必修4第三章三角恒等变形复习课

sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
(2)条件恒等式的证明． 这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细 探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是 代入法和消元法．
2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等； 在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着 目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
a 2＋b2 a asinα＋bcosα＝ cos( α－φ)，其中 tanφ＝ . b
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角各 个名称． 1＋3tanθ 3＋5tanθ 化简： － 2cos2θ＋sin2 θ－1 cos2 θ－4sin2 θ－4
1＋3tanθ 3＋ 5tan θ 化简 － 2cos2θ ＋sin2 θ －1 cos2θ －4sin2θ － 4
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”： （1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面思考. （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、 逆用、变用.
23＋cos4x 1 求证：tan x＋tan2x＝ . 1－cos4x
2
[分析]
本题目中角有x、4x，函数名称有切、有弦．证
明可从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称．
sin2x cos2x sin4x＋cos4x [证明] 左边＝ 2 ＋ 2 ＝ cos x sin x sin2xcos2x sin2x＋cos2x 2－2sin2xcos2x ＝ 1 2 sin 2x 4 1 2 1 2 1－ sin 2x 1－ sin 2x 2 2 ＝ ＝ 1 2 1 sin 2x 1－cos4 x 4 8 8－4sin22x 8－2(1－cos4 x) ＝ ＝ 1－cos4x 1－cos4x 2 3＋cos4x ＝ ＝右边． 1－cos4x
＝
1 1 ＋ cosθ（cosθ－sinθ） cosθ（cosθ＋sin θ）
cosθ＋sin θ cosθ－sin θ ＝ ＋ 2 2 cosθ cos θ－sin θ cosθ cos2θ－sin 2θ ＝ 2cosθ 2 ＝ . cosθ· cos2 θ cos2 θ
专题二
三角函数的求值
三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角之间的关系， 利用三角变换消去非特殊角， 转化为 求特殊角的三角函数问题； (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一 些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”， 如： α＝(α＋β) －β， 2α＝(α＋β)＋ (α－β)等． 把所求角用含已知角的式子表示， 求解时要注意角范围的讨论；
π (2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋ )＋3＝3－2 3， 6 π 故cos(2α＋ )＝－1. 6 π π π π 又由0<α<2，得6<2α＋6<π＋6， π 5 故2α＋6＝π，解得α＝12π. 4 π 从而tan5α＝tan3＝ 3.
课堂小结：
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是：
专题四
三角恒等变换
三角恒等变换是三角函数的重要内容， 搞清公式间的关系 是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚 角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会 α 逆向运用； 对于倍、 半角公式， 可从α与 之间的关系出发思考， 2 通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系． 对于和积互化 公式， 应抓住公式特点进行变形， 辅助角公式则是应用较为广 泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时， 常 使用此公式变换．
2 2 2 ＝ . 2α 2α 2α sin ＋cos 1＋tan 2 2 2
基本知识框架：
S
几何法，三 角函数线
S 2
T T
C
S
C
C 2
C S
2 2
T2
T
2
专题一
三角函数式的化简
1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
⑴ 找差异：角、名、形的差异；
⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个公式联系起来； ⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式. （4）常用技巧： ①弦化切 ②化“1” ③正切的和、积 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角 ④角变换
2．三角函数式化简的基本技巧． (1)sin α，cosα→凑倍角公式． (2)1±cosα→升幂公式． π α α2 (3)1±sinα化为 1±cos( ±α)，再升幂或化为(sin ±cos ) . 2 2 2 (4)asin α ＋ bcosα→ 辅 助 角 公 式 asinα ＋ bcosα ＝ a2＋b2sin(α ＋ φ) ，其中 tanφ ＝ b a 或
2
4. 几个三角恒等式： (1)半角公式 1 cos
sin

2
=
cos

2 sin cos 2 2 2 2 2 sin 2

2


2
sin 1 cos

所在 2
注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 的象限确定.
(2)万能公式
α α α 2sin cos 2tan α α 2 2 ＝ 2 . sin α ＝2sin cos ＝ 2 2 α α α 2 2 2 sin ＋cos 1＋tan 2 2 2 α α cosα ＝cos 2 －sin 2 ＝ 2 2 α 2 cos α 2 －sin α 2 1－tan
[解析]
∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π.
11 又cos(α＋β)＝－14 ∴sin(α＋β)＝ 又tanα＝4 3
2 2 sin α tan α 48 2 ∴sin α＝ 2 . 2 ＝ 2 ＝ 49 sin α＋cos α 1＋tan α
11 2 5 3 1－－14 ＝ 14 .
4 3 1 2 ∴sinα＝ 7 ，从而cosα＝ 1－sin α＝7，
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－14)×7＋ 14 × 7 ＝2.
专题三
三角恒等式的证明
1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换， 消除三角等式两端的差异， 这是 三角变换的重要思想之一． 证明的一般思路是由繁到简， 如果 两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．
(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角， 把所求角用含有已知角的式子表示， 由所得的函数值结合该函 数的单调性求得角．
11 已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－ ，α、β均为锐 14 角，求 cosβ的值． [分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换， 则 cosβ＝cos[(α ＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
cosθ＋3sinθ cosθ [解析] 原式＝ － 2(cos2θ－sin 2θ)＋2sinθcosθ－(cos2θ＋sin2θ) 3cosθ＋5sinθ cosθ (cos2θ－sin2θ)－8sinθcosθ－4(cos2θ＋sin 2θ)
cosθ＋3sinθ cosθ ＝ ＋ cos2θ－3sin 2θ＋2sin θcosθ 3cosθ＋5sinθ cosθ 3cos2θ＋5sin 2θ＋8sin θcosθ cosθ＋3sin θ 3cosθ＋5sinθ cosθ cosθ ＝ ＋ cosθ＋3sinθ cosθ－sinθ 3cosθ＋5sin θ cosθ＋sin θ 1 1 ＝ ＋ cosθ(cosθ－sinθ) cosθ(cosθ＋sin θ)
设f(x)＝6cos2x－ 3sin2x. (1)求f(x)的最大值及最小正周期； 4 (2)若锐角α满足f(α)＝3－2 3，求tan α的值． 5 [分析] 将f(x)化成一角一函数的形式，再用y＝Asin(ωx
＋φ)的性质作出解答．
1＋cos2 x [解析] (1)f(x)＝6 － 3sin2 x 2 ＝3cos2 x－ 3sin2 x＋3 3 1 ＝2 3( cos2x－ sin2 x)＋3 2 2 π ＝2 3cos(2x＋ )＋3， 6 故 f(x)的最大值为 2 3＋3； 2π 最小正周期 T＝ ＝π. 2
a a b
2 2
确定.
3. 二倍角公式:
sin 2 2 sin cos
变形
(sin cos ) 1 sin 2
2
2
百度文库
1 2sin
2
变形
1 cos 2 sin 2
变形
2 tan tan 2 2 1 tan
（ 降幂公式 ）
1 cos sin cos 2 2 2 2 2 sin 2 sin 1 cos 1 cos 2 2 tan = 1 cos cos 2 sin cos 2 sin
a 2 b2 sin(x ) . b 其中 由 sin ， cos 2 2
a b
说明： 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin +b cos 的函 数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
这个公式 有什么作 用？