中考数学解答重难专题专题一 第23题圆的综合题

专题一第23题圆的综合题

(2010～2019.23)

【专题解读】圆的综合题近10年每年必考，分值均为8分．涉及三角形：①相似三角形(6次)；②锐角三角函数(2次)；③全等三角形(1次，2012年19题考查相似三角形，故23题考查全等三角形)．设问形式：①证明角相等或线段相等；②线段平行；③线段垂直；④切线的判定；⑤计算线段长、线段比例关系；

⑥求正切值等．

1.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，BC是⊙O的切线，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接E D.

(1)求证：∠B＋∠FED＝90°；

(2)若FC＝6，DE＝3，FD＝2.求⊙O的直径．

第1题图

2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F.

(1)求证：AC＝CF；

(2)若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．

第2题图

3.如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.

(1)求证：PO平分∠APC；

(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥A C.

第3题图

4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，

连接BE .

(1)求证：AD ⊥CD ;

(2)若CD ＝4，AE ＝2，求⊙O 的半径．

第4题图

5. (2019西工大附中模拟)如图，P 为⊙O 直径AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，过点B 作CP 的垂线BH 交⊙O 于点D ，交CP 于点H ，连接AC 、C D.

(1)求证：∠PBH ＝2∠HDC ； (2)若sin P ＝3

4

，BH ＝3，求BD 的长．

第5题图

6. (2019陕西定心卷)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，DE ∥AB ，△DCE 的外接圆⊙O 与AB 相切于点F .

(1)求证：CD ·CB ＝CA ·CE ；

(2)若BE ＝5，⊙O 的半径为4，求CD 的长．

第6题图

7. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 与⊙O 交于点D ，点E 在⊙O 上，且DE ＝DA ，AE 与BC 相交于点F .

求证：(1)∠CAD ＝∠B ； (2)FD ＝C D.

第7题图

8. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，AC ⊥CD 于点C ，交⊙O 于点E ，连接AD 、BD 、E D. (1)求证：BD ＝ED ；

(2)若CE ＝3，CD ＝4，求AB 的长．

第8题图

9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 为△ABC 外接圆的切线，过点A 作AE ⊥CE 于点E . (1)求证：∠ACE ＝∠B ；

(2)若AE ＝2，AB ＝8，求CE 的长．

第9题图

10. 如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，分别与BC ，AB 相交于点D 、E ，连接A D.已知∠CAD ＝∠B.

(1)求证：AD 是⊙O 的切线；

(2)若BC ＝8，tan B ＝1

2

，求⊙O 的半径．

第10题图

11. 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点，连接ED 、EG .

(1)求证：GE 是⊙O 的切线； (2)若3AE ＝4DE ，求EG

OD

的值．

第11题图

12. (2019西工大附中模拟)如图，已知四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，AD 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线与DA 的延长线交于点E ，连接BD ，且∠E ＝∠DB C.

(1)求证：DB 平分∠ADC ；

(2)若EB ＝10，CD ＝9，tan ∠ABE ＝1

2

，求⊙O 的半径．

第12题图

参考答案

1. (1)证明：∵∠A ＋∠DEC ＝180°，∠FED ＋∠DEC ＝180°， ∴∠FED ＝∠A ，

∵BC 是⊙O 的切线，AC 为⊙O 的直径， ∴∠BCA ＝90°， ∴∠B ＋∠A ＝90°， ∴∠B ＋∠FED ＝90°； (2)解：∵∠CF A ＝∠DFE ， ∠FED ＝∠A ， ∴△FED ∽△F AC ， ∴

DE AC ＝DF CF ，即3AC ＝2

6

， 解得AC ＝9，即⊙O 的直径为9. 2. (1)证明：如解图，连接BE ,

∵CA 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴∠CAB ＝90°，∠AEB ＝90°，

∴∠CAF ＋∠BAE ＝90°，∠FBE ＋∠EFB ＝90°， ∵E 是弧BD 的中点， ∴DE ︵＝BE ︵， ∴∠BAE ＝∠FBE ， ∴∠CAF ＝∠EFB ＝∠AFC ， ∴AC ＝CF ；

第2题解图

(2)解：如解图，连接AD ， 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝3, ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5. ∵CF ＝AC ＝3， ∴BF ＝BC －CF ＝2. ∵AB 是⊙O 的直径，

∵cos ∠ABC ＝BD AB ＝AB BC ＝45，

∴BD ＝16

5

，

∴AD ＝AB 2－BD 2＝12

5，

DF ＝BD －BF ＝6

5

.

∴tan ∠BAE ＝tan ∠DAE ＝DF AD ＝1

2.

3. 证明：(1)如解图，连接OB ，

∵P A ，PB 是⊙O 的切线，OA 、OB 为⊙O 的半径， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， 又∵OA ＝OB ， ∴PO 平分∠APC ；

第3题解图

(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°， ∵∠C ＝30°，

∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°， ∵PO 平分∠APC ，

∴∠OPC ＝12∠APC ＝1

2×60°＝30°，

∴∠POB ＝90°－∠OPB ＝90°－30°＝60°， 又∵OD ＝OB ，

∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°，

∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP ＝∠C ， ∴DB ∥AC .

4. (1)证明：如解图，连接OC ，交BE 于点F ， ∴DC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DC ， 又∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ，