2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册 6.3 平面向量线性运算的应用 学案

6.3 平面向量线性运算的应用
学习目标
考点学习目标核心素养
几何应用通过本节课学习理解向量
在处理有关平面几何问题
中的优越性并体会向量在
几何和现实生活中的意义
数学抽象、数学建模
物理应用运用向量的有关知识(向
量加减法与向量数量积的
运算法则等)解决简单的
物理问题
数学抽象、数学建模
自主预习
预习教材P168~170的内容,解决以下问题:
1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为()
A.-1
B.1
C.2
D.-1或2
2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.
4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=.
课堂探究
一、向量在平面几何中的应用
例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=1
2
BC.
例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.
求证:四边形AECF是平行四边形.
例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值.
跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =1
4AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE
⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2r+3s=()
A.1
B.2
C.3
D.4
二、向量在物理中的应用
例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小.
跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,试用向量的减法来求水流的速度大小.
课堂练习
1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是()
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()
A.(9,1)
B.(1,9)
C.(9,0)
D.(0,9)
3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=1
4
AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.
核心素养专练
1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为()
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.|v1
v2
|
2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-7
3),B(1,1
3
),C(-1
2
,2),D(-7
2
,-2),则四边形ABCD是()
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
3.查阅资料,了解更多向量线性运算在平面几何和物理等方面的应用.
参考★★答案★★
自主预习
略 课堂探究
:因为M ,N 分别是AB ,AC 边上的中点,所以AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
从而可知MN ∥BC 且MN=1
2
BC.
例2 证明:由已知可设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,
则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a . 又因为a+b=b+a ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC
⃗⃗⃗⃗⃗ , 因此AE FC ,从而可知四边形AECF 是平行四边形.
例3 解:因为AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为E ,F 都是中点,所以
AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF
⃗⃗⃗⃗⃗ . 另外,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(s-2)OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t-2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ .
从而由共线向量基本定理可知s=t=2,因此AO ∶OF=CO ∶OE=2∶1. 跟踪训练 C 解析:根据图形由题意可得 AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )
=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以r=12,s=2
3
,
所以2r+3s=1+2=3.
例4 解:因为物体处于平衡状态,所以F 1+F 2是重力的相反向量,因此|F 1+F 2|=50 N .
又由图与向量加法的平行四边形法则可知,F 1+F 2的方向是竖直向上的,且|F 1+F 2|=2|F 1|sin 45°=2|F 2|sin 45°, 所以|F 1|=|F 2|=
50N
2sin45°
=25√2 N . 因此,每条绳上的拉力为25√2 N .
跟踪训练 解:设船在静水中的速度为v 1,水流速度为v 2,船的实际速度为v 3,建立如图坐标系.
|v 1|=5,|v 3|=20
5
=4,则
v 3=(0,4),v 1=(-3,4),v 2=v 3-v 1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).
所以|v 2|=3.即水流的速度大小为3 m/s . 课堂学习
1.B 解析:因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-3),所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,而|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,故为邻边不相等的平行四边形.
2.A 解析:F =F 1+F 2+F 3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0), 设终点为B (x ,y ),则(x-1,y-1)=(8,0),
所以{x -1=8,y -1=0,所以{x =9,y =1,
所以终点坐标为(9,1).
3.证明:设AD
⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -a =14
b -34
a , FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =
b -34AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =14b -34a , 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且D ,E ,F ,B 四点不共线,所以四边形DEBF 是平行四边形.
核心素养专练
1.B 解析:由向量的加法法则可得人的实际速度为v 1+v
2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.
2.A 解析:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,8
3
),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),
所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23
DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥DC.
又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+
649=103
,|DC ⃗⃗⃗⃗⃗
|=√9+16=5, 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是梯形. 3.略
第1课时
学习目标
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.
2.会用向量方法解决某些简单的力学问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心素养.
自主预习
一、预习教材P 168~170的内容,思考以下问题: 1.平面向量是如何体现在几何问题中的? 2.平面向量是如何体现在物理问题中的? 二、复习回顾:
1.若a =(x ,y ),则|a |=
2.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=
3.如何用向量法证明AB ∥CD ?
4.如何用向量法证明A ,B ,C 三点共线?
5.若质点O 在三个力F 1,F 2,F 3的作用下处于平衡状态,则三个力满足的关系式为 . 三、自我检测:
1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |,那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形
B.菱形
C.长方形
D.正方形
2.已知三个力F 1=(-2,-1),F 2=(-3,2),F 3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F 4,则F 4等于( )
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
课堂探究
合作探究一:向量在平面几何中的应用
例1 如图所示,MN 是△ABC 的中位线,求证:MN ∥BC 且MN=12
BC.
例2 如图所示,已知在平行四边形ABCD 中,E ,F 在对角线BD 上,并且BE=FD. 求证:四边形AECF 是平行四边形.
例3 如图所示,已知在△ABC 中,E ,F 分别为AB ,BC 的中点,AF 与CE 相交于点O ,求AO ∶OF 与CO ∶OE 的值.
变式训练1 若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该四边形一定是( ) A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
合作探究二:向量在物理中的应用
例4 如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小.
变式训练2 用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为 N .
核心素养专练
1.已知四边形ABCD 各顶点坐标是A (-1,-73
),B (1,13
),C (-12
,2),D (-72
,-2),则四边形ABCD 是 ( )
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形 2.河水的流速为5 m/s,一艘小船想以12 m/s 的速度沿垂直河岸方向驶向对岸,则小船的静水速度大小为( )
A.13 m/s
B.12 m/s
C.17 m/s
D.15 m/s
3.在直角三角形ABC 中,斜边BC 长为2,O 是平面ABC 内一点,点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则|AP
⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A.2 B.1 C.12
D.4 4.当两人提起重量为G 的旅行包时,夹角为θ,两人用力大小都为|F |,若|F |=|G |,则θ的值为( ) A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
5.如图,设P 为△ABC 内一点,且2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则S △ABP ∶S △ABC = .
6.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,设AC=m ,BC=n. (1)若D 为斜边AB 的中点,求证:CD=1
2
AB ;
(2)若E 为CD 的中点,连接AE 并延长交BC 于F ,求AF 的长度(用m ,n 表示).
参考★★答案★★
自主预习
略 课堂探究
例1 证明:因为M ,N 分别是AB ,AC 的中点,
所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以MN ∥BC 且
MN=1
2
BC.
例2 证明:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a , 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此AE FC 所以四边形AECF 是平行四边形. 例3 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,选取基底{OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ }, AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, ∴{s =2,-t =-2.
∴s=t=2,∴AO ∶OF=CO ∶OE=2∶1. 变式训练1 D
例4 解:因为物体处于平衡状态,所以
F 1+F 2+
G =0;∴|F 1+F 2|=|G |=50.
又由图及向量加法的平行四边形法则知:F 1+F 2的方向竖直向上的, 且|F 1+F 2|=2|F 1|sin 45°=2|F 2|sin 45°.
∴|F 1|=|F 2|=50N
2sin45°=25√2 N,∴每条绳上的拉力为25√2 N . 变式训练2
解析:如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,
则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,即每根绳子的拉力大小为10 N . 核心素养专练
1.A
2.A
3.B
4.D
5.1∶5
6.解:(1)证明:以C 为坐标原点,以边CB ,CA 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,A (0,m ),B (n ,0).
∵D 为AB 的中点,∴D (n 2,m
2),
∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1
2
√n 2+m 2,
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√m 2+n 2, ∴|CD
⃗⃗⃗⃗⃗ |=12
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即CD=12
AB. (2)∵E 为CD 的中点,∴E (n 4,m 4
), 设F (x ,0),则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n 4
,-34
m),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,-m ). ∵A ,E ,F 三点共线,∴AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 即(x ,-m )=λ(n 4,-3
4
m),则{
x =n 4
λ,-m =
-3
4
mλ, 故λ=43
,即x=n 3
,∴F (n 2,0),
∴|AF
⃗⃗⃗⃗⃗ |=1
3√n 2+9m 2,即AF=1
3
√n 2+9m 2. 第2课时
学习目标
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.
2.会用向量方法解决某些简单的物理问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心素养.
自主预习
一、复习回顾
1.用向量方法解决平面几何问题的步骤及方法.
2.用向量方法解决物理问题的步骤. 二、自我检测
1.已知向量a =(-2,m )与向量b =(1-m ,1)平行,则实数m 的值为( )
A.-1
B.1
C.2
D.-1或2
2.如图,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),则AC 与OB 的交点P 的坐标为 .
3.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若用坐标表示合力F ,则F = .
课堂探究
合作探究一:向量在平面几何中的应用
例1 如图,已知在直角梯形ABCD 中,AD ⊥AB ,AB=2AD=2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,M 为CE 的中点, 用向量的方法证明:(1)DE ∥BC ;(2)D ,M ,B 三点共线.
变式训练1 如图,在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是AD ,AB 的中点,G 为BE 与DF 的交点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .
(1)试以a ,b 为基底表示BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求证:A ,G ,C 三点共线.
合作探究二:向量在物理中的应用
例2 一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上,并且A ,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移.
变式训练2 如图,一物体受到两个大小均为60 N 的力的作用,两力的夹角为60°且有一力方向水平,求合力的大小及方向.
核心素养专练
1.人骑自行车的速度是v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度为( )
A.v 1-v 2
B.v 1+v 2
C.|v 1|-|v 2|
D.|v
1v
2
|
2.已知作用在点A 的三个力F 1=(3,4),F 2=(2,-5),F 3=(3,1),且A (1,1),则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为( ) A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0)
D.(0,9)
3.在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一点,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则S
△ABD S △ABC
=( )
A.23
B.13
C.1
6
D.12
4.如图,在直角梯形ABCD 中,DC
⃗⃗⃗⃗⃗ =14
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2r+3s=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v =(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处,其所用时间为 .
6.某物体做斜抛运动,初速度|v 0|=10 m/s,与水平方向成60°角,不计空气阻力,则该物体在水平方向上的速度是 m/s .
7.已知点A (√3,1),B (0,0),C (√3,0),∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于点E ,则BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ等于 . 8.如图,在△ABC 中,M 是BC 的中点,点N 在AC 上,且AN=2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值.
参考★★答案★★
自主预习
略 课堂探究
例1 证明:以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图.
令|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.∵CE ⊥AB ,AD=DC ,∴四边形AECD 为正方形. ∴各点坐标分别为E (0,0),B (1,0),C (0,1),D (-1,1),A (-1,0). (1)∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1)-(0,0)=(-1,1), BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DE ∥BC. (2)∵M 为EC 的中点,∴M (0,1
2
),
∴MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1)-(0,12)=(-1,1
2),
MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)-(0,12
)=(1,-12
). ∵MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M ,∴D ,M ,B 三点共线.
变式训练1 解:(1)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b-a ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
a-b . (2)证明:因为D ,G ,F 三点共线,则DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2λa +(1-λ)b . 因为B ,G ,E 三点共线,则BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-μ)a +12
μb ,
由平面向量基本定理知{12
λ=1-μ,1-λ=12
μ,
解得λ=μ=23
,
所以AG
⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3(a+b )=1
3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A ,G ,C 三点共线. 例2
解:如图所示,设A 地在东西基线和南北基线的交点处,则A (0,0),B (-1 000cos 30°,1 000sin 30°),即(-500√3,500), C (-2 000cos 30°,-2 000sin 30°),
即(-1 000√3,-1 000),∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-500√3,-1 500), ∴|BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-500√3)2+(-1 500)2=1 000√3(km). ∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000√3 km,方向是南偏西30°.
变式训练2 【解】
以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形OACB ,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为合力.由已知可得△OAC 为等腰三角形,且∠COA=30°,过A 作
AD ⊥OC 于点D ,则在Rt △OAD 中,|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos 30°=60×√3
2
=30√3,故|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=60√3,即合力的大小为60√3 N,方向与水平方向成30°角.
核心素养专练
1.B
2.A
3.D
4.C
5.3
6.5
7.-3
8.解:设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3b -a ,BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b . ∵A ,P ,M 三点共线,∴存在实数x ,使AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x a -3x b , ∵B ,P ,N 三点共线,∴存在实数y ,使BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y a +y b , ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2y )a +(3x+y )b , ∵BA
⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b , ∴{
x +2y =2,3x +y =2,
∴x=45,y=3
5.
∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35
BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AP ∶PM=4∶1,BP ∶PN=3∶2.
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