最新高三联考数学(理)试卷

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高三数学(理)联考试卷

2023届高三年级11月联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜x －y ＝0}，B ＝{（x ，y ）｜x －y 2＝0}，则A ∩B ＝A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{（0，0），（1，1）}D ．∅2．若a ＞b ＞0＞c ，则A ．（a －b ）c ＞0B ．c a ＞cb C ．a －b ＞a －cD ．1a c ＋＜1b c＋3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且n a ＞0，则6328S S a a －＋＝A ．2B ．32C ．1D ．124．已知α为第三象限角，且1cos23α＝，则cos α＝A．－3B．－3C．3D．35．已知数列{n a }是1a ＞0的无穷等比数列，则“{n a }为递增数列”是“k ∀≥2且k N *∈，k a ＞1a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非零向量a ，b的夹角正切值为，且（a ＋3b ）⊥（2a －b ），则ab＝A ．2B ．23C ．32D ．17．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ：b ：c ＝2：3：4，则△ABC的面积为A ．21512a B ．21512b C ．212a D ．212b 8．已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ，不等式()f x x＜0的解集为（(312，0）∪（0，()312），则不等式f （x ）≤－27的解集为A ．{x ｜x ≤－3或x ＝3}B ．{x ｜x ≤3}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥3或x ＝－3}9．若2a ＝3b ＝6c 且abc ≠0，则A ．a c －a b＝1B ．b a －bc ＝1C ．a c －b c＝1D ．a b －b c＝110．已知函数f （x ）＝sin 3x πω⎛⎫⎪⎝⎭－（ω＞0）的最小正周期为π，则A ．f （2）＜f （0）＜f （－2）B ．f （0）＜f （－2）＜f （2）C ．f （－2）＜f （0）＜f （2）D ．f （0）＜f （2）＜f （－2）11．对任意实数x ，定义[x]为不大于x 的最大整数，如[0．2]＝0，[1．5]＝1，[2]＝2．已知函数f （x ）＝[x]·sin x π，则方程｜f （x ）｜＝3－50x在（0，＋∞）上的实根个数为A ．290B ．292C ．294D ．29612．已知点P 在曲线y ＝－1x（x ＞0）上运动，过P 点作一条直线与曲线y ＝e x 交于点A ，与直线y )1x －交于点B ，则｜｜PA ｜－｜PB ｜｜的最小值为A ．1B ＋1C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝4，则11a ＝__________．14．在平行四边形ABCD 中，AE ＝AD λ ，AF＝AB μ ，λμ＞0，且E ，C ，F 三点共线，则λ＋μ的最小值为__________．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （2π＋x ）＝f （2π－x ），f （2π）＝3，且()sin f x x '＋f （x ）cosx ＞0在（0，2π）内恒成立（()f x '为f （x ）的导函数），若不等式f （4π＋x ）sin （3π－x ）≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．16．设－1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公差为d 的等差数列，a 2，a 4，a 6成公比为3的等比数列，则d 的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，角α，β，γ（α，β，γ∈（0，2π））的顶点在原点，始边均与x 轴正半轴重合，角α的终边经过点A （－1，2），角β的终边经过点B （3，4）．（Ⅰ）求tan （α－β）的值；（Ⅱ）若角γ的终边为∠AOB （锐角）的平分线，求2sin γ的值．18．（12分）已知数列{n a }的各项均不为0，其前n 项的乘积n T ＝12n －·1n a ＋．（Ⅰ）若{n a }为常数列，求这个常数；（Ⅱ）若1a ＝4，设n b ＝2log n a ，求数列{n b }的通项公式．19．（12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝2π，∠BCD ＝4π，5BC ＝CD ，AB，AD ＝3．（Ⅰ）求tan ∠BDC 的值；（Ⅱ）求BD ．20．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1n S ＋＝4n a ．（Ⅰ）证明：数列{12nn S －}为等差数列；（Ⅱ）求数列{n S }的前n 项和n T ．21．（12分）已知函数f （x ）＝2x －1＋x ae的最小值为1．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f （x ）没有公共点，求实数k 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ln x＋x（x－3）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x1，x2，x3∈（0，＋∞），且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求证：2x1＋x2＞x3．。

华大联盟2024届高三下学期3月联考试题(全国乙卷) 数学(理)含答案

绝密★启用前（全国卷）理科数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,1,2,3,1A B xa x a =--=+∣ ，若A B ⋂的子集有4个，则a 的值为（）A.-3B.-1C.2D.32.已知复数99100i i i z =+，则1iz-在复平面内对应点的坐标为（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫-⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3.已知点,,,A B C D 为平面内不同的四点，若23BD DA DC =- ，且()2,1AC =- ，则AB =（）A.()4,2- B.()4,2- C.()6,3- D.()6,3-4.近几年随着AI 技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（）A.2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率为13185.如图，网格纸中小正方形的边长为10cm ，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（）A.216400cmB.218400cmC.220800cmD.223200cm 6.已知实数,x y 满足约束条件20,280,2100x y x y x y ++⎧⎪++⎨⎪--⎩，则3x y +的取值范围是（）A.3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]2,6 C.3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.9,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.ABC 中2π16,,237A AB AC BC =+==，则ABC 的面积为（）A.1549B.349C.2049D.3498.若存在过原点的直线与函数()()22e xf x x ax =-的图象切于y 轴右侧，则a 的取值范围是（）A.1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.(),1∞- C.()1,∞+ D.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭9.知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为22的球，则这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A.2π3B.2π3C.2π3D.2π610.已知点O 为坐标原点，点A 为直线()0y kx k =≠与椭圆222:1(1)x C y a a +=>的一个交点，点B 在C 上，OA OB ⊥，若22114||||3OA OB +=，则C 的长轴长为（）3B.3C.23D.611.已知()6116,ln ,log 71ln510115a b c =+==-，则（）A.a b c >>B.b c a >>C.a c b>> D.c a b>>12.已知第一象限内的点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，点P 关于原点的对称点为12,,Q F F 是C的左､右焦点，点M 是12PF F 的内心（内切圆圆心），M 在x 轴上的射影为M '，记直线,PM QM ''的斜率分别为12,k k ，且11229F M k k F M ⋅⋅'='，则C 的离心率为（）A.2B.8C. D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为__________.14.函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则a =__________.15.平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点,,A B C 都在圆E 上，直线BC 方程为20x y +-=，且BC ABC = 的垂心()2,2G 在ABC 内，点E 在线段AG 上，则圆E 的标准方程为__________.16.已知()sin cos sin2f x x x x =+，给出下列命题：①()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；③()f x 在区间()0,50上有33个零点；④若方程()34f x =在区间()0,(0)t t >有4个不同的解()1,2,3,4i x i =，其中()11,2,3i i x x i +<=，则1234x x x x t ++++的收值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确命题的序号为__________.（少选､错选都不给分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差350,1235S S d >+=，且1422a a 成等比数列.（1）求n a ；（2）若2πsin2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求100T .18.（12分）如图，在三棱锥A BCD -中，9AB =，其余各棱的长均为6，点E 在棱AC 上，2AE EC =，过点E 的平面与直线CD 垂直，且与,BC CD 分别交于点,F G.（1）确定,F G 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值.19.（12分）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长()cm y 与身高()cm x 之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X ，求()E X .参考数据：518.6,16.8i i i x y ===≈∑参考公式：相关系数518.6,16.8i i i x y ===≈∑，回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,n iii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑.20.（12分）已知倾斜角为π04αα⎛⎫<<⎪⎝⎭的直线l 与抛物线2:2(0)C y px p =>只有1个公共点,A C 的焦点为F ，直线AF 的倾斜角为β.（1）求证：2βα=；（2）若1p =，直线l 与直线12x =-交于点P ，直线AF 与C 的另一个交点为B ，求证：PA PB ⊥.21.（12分）已知函数()()3223(0),ln 2f x x x a x g x x x ax x =-++>=+-.（1）若()(),f x g x 的导数分别为()(),f x g x ''，且(){}(){}00xf x xg x <⊆'<'∣∣，求a 的取值范围；（2）用{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，若1a >，判断()h x 的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()24cos 2sin 1ρρθθ=+-.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与C 交于点,A B ，求OAB 的周长.23.选修4-5：不等式选讲已知(),,0,a b c ∞∈+.（1）若2221a bc ab c abc ++=，求()()a b b c ++的最小值；（2）若1a b c ++=，证明：()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++++++++ .绝密★启用前（全国卷）理科数学参考答案1.【答案】C【解析】因为11a a +-=，且A B ⋂的子集有4个，则A B ⋂中有2个元素，且这两个元素为2，3，所以2a =，故选C.2.【答案】A 【解析】因为99100i i i i 1i z ==+-，所以2i i 11i (1i)2i 2z ===----，所以1iz-在复平面内对应的点的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A.3.【答案】D【解析】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA =，又()2,1AC =- ，所以()36,3AB AC ==-，故选D.4.【答案】B【解析】由每年增加数均为正数，可得A 正确；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C 正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数不大于110，所以所求概率为2529C 131,D C 18-=正确，故选B.5.【答案】B【解析】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为40cm 的正方形面积，减去2个底边长为40cm 高为40cm 的矩形面积，减去2个底边长为40cm 高为30cm 的矩形面积，即()()222640160504030340240402403018400cm ⨯+⨯++-⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选B.解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，前后两个面的面积之和为()()22404050309600cm ⨯⨯++=，上面3个面的面积之和为()223404800cm⨯=，左右4个侧面的面积之和为()2240504000cm ⨯⨯=，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为()296004800400018400cm ++=，故选B.6.【答案】C【解析】如图所示，不等式组表示的可行域是以()()92,4,1,,4,62A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线3y x =-，把该直线平移到点C 处z 取得最大值，max 3466z =⨯-=，平移到点B 处z 取得最小值，min 933122z =⨯-=-，所以3x y +的取值范围是3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C.7.【答案】B 【解析】因为2π16,,237A AB AC BC =+==，由余弦定理得22222π42cos 3AB AC AB AC AB AC AB AC=+-⋅=++⋅2216()7AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，所以6049AB AC ⋅=，所以ABC 的面积为1sin 2AB AC A ⋅=49，故选B.8.【答案】D【解析】因为()()22e x f x x ax =-，则()()2222e xf x x a x a '⎡⎤=+--⎣⎦，设切点为()(),(0)t f t t >，则()()f t f t t'=，即()22222t a t a t a +--=-，整理得()2120t a t +-=，所以1210,2t a a =->>，故选D.9.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为344π32π86⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=，故选D.10.【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2221y kx x y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221221a x a k =+，由OA OB ⊥可得2222222221a a k x a a k k ==++，所以()2222222222212222221||1,||11a a k a a k OA kx OB x a k k a k ++⎛⎫=+==+= ⎪++⎝⎭，所以()()()2222222111111||||1a k OA OB a a k +++==++，所以22141,3,3a C a +==的长轴长为2a =，故选C.11.【答案】A【解析】设()()ln 1(0)f x x x x =+->，则()()110,1f x f x x =-<+'在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，所以()()511111266ln 1,ln ln ln ,ln log 61ln51011101155x x >++>+==-，2222256lg5lg711(lg6)lg36lg35lg6lg7(lg6)lg5lg7222log 6log 70lg5lg6lg5lg6lg5lg6lg5lg6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=>=>，所以a b c >>，故选A.12.【答案】A【解析】设圆M 与12,PF PF 分别切于点,A B ，则11F A F M ='，且111122121222F A F M F P AP F F M F F P F P F F a c +=-+-=-+'+'=，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()()1111,,,P x y Q x y --，则2211221x ya b-=，所以222212111112222222111121,1,1F M y y y y b b c a e k k e x a a x a x a x a a F M c a e -++==⋅===-==------'-'，所以12122(1)9F M k k e F M '⋅=+='，2e =，故选A.13.【答案】-1【解析】()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为615612(1)C (1)12⨯-+⨯⨯-=-.14.【答案】38【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.15.【答案】22(3)(3)18x y -+-=【解析】由ABC 的垂心()2,2G 到直线BC 距离d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得r EG+(2EG =+，由圆的几何性质可得222(EG r ++=，联立解得EG r ==，因为直线BC 方程为20x y +-=，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC 距离d =='，解得1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为22(3)(3)18x y -+-=.16.【答案】①④（少选､错选都不给分）【解析】由()()πf x f x -=-，可得①正确；由11sin cos ,1sin 122x x x --得()3322f x - ，当π33π3,4242f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②正确；()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()131π32ππ,50,50222x k k =∈<>Z ，所以()f x 在()0,50上有31个零点，③错误；()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()()33sin2,24f x x f x ==在(]0,π上有2个实根12,x x ，且12π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()()13sin2,24f x x f x ==在(]π,2π上没有实根，()34f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且349π2x x +=，34π5π2π,2π1212x x =+=+，所以123429π49π,5π1212t x x x x <+++= ，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦，④正确，所以正确命题的序号为①②④.17.【解析】（1）由351235S S +=得11212a d a d +++=，所以12312a d +=，因为1422a a 成等比数列，所以()142349a a a a =+，即()()11143923a a d a d +=+，把12312a d +=代入上式得()11412912a a -=⨯，解得19a =或13a =，当19a =时，1122203a d -==-<，不符合题意，当13a =时，112223a d -==，所以()1121n a a n d n =+-=+（2）因为2πsin2n n n b a =，当n 为偶数时，πsin02n =，所以22222210013579799T a a a a a a =-+-++- ()135797992d a a a a a a =-++++++ 3199450202002+=-⨯⨯=-.18.【解析】（1）取CD 中点O ，连接,AO BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以,AO CD BO CD ⊥⊥，因为AO BO O ⋂=，所以CD ⊥平面AOB ，因为CD ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面AOB ，过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以112,36BF FC CG CO CD ===，所以当12,6BF FC CG CD ==时，平面EFG 与直线CD 垂直.（2）由题意可得OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠= ，以O 为原点，直线,OB OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则())930,3,0,,0,,,2,,2222D A E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以)93,3,,,,5,2222DA DF DE ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3502250x y z y ⎧-++=⎪⎨+=，取5x =，得(5,n =，设直线DA 与平面DEF 所成角为θ，则2309sin 103n DA n DA θ⋅==，所以直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值为103.19.【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得5511850,170,365,73i i i i xx y y ======∑∑，()522222211150610282i i x x =-=++++=∑，()()5551118.6,62194170735144i i i i i i i i x x y y x y xy ====--=-=-⨯⨯=∑∑，()()5144240.99716.88.647i ix x y y r --∴==≈⨯∑.因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由73y =及（1）得()()()51521144ˆ0.51282i i i i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，24ˆˆ7317013.8147a y bx =-=-⨯≈-，所以y 关于x 的回归方程为ˆ13.810.51yx =-+（说明：根据ˆˆ730.5117013.70a y bx=-=-⨯≈-，得出ˆ13.700.51y x =-+.正确，）（3）X 的取值依次为2,3,4,5,6,7,9,11，()()()2225552111112,3,4C 5C 10C 10P X P X P X =========，()()()2225552111115,6,7C 5C 10C 10P X P X P X =========，()()225511119,,11C 10C 10P X P X ======所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20.【解析】（1）方法1：设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pt y y t αα-+-=，因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan21tan 2tan 2p p p ααβααα===--，因为ππ0,0242αα<<<<，所以πtan tan20,02βαβ=><<，所以2βα=方法2：易知点()00,A x y 在第一象限，且直线l 与C 相切于点A，由y =y '=，所以l的方程为)0y x x =-+，设l 与x 交于点D ，则()0,0D x -，所以由抛物线的几何性质可知02p AF x DF =+=，故,2ADF DAF AFx ADF DAF ∠∠αβ∠∠∠α====+=（2）1p =时，C 的方程为22y x =，把11,tan p t α==代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t=-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由（1）知，2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，0,t y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01y t=-，所以21112211122PA PBt t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，所以PA PB⊥21.【解析】（1）因为()323(0)f x x x a x =-++>，所以()236f x x x =-+'，由()0f x '<得2x >，因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax =+-'，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2x a x -<恒成立，设()1ln (2)2x F x x x -=>，则()()22ln 2,2,e 2x F x x x '-=∈时()()0,F x F x '<单调递减，()2e ,x ∞∈+时()()0,F x F x '>单调递增，所以()2min 21()e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（i ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()()0,m x m x '>单调递增，1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()()0,m x m x '<单调递减，所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()()()()0,0,0m x g x h x g x <<< ，()h x 没有零点，（ii ）若1a >，由（1）知()()236,f x x x f x =-+'在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且()1ln 10,2ln2220m a m a a ⎛⎫=--<=+-> ⎪⎝⎭，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，()()110,0g x h x ==，当[)2,x ∞∈+时，()()ln 2ln2220,0m x x ax a g x =+->+->>，()f x 在[)2,∞+上单调递减，且()()323333240,464486448150f a f a a a a a a a a =+>=-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∞∈+使得()()220,0f x h x ==，综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点.22.【解析】（1）将122x t y t =+⎧⎨=-⎩中的参数t 消去，得24x y +=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入24,x y +=得直线l 的极坐标方程为()2cos sin 4ρθθ+=.（2）解法一：设()()()()1122,0,,0A B ραρρβρ>>，由方程组()()22cos sin 4,4cos 2sin 1ρθθρρθθ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得27ρ=，所以12ρρ==OA OB ==.因为点O 到直线l的距离5d ==，所以5AB =，所以OAB的周长为2955解法二：由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，得C 的直角坐标方程为224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，曲线C 是以()2,1C 为圆心，半径为2的圆，点C 到直线l的距离155d ==，所以5AB ==，直线OC 与直线l 垂直，点O 到直线l的距离25d ==，所以OA OB ==所以OAB的周长为523.【解析】（1）因为()2221a bc ab c abc abc a b c ++=++=，所以()()()2a b b c b a b c ac ++=+++= ，当()1b a b c ac ++==时等号成立，所以()()a b b c ++的最小值为2.（2）因为(),,0,a b c ∞∈+且1a b c ++=，要证()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++++++++ ，即证()()()()()()31111114ab bc ca b a c b a c ++------ ，即证()()()()()()4141413111ab c bc a ca b a b c -+-+---- ，整理得9ab bc ca abc ++ ，所以即证1119a b c ++ ，而1113a b c a b c a b c b a c b a c a b c a b c a b b c c a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭39+ ，等号在13a b c ===时成立.所以()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++++++++ 成立.。

高三联考数学(理)试卷 word版含答案

2021年宁波市高三“十校〞联考数学〔理科〕说明：本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷共4页，总分值150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =+，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的外表积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设a R ∈,那么“1a <〞是“11a>〞〔 ▲ 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，那么集合{|x x M ∈且}x N ∉为〔 ▲ 〕A . (0,3]B ．[4,3]-C ．[4,0)-D ．[4,0]- 3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为〔 ▲ 〕 A．BC. D4.抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点〔点A 在第一象限〕，假设直线l俯视图正视图侧视图的倾斜角为30，那么||||AF BF 等于〔 ▲ 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：假设函数(2)f x -为奇函数，那么()f x 关于(2,0)-对称.那么以下命题是真命题的是〔 ▲ 〕 A ． p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨ 6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，那么以下命题错误的选项是．．．．．．〔 ▲ 〕A ．假设0d <，那么数列{}n S 有最大项B ．假设数列{}n S 有最大项，那么0d <C ．假设数列{}n S 是递增数列，那么对任意*N n ∈，均有0n S > D ．假设对任意*N n ∈，均有0n S >，那么数列{}n S 是递增数列7．O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，假设OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，那么λ的值为〔 ▲ 〕A .32B . 2C . 13D .128.函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.假设()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，那么b 的取值范围为〔 ▲ 〕A ．(5)-+∞，B ．5)+∞，C ．(51)-，D ．51)，第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.圆22:250M x y x +++-=，那么圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项，那么公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ .11.函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，那么函数()f x 的最小值为 ▲ ，函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，那么2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ . 13. ,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，那么cos x = ▲ . 14. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，假设112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，那么该双曲线的离心率为▲ .15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.αA B C D E17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ；〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.1B1C1ACBADM〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x = 20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2021年宁波高三“十校〞联考数学〔理科〕参考答案一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分，总分值40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 此题考查根本知识和根本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x = 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 75 15 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. 〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设10,5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.解：〔Ⅰ〕(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A Cb B B--∴== 4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分〔Ⅱ〕5b c a c =<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或〔舍〕……………………………………………9分2AD DC =1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅ 将3a =和5c =代入得：21099BD ==3BD ∴……………………………………………14分 17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ；〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，11AA A D =∴ 111AC AC AC ===，又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BABA B =，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，那么1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直，以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，1B1C1ACADM1A∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)22B C A A C D M -5分〔Ⅰ〕设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，那么30BA x y ⋅=-+=m ，0BC z ⋅==m ，取(3,1,0)=m ， ∵ 13(,,1)22MD =-，330022MD ⋅=-+=m ， ∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分〔Ⅱ〕设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=， 11130AC x y z ⋅=-+=m ，110AA x ⋅==m ，取(0,1,3)=n ，又由〔Ⅰ〕知平面ABC 的法向量为(3,1,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.解：〔Ⅰ〕01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数〞22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间〞为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求y〔此区间没说明，扣1分〕……………………7分〔Ⅱ〕222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，那么(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，那么()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，那么()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =解：〔Ⅰ〕由得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分〔Ⅱ〕假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分xO当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k +-+-=，所以0∆>得222490k m k -+>……〔1〕式…………………………10分由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+，所以02949km x k =+，代入1y x m k =-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……〔2〕式…………………12分将〔2〕式代入〔1〕式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞.20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+..实用文档.. 解：〔Ⅰ〕令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分那么12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅，所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分〔构造常数列等方法酌情给分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n -===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++（）（）111122n T n n n∴=+++++……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++ 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++〔仅在12n k +=时取等号〕 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分〔数学归纳法按步骤酌情给分〕。

湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷(含答案)

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则集合的子集个数为（）A.2B.4C.8D.162.若复数满足，则（）B.3.在中，为的重心，设，则（）A. B.C. D.4.已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.或D.或5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：）A.5B.4C.3D.26.已知实数，且满足，则下列一定正确的是（）A.B.C.D.{}(){}3390,lg 3A xx x B x y x =+-≤=∈=-N ∣∣A B ⋂z 1i34i z-=+z =25ABC V G ABC V ,BA a BC b == CG =1233a b - 2133a b -+ 1233a b -+ 2133a b- ()(){}210,21102x A xB x x a x a a x ⎧⎫-=≤=-+++≤⎨⎬+⎩⎭∣x A ∈x B ∈a 3a ≤-1a ≥3a ≤-1a >3a <-1a ≥3a <-1a >mL 2079mg ~mg 0.4mg /mL 20%lg20.3010≈(),1,0ab ∈-cos πcos πa b >sin sin a b <3355ab-->sin sin a a b b ->-4433a b<7.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则下列一定正确的是（）A.B.C.为奇函数D.为奇函数8.在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（）A.B.25C.D.24二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.不存在实数，使得C.若向量，则或D.若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的图像可由的图像向左平移个单位得到B.图像关于点对称C.在上值域为D.若，则11.已知函数，则下列说法正确的是（）()f x R ()1f x +()2f x +()20221f =()()2f x f x =+()3f x +()2024f x +ABC V ,,A B C ,,a b c 222c a b ab =++D AB CD ACB ∠12CD =49a b +252254)(),0,1a m b ==2a = 1a b ⋅=m a∥b()4a a b ⊥-1m =3m =a b b - ,a b2π3()π3πsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x y x =π4()f x π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x []0,π[]1,1-()π,0,5cos22f ααα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭7cos225α=()()ln ,e ln xf x x xg x a x a =-=-+A.有极大值为B.对于恒成立，则实数的取值范围是C.当时，过原点与曲线相切的直线有2条D.若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若为偶函数，则实数__________.13.已知的外心为，内角的对边分别为，且.若，则__________.14.定义：如果集合存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合的一个划分.若使函数在有且仅有一个零点的的取值集合为，则集合的所有划分的个数为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）对于任意两个非零向量，定义新运算：.（1）若向量，求；（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）已知的三个内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，点满足，且的面积；()f x 1-()0g x ≥x ∈R a 12e ,∞-⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =()()1y g x f x =--x ()()f x g x =a 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()sin2g x x =()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭a =ABC V O ,,A B C ,,abc ::5:6:5a b c =7BA BC ⋅=BO BA ⋅=A ()12,,,,2m A A A m m ∈≥N 12m A A A A ⋃⋃⋃= 12,,,m A A A Am ()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N π0,4⎛⎫⎪⎝⎭ωA A ,a b2a b a b b ⋅⊕= ()()1,5,3,4a b =-=()2a b b -⊕ ,a b ()()5323a b a b +⊕-=- a b + b ABC V ,,A B C ,,a b c π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = CD =ABC V17.（本小题满分15分）已知函数.（1）若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.18.（本小题满分17分）已知函数在上的最大值为2，集合.（1）求的值，并用区间的形式表示集合；（2）若，对，都，使得，求实数的值.19.（本小题满分17分）（1）当时，求证：（i ）；（ii ）（2）已知函数.（i ）当时，求在点处的切线方程；（ii ）讨论函数在上的零点个数.()2ln f x x ax a =-+1x =()f x a ()f x ()1,x ∞∈+()0f x >a ()()()2log 20,1a f x x x a a =++>≠1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()[]{}1,0,2A y y f x x ==+∈∣a A ()()221xx x x g x a a m a a --=+-++1x A ∀∈[]20,1x ∃∈()12x g x =m[]0,πx ∈sin x x ≥21e 12xx x ≥++()e sin 1xf x mx x x =+--1m =()y f x =()()0,0f ()y f x =[]0,π湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学答案1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.A9.BCD 10.BD 11.ABD 12.113.14.148.由，又，，，当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值11.A 选项，则，当时，；当时，；所以在处取得极大值为，对B 选项，在递减，在上递增，故对于恒成立，则B 对C 选项，，函数定义域为，则，设切点坐标为，则在处，的切线方程为，把点代入切线方程得，，化简得，25222212πcos ,23c a b ab C C =++⇒=-∴=S ABC ACD BCD S S =+V V 12π1π1π11sin sin sin 2,2232323ab b CD b CD ab a b a b ∴⋅=⋅+⋅⇒=+∴+= ()111194125494913132222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝9423b a b a a b =⇒=112a b +=55,46a b ==252()()ln ,0,f x x x x ∞=-∈+()()111x f x x x--=-='()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∞∈+()0f x '<()f x 1x =()11f =-A ()()()e 10xg x a a g x =->⇒'10,lna ⎛⎫ ⎪⎝⎭1ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0g x ≥x ∈R 121ln 012ln 0e ,g a a a -⎛⎫≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭()()1e 1ln xy g x f x x =--=--()0,∞+1e xy x'=-()00,x y 0x x =e 1ln x y x =--()()000001e 1ln e x x y x x x x ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭()0,0()()000001e 1ln e 0xxx x x ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭()000ln 1e xx x =-当时，，此方程无解，当时，，此方程无解，当时，，满足要求，故方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条切线和相切，C 错误；D ：由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根，整理得，则，即设函数，则上式为，因为在R 上单调递增，所以，即，由A 选择项可知，当时，；当时，；的最大值为，又因为，所以要想有两个根，只需要，即，所以的取值范围为.故D 对.14.函数在有且仅有一个零点，则，，集合有4个元素，集合的2划分个数为，集合的3划分个数为，集合的4划分个数为1，故集合的所有划分的个数为14.15.解：（1），001x <<()000ln 01e xx x <<-01x >()000ln 01e xx x >>-01x =()000ln 01e xx x ==-()000ln 1e xx x =-01x =()y f x =x ()()f x g x =ln e ln x x a a =+ln lnx e ln x a a +=+()ln ln e ln x ax x x a ++=++()ln ln ln ee ln ,xx a x x a ++=++()e xh x x =+()()ln ln h x h x a =+()h x ln ln x x a =+ln ln a x x =-()()ln ,0,f x x x x ∞=-∈+()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∞∈+()0f x '<()f x ()11f =-()(),,0,x f x x f x ∞∞∞→+→-→→-ln ln a x x =-ln 1a <-10e a <<a 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N π0,4⎛⎫⎪⎝⎭πππ2π3744ωω<+≤⇒<≤{},4,5,6,7,4,5,6,7A ωω∈∴=∴=N A A 214422C C 7A +=A 246C =A A ()25,6a b -=-()()()()225,63,4152492252525a b b a b b b-⋅-⋅-+∴-⊕====（2）由，，.，故与16.解（1），，，，，（2）由，，，()()()()232553233(2)a b a b a b a b a b +⋅-+⊕-=-⇒=--15543554a b a b a b-⋅=-⇒⋅=-⋅ ()91,5a b b a b a b +⋅=⋅+=+====()cos ,a b b a b b a b b +⋅<+>===+⋅ a b + b π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()cos sin sin 2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++()sin sin cos 2sin ,0,π,sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ2π623C C ∴-=∴=()22233AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+-1233CD CA CB ∴=+1233CD CA CB ∴=+==22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭()()22301303b b b b b ∴--=⇒+-=⇒=11sin 1322S ab C ∴==⋅⋅=17.（1）是的极值点，故，当时，，，可知是的极大值点，故，的单调增区间为；单调减区间为（2）法一：由，得，易知当时，，满足题意；当时，令，在上单调递增，则，不符合题意；当时，由，得，由，得，于是有在上单调递减，在上单调递增，，则当时，，()12,1f x ax x x '=-= ()f x ()111202f a a =-=⇒='12a =()()()()111120x x f x ax x x x x x--+=-=-=>'()()()()00,1,01,f x x f x x ∞'>⇒∈<⇒∈+'1x =()f x 12a =()f x ()0,1()1,∞+()0f x >()()21ln 0,1,a x x x ∞--<∈+2ln 0,10,x x -<->0a …()21ln 0a x x --<12a …()()()21ln 1g x a x x x =-->()()2210,ax g x g x x-=>'()1,∞+()()10g x g >=102a <<()0g x '>x ∞⎫∈+⎪⎭()0g x '<x ⎛∈ ⎝()g x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎭()min ()10g x g g =<=102a <<()()1,,0x g x ∞∃∈+<综上，的取值范围为.法二：由，得，，令，则，令，则，可知在上为减函数，故，故在上为减函数，故，，故，则在上为减函数，故，综上，的取值范围为.18.（1），则，当时，（舍）当时，满足，故.，故集合（2）由集合，设，则当，即时，a 1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f x >()()21ln 0,1,a x x x ∞--<∈+()2ln 11x a x x ∴<>-()()2ln 11x g x x x =>-()()()2212ln 11x x x x g x x x --=>-'()()12ln 1h x x x x x x =-->()()212ln 11h x x x x'=-->()212ln 1h x x x=--'()1,∞+()()10h x h '<='()12ln h x x x x x=--()1,∞+()()10h x h <=()()()2212ln 011x x x x g x x x --'=<>-()2ln 1xg x x =-()1,∞+2211111ln 111lim ()lim lim lim ,12222x x x x x x g x a x x x →→→→====∴<-a 1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭212,14t x x x ⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦29,416t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦01a <<291629log ,,4,max log 216a a y t t a ⎡⎤=∈==⇒=⎢⎥⎣⎦1a >429log ,,4,max log 2216a a y t t a ⎡⎤=∈==⇒=⎢⎥⎣⎦2a =()()][221log 21,0,2,2,4y f x x x x y ⎡⎤=+=+++∈∴∈⎣⎦[]2,4A =[]()()()()2222,4,2222122221x x x x x x x x A g x m m ----==+-++=+-+-22x x t -=+[]0,1x ∈[]21,2x∈由对勾函数的性质可知，故，设，则由题意得为当时，的值域的子集.当即时，易知在上单调递增，故，得当，即时，在上的最大值为和中的较大值，若得，若得，而，故不合题意；当，即时，易知在上单调递减，故，不等式组无解.综上所述：实数的值为.19.证明：（1）（i ）令，则，故上为增函数，故，即，当且仅当时取等号；故当时，成立.（ii ）令，则当时，，故在上为增函数，故当时，，52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()()22222211x xx x g x m t mt --=+-+-=--()2h 1t t mt =--[]2,4A =52,2t ⎡∈⎢⎣()h t 22m ≤4m ≤()h t 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()232252154242h m h m ⎧=-≤⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩1;2m =5222m <<45m <<()h t 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2h 52h ⎛⎫⎪⎝⎭()2324h m =-≥12m ≤-52154242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭12m ≤45m <<522m ≤5m ≤()h t 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()232452152242h m h m ⎧=-≥⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩m 12()[]()sin 0,πx x x x ϕ=-∈()1cos 0x x ϕ=-≥'()[]sin 0,πx x x ϕ=-在()()00x ϕϕ≥=sin 0x x -≥0x =[]0,πx ∈sin x x ≥()[]()21e 10,π2xk x x x x =---∈[]0,πx ∈()()e 1,e 10x x k x x k x ''=--=-≥'()e 1x k x x =--'[]0,π[]0,πx ∈()()00k x k '≥='即：，当且仅当时取等号；故在上为增函数，故，即，当且仅当时取等号；故当时，成立.（2）（i ）当时，，故在点处的切线方程为：（ii ）（A ）当时，，故，当且仅当时取等号，故在区间上的零点个数只有1个；（B ）当时，，，当且仅当时取等号，故在区间上的零点个数只有1个；（C ）当时，，，当时，在上为增函数，故，当时，，故，使得，则，e 10x x --≥0x =()21e 12x k x x x =---[]0,π()()00k x k ≥=21e 102x x x ---≥0x =[]0,πx ∈21e 12x x x ≥++1m =()()()()e sin 1,00,e sin cos 1,00x x f x x x x f f x x x x f =+---'==++∴='()y f x =()0,00y =()[]e sin 1,0,πxf x mx x x x =+--∈0m ≥[]0,π,sin 0x mx x ∈∴≥ ()e sin 1e 10x x f x mx x x x =+--≥--≥0x =()f x []0,π1,02m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭[]0,π,sin 0x x x ∈∴≥ ()211e sin 1e sin 1e 1022x x x f x mx x x x x x x x ∴=+--≥---≥---≥0x =()f x []0,π1,2m ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()[]e sin 1,0,πx f x mx x x x =+--∈()()()e 1sin cos ,e 2cos sin x x f x m x mx x f x m x x x '=-++-''=+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()e 2cos sin x f x m x x x =+-''π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()π2ππ0120,e 022f x f m f m '⎛⎫≥=+<='-> ⎪⎭''''⎝π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()e 2cos sin 0x f x m x x x =+-'>'0π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x ''=()()()()000,,0;,π,0x x f x x x f x ∈''''<∈>故在递减，在递增，又，故，则，使得，则，故在递减，在递增，又，又，故，使得，即此时在区间上有两个零点和；综合有：当时，在区间上只有一个零点；当时，在区间上有两个零点.()f x '[)00,x (]0,πx ()()π00,πe 1π0f f m '==-⋅'->()()000f x f '<='()10,πx x ∃∈()10f x '=()()()()110,,0;,π,0x x f x x x f x ∈''<∈>()f x [)10,x (]1,πx ()()()100,00f f x f =∴<=()ππe π10f =-->()21,πx x ∃∈()20f x =()f x []0,π0x =2x x =1,2m ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭()f x []0,π1,2m ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()f x []0,π。

甘肃省张掖市2023届高三下学期4月联考数学(理)试题

甘肃省张掖市2023届高三下学期4月联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数4．已知向量a ，b 满足a b = ，A ．255-B ．2555．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且（）A ．n S 的最小值是17S C ．n S 的最大值是17S 6．图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π7．执行下边的程序框图，如果输入的是1n =，0S =，输出的结果为40954096，则判断框中“”应填入的是（）A ．13n <B ．12n >C ．12n <D ．11n <8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）A ．平面1EFC ⊥平面11C AAC C ．1MP C D⊥9．已知椭圆(2222:1x y C a b a b+=>存在点M ，使得112=MF F F ，直线线，则椭圆C 的离心率为（）A ．612-B ．52-10．已知函数()sin cos f x x ωω=正确的是（）A ．1ω=B ．()f x 的单调递增区间为5π12⎡-⎢⎣C ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于D ．ππ333f x f x ⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知抛物线C 的顶点为坐标原点两点，且OP OQ ⊥，线段PQ 的中点为A ．66B ．1212．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为()()102g x g x +-=，则[91(i f =∑A ．21B ．22二、填空题三、解答题(1)证明：直线l⊥平面PAC(2)若Q在直线l上且BAQ∠19．某国家网球队为了预选特训．选拔过程中，记录了某队员的成功得1分，否则得0分，且每局结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．(1)结合直方图，估算该队员40局接球成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若该队员的接球训练成绩X 近似服从正态分布求()6494P X ≤≤的值；(3)为了营造竞技氛围，队员间相互比赛．得分达到80分，则接球方获胜，否则发球方获胜．若有人获胜达记比赛的局数为Y ．以频率分布直方图中该队员获胜的频率作为概率，求均值参考数据：若随机变量()2~,N ξμσ，则()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈，(P 20．已知双曲线C ：(222210,x y a a b-=>(1)求双曲线C 的方程；(2)若A ，B 为双曲线的左、右顶点，的另一交点为Q （P 与A ，Q 与B 均不重合）求证：直线21．已知函数()()21,f x x ax g x =-+(1)若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数(2)若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线4cos ρθ=-．。

2024-2025学年河北省高三上学期省级联测数学试题及答案

2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A {}1,2,3 B. {}1,2-C. {}2,3 D. {}0,1,2,3,42. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（）A. 1或2B. 1C. 2D. 33. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A. ()1,0- B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,04 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（）A. 14-B.34C. 2D. 65. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）..A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（）A. 55B. 57C. 87D. 897. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（）A. (]2,2-B. (2,-C2⎤⎦D. (8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A. 2- B. 2C. 2026- D. 2026二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（）A. 若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤10. 已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（）A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈，则()f x 值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-11. 已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（）A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C. 设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C的离心率为______.14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道的题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点⎛ ⎝在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A. {}1,2,3B. {}1,2-C. {}2,3D. {}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】B ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ，而{}1,2,3,4A =-，所以{}1,2A B ⋂=-.故选：B.2. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（）A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知，()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+，因为12z z +为纯虚数，所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得2a =.故选：C.3. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A. ()1,0-B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ，所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，可得2a b ⋅=- ，所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-，故选：A.4. 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（）A. 14-B.34C. 2D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=，然后将目标式子用tan α表示，由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=，则tan 2α=，所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=，故选：D.5. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形，则4AB BC ==，由题意可知半球的半径2R =，圆柱的底面圆半径2r =，高4h =，由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===，故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选：C.6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（）A. 55 B. 57 C. 87 D. 89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得n a 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为{a n }是正项等比数列，所以10a >，公比0q >.因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，则3212023a a a --=，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍），又因为231148a a q a ===，所以12a =，所以数列{a n }通项公式为2n n a =，所以21221nn a n n +-=+-，设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ，则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--，所以62525287T =+-=，故选：C.7. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（）A. (]2,2-B. (2,-C. 2⎤⎦D. (【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数图象与性质计算即可得()f x 表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知，2A=，的的因为11ππ31264T -=，所以2ππ,2T Tω===，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，令3π4t x =-，由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即y m =与2sin y t =在2π3t ⎡∈-⎢⎣上有两个交点，所以实数m 的取值范围为(2,-，故选：B.8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A. 2-B. 2C. 2026- D. 2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =，()f x 的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，由此得f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y =，得()()()20f x f x f =，又y =f (x )不是常函数，所以()02f =，再令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++-=，即()()110f x f x ++-=，则f (x +2)=−f (x )，即()()2f x f x -=-，故()()4f x f x =+，所以函数y =f (x )的周期为4，由f (x +2)=−f (x )，令1x =，得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（）A. 若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ，因为()(0)20.2P X P X <=>=，所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8，故A 错误；对于选项B ，因为()1,4X N ~，且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则0.212a +=，即a =1.8，则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，()()120.5P X P Y >=>=，故C 错误；对于选项D ，因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，所以11221,2,2,1μσμσ====，因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+，又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+，所以()()44P X P Y ≤<≤，故D 正确，故选：BD.10. 已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（）A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，求导，解不等式求出函数单调性；B 选项，在A 选项基础上得到函数的极大值点；C 选项，()f x 在[]1,2上单调递减，从而求出值域；D 选项，参变分离，得到32a x x x ≤--，构造函数()32h x x x x =--，求导得到其单调性，求出()h x 的最小值为()11h =-，故1a ≤-.【详解】对于选项A ，因为()322f x x x x =-+-，所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---'，所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ，如下表：的x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确；对于选项C ，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()f x 的最小值为()22f =-，最大值为()10f =，所以当[]1,2x ∈时，()f x 的值域为[]2,0-，故C 正确；对于选项D ，()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--，令()32h x x x x =--，则()()()2321311h x x x x x =--=+-'，因为[)0,x ∈+∞，所以当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当[)0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，所以当1x =时取到极小值，所以)h x 的最小值为()11h =-，所以1a ≤-，故D 正确.故选：BCD.11. 已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（）A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C 设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ；分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确；由图形可得.C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象如图所示，对于选项A ，将点(1,1)代入4x x y y +=，得到24=，显然不成立，故A 错误；对于选项B ，将y x =-代入曲线G 得，04x x x x -=≠，无解，故B 正确；对于选项C ，由于直线2y kx =+恒过点(0,2)，当0k =时，直线与x 轴平行，与曲线G 有一个交点；当1k =-时，直线与曲线G 的渐近线平行，此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点（如图），故C 正确；对于选项D ，设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故D 正确.故选：BCD.为【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,a b 的值，进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+，有()0f b =，由()3231af x x x =-+'，可得()03f a '=，因为曲线y =f (x )在0x =处的切线方程为32y x =+，所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==，则3a b +=.故答案为：3.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C的离心率为______.【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NF m =，则12PF m =，由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+，由勾股定理得到方程，求出23m a =，进而求出c a ==【详解】如图，连接1222,,,MF MF NF PF ，因为120MF MF ⋅= ，所以12π2F MF ∠=，由对称性可得12π2F NF ∠=，由112F P NF =，可设1NF m =，则12PF m =，由双曲线的定义可知，212PF PF a -=，212NF NF a -=，则2222,2PF a m NF a m =+=+，由12π2F NF ∠=得，22222||PF PN NF =+，即222(22)9(2)a m m a m +=++，解得23m a =，又由12π2F NF ∠=得，2221212F F F N NF =+，即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得c a ==，所以双曲线C 的离心率e =.14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，020≤≤m 且m ∈N ，则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ，所以13m =或14m =，故当13m =或14m =时，()f m 取得最大值.故答案为：13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.【答案】（1（2）+【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc =，进一步结合余弦定理可得b c +=，由此即可得解.【小问1详解】由题意，因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=，所以2cos cos cos b A c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知，π3A =，则1sin 2A A ==，因为ABC V 的面积11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()34b c =+-⨯，可得b c +=，所以ABC V 的周长为a b c ++=+.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点⎛ ⎝在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AF B ∠=，得a =，再把点⎛ ⎝代入椭圆方程求出,a b 即可；（2）设出直线MN 的方程，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，由1PM MF λ= ，1PN NF μ=，表示出λμ+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AF B ∠=，所以a =，因为点⎛ ⎝在Γ上，所以2211122b b +=，解得1b =，故a =，所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在，可设直线MN 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxk x k +++-=，2880k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++，又()()12,,1,0P k F ---，由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++，因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以0λμ+=为定值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,B C D E 的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD =//BC ，则45DBC DCB ∠∠== ，所以,90BD CD BDC ∠==，即BD CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图，过点P 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影，所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角，即60PDH ∠= .设1AD =，得2BD DC DP BC ====，在PHD △中，DH PH ==，在ADH 中，45ADH ∠= ，由余弦定理得AH ==，所以222AH DH AD +=，所以AH CD ⊥，如图，过点D 作DF //PH ，则DF ⊥底面ABCD ，以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(),,0,,,B C P A E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以)(),,DB DE DC === ，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111100n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，222200m DC m DE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ====，所以(),n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，则cos ,n m n m n m ⋅=== ，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则cos θθ===故平面BDE 与平面CDE.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.【答案】（1）证明见解析（2）,⎛-∞ ⎝ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x =，()f x 取得极大值，由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝；（2）在（1）的基础上，得到函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-++< ⎝，解得a <；（3）表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以()()303020x x x x +-=，求出302x x -=，故1202x x x +=.【小问1详解】证明：由题，()23f x x a ='+，令()0f x '=，解得x =，当x <-或x ()()0,f x f x '>单调递增，当x -<()()0,f x f x '<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝，所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当x =()f x有极大值，且极大值为10f ⎛>> ⎝，因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+，且当x =()f x 有极小值，所以要使得函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-++< ⎝，解得a <，所以实数a的取值范围为,∞⎛- ⎝.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax x x x x x x a k x x x x ++-++-+++==--，因为30x x ≠，所以03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，因为123,,A A A 三点共线，则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++，整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-，因为32x x ≠，所以321x x x +=-，即123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以222330003x x x x a x a +++=+，整理得()()303020x x x x +-=，因为30x x ≠，所以3020x x +=，即302x x -=，所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1≠不为“2元重生集”；（2）设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，设123a a a <<，利用不等式关系推出123a a <，故121,2a a ==，求出{}1,2,3A =；（3）设123n a a a a <<<< ，得到121n a a a n -< ，当2n =时，推出矛盾，当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，推出()1!n n >-，但()1!n n ->在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】121144-==-=-，≠所以集合不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，则123123a a a a a a =++，不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为*12,a a ∈N ，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ，由1212n n n a a a a a a na =+++< ，得121n a a a n -< ，当2n =时，12a <，故11a =，则221a a +=，无解，若*12,a a ∈N ，则{}12,a a 不可能是“2元重生集”，所以当2n =时，不存在“2元重生集”；当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ，又121n a a a n -< ，故()1!n n >-，事实上，()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

高三数学下学期毕业班联考试卷一理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校十二重点2021届高三下学期毕业班联考〔一〕数学〔理〕试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分.考试时间是是120分钟．第一卷选择题(一共40分)本卷须知：2．第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑；参考公式：·假设事件、互斥，那么柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，总分值是40分．1.集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【详解】由y=ln(x2+1)⩾0，得到M=[0，+∞)，由N中2x<4=22，得到x<2，即N= (−∞,2)，那么M∩N=[0，2)，应选：C【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.设变量满足约束条件{x−y+1≤02x+3y−6≥03x−2y+6≥0，那么目的函数z=x−2y的最大值为〔〕A.−6639B.−135C.−2D.2【答案】B 【解析】【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目的函数z =x −2y 的最大值. 【详解】作出不等式组的可行域如下列图，由题得目的函数为y =12x −z2，直线的斜率为12，纵截距为−z2，当目的函数经过点A(35,85)时，纵截距−z2最小，z 最大.所以z max =35−2⋅85=−135. 故答案为：B【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能. 3.p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x >0； p ：|2x −1|≤1q ：11−x >0，那么p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4； ) A.0 B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】 .【详解】p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x ≥0pq ：x ＜1，那么p 是q③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以b 7=4 应选:A 【点睛】.4.如图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是() A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B 【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案. 【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序完毕，输出k=3 应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，属于简单题. 5.将函数y =cos （2x −π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，那么φ等于〔〕 A.π3B.π6C.π2D.π4【解析】【分析】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，解之即得解.【详解】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，因为0<φ<π，所以k=0时，φ=π4.应选：D【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.a=log130.60.3,b=log1214,c=log130.50.4,那么实数a,b,c的大小关系为〔〕A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.c<b< a【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得b=log1214=2，因为0.60.3>0.60.4>0.50.4，∴log130.60.3<log130.50.4，log130.50.4=0.4log130.5<0.4log1313=0.4，所以a<c<b.【点睛】此题主要考察对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 7.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过原点的直线与双曲线交于A,B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，假设ΔABC 的面积为2a 2，那么双曲线的渐近线方程为〔〕 A.y =±√22xB.y =±√2xC.y =±√33xD.y =±√3x【答案】B 【解析】【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进展整理即可得解．【详解】∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，由对称性知ΔABC 的面积S =2S ΔOBC =2×12cℎ=cℎ=2a 2，即ℎ=2a 2c，即B 点的纵坐标为y =2a 2c，那么由x 2+(2a 2c)2=c 2，得x 2=c 2−(2a 2c)2=c 2−4a 4c 2，因为点B 在双曲线上，那么c 2−4a 4c 2a 2−4a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−4a 2c 2−4a 4c 2(c 2−a 2)=1，即c 2a 2−4a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1，即c 2a 2−4a 2c 2·c 2c 2−a 2=1，即c2a2−4a2c2−a2=1，即c2a2−1=4a2c2−a2=c2−a2a2，得4a4=(c2−a2)2，即2a2=c2−a2，得3a2=c2，得c=√3a，b=√2a.那么双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√2x.应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的几何性质，考察圆的方程，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.函数f(x)={|log3(2−x)|,x<2−(x−3)2+2,x≥2，g(x)=x+1x−1，那么方程f(g(x))=a的实根个数最多为〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程f(g(x))=a的实根个数最多为8.【详解】由题得函数g(x)=x+1x−1的值域为[1,+∞)∪(−∞,−3]，设g〔x〕=t(t∈[1,+∞)∪(−∞,−3]),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数g(x)=x +1x−1在〔0,1〕〔-1,0〕单调递减，在〔1，+∞〕，〔-∞，-1〕单调递增. 所以g(x)=t,当t 在[1,+∞)∪(−∞,−3]每取一个t 值时，x 都有两个值和它对应，因为t 最多有4个根，所以x 最多有8个解. 应选:C【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察利用函数的图像研究零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.第二卷非选择题(一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9.假设z =1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，那么a ⋅b =__________．【答案】6 【解析】【分析】先化简得{a +2b =8b −2a =−1，解方程即得a,b 的值，即得解.【详解】由题得〔a+bi 〕(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i, 即{a +2b =8b −2a =−1,∴a =2,b =3,∴a ⋅b =6.故答案为：6【点睛】此题主要考察复数的运算和复数相等的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.a =∫sinxdx π0，那么(ax +√x)5的二项展开式中，x 2的系数为__________．【答案】80 【解析】【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出x2的系数.【详解】由题得a=(−cosx)|0π=2，所以(ax+√x )5=(2x+√x)5，设二项式展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(√x)r=C5r⋅25−r x5−32r，令5−32r=2,∴r=2,所以x2的系数为C5223=80.故答案为：80【点睛】此题主要考察定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.圆柱的高和底面半径均为2，那么该圆柱的外接球的外表积为_____________．【答案】20π【解析】【分析】设球的半径为r,由题得r2=12+22，再求圆柱外接球的外表积.【详解】设球的半径为r,由题得r2=12+22=5，∴S球=4π⋅5=20π.故答案为：20π【点睛】此题主要考察圆柱外接球外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.直线：{x=aty=1−2t〔为参数〕，圆C：ρ=−4√2sin(θ+3π4)〔极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度一样〕，假设圆C上恰有三个点到直线的间隔为√2，那么实数a=__________．【答案】−4±2√6【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8，根据得到方程√4a 2=√2，解方程即得a 的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8，因为圆C 上恰有三个点到直线的间隔为√2，所以√4a 2=√2，解之即得a=−4±2√6. 故答案为：−4±2√6【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考察直线和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.13.x >0，y >0，√2是2x 与4y 的等比中项，那么1x +xy 的最小值为__________．【答案】2√2+1 【解析】【分析】先由得到x+2y=1,再对1x+xy 化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解】由题得2x ⋅4y =2,∴2x+2y =2,∴x +2y =1. 所以1x +x y =x+2yx+x y =1+2y x+x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2.当且仅当x =√2−1,y =2−√22时取等.所以1x +xy 的最小值为2√2+1. 故答案为：2√2+1 【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 14.在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45∘，高为m ，Q 为折线段B −C −D 上的动点，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ 设AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为f (m )，假设关于m 的方程f (m )=km −3有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围为__________．【答案】(2√3+2,112)【解析】【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q 的位置分类讨论得到f(m)=m 2+2m ，根据得到k =m +3m +2有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k 的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以AC⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4，2m)=2(2,m)=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ , 所以点E(2，m),且0＜m ＜2，又动点Q 为折线上B-C-D 上的点， ①Q 在CD 上时，Q(x Q ,m)，m ≤x Q ≤4−m,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =m 2+2x Q ≥m 2+2m ， ②Q 在BC 上时，Q(x Q ,4-x Q )，4-m ≤x Q ≤4,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =4m +(2−m)x Q ≥4m +(2−m)(4−m)=m 2−2m +8，因为0＜m ＜2，所以m 2+2m <m 2−2m +8，∴f(m)=m 2+2m . 因为f (m )=km −3，所以k =m +3m+2，构造函数g(m)=m +3m+2(0<m <2)，函数在（0，√3）单调递减，在（√3，2）单调递增.所以g(√3)<k <g(2)，即k∈(2√3+2,112).故答案为：(2√3+2,112)【点睛】此题主要考察平面向量的坐标运算和数量积，考察导数求函数的单调性，考察导数研究函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤． 15.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，2b(2b −c)cosA =a 2+b 2−c 2. 〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设ΔABC的面积SΔABC=25√34，且a=5，求b+c.【答案】〔Ⅰ〕A=π3；〔Ⅱ〕10.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理正弦定理对2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2化简即得A=π3.〔Ⅱ〕先化简SΔABC=25√34得到bc=25,再利用余弦定理求得b2+c2=50，再求b+c的值.【详解】〔Ⅰ〕∵2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2∴2b(2b−c)cosA2ab =a2+b2−c22ab，∴(2b−c)cosA=acosC，由正弦定理得∴(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC，即∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC∴2sinBcosA=sinB，∵0<B<π∴sinB≠0，∴cosA=12,∵0<A<π∴A=π3.〔Ⅱ〕∵SΔABC=12bcsinA=25√34,∴bc=25,∵cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−252×25=12,∴b2+c2=50,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=100,即b+c=10.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.“绿水青山就是金山银山〞，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

高三数学理科联考试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$，则$f(-1)$的值为：A. 0B. 1C. 2D. -12. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10}$的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为：A. 5B. 7C. 9D. 114. 若不等式$|x - 2| < 3$的解集为$A$，则集合$A$的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数$y = x^2 - 4x + 4$，则该函数的图像是：A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 圆6. 在直角坐标系中，点$(2, -3)$关于直线$x + y = 0$的对称点是：A. $(3, -2)$B. $(-3, 2)$C. $(-2, 3)$D. $(2, 3)$7. 若$a > 0$，$b > 0$，且$a + b = 1$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为：A. 2B. $\frac{4}{3}$C. $\frac{3}{2}$D. 18. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，公比$q = 2$，则$a_5$的值为：A. 32B. 16C. 8D. 49. 若$sinA + cosA = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin2A$的值为：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. 110. 在三角形ABC中，$A = 60^\circ$，$B = 45^\circ$，则$sinC$的值为：A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若复数$z = a + bi$（其中$a$，$b$为实数），则$|z|$的值为__________。

2024届联考高三一轮复习联考(三)全国卷理科数学试卷

2024届高三一轮复习联考(三)全国卷理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知M,N 是全集U 的非空子集，且MSCuN, 则A.NCMB.MCNC.CuMC[uND.NCluM2.若z 满足(1+i)z=—2+i, 则 |z|=C.5D.√ 103.已知非零平面向量a,b, 那么“a=tb”是“|a—b|=|a| 一 |b| ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若实数x,y 满足约束条件 m-ua+大直为A.2B.5C.8D.105.记△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a=4,c=6,,则AC 边上的高为6.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型：y=ko ·e¹.4e -0.1254(k ₀ >0).自2023年初起，经过n 年后(n ∈N*), 当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，n 的最小值为(参考数据：1n 5≈1.6094)A.10B.11C.12D.13一轮复习联考(三)全国卷理科数学试题第1页(共4页)A7.下列选项中，能判定平面α和平面β平行的是A. α内有无数条直线都与β平行B.α内的任意一条直线都与β平行C.α 与β垂直于同一平面D. α与β平行于同一直线8.已知函数在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是A.( 一0,2)B.( 一0,0)C. (2,十○)D.(0, 十○)9.已知奇函数f(x)=2cos(wx-φ)(w>0,0<φ<π)图象的相邻两个对称中心的距离为2π,将f(x) 的图象向右平移个单位长度得函数g(x) 的图象，则g(x) 的图象A. 关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称10.已知函数f(x) 的定义域为R,f(x+1) 为偶函数，f(4—x)=f(x), 则A.函数f(x) 为偶函数B.f(3)=0D.f(2023)=011.对于一个给定的数列{an}, 令,则数列{bn} 称为数列{an} 的一阶商数列，再令cn=,则数列{cn}是数列{an}的二阶商数列.已知数列{An} 为1,2,8,64,1024, …,且它的二阶商数列是常数列，则A,=A.215B.219C.221D.22812.已知函数f(x)= 设,则A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中高三数学下学期联考试题理A卷, 试题(共8页)

优质(yōuzhì)高中2021届高三联考试题数学〔理工类〕考前须知：答卷前，所有考生必须将姓名，准考证号等在答题卡和答题卷上真写清楚。

选择题答案需要用2B铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用的黑色签字笔在每一小题对应的答题区域做答，答在试题卷上无效。

第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求〕1．复数〔是虚数单位〕，那么的一共轭．．．复数是〔〕A．B． C．D．2．定义域为R的函数不是奇函数，那么以下命题一定为真命题的是〔〕A． B．C． D．3．假设是2和8的等比中项，那么圆锥曲线的离心率是〔〕A． B． C．32或者 D．32或者54．向量，假设，那么向量与向量的夹角的余弦值是〔〕A ．B ．C ．D ．5．某棱锥(léngzhuī)的三视图如下图，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是〔〕 A ．B ．C ．D ．6．如右图所示，执行程序框图输出的结果是〔〕A ．B ．C ．D ．7．g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3〔x ≤0〕，g 〔x 〕〔x >0〕，假设f (2－x 2)>f (x )，那么实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(－2，1)8．如以下图所示将假设干个点摆成三角形图案，每条边〔色括两个端点〕有n(n>l ，n∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为，那么= 〔〕A ．B ．C ．D ．9．要得到(d é d ào)函数的导函数的图象，只需将的图象〔〕A ．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍〔横坐标不变〕B ．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍〔横坐标不变〕C ．向左平移3π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍〔横坐标不变〕 D ．向左平移6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍〔横坐标不变〕10. 在双曲线(a ＞0，b ＞0)中，，直线与双曲线的两条渐近线交于A ，B两点，且左焦点在以AB 为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2) B ． (1，2) C. ⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D ．(2，＋∞) 11．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码〔每种砝码各一个〕中选出假设干个，使其总重量恰为9克的方法总数为, 以下各式的展开式中的系数为m 的选项是〔〕A ．B ．C ．D ．12. 函数满足，且存在实数使得不等式成立，那么m 的取值范围为〔〕 A.B.C.D.第二卷〔非选择题〕本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部。

高三理科联考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x+1)B. f(x) = 1/xC. f(x) = |x|D. f(x) = log2(x)2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)的图像关于点(2, -1)对称，则下列说法正确的是（）A. f(0) = -1B. f(1) = -1C. f(3) = -1D. f(4) = -13. 已知数列{an}是等差数列，若a1 + a5 = 8，a2 + a4 = 12，则a3的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 4)D. (4, 3)6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，公比为q，首项为a_1，则S_n的表达式为（）A. S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q)B. S_n = a_1q^n - 1C. S_n = a_1(1 - q^n)/(q - 1)D. S_n = a_1(1 - q)/(1 - q^n)7. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处取得极值，则f(1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 6，c = 7，则角A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 已知数列{an}满足a_1 = 1，a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. S_n = 2^n - 1B. S_n = 2^n + 1C. S_n = 2^{n-1} - 1D. S_n = 2^{n-1} + 110. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为（）A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 4C. k^2 + b^2 = 9D. k^2 + b^2 = 16二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学(理)试题(含解析)

江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．25B．24C．55．若π13πtan sin123α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．39-B．35-C．396．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17排甲､乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人A ．62B ．20239．已知函数()f x 满足()()1ln f x x f x x'+1⎛⎫1⎛⎫二、填空题14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且对任意实数x 都有()(2)(R)f x f x αα=-∈sin 2α的值为__________．15．已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x ，方差为2s .若31x +，3x +(1)若BE ＝B 1E ，证明：CC 1⊥(2)若112BE B E =，求二面角19．已知椭圆C :(22221x y a b+=(1)求椭圆C 的方程；参考答案：326x y --的几何意义是曲线上的点到直线3260x y --=的距离的两倍，双曲线的渐近线3y x =与3所以曲线在第一、三象限上的点到在12F PF △中，由余弦定理得4c 可得()22422cos3c m n mn mn =-+-即得2222544487916c a a a =+⨯=279c =，所以，(PC PB PA PB OA ⋅=-⋅=- ()1OP OA OB OA OB =⋅+-⋅-，因为()22OA OB OPOA OB +-=+因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，11BC B C ==因为1AA BD ⊥，1AA ，AC ⊂则131,,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以51,3AE ⎛= ⎝ 易知平面11ACC A 的一个法向量为则100AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3305333y z x y ⎧+=⎪⎨++⎪⎩21．(1)(23)3n n a =-+，1,2,3,n =(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得13n a +-=比为23-的等比数列，由等比数列的通项公式即可求出。

高三下学期联考试卷(数学理)

高三数学试卷（理）（.4）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22，则有（）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（）A.3B.1-C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（）A.30份B.35份C. 40份D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（）A. 9B.6C. 36D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（）A. 12B.28C.36D.489.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为13二面角l αβ--的平面角为 150, 则球O 的表面积为（）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆的左、右准线分别为、，且分别交轴于、两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于（） 12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分） 13.在nxx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为 14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是22221(0)x y a b a b+=>>1l 2l x C D 1l A F x 2l B AF BF ⊥75ABD ∠=︒62-3162-31-16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin2cos 24x x f x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且 90=∠BCA ，601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30，（1）证明⊥AC 平面C C BB 11；（2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线．（１）求切线l 的方程；（2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值．ABC111A C B21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明)(λ-⊥； (2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分）设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈．（１）求数列}{n a 的通项公式；（２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x =++sin(1)24x π=++ ()4f x T π∴=的最小正周期为 .（5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()sin(1)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<，（10分）又∵7sinsin 412ππ<，sin(12)24A π∴<≤+，()21f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。

高三联考数学试卷理

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 52. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则ac > bcC. 若a > b，则a - c > b - cD. 若a > b，则ac > bc（c > 0）3. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^54. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA + sinB + sinC的值为（）A. 3√2B. 4√2C. 5√2D. 6√25. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，那么an+2 + an+1 - an =（）A. 2dB. 3dC. 4dD. 5d6. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = |x|D. f(x) = √x7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2n - 1，那么Sn的值为（）A. n^2B. n(n+1)C. n(n+1)/2D. 2n(n+1)8. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a + b的模长为（）A. √5B. √10C. √15D. √209. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (1, 4)D. (4, 1)10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 0，f(2) = 5，那么f(1)的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，那么f'(x) = ________。

安徽省合肥市龙桥中学高三数学理联考试题含解析

安徽省合肥市龙桥中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定积分（2x+1）dx的值为( )A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：A考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．解答：解：定积分（2x+1）dx==6．故选：A．点评：本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题．2. 已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（）A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23参考答案：C【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】由f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2，∴f（）=log23﹣2．故选C．【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，求得f（）=﹣f（2）是关键，也是难点，考查综合分析与转化的能力，属于中档题．3. 在直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若，则NR=（）A. 2B.C.D. 3参考答案：A【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），准线x＝﹣1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60°，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝2，在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝2，则MR＝4，则NR MR＝2，故选：A．4. 已知函数，使得恒成立，则=（）A．B．C．D．参考答案：D5. 已知集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A6. 已知函数的图象与直线相切，则实数的值为( )A．B．C．D．参考答案：C由，得，设切点横坐标为，依题意得，并且，解得，则实数的值为．7. 为了解高中生平均每周上网玩微信，刷微博，打游戏享受智能手机带来的娱乐生活体验，从高三年级学生中抽取部分同学进行调查，将所得的数据整理如下，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左至右前3个小组的频率之比为 ,第二组的频数为150，则被调查的人数应为（）A .600B .400C .700D .500参考答案：D8. 设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，即可判断出结论．【解答】解：“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．10. 已知偶函数在上是增函数.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则实数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内零点的个数为．参考答案：8【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】由f（x+2）=f （x），知函数y=f （x ）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=，的图象得到交点为8个．【解答】解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，因为x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g（x）=，的图象，容易得出到交点为8个．故答案为：8．12. 已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（Ⅰ）；（Ⅱ） .参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）13. 给出下列命题中①向量的夹角为；②为锐角的充要条件；③将函数的图象按向量平移，得到的图象对应的函数表达式为；④若为等腰三角形；以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：③④14.参考答案：315. 已知，若方程有2个零点，则实数m的取值范围是______________．参考答案：【分析】先求f（x）在上的解析式，若函数g（x）＝f（x）﹣mx有2个零点，则函数f（x）与函数y＝mx的图象有2个交点，数形结合可得答案．【详解】设，故若函数g（x）＝f（x）﹣mx有2个零点，则函数f（x）与函数y＝mx的图象有2个交点，在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：当直线y＝mx与f（x）相切时，设切点故当m∈时，两个函数图象有2个交点，即函数g（x）＝f（x）﹣mx有2个零点，故答案为【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，找到相切的临界情况是关键，难度中档．16. 已知等差数列的前n项和为，且，则。

四川省眉山市吴庄中学高三数学理联考试题含解析

四川省眉山市吴庄中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M={x||x|＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N为( )A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（0，）D．?参考答案：B考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解绝对值不等式求得M、解对数不等式求得N，再根据两个集合的并集的定义求得M∩N．解答：解：∵集合M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N=（0，1），故选：B．点评：本题主要考查绝对值不等式、对数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（）A. B. C.0D.1参考答案：A，要使复数是纯虚数，则有且，解得，选A.3. 四棱锥的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A． B．C． D．参考答案：D略4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．12 B．22 C．30 D．32参考答案：C5. 已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为( )A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－，)C．(2,3) D．(－∞，－)∪(，＋∞)参考答案：A略6. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若＝a1＋a2011，且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2011= ()A．2011 B.C．22011 D．2－2011参考答案：B略7. 若，是两个非零的平面向量，则“”是“”的（）．A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C，得，所以是充要条件，故选C. 8. 如图，正方形的顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是（）参考答案：C9. 已知则（）A．B．C．D．参考答案：C略10. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．参考答案：∵命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，则，解得，则实数的取值范围是．故答案为．12. 在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列的前项的和是__________?参考答案：13. 已知,则的值为．参考答案：试题分析：因为，所以．考点：三角函数的化简求值．14. 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是内（不含边界）的一个动点，若，则线段A 1P 的长的取值范围为_____.参考答案：【分析】由正方体的性质可知过且垂直于的平面为平面，与平面的交线为，故考虑到线段的距离的取值范围即可.【详解】考虑过且垂直于的平面与平面的交线，如图，由正方体可以得到，，因，所以平面，而平面平面，故考虑到线段的距离的取值范围.在图（2）的矩形中，，，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，，到直线的距离为，因是内，故的取值范围为.【点睛】空间中动态条件下的最值问题，可转化为确定的点、线、面的位置关系来讨论，必要时应将空间问题平面化，利用解三角形或平面向量等工具求最值.15. 下列命题：①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点（x1，y l），（x1，y l），……，（x n，y n）中的一个点；⑧设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，．则当x＜0时，；③若圆与坐标轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），（0，y l），（0，y2），则；④若圆锥的底面直径为2，母线长为，则该圆锥的外接球表面积为4π。