中职二项式定理第一课时课件
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数学：《二项式定理》课件可编辑全文
3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项. 4.展开式中的每一项都来自于 n 个括号的各个括号.
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Crn(r 0,1, 2, , n)
项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
二项式定理
例题讲解
例 1．求 (2 x 1 )6 的展开式. x
64 x 3
192x2
240 x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理
【1】求 (3x 1 )4 的展开式. x
(3x
1 x
)4
81x4
5
108x 2
54 x
12
x
1 2
x 2
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
解：（1） (1 2x)7 的展开式的第 4 项是
T31 C73 173 (2 x)3 C73 23 x3 35 8x3 280x3 .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
（2）解： (x 1 )9 的展开式通项是 x
C9r
x9r
(
1 x
)
r
(1)r C9r x92r ,
根据题意，得 9 2r 3,
r 3.
因此， x3 的系数是 (1)3C93 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b)6 的展开式的第 3 项. 答案：T3 2160a4b2 .
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Crn(r 0,1, 2, , n)
项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
二项式定理
例题讲解
例 1．求 (2 x 1 )6 的展开式. x
64 x 3
192x2
240 x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理
【1】求 (3x 1 )4 的展开式. x
(3x
1 x
)4
81x4
5
108x 2
54 x
12
x
1 2
x 2
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
解：（1） (1 2x)7 的展开式的第 4 项是
T31 C73 173 (2 x)3 C73 23 x3 35 8x3 280x3 .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
（2）解： (x 1 )9 的展开式通项是 x
C9r
x9r
(
1 x
)
r
(1)r C9r x92r ,
根据题意，得 9 2r 3,
r 3.
因此， x3 的系数是 (1)3C93 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b)6 的展开式的第 3 项. 答案：T3 2160a4b2 .
二项式定理(PPT课件)
2 组合证明
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理第一课
0 n n
1 n1 n
k n k k n
二项式
（2）说明: ①上述公式中的
如 a 1, b 2 x 则有
二项展开式
a , b具有任意性
n
0 1 2 2 k k n n 1 x C C x C x C x C a 1, b x 如 则有 n n n n nx
a b
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C a C a b C a b C b
0 n n
7
3
1 n1 n
k n k k n
n n n
④项的系数与项的二项式系数是有区分的，如
1 2 x 的第四项为C
3 7
3 7
1
7 3
2 x ，第四项的二项式系
.
3 3 数为 C 35 ，而第四项的系数为 C7 2 280
例3.求
12
它的第10项.展开式的第10项是:
T10 C x
9 129 12
a C x a 220x a
9 3 3 9 12
3 9
x 3 9 ( ) 例4.求： 3 x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
x 9 r 3 r r 2 r 9 Tr 1 C ( ) ( ) C9 3 x 3 x
100 100
r 100r 100
C 7 C 7
99 1 100
0
∴8
被7除的余数是1，因此 8 一天是星期六.
100
100
天后的这
小结:
(1) 基础知识及其简单应用:
二项式定理
第 k 1 项的二项式系数 通项
1 n1 n
k n k k n
二项式
（2）说明: ①上述公式中的
如 a 1, b 2 x 则有
二项展开式
a , b具有任意性
n
0 1 2 2 k k n n 1 x C C x C x C x C a 1, b x 如 则有 n n n n nx
a b
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C a C a b C a b C b
0 n n
7
3
1 n1 n
k n k k n
n n n
④项的系数与项的二项式系数是有区分的，如
1 2 x 的第四项为C
3 7
3 7
1
7 3
2 x ，第四项的二项式系
.
3 3 数为 C 35 ，而第四项的系数为 C7 2 280
例3.求
12
它的第10项.展开式的第10项是:
T10 C x
9 129 12
a C x a 220x a
9 3 3 9 12
3 9
x 3 9 ( ) 例4.求： 3 x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
x 9 r 3 r r 2 r 9 Tr 1 C ( ) ( ) C9 3 x 3 x
100 100
r 100r 100
C 7 C 7
99 1 100
0
∴8
被7除的余数是1，因此 8 一天是星期六.
100
100
天后的这
小结:
(1) 基础知识及其简单应用:
二项式定理
第 k 1 项的二项式系数 通项
中职数学课件8.3二项式定理
8.3.1 二项式定理
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 （1）求写出(2x-1)7的展开式的第4项的系数；
1 5
（2）求的 x+
展开式中含x³项的二项式系数．
x
解（1） (2x-1)7的展开式的第4项是
T4= T3+1= C37 ×(2x) 7−3×(-1)3 = C37 ×24×(-1)3·x4 =35×(-16) ·x4=-560x4．
8.3.1 二项式定理
例3
求写出
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2 8
x−
的二项展开式的常数项．
x
2 8
解
x−
的展开式的通项是
x
8−
8−k
2
−
Tk+1=C8 x
−
= C8 · 2 · (-2)k · 2 = C8 · (−2)k ·
x
x4−k ．
依题意，得
解得
所以，展开式第4项的系数是-560．
1 5
（2） x+
的展开式的通项是
x
5-k 1 k
Tk+1=C5 x ( ) =C5 x5−2k．
x
依题意，得 5-2k=3．解得k=1．
即二项展开式中含x³的项为第2项，此项的二项式系数为C1 =5．
8.3.1 二项式定理
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
母a的次数降幂排列为
a4，a3b，a2b2，ab3，b4 ．
4 个(a+b)中都不选b的选法有 种，得到a4的系数为 种；4 个(a+b)中有
二项式定理(一)课件
03 二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
01
02
03
04
二项式定理的扩展形式包括二 项式定理的逆用、二项式定理 的变形以及二项式定理的推广
。
二项式定理的逆用是指将二项 式定理中的幂次和系数互换，
从而得到新的等式。
二项式定理的变形是指通过改 变二项式定理中的幂次或系数
，从而得到新的等式。
二项式定理的推广是指将二项 式定理应用到更广泛的情况， 例如应用到多项式、分式等。
解析
根据二项式定理，$(a + b)^{2}$ 可以展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，与给定的等式一致。
习题二：证明题
题目
证明 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$。
解析
首先展开 $(a - b)(a + b)$，得到 $a^{2} - b^{2}$，与给定的等式一致。
习题三：综合应用题
题目
计算 $(a + b + c)^{3}$ 的展开式。
解析
根据二项式定理，$(a + b + c)^{3}$ 可以展开为 $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} + c^{3} + 3ac^{2} + 3bc^{2} + 3ab^{2}c + 3ac^{2}b$。
利用组合数的性质和二项式展开式的 性质来推导公式。
公式证明的过程
基础步骤
当$n=0$和$n=1$时，公式成立。
归纳步骤
假设当$n=k$时公式成立，证明当$n=k+1$时公式也成立。
二项式定理(一)课件
二项式定理可以简化解决二项式相关问题的计 算过程。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
【高教版】中职数学拓展模块：3.2《二项式定理》ppt课件(1)
巩 固 知 识 典 型 例 题
Tm1 C x
m 9 m 9
(2) C9 (1)6 2 x 系数是指 x 的系数C3 (2)3 =-672． 9
6
3 二项式系数是 而第4项的 84 ； m m m C m m 9 9
4
9
由9－m=6,得m＝3．
即二项展开式中含 x 的项为第4项． 故这一项的系数是
m 10
10 m
首先求出公式中字母 故 m的取值，从而确定要 求的是哪一项，最后根 解得 m=5． 据公式写出该项，是解 决这类问题的一般方 所以二项式展开式中第5项是常数项，为 法． 10 9 8 7 6 5 C10 252． 5 4 3 2 1
10 m m 0． 2
( a b) 3 (a b)4
………… 1 5 10 10 5 1 (a b)5 …… …… 上述二项式系数列成的表，称为杨辉三角． 是我国宋朝时的 数学家杨辉于1261年所著《详解九章算法》中列出的图表．
可以看出二项式系数具有下列性质：
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；
10
二项式系数与系数．
自 我 反 思 目 标 检 测
系数最大项是第6项，该项的二项式系数是252．
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
读书部分：阅读教材相关章节
继 续 探 索 活 动 探 究
书面作业：教材习题3.2（必做） 学习指导3.2（选做）
实践调查：用本课所学知识解决
生活中的实际问题
3 1 a b 种，所以 的系数是 a 的系数是C4；恰有1个取b的情况有C1 C 4 4；
二项式定理课件-完美版
二项式定理的证明
二项式定理的证明可以采用数学归纳法，将其分成多个步骤，逐步推导出结 论。
二项式定理的应用
二项式定理在概率论、组合数学、排列组合等领域具有广泛的应用。它可以 用于求解二项式系数、展开多项式、计算概率等。
相关例题分析
通过具体的例题分析，我们可以更好地理解和应用二项式定理。我们将解答 一些典型的问题，帮助您掌握其中的关键思想和技巧。
二项式定理课件-完美版
欢迎来到二项式定理课件-完美版！在本次课程中，我们将深入探讨二项式定 理，包括定义、公式、证明、应用、相关例题分析、扩展以及结论和总结。
二项式定理的定义
二项式定理是一种代数公式，用于展开一个二项式的n次幂。
பைடு நூலகம்
二项式定理的公式
二项式定理的公式可以表示为：(a+b)×(a+b)=n!(n-k)!×a×a+b+n!k!×a×b+a
二项式定理的扩展
除了传统的二项式定理，还存在许多拓展的定理和公式，如多项式定理、卢 卡斯定理等。它们进一步延伸了二项式定理的应用范围。
结论和总结
通过学习本次课件，我们详细了解了二项式定理的定义、公式、证明、应用、 相关例题分析和扩展。希望您能够喜欢并从中获益。
课件1：§3.3 第1课时 二项式定理
[跟进训练]
1．(1)求3 x＋ 1x4的展开式；
(2)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn. [解] (1)法一：3 x＋ 1x4＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋
C24(3
x)2· 1x2＋C34(3
x)
1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
学以致用
1．在(x－ 3)10 的展开式中，含 x6 的项的系数是( )Байду номын сангаас
A．－27C610 C．－9C610
B．27C410 D．9C410
【解析】含 x6 的项是 T5＝C410x6(－ 3)4＝9C410x6. 【答案】D
2．在2x－31x8的展开式中常数项是( C )
A．－28
B．－7
C．7
4．化简：C0n2n＋C1n2n－1＋…＋Ckn2n－k＋…＋Cnn＝________. 【解析】原式＝(1＋2)n＝3n. 【答案】3n
5．设(x－ 2)n 的展开式中第二项和第四项的系数之比为 1∶2，求含 x2 的项．
[解] (x－ 2)n 的展开式中第二项和第四项分别为： T2＝C1n·xn－1(－ 2)＝－ 2nxn－1， T4＝C3n·xn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
(2)Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r， 令 9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3， 其系数为(－1)3·C39＝－84.
规律方法 1．二项式系数都是组合数 Crn(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系 数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． 2．第 r＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的 二项式系数为 Crn.例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4 ＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
二项式定理(PPT)1-1
❖
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弧边招潮蟹 Uca arcuata招潮蟹广泛分布于热带亚热带海岸的潮间带，全世界有80多种，少数也分布于靠近河口的内陆溪流岸边，多数栖息在红树林旁的滩涂或红树林之间的湿地，是红树林沼泽中最具代表性的螃蟹。 招潮蟹的生活习性与潮汐有密切关系。涨潮时，它挥舞着大螯，好像在招唤潮水快涨（因此得名“招潮蟹”）；在潮水到来之际，招潮蟹迅速钻进洞里并用一团淤泥塞好洞口，使潮水无法进入洞穴，洞内仍有一些空气可供呼吸；退潮后，招潮蟹从洞穴里出来 ，悠然自得地在阳光下散步、取食。 头胸甲前宽后窄，状以菱角，表面光滑，侧区和中区间有沟，中部各区分界明显。额小，呈圆形。眼窝宽而深，背绿中部凸出，侧部凹入，眼柄细长。侧缘具隆线，自外眼窝齿向后行，不久卽斜向内后方。雄螯极不对称，大螯长节背缘甚隆，颗粒稀少，内腹 缘具锯齿，腕节背面观呈长方形，与掌节背面均具粗糙颗粒，两指问的空隙很大，有时稍小，两指侧扁，其长度约为掌节长度的1.5-2倍，内缘各具大小不等的锯齿。小螯长节除腹缘外，边缘均具颗粒，内、外侧面具分散刚毛，两指间距离小，内缘具细齿，末 端内弯，呈匙形。雌螯小而对称，与雄性的小螯相似。各对步足的长节宽牡，前绿具细锯齿，腕节前面有2条平行的颗粒隆缓。第四对的仅前缘具微细颗粒，前节隆线与腕节相似，指节扁平。雄性腹部略呈长方形，雌性腹部圆大。头胸甲长21.0毫米，前缘宽34 毫米，后缘宽14.4毫米。
问题2
不作多项式运算，用组合知识来展开 展开式中有
哪些项？各项系数各是什么？
取4个a球 （不取 b球） ： 取3个a球 （取3 a 1 b） ： 取2个a球 （取2 a 2 b） ： 取1个a球 （取1 a 3 b） ： 不取 a球 （全取b球） ：
掌握二项式系数及二项式展开式的通项 3 掌握二项式定理的简单应用
中职二项式定理第一课时PPT课件
C95
(
x 3
)95
(
3
3
)5 42x 2
x
18
个人观点供参考，欢迎讨论
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
16
例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
例3、(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
①项： a n a n1b ankbk bn
②系数：C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
个(a b)相乘
③展开式：
个(a b)中选b 个(a b)中选a
C
k n
7
二项式定理
根①据项这数个：公共式有n，＋你1项可以得到哪些结论？ ②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
12
1、求(2x 3y)6的展开式的第三项 .
课
堂
2、求(3y 2x)6的展开式的第三项 .
练 习
3、求(2a - 3b)6的展开式的倒数第 3项.
13
课堂小结: 本堂课你有哪些收获？
(1)注意二项式定理 中二项展开式的特征 (2)区别二项式系数，项的系数 (3)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
③二项式系数: ④二项展开式的通项:
8
课堂练习
9
职中二项式定理ppt课件
二项式定理的应用场景
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些代数问题，如因式分解、求根公式等。在物理中，二项式定理可以用于计 算一些物理量的近似值，如光的波长、电子的能量等。在工程中，二项式定理可以用于解决一些优化问题，如线 性规划、组合优化等。
03
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
二项式定理的通项公式
通过组合数和幂运算，推导出二项式定理的通项公式，用于 计算特定项的值。
二项式定理的推广
将二项式定理的适用范围从两项扩展到多项，并推导出相应 的展开式。
二项式定理的几何意义
二项式定理与几何图形的关系
通过图形解释二项式定理的原理，如利用三角形和组合数的关系解释二项式系 数。
习题二及答案
习题二
$(a+b+c)^2$的展开式中，$a^2$的 系数是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b+c)^2$的展 开式中$a^2$的系数是 $C_2^1b^1c^0+C_2^0b^0c^2=2 c+2b$。
习题三及答案
习题三
$(a+b)^5$的展开式中，常数项是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b)^5$的展开式中常 数项是$C_5^4a^1b^4=5b定理简介 • 二项式定理的公式与证明 • 二项式定理的扩展与推广 • 二项式定理的实际应用 • 习题与解答
01
二项式定理简介
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，它描述了两个数的乘积的展开式的 特定规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数a和 b（其中b不为0），它们的乘积可以 展开为(a+b)，(a+b)^2，(a+b)^3等 幂次的各项，这些项的系数遵循特定 的规律。
2022-2023学年高二上学期中职数学高教版(二项式定理课件)
例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项
(2)求 x 1 9的展开式中x3的系数 x
分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数
2 解： x 1 9的展开式的通项是
Tm1
x C9m
x9m
1 x
m
1 m C9m x92m
由 9-2m =3得：m =3
x3系数是 (-1)3C93=-84
（3） (2a b)5 ；
（4） ( x 2 )4 ． 2x
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnmanmbm Cnnbn (n N *)
例3 求 x 1 10的二项展开式的常数项
x
解： Tm1 C1m0 (
x )10m ( 1 )m x
C1m0
10m
x2
m 2
C1m0 x5m
由5 m 0得：m 5
常数项为 C150 252
练习
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ；
（2） (x 1)6 ； x
(a b)10 ?
(a b)n ?
……
探究1 推导 (a b)4的展开式.
学习视频
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的3 展开式.
(a
b)2
C
0 2
a
2
C
1 2
ab C22b2
(a b)3
C30a3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
中职教育数学《二项式定理》课件
二项式定理，又称牛顿二项式定理， 由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提 出．
二项式定理在组合理论、开高次方、 高阶等差数列求和，以及差分法中 都有广泛的应用．
定理应用， 初步体验 例1 写出a b5的展开式
1. 写出x 15的展开式 2. 写出a b4的展开式 3. x 26的展开式中，第 5项为多少？
杨辉，南宋时期杰 出的数学家和数学 教育家
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两 个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球， 共有多少种不同的取法？
列举法：aa，ab，ba，bb
共4种.
分类计数原理：由于b选定后,a也随之确定，因此：
第一类，两次都不取b（即两次都取a），有
C20 1种取法， 第二类，任一次取b（即另一次取a），有
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ，，Cnn 有何性质.
课堂小结
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
(1)二项式系数： Cnk , (k 0,1,2,3n)
(2)二项展开式的通项： Tk 1 Cnk ankbk
2．典型例题
方法
(1) 求形如 (a 的b)展n 开式问题。
直接利用二项式定理
C21 2种取法；
第三类，两次都取b（即两次都不取a），有
C21 1种取法。
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
相关主题
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(ab)n( a b ) a ( b ) (a b)
n
①项： a n an1b ankbk b n
②系数：C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析 ankbk
k个(ab)中选 b
n个(ab)相乘
C
k n
③展开式： nk个(ab)中选 a
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
由 9 2 r 3 , 得 r = 3 . 故 x 3 的 系 数 为 ( - 1 ) 3 C 9 3 8 4 . 中 间 一 项 是 第 5 项 ,T 4 1 C 9 4 x 9 4 ( 1 x )4 1 2 6 x .
练习7：(1)求 ( x 3 ) 9 的展开式常数项
3x
解: T r 1C 9 r(3 x)9 r(3 x)rC 9 r(1 3)9 r3rx9 r1 2r
C C ra n rb r n b n
n
n
①项数：共n+1项,每项次数都为n；
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
T C (4) (a b)n的展开式通项
r 1
r a nrbr
n
作业布置
1、必做题
课本36页 习题1.3 A组 1、2、3
选做题 用数学归纳法证明二项式定理
③ 展开式：( a b ) 3 C 3 0 a 3 C 3 1 a 2 b C 3 2 a 2 b C 3 3 b 3
探究2 仿照上述过程,推导 (a b的)4 展开式.
(a b)2
C
0 2
a2
C221abC
22b
2
(a b)3
C
0 3
a
3
C
1 3
a2b C
2 3
ab2
C
3 3
b
3
(a b)4
C
40a 4
C
1 4
a3b
C
2 4
a
2b
2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (ab)n ?
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n ?N * )
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
T3 T21 C62 3y 62 2x 2
4860y4x2
3、求(2a-3b)6的展开式的倒3数 项. 第
课堂小结: 本堂课你有哪些收获？
(1)注意二项式定理 中二项展开式的特征 (2)区别二项式系数，项的系数
(3)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
(ab)n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2
探究1 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3(a b )a ( b )a ( b )
① 项： a 3 a 2b ab 2 b 3
②
系数：C1
0 3
C
1 3Cຫໍສະໝຸດ 2 3C3 3
a3kbk
k0,1,2,3
C
k 3
分析a2b (ab)a (b)a (b)
C (ab)a (b)a (b) 1 3
(ab)a (b)a (b)
x
分析：为了方便，可以先化简后展开。
例2 求（1x）5(1x)5 的展开式
例3 求（
x
1 ）10 x
的二项式展开
式中的系数
例4 求 ( x 1 ) 9 的系数。 x
的展开式中含
例5：求(2 x 1 )6 的展开式中 的常数项． x
例：求 ( 2 x 1 )6的展开式．
x
(2
x
1 x
)6 6x 3 4 1x 9 2 2x 4 1 0 66 x0 0 1 x 2 2 x 1 3
例 3 、 ( 1 ) 求 （ 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 （ x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: (1 )T 3 1 C 7 31 7 3 (2 x )3 2 8 0 x 3第四项系数为280. (2)T r 1C 9 rx9r(1 x)r( 1 )rC 9 rx92r.
中职二项式定理第一课时课件
从本节课的课题来看，你能否猜想一 下这节课我们研究什么问题？
根据以前的经验，研究定理有哪些步骤 或者从哪些角度来研究？
1、定理研究什么问题 2、定理怎么来的 3、定理的内容是什么 4、定理有哪些应用
二项式定理研究的是 (a b)n的展开式.
(ab)2 a ?22abb2 (ab)3 ?(ab)2(ab) (ab)4 (?ab)3(ab)
(ab)100?
(ab)n ?
……
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1a2)b (1b2)的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a 1 a 2 )b 1 ( b 2 )c 1 ( c 2 )展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
③二项式系数: Cn k (k {0,1,2, ,n})
④二项展开式的通项: Tk1 Cnkankbk
课堂练习
1.写出1（q）7的展开式
(1 q)7 C 7 0C 7 1 q C 7 2 q 2C 7 3 q 3C 7 4 q 4C 7 5 q 5C 7 6 q 6C 7 7 q 7
17 q2 1 q 23 5 q 33 5 q 42 1 q 57 q 6q 7
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
根①据项这数个：公共式有n，＋你1项可以得到哪些结论？ ②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
6x 3 4 1x 9 2 2x 4 1 0 66 x0 0 1 x 2 2 x 1 3
例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: ( x a ) 1 2 的 展 开 式 有 1 3 项 , 倒 数 第 4 项 是 它 的 第 1 0 项 . T 9 1C 1 9 2x1 2 9a 92 2 0x3 a 9.
探究作业：
今天是星期四，那么82012 后的一天是
星期几？
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 直接展开
(2x1 x)6C 6 0(2x)6C 6 1(2x)5(1 x) C 6 2(2x)4(21x)2C 6 3(2x)3(21x)3
C 6 4 (2x )2 (1 x )4 C 6 5 (2x ) (1 x )5 C 6 6 (1 x )6
由9-r-12r0得r6. T7 C96(13)9636 2268
(2)、求展开式的中间两项
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5T41C 9 4(3 x)94(3x)442x3
T6T51C9 5(3 x)95(
3)542x3 2 x
谢谢
思考1：展开式的第2项的系数是多少？
思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 思考4：你能否直接求出展开式常数项？
1、求(2x3y)6的展开式的第.三项
解：由二项式展开式通的项知
2、T3求 T(232116y0xC46y2222xx)662的 3y2展开式的第.三项课堂练习 解：由二项式展开式 通的 项知
2.写出1（ x） n的展开式
C C C (1 x)n 1
C 1 x
n
2x2
n
rxr nxn
n
n
3 .写 出 （ a b ） n 的 展 开 式
C C C (ab)n
0an 1an1b
n
n
2an2b2
n
1C C r
r
a n rb r 1n
n b n
n
n
例1 求(x 1 )5 的二项展开式