七、系统误差的计算

直接与间接测量的系统误差分析

陈军灵

摘 要 本文论述了在电气工程中直接测量与间接测量的系统误差的分析，并列举系统误差计算范例。

关键词 系统误差 直接测量 间接测量

在电气测量技术中，按测量方法可分为直接测量和间接测量。测量误差可分为系统误差、偶然误差和疏失误差三大类[1]。在电气工程测量中，主要考虑的是系统误差。系统误差可按下面方法进行计算。

1．直接测量

在仪表的正常工作条件下，测量结果中的误差即是所使用仪表本身的基本误差，可以根据仪表的准确度等级计算。例如仪表测量时的读数为Ax ，仪表量程为A m ，准确度等级为K ，则测量结果可能出现的最大相对误差为

100%A K%A γx m max ⨯±= （1）

例如；用量限为30A ，准确度为1.5级的安培表，测得电流为10A ，求可能出现的最大相对误差m ax γ：

4.5%100%10300.015γmax ±=⨯⨯±= 即最大相对误差为±4.5%

2．间接测量 设y 为可直接测量的局部量x 1、x 2、x 3的测量结果。y γ为y 的相对误差（合

成相对误差）。x1γ、x2γ、x3γ为对应于x 1、x 2、x 3的相对误差（局部量的相对误差）。因此

当 y=x 1+x 2+x 3

则 x33x22x11y γy x γy x γy x γ++= （2）

当 y=x 1-x 2

则 x22x11y γy x γy x γ+= （3） 当 y=x 1x 2

则 x2x1y γγγ+= （4）

当 y ＝2

1x x 则 x2x1y γγγ-= （5）

当 y=q 3n 2m 1x x x ⋅⋅

则 x3x2x1y q γn γm γγ++= （6）

由此可见，

（2）式：当被测量y 为可直接测值x 1、x 2、x 3之和时，合成相对误差

y γ不

会大于各局部相对误差x γ中的最大者。

例如；电流表测量得出两并联支路电流:I 1=10.0A,1γ=±2.0%,I 2=20.0A,2γ=

±4.0%,求电路总电流I 以及可能产生的最大相对误差y γ。

I=I 1+I 2=10.0+20.0=30.0A

最差的情况出现在合成最大相对误差取同符号。即

3.33%

4.0%30.020.02.0%30.010.0γI I γI I γ2211y =⨯+⨯=+= （3）式：当被测量y 为两个被测量之差时，合成的相对误差不仅与局部相对误差有关，而且与两被测量之差有关。若两被测量之差越大，合成相对误差越小，反之两被测量之差越小，则合成相对误差越大，当x 1、x 2的值很接近时，将出现非常大的间接测量相对误差，所以工程上要尽量避免这样的间接测量。

例如；电压表测得串联电路的电压U ＝1000V , U γ＝±3%；U 1＝800V , 1γ＝±3%，求U 2最大相对误差2γ。

根据 U 2＝U ―U 1＝1000－800＝200V

2γ =%27%3*200

800%3*2001000=+

（4）式：被测量y 为几个量之积时，对y ＝x 1 x 2两边取对数得

lny=ln x 1+ln x 2

两边微分 2

211x dx x x y y +=d d 式中2

211x dx x x y y 、、d d 分别为被测量和局部量的相对误差。所以合成相对误差即为

x2x1y γγγ+=从式中可见，如果局部量的相对误差为一正一负，则合成相对误差最小，假如局部相对误差为同一符号，则合成相对误差最大。工程上应注意避免。

又如；测量得某纯电阻电路的电流I=10.0A,1γ=±3.0%,电压U=50.0V ，U γ=±4.0%。求其功率P 和可能产生的最大相对误差P γ。

P=UI=50.0×10.0=500W

1γγγ+=U P =±(4.0+3.0)%=±7.0%

(5)式：被测量为几个量之商时，其推导与(4)式类似，但合成相对误差的最大值可能出现在局部相对误差为一正一负时。

某电路的测量数据有：电阻器R=100Ω，γR =－0.10%,电阻两端的电压U R =30.0V , γI =+0.20%，求流过电阻器的电流I R 和相对误差γI

I R =0.30A 10030.0R U R ==

R U γγγ-=1=0.20-(-0.10)%=0.30%

(6)式：被测量为局部量的乘方时，合成相对误差比局部误差大一倍，如21x y =,x1y 2γγ=。被测量为局部量的开方时，合成相对误差比局部误差小一倍，如y=2

1x ，x y γ21γ=。 通过测量已知导体两端的电压U 和导体的电阻R 以及时间t 来计算消耗在导体内的能量W 。U 、R 、t 的相对误差分别为U γ=±0.01%，R γ=±0.50%，t γ=±1.5%。求间接测量电能W 的最大相对误差。

因为被测量W 与直接可测局部量U ，R ，t 之间的函数关系为：

t R U W 2

=

所以最大的相对误差为

w γ=2U γ-R γ+t γ=±(2×0.01-0.50+1.5)%= ±1.02%

3．结论

综上所述，间接测量时，需进行几次不同量或不同数值的直接测量，再根据它们共同遵循的函数关系（公式）计算出最后结果，每次测量的误差，都将对最后结果有所影响。一般说来，若函数关系是相乘或相除的关系，则先计算其相对误差再用相对误差乘以被测量本身数值即可求出绝对误差。如果函数关系是相加或相减的关系，则先计算绝对误差较为方便。对于直接测量，主要考虑所用仪表、仪器的基本误差。若测量条件不满足仪表的正常工作条件，则需要考虑附加误差。这时测量结果的最大误差应是仪表的基本误差和附加误差之和。关于附加误差的计算方法，可查阅国家标准的有关规定[2]。

参考文献

[1]张渭贤 华南理工大学出版社 1991.12

[2] 国家试行标准JJG1001-82

An Analysis About Systematic Errors In Direct And Indirect Measurement

Chen Junling

Electric Engineering Institute Of Guangxi University

Abstract ：The paper illustrates an analysis about systematic errors in direct &

indirect measurement in electric engineering and the algorithm.

Key words ：systematic errors, direct measurement, indirect measurement