2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册 6.3 平面向量线性运算的应用 学案

6.3 平面向量线性运算的应用

学习目标

考点学习目标核心素养

几何应用通过本节课学习理解向量

在处理有关平面几何问题

中的优越性并体会向量在

几何和现实生活中的意义

数学抽象、数学建模

物理应用运用向量的有关知识(向

量加减法与向量数量积的

运算法则等)解决简单的

物理问题

数学抽象、数学建模

自主预习

预习教材P168~170的内容,解决以下问题:

1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为()

A.-1

B.1

C.2

D.-1或2

2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()

A.(-1,-2)

B.(1,-2)

C.(-1,2)

D.(1,2)

3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.

4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=.

课堂探究

一、向量在平面几何中的应用

例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=1

2

BC.

例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.

求证:四边形AECF是平行四边形.

例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值.

跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =1

4AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE

⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC

⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE

⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD

⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2r+3s=()

A.1

B.2

C.3

D.4

二、向量在物理中的应用

例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小.

跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,试用向量的减法来求水流的速度大小.

课堂练习

1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是()

A.梯形

B.邻边不相等的平行四边形

C.菱形

D.两组对边均不平行的四边形

2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()

A.(9,1)

B.(1,9)

C.(9,0)

D.(0,9)

3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=1

4

AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.

核心素养专练

1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为()

A.v1-v2

B.v1+v2

C.|v1|-|v2|

D.|v1

v2

|

2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-7

3),B(1,1

3

),C(-1

2

,2),D(-7

2

,-2),则四边形ABCD是()

A.梯形

B.平行四边形

C.矩形

D.菱形

3.查阅资料,了解更多向量线性运算在平面几何和物理等方面的应用.

参考★★答案★★

自主预习

略 课堂探究

:因为M ,N 分别是AB ,AC 边上的中点,所以AM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,

从而可知MN ∥BC 且MN=1

2

BC.

例2 证明:由已知可设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,

则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a . 又因为a+b=b+a ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC

⃗⃗⃗⃗⃗ , 因此AE FC ,从而可知四边形AECF 是平行四边形.

例3 解:因为AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为E ,F 都是中点,所以

AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF

⃗⃗⃗⃗⃗ . 另外,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,

CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(s-2)OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t-2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ .

从而由共线向量基本定理可知s=t=2,因此AO ∶OF=CO ∶OE=2∶1. 跟踪训练 C 解析:根据图形由题意可得 AE

⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2

3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )

=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23

(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23

AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以r=12,s=2

3

,

所以2r+3s=1+2=3.

例4 解:因为物体处于平衡状态,所以F 1+F 2是重力的相反向量,因此|F 1+F 2|=50 N .

又由图与向量加法的平行四边形法则可知,F 1+F 2的方向是竖直向上的,且|F 1+F 2|=2|F 1|sin 45°=2|F 2|sin 45°, 所以|F 1|=|F 2|=

50N

2sin45°

=25√2 N . 因此,每条绳上的拉力为25√2 N .

跟踪训练 解:设船在静水中的速度为v 1,水流速度为v 2,船的实际速度为v 3,建立如图坐标系.

|v 1|=5,|v 3|=20

5

=4,则

v 3=(0,4),v 1=(-3,4),v 2=v 3-v 1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).