第四章 随机过程中的平稳过程

所以， {X n , n 1, 2, }是一个平稳随机序列。
注 在科学和工程中，例中的过程称为“白噪声”，它 是实际中最常用的噪声模型。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例3
设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…} ，η是在[0，1]上服从均匀 分布的随机变量， 试讨论随机序列 X (t ) 的平稳性。
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
第四章 平稳过程
4.1 平稳过程的基本概念 4.2 平稳过程相关函数的性质 4.3 平稳过程的各态历经性 4.4 平稳过程的谱密度 4.5 平稳过程的谱分解 4.6 线性系统中的平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
F (t1, t2 ,, tn；x1, x2 ,, xn )
F (t1 , t2 ,, tn ；x1, x2 ,, xn )
则称{X(t),t∈T} 为严(强、狭义）平稳过程，或称 {X(t),t∈T} 具有严平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过 程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑广义 平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
说明
当T为整数集 或 { nt ，n=0,1,2,„}时
则称 X (t ) 为
解
的密度函数为
所以
1 ，当 0 sin 2 ( t ) x sin 2 txdx 2 R(t , t ) 0 0，当 0 故 X (t ) 是平稳随机序列。
E[ X (t )] sin 2txdx 0
0
1
1, f ( x) 0 ,
定理4.2.1
设{X (t ), t 0}是复平稳过程，则RX ( )具有性质：
1 ）RX (0) E[ X (t ) ] mX
证
2
2
2
0
2
RX (0) E[ X (t )X (t )] E[ X (t ) ] D[ X (t )] mX mX 0
2
2) RX ( ) RX ( )
例5
设{ X (t ), t 0}是只取 1两个值的过程，其符号的 改变次数是一参数为的poisson过程 {N (t ), t 0} 且 t 0, P ( X (t ) 1) P ( X (t ) 1) 1/ 2, 试讨 论{ X (t ), t 0}的平稳性。
严平稳过程的特点 1）
严平稳过程 X (t ) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关，
二维概率密度 f (t1 , t2；x1 , x2 ) 仅与时间差 t1 t 2 有关， 而与时间起点无关。
证
一维 对任意的τ，必有
f (t；x) f (t ；x)
f (t；x) f (0；x) f ( x)
k 1
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
j k t j l ( t ) RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] E X k e X l e l 1 k 1
j [ l ( t ) k t ] E X k X l e k 1 l 1
例2
设{Xn,n=1,2,…}是相互独立同分布的随机变量序列， 且
Xk
N (0, 2 ), k 1, 2,
试讨论{X n , n 1, 2, }的平稳性。
解 因为
n 1, mX (n) E[ X n ] 0
2，m n m, n 0, RX (m, n) E[ X m X n } 0，m n
若令 t ，得
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
2008年12月
F (t；x) F (0；x)
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
证
二维
对于二维概率密度，有
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 , t 2 ；x1 , x2 )
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
2）
若严平稳过程存在二阶矩，则
（1）均值函数为常数：
m(t ) E[ X (t )] m
（2）相关函数仅是时间差
记 R( )
证 只对连续型的情况
t1 t2 的函数：
R(s, t ) R(t s)
m(t ) E[ X (t )] xf (t；x)dx
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析 要容易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机 过程的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变 化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如
接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温
度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbk 0,
bk ,
k 1

令Y (t ) X k e jk t , t ,
k 1

{n , n 1, 2, }是两两不相等的实数序列，试讨 论{Y (t ), t }的平稳性。
解
jk t mY (t ) E[Y (t )] E X k e k 1 = E X k e jk t 0
E{[ X (t )X (t )] mE[ X (t )] mE[ X (t )] m2
2 R ( ) m R(t , t ) m
2
C ( )
即表示协方差函数仅依赖于τ，而与t无关，与相关函数 相同。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
1
0 x 1
其它

注
2008年12月
该例中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例4
设{ X n , n 1, 2, }是随机变量序列，E[ X k } 0, E[ X k X l ] 0(k l )，E[ X k X k ] E X k
P


k 0
N ( ) 2k

P
k 0

k 0
N ( ) 2k 1

P N ( ) 2k P N ( ) 2k 1
k 0 k 0



k 0
2k
2k !
k 0


xf ( x)dx m

2008年12月

陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
R(s, t ) E[ X (s)X (t )]









x1 x2 dF (s, t；x1 , x2 )
x1 x2 dF (0, t s；x1 , x2 )
解
1 1 mX (t ) E[ X (t )] 1 1 0 2 2
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] P{ X (t ) X (t ) 1} P{ X (t ) X (t ) 1}
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1

RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
e


k
2 k 1
2k 1!
e

e

e

k!
e

e
2
RX ( )
所以， {X (t ), t 0}是平稳过程。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
4.2 平稳过程相关函数的性质 1、相关函数的性质
证
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
例 1
设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。
试问X(t)是否平稳？
解、
E{X (t )} E{tA} tE{A} 0
RX (t1, t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} t1t2 E{A2} t1t2
所以X(t)是非平稳的。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )


RX (t s)
RX ( )
其中
t s
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
2、宽平稳过程 定义2
设随机过程{ X (t ) ， t T }， 如果它满足：
（1） X (t ) 是二阶矩过程；
（2）均值函数为常数，即
m(t ) E[ X (t )] m （3）相关函数 R( s, t ) 仅依赖 t s ，即
平稳时间序列
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2
宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
注3
2008年12月
正态过程的严平稳与宽平稳是等价的。(定理4.4.1)
压信号可以认为是平稳的。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
4.1 平稳过程的基本概念
1、严平稳过程 定义4.4.1
设随机过程{ X (t ) , t T }，
若对任意n，任意
t1，t2 ,, tn T 以及使
t1 ， t 2 ，„， t n T 的任意τ ，有
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
注4
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳 性。
因为 均值函数 m(t)=m 协方差函数
C(t , t ) cov[ X (t ), X (t )]
E{[ X (t ) m(t )][ X (t ) m(t )]}