计总体分布列频率分布表画频率分布直方图用数本的数字特征估众数，中位数，平均数计总体的数字特征标准差变量间的相关关系正相关两个变量的线性相关负相关回归直线第三章概率随机事件的概率随机事件的概率频率意义概率性质必然事件不可能事件任何两个不同事件互斥根本领件特征古典概型任何事件都可表示为根本领件的和概率定义几何概型概率必修四第一章任意角和弧度制任意角弧度制正角负角零角任意角的三角函数三角函数三角函数的图像与性质三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数公式一：终边相同的角同一三角函数值相等周期性同角三角函数关系单调性正弦余弦函数的性质奇偶性正弦余弦函数的图像最大最小值正弦为奇余弦为偶正切函数的性质与图像周期奇偶性单调性三角函数的诱导公式函数y sin x的图像公式二值域公式三公式四公式五公式六振幅周期2初相相位x频率f12三角函数模型的简单应用第二章平面向量的实际背景及根本概念平面向量的线性运算平面向量平面向量的根本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量应用实例向量的物理背景与概念有向线段零向量，单位向量的几何表示向量平行向量相等向量与共线向向量加法三角形法那么量向量加法运算及几何意义向量加法平行四边形法那么向量减法运算及几何r ra a意义r r r向量数乘运算及几a a a何意义rrr ra b a b平面向量根本定理平面向量的正交分解极坐标表示平面向量坐标运算数量积rrrrr r r r o o 共线的坐标表示a b a b cos a0,b0,0180物理背景与定义投影rx , ya坐标表示，模，夹r角x2y2ar rx1x2y1 y2平面几何中的向量cosa br r2222方法 a b x1y1x2y2向量在物理中的应用举例cos cos cos sin sin两角差的余弦公式cos cos cos sin sin 第三章sin sin cos cos sin两角和与差的正弦sin sin cos cos sin 两角和与差的正余弦正切公式弦，余弦和正切公tantan tan 1 tan tan式tantan tan 1tan tan三sin22sin cos角二倍角的正弦余弦恒正切公式2222等cos2 cos sin2cos 1 1 2sin 变换tan 22 tan 1tan2简单的三角恒等变换必修五正弦定理a b c 第一章sin sin 2 Rsin C解三角形222正弦定理和余弦定ab c 2bccos理余弦定理b2a2c22accosc2a2b22ab cosC应用举例第二章数列项数列的概念与简单表示法有穷数列无穷数列定义等差数列数列等差数列的前n 项和等比数列等比数列前n 项和S n等差中项ba c2通项 a a n 1 dn1公差 da n a mn mn a1 a nS n2数列的应用S n na1n n1d2定义公比q n m a na m等比中项 a n2a p a q通项a n a1q n 1na1q1a11q n anqq 11qa11q必修五a b 0a b第三章不等式与不等关系a b0a ba b 0a b一元二次不等式及不其解法等式根本不等式二元一次不等式〔组〕与简单线性规划问题ax2bx c0ax2bx c0ax2bx c0a b 2 ab最大最小值问题一元一次不等式〔组〕与平面区域目标函数线性目标函数线性规划简单的线性规划问题可行解可行域最优解选修 1-1第一章命题及其关系常充分条件和必要条件用逻辑用语简单的逻辑连接词全称量词与存在量词真命题：判断为真的语句命题假命题：判断为假的语句四种命题及其关系原命题逆命题四种命题否命题逆否命题充分条件和必要条件充要条件且或非全称量词x M , p( x)存在量词x M , p( x)含有一个量词的命题的否认x M , p(x)nx i y i nx yb i1n2x i2nxi 1a y bx 选修 1-2回归分析的根本思想及初步应用样本中心第一章统计案例独立性检验的根本思想与初步应用第二章合情推理合情推理与演绎推理推理演绎推理与证明总偏差平方和回归方程y bx a分类变量随机变量 K 2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
人教B版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何---单元专题梳理》课件
个很方便、实用的工具,其思路明确,易于下手,过程较为程序化,
易于掌握.
(2)利用平面的法向量证明位置关系
单元专题梳理
典例剖析
解析
令 = ,则有 , ,, , , , . =
角与距离问题以及线面与面面位置关系问题的研究,提供了一
个很方便、实用的工具,其思路明确,易于下手,过程较为程序化,
易于掌握.
(1)求平面的一个法向量
单元专题梳理
典例剖析
解析
名师点评
单元专题梳理
专题3 平面的法向量的求法及其应用
已知平面,如果一个向量n的基线与平面垂直,则向量n叫作平
面的法向量或说向量n与平面正交.法向量的引进,对空间夹
单元专题梳理
专题4 立体几何中存在性问题的向量解法
平行、垂直、夹角和距离等问题是立体几何中的主要问题,而以它们
为背景的探索性问题是近几年来高考数学命题创新的一个显著特点.
由于此类问题所涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统的方法
解决起来难度较大,若用向量法处理,尤其是引入坐标表示的空间向
量,通过待定系数法求解存在性问题则思路简单,解法固定,操作方便.
人教B版同步教材名师课件
《空间向量与立体几何》
---章末专题梳理
单元知识导图
单元专题梳理
专题1 空间向量的有关概念及线性运算
用已知向量表示未知向量以及进行向量表达式的化简,一定
要结合实际图形,以图形为指导是解题的关键,同时注意首尾
相接的和向量的化简方法以及从同一个点出发的两个向量的
差向量的运算法则,避免出现方向错误.
(完整版)高中数学知识结构框图
必修一：第一章集合
第三章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
必修二：第一章立体几何初步
第二章 平面解析几何初步
必修三：第一章 算法初步
第二章 统计
第三章 概率
必修四：第一章 基本初等函数（II）
函
数
性Байду номын сангаас
质
图象
定义域
值域
最值
当 时， ；当
时， ．
当 时，
；当
时， ．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
第二章平面向量
第三章三角恒等变换
必修五：第一章解三角形
第二章 数列
考研数学一章节知识结构图
重积分
计算公式 二重积分的极坐标变换面积微元 重积分变量替换 三重积分柱坐标变换，体积微元
d σ= rdrd θ dV = rdrd θ dz
三重积分球坐标变换、体积微元
几何应用 应用 物理应用 多元函数积 分学 平面图形面积、体积 质量、质心、转动惯量
dV = ρ sin ? dρ d? dθ
2
基本概念、性质
8
第九章
常微分方程
基本概念 一阶微分方程 基本类型 变量可分离方程 一阶线性方程 全微分方程 伯努力方程 可化为基本类型 齐次方程 用某些简单的变量代换求解某些微分方程
常 微 分 方 程
解的叠加原理 性质 通解的结构 可降阶的 高 阶微分方程 基本概念 可降阶的类型 二阶，高阶微分方程
基本概念 二阶线性常系数方程 高阶线 性微 分方程 二阶微分方程（含 某些高阶情形） 特殊的二阶线性变系数方程 可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程）
奇偶性与周期函数的导数性质 隐函数与反函数求导法 分阶函数求导法 基本求导法则 含参数方程所确定的函数的求导 对数求导法及幂指数求导法 导 数的 计 算与 高 阶导数 高阶导数
导 数 与 微 分
高阶导数的定义
极大值、极小值
微分 中值 定理 与 导数的应用
几种微分中值定理
（ 费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公定、柯西定理）
17
第三章
多维随机变量及其概率分布
基本概念
多维，二维随机变量 离散型
考研数学一章节知识结构图
第一部分 第一章 高等数学 函数、极限与连续性
函数的概念 反函数、复和函数 函数 常见的几种函数形式（初等函数、分段函数、隐函数、由参数确定的函 数、由变限积分确定的函数，由级数确定的函数） 函数的四种特性：单调性、奇偶性、周期性、有界性
2023年《师说》高考数学一轮复习 课件第8章 立体几何与空间向量
台体(棱台
和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
球
2
4πR
S＝________
体积
S底·h
V＝________
【微点拨】
(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与
平面几何知识来解决．
(2)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等积法．
(3)柱体、锥体、台体体积之间的关系：
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积
的关系：S直观图＝
2
S原图形．
4
[巩固训练2]
如图是一个水平放置的直观图、它是一个底角为45；腰和上底均为1，
2＋ 2
下底为 2＋1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为________．
解析：∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，
“对棱相等”模型是指三棱锥的相对的两条棱相等，应用数学建模
素养，构建长方体，将该三棱锥放入该长方体中，使三棱锥的顶点与
长方体的顶点重合，将该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球，
从而求出该外接球的半径，如图．
2
，
3
[典例2] 在平行四边形ABCD中，AB＝2 2，BC＝3，且cos A＝
沿BD将△BDC折起，使点C到达点E处，且满足AE＝AD，则三棱锥E
a
3．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝ ，外接球半径R＝
2
3
a.
2
4．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝
a2 +b2 +c2
.
2
5．设正四面体的棱长为a，则它的高为
接球半径R＝
向量的积题型-概述说明以及解释
向量的积题型-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述向量的积是高中数学中的一个重要概念，也是解决几何与代数问题的基础。
在数学中，我们常常遇到需要计算两个向量的积的情况，例如内积和外积。
内积也被称为点积，是两个向量乘积的数量积，结果是一个标量。
外积也被称为叉积，是两个向量乘积的向量积，结果是一个向量。
在几何中，向量的积有很多重要的应用。
内积可以用来求解向量的长度、夹角以及判定两条线段是否相交。
外积可以用来求解平面的面积、法向量等几何问题。
在物理中，向量的积还有更广泛的应用，例如力矩、磁场等。
本文将围绕向量的积这一主题展开讨论。
首先，我们将介绍内积和外积的定义和性质，包括计算公式和几何意义。
然后，我们将详细讨论内积和外积在几何和物理中的具体应用。
最后，我们将总结向量的积的重要性，并展望未来在数学和科学领域的应用前景。
通过深入学习向量的积的知识，我们可以更好地理解几何和代数问题，并能够灵活运用向量的积解决实际问题。
不仅如此，向量的积还是数学和物理领域中的基础概念，对于进一步学习和研究相关领域具有重要意义。
在接下来的正文部分，我们将逐一介绍向量的积的各个方面，包括内积和外积的定义、性质以及应用。
希望读者通过阅读本文，能够对向量的积有一个全面的了解，进一步提升数学水平和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织和布局，让读者能够清楚地了解文章的主要部分和内容安排。
本文的结构如下：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在这一部分，我们将简要介绍本篇文章的主题和目的，并概述各个章节的主要内容。
第二部分是正文，包括第一个要点和第二个要点。
在这一部分，我们将详细介绍向量的积题型的相关知识和技巧。
第一个要点将重点介绍某一种特定类型的向量积题目，并提供解题方法和实例。
第二个要点将介绍另一种类型的向量积题目，同样提供解题方法和实例。
通过这两个要点的介绍，读者将对向量的积题型有一个全面的了解。
两个向量相等和两个相等的向量-概念解析以及定义
两个向量相等和两个相等的向量-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量是数学中常见的概念，它在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
在向量的研究中，一个重要的问题就是判断两个向量是否相等。
相等的向量具有一些重要的性质和应用，因此对相等向量的研究具有重要的理论和实际意义。
本篇文章将围绕“两个向量相等和两个相等的向量”这个主题展开讨论。
首先，我们将给出对两个向量相等的定义，明确相等向量的概念。
其次，我们将介绍判断两个向量相等的条件，通过一些定理和推导，揭示相等向量之间的关系和特点。
同时，我们也会通过一些例子和应用来说明相等向量的重要性。
这些例子可以帮助读者更好地理解相等向量的概念，并将其运用到实际问题中。
例如，在物理学中，判断力或位移向量是否相等可以帮助我们分析物体的运动状态；在计算机科学中，判断两个向量相等可以用于图像处理、模式匹配等领域。
最后，我们将总结两个向量相等的概念和条件，并强调相等的向量在数学和实际应用中的重要性。
同时，我们还会展望未来对相等向量研究的一些可能方向，以期推动向量理论的进一步发展。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解两个向量相等的定义、判断条件以及相等向量的应用。
这些知识将有助于读者在实际问题中更好地运用向量理论，深入理解向量的性质和特点。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论和分析两个向量相等和两个相等的向量的概念、条件、例子和应用。
具体结构如下：1.2.1 引言在引言部分，将对本文的研究主题进行概述，并阐明本文的目的和意义。
通过介绍两个向量相等和两个相等的向量的背景，引发读者对该主题的兴趣。
1.2.2 两个向量相等的定义在这一部分，将详细探讨两个向量相等的定义。
介绍什么是向量以及向量相等的概念。
通过给出数学定义和示例，帮助读者理解和把握向量相等的概念。
1.2.3 判断两个向量相等的条件这一部分将介绍判断两个向量相等的条件。
讨论向量相等的充要条件，并给出具体的判断方法和例子。
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即: