数学必修二圆与圆的位置关系练习题

数学必修二圆与圆的位置关系练习题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 圆C1：x2+y2−4=0与圆C2：x2+y2−6x−8y+16=0的位置关系是( )A.外切B.内切C.相交D.相离2. 圆C1:x2+y2+2x+2y−2=0与C2:x2+y2−4x−2y+1=0的公切线有且仅有( )A.1条B.2条C.3条D.4条3. 已知圆方程C1:f(x, y)=0，点P1(x1, y1)在圆C1上，点P2(x2, y2)不在圆C1上，则方程：f(x, y)−f(x1, y1)−f(x2, y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（）A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1圆心相同的圆D.过P2且与圆C1圆心相同的圆4. 过点A(16，6)作圆x2+y2+16x−12y−525=0的弦，其中弦长为整数的共有( )A.36条B.37条C.72条D.74条5. 已知圆O1:(x−a)2+(y−b)2=4,O2:(x−a−1)2+(y−b−2)2=1(a,b∈R)，那么两圆公切线的条数（）A.0B.1C.2D.36. 圆x2+y2=1和圆x2+y2−6y+5=0的位置关系是( )A.外切B.内切C.外离D.内含7. 已知两圆⊙C1:x2+y2+D1x+E1y−3=0和⊙C1:x2+y2+D2x+E2y−3=0都经过点A(2, −1)，则同时经过点(D1, E1)和点(D2, E2)的直线方程为（）A.2x−y+2=0B.x−y−2=0C.x−y+2=0D.2x+y−2=08. 圆x2+y2−2x−4y=0与圆x2+y2−2x+2y+1=0的位置关系是（）A.相离B.相外切C.相交D.相内切9. 已知圆C1:x2+y2−10x−10y=0和C2:x2+y2+6x+2y−40=0相交于A、B两A.5B.5√2C.5√3D.1010. 若A、B两点分别在圆x2+y2−6x+16y−48=0和x2+y2+4x−8y−44=0上运动，则|AB|的最大值为（）A.13B.19C.32D.3811. 已知圆C1:x2+y2=1与圆C2：(x−1)2+(y+1)2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为________．12. 两圆x2+y2−1=0与x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦长为________．13. 已知两点A(0,−2)，B(0,2)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的的直线有________条．14. 直线√3x+y−2√3=0与圆x2+y2=4的位置关系是________（填相交、相切、相离）15. 已知两点A(0,−2), B(0,2)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的的直线有________条．16. 过直线2x−y+1=0和圆x2+y2−2x−15=0的交点且过原点的圆的方程是________．17. 圆C1:x2+y2−2x−3=0，圆C2:x2+y2−4x+2y+3=0的公共弦方程是________．18. 已知圆(x−2)2+(y−3)2=13和圆(x−3)2+y2=9交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________．19. 若圆C1:(x+a)2+y2=8+a2(a>0)与圆C2:x2+y2=4的公共弦AB的长为2√3，则圆C2上位于AB右方的点到AB的最长距离为________．20. 若对于任意实数t，圆C1：(x+4)2+y2=1与圆C2：(x−t)2+(y−at+2)2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是________．21. 已知圆C1:x2+y2+2x+2y−8=0与圆C2:x2+y2−2x+10y−24=0相交于A、(1)求公共弦AB 的长；(2)求圆心在直线y =−x 上，且过A 、B 两点的圆的方程；(3)求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．22. 已知点M 与两个定点O (0,0)，A (2,0)的距离之比为√2，点M 的轨迹为曲线C ，过点B (2,4)的直线l 将曲线C 分成两段，其长度比值为3:1.(1)求曲线C 的方程；(2)求直线l 的方程.23. 已知直线l 1:(a +1)x +3y −1=0，直线l 2:2x +ay +1=0．（Ⅰ）若l 1⊥l 2，求实数a 的值；（Ⅱ）若l 1//l 2，求实数a 的值．24. 已知两圆C 1:x 2+y 2−6y =0，C 2：(x −2√3)2+(y −1)2=1．（1）求证：两圆外切且x 轴是它们的一条公切线；（2）求切点的两弧与x 轴所围成图形的面积．25. 已知圆M 的方程为：x 2+y 2−2x −2y −6=0，以坐标原点为圆心的圆N ，圆N 内切于圆M ．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求DE →⋅DF →的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由．26. 已知两圆x 2+y 2−2x −6y −1=0．x 2+y 2−10x −12y +m =0．（1）m 取何值时两圆外切？（2）m 取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．27. 已知圆C:x2+y2−2x+4y=0．(1)若直线l:x−2y+t=0与圆C相切，求t的值；(2)若圆M:(x+2)2+(y−4)2=r2与圆C相外切，求r的值．28. 已知圆C1:x2+y2−8x−6y+F=0与圆O:x2+y2=4.(1)若圆C1和圆O有公共点，求F的取值范围；(2)若原点O在圆C1上，A(−2,0)且圆C1上一动点P满足|AP|=|AO|，点P与点O不重合，求直线OP的方程.29. 若两圆x2+y2=9与x2+y2−8x+6y−8a−25=0存在唯一公共点，求实数a的值．30. 已知圆C经过坐标原点，且与直线x−y+2=0相切，切点为A(2, 4)．(1)求圆C的方程；(2)过动点P作圆C和圆D：(x+9)2+(y−1)2=50的切线PM，PN（切点分别为M，N），使得|PM|=|PN|，求动点P的轨迹方程．31. 已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y−14=0．求过两圆交点且面积最小的圆的方程．32. 求经过点M(2, −2)以及圆x2+y2−6x＝0与圆x2+y2＝4交点的圆的方程．33. 两个圆的半径都是4寸，并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？22(1)动点M 的轨迹方程；(2)动点M 的轨迹与圆C 的公切线方程．35. 已知圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2：(x −a)2+(y −2)2=4相离．（1）求实数a 的取值范围（2）是否存在过点(52, 0)的直线m ，使得圆C 2关于m 对称的圆与C 1重合？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．36. 圆C 1:x 2+y 2+2x −6y +1=0和圆C 2:x 2+y 2−4x +2y −11=0．求圆C 1、圆C 2的公切线方程．37. 已知圆C 1:x 2+y 2−4x +2y =0，C 2:x 2+y 2−2y −4=0交于A 、B 两点；（1）求过A 、B 两点的直线方程；（2）求过A 、B 两点，且圆心在直线2x +4y =1上的圆的方程．38. 已知⊙O 1：(x −1)2+y 2=9，⊙O 2：x 2+y 2−10x +m 2−2m +17=0(m ∈R)．（I ）求⊙O 2半径的最大值；（II ）当⊙O 2半径最大时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系；(III)⊙O 2半径最大时，如果⊙O 1和⊙O 2相交．（1）求⊙O 1和⊙O 2公共弦所在直线l 1的方程；（2）设直线l 1交x 轴于点F ，抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以F 为焦点，直线l 2:y =k(x −3)(k ≠0)与抛物线C 相交于A 、B 两点，证明：OA →⋅OB →为定值．39. 已知圆C 1:x 2+y 2−4x −2y =0与圆C 2:x 2+y 2−6x −4y +9=0（1）求证：两圆相交；（2）求两圆公共弦所在的直线方程．y=x+m+2．(1)求C1关于l对称的圆C2的方程；(2)当m变化时，求证：C2的圆心在一条定直线上；(3)求C2所表示的一系列圆的公切线方程．参考答案与试题解析数学必修二圆与圆的位置关系练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】把第二个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第一个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R+ r，从而判断出两圆位置关系是外切．【解答】解：把圆x2+y2−6x−8y+16=0化为标准方程得(x−3)2+(y−4)2=9，∴圆心A的坐标为(3, 4)，半径r=3，由圆x2+y2=4，得到圆心B坐标为(0, 0)，半径R=2，两圆心间的距离d=|AB|=√(3−0)2+(4−0)2=5，∵2+3=5，即d=R+r，则两圆的位置关系是外切．故选A.2.【答案】B【考点】两圆的公切线条数及方程的确定圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：∵圆C1:x2+y2+2x+2y−2=0与C2:x2+y2−4x−2y+1=0，即(x+1)2+(y+1)2=4和(x−2)2+(y−1)2=4，∴圆C1圆心为(−1,−1)，半径为2；圆C2圆心为(2,1)，半径为2，∴两圆圆心距为√(−1−2)2+(−1−1)2=√13．∵0<√13<2+2=4，∴两圆相交，有2条公切线．故选B．3.【答案】D【考点】圆系方程圆与圆的位置关系及其判定由题意圆方程C1:f(x, y)=0，点P1(x1, y1)在圆C1上，点P2(x2, y2)不在圆C1上，方程：f(x, y)−f(x1, y1)−f(x2, y2)=0可变为f(x, y)=f(x2, y2)≠0，由此知它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆【解答】解：由题意圆方程C1:f(x, y)=0，点P1(x1, y1)在圆C1上，点P2(x2, y2)不在圆C1上，∴f(x1, y1)=0，f(x2, y2)≠0，由f(x, y)−f(x1, y1)−f(x2, y2)=0，得f(x, y)=f(x2, y2)≠0，它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.故选D.4.【答案】C【考点】相交弦所在直线的方程直线与圆的位置关系【解析】化圆的方程为标准方程的，得到圆心和半径，由题可知过点A(16,6)的最短的弦长为14，最长的弦长为50（分别只有一条），还有长度为15，16，．…．，50的各2条，即可得到弦长为整数的2+2×35=72条．【解答】解：圆的标准方程是：(x+8)2+(y−6)2=252，圆心 (−8,6)，半径r=25.过点A(16，6)的最短的弦长为14，最长的弦长为50，（分别只有一条），还有长度为15，16，…，49的各2条，所以弦长为整数的共有2+2×35=72条．故选C．5.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定两圆的公切线条数及方程的确定【解析】先判断两圆的位置关系，再根据它们的位置关系可得公切线的条数．【解答】解：由题设有：O1(a,b),r1=2,O2(a+1,b+2),r2=1,故|O1O2|=√(a+1−a)2+(b+2−b)2=√5.因为r1−r2<|O1O2|<r1+r2，故两圆相交，所以两圆的公切线条数为2.故选C．6.【答案】A【考点】【解析】根据题意先求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．【解答】解：圆x2+y2−6y+5=0的标准方程为：x2+(y−3)2=4，所以其表示以(0, 3)为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切.故选A．7.【答案】A【考点】相交弦所在直线的方程【解析】把两个点的坐标分别代入两个圆的方程可得2D1−E1+2=0，2D2−E2+2=0，故点(D1, E1)和点(D2, E2)都在直线2x−y+2=0上．【解答】解：把点(D1, E1)和点(D2, E2)分别代入两圆的方程得4+1+2D1−E1−3=0，4+1+2D2−E2−3=0，即2D1−E1+2=0，2D2−E2+2=0，∴点(D1, E1)和点(D2, E2)都在直线2x−y+2=0上，故同时经过点(D1, E1)和点(D2, E2)的直线方程为2x−y+2=0．故选A．8.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据已知条件可求得两圆的圆心坐标及半径，根据两圆心之间的距离与两圆的半径之间的关系即可判断其位置关系．【解答】解：将x2+y2−2x−4y=0化为：(x−1)2+(y−2)2=5，其圆心为O1(1, 2)，半径r1=√5；将x2+y2−2x+2y+1=0化为：(x−1)2+(y+1)2=1，其圆心为O2(1, −1)，半径r2=1；∵√5−1<|O1O2|=3<√5+1，∴两圆相交．故选C．9.【答案】D【考点】相交弦所在直线的方程两圆相减可得公共弦的方程，求出心到公共弦的距离，利用弦长公式，即可求得公共弦AB的长．【解答】解：两圆相减可得公共弦的方程为4x+3y−10=0∵x2+y2−10x−10y=0的圆心坐标为(5, 5)，半径为5√2∴圆心到公共弦的距离为d=|20+15−10|=55∴AB=2√(5√2)2−52=10故选D．10.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】将两圆分别化成标准方程，得圆心分别为M(3, −8)、N(−2, 4)，半径分别为r1=11、r2=8．根据两圆的位置关系，可得当A、B在直线MN上，且M、N在A、B之间时|AB|达到最大值．由此结合两点的距离公式加以计算，可得本题答案．【解答】解：将圆x2+y2−6x+16y−48=0化成标准方程，得(x−3)2+(y+8)2=121．∴该圆是以M(3, −8)为圆心半径r1=11的圆．同理可得x2+y2+4x−8y−44=0的圆心为N(−2, 4)，半径r2=8．∴两圆的圆心距为|MN|=√(3+2)2+(−8−4)2=13∵A、B两点分别在圆M、圆N上运动，∴当A、B在直线MN上，且M、N在A、B之间时|AB|达到最大值．此时|AB|=r1+r2+|MN|=11+8+13=32故选：C二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】x−y−1=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定相交弦所在直线的方程【解析】将两个方程相减，即可得到公共弦AB的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股定理，易求出公共弦AB的长．【解答】解：圆C1:x2+y2=1与圆C2：(x−1)2+(y+1)2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为：x2+y2−1−[(x−1)2+(y+1)2−1]=0即x−y−1=0故答案为：x−y−1=0．12.3√105【考点】圆与圆的位置关系及其判定 相交弦所在直线的方程【解析】先求出圆C 1:x 2+y 2−1=0与圆C 2:x 2+y 2+3x +9y +2=0的公共弦所在的直线方程为x +3y +1=0，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【解答】解：∵ 圆C 1:x 2+y 2−1=0与圆C 2:x 2+y 2+3x +9y +2=0的公共弦所在的直线方程为：(x 2+y 2+3x +9y +2)−(x 2+y 2−1)=3x +9y =3=0，即x +3y +1=0， ∵ 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心C1 (0, 0)到公共弦x +3y +1=0的距离： d =√1+9=√10，圆C 1的半径r =1，∴ 公共弦长|AB|=2√1−(√10)2=3√105． 故答案为：3√105． 13.【答案】 4【考点】两圆的公切线条数及方程的确定 圆与圆的位置关系及其判定【解析】本题主要考查圆和圆的位置关系，属于中档题．由于以点A 为圆心，半径1为的圆，与以点B 为圆心，半径为4的圆相相离，故满足条件的直线l 即两个圆的公切线，故两个圆的公切线的条数即为所求． 【解答】解：由点A （0，-2）、B （0，2），易得AB=2√2，以点A 为圆心，半径1为的圆，与以点B 为圆心，半径为3的圆相离，故满足条件的直线l 即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有4条， 故答案为4． 14.【答案】 相交 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】求得圆心(0, 0)到直线√3x +y −2√3=0的距离小于半径，可得直线和圆相交． 【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为(0, 0)、半径等于2，=√3<2（半径），求得圆心(0, 0)到直线√3x+y−2√3=0的距离为√3|3+1故直线和圆相交，故答案为：相交．15.【答案】3【考点】圆与圆的位置关系及其判定两圆的公切线条数及方程的确定【解析】根据已知得到所求直线为两圆的公切线，利用两圆的外切公切线的条数即可得答案．【解答】解：∵ A(0,−2)，B(0,2)，∴|AB|=4．则以A为圆心，半径为1的圆与以B为圆心，半径为3的圆外切，∴ 满足条件的直线为两个圆的公切线，共有3条．故答案为：3．16.【答案】x2+y2+28x−15y=0【考点】圆系方程【解析】根据题意可设所求圆的方程为x2+y2−2x−15+λ(2x−y+1)=0，再利用此圆过原点，所以将原点的坐标代入方程可得λ的值，进而求出圆的方程．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2−2x−15+λ(2x−y+1)=0，因为过直线2x−y+1=0和圆x2+y2−2x−15=0的交点的圆过原点，所以可得−15+λ=0，解得λ=15．将λ=15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+28x−15y=0．故答案为：x2+y2+28x−15y=0．17.【答案】x−y−3=0(1≤x≤3)【考点】两圆的公切线条数及方程的确定【解析】将两个圆的方程相减，化简得x−y−3=0，即为两圆公共弦所在直线的方程．再将两圆方程联解，求出交点的横坐标分别为1、3，可得两圆的公共弦方程是x−y−3= 0(1≤x≤3)．【解答】解：∵圆C1:x2+y2−2x−3=0，圆C2:x2+y2−4x+2y+3=0∴两圆方程相减，得2x−2y−6=0，化简得x−y−3=0，即为两圆公共弦所在直线的方程．∵联解{x2+y2−2x−3=0x2+y2−4x+2y+3=0，得{x=1y=−2或{x=3y=0，∴两圆的交点坐标分别为A(1, −2)，B(3, 0)．因此，两圆的公共弦方程是x−y−3=0(1≤x≤3)．故答案为：x−y−3=0(1≤x≤3)18.【答案】3x+y−9=0【考点】相交弦所在直线的方程圆系方程【解析】写出过两个圆的方程圆心坐标，两个圆的圆心所在的直线方程，就是AB的垂直平分线的方程．【解答】解：经过圆(x−2)2+(y−3)2=13和圆(x−3)2+y2=9的圆心坐标分别为(2, 3)，(3, 0)，所以弦AB的垂直平分线的方程y−30−3=x−23−2，即3x+y−9=0．故答案为：3x+y−9=019.【答案】3【考点】相交弦所在直线的方程【解析】根据题意画出图形，结合图形得出圆C2的右方到AB距离最大的点位于圆C2与x轴交点，由此求得答案．【解答】圆C1:(x+a)2+y2=8+a2(a>0)的圆心为C1(−a, 0)，半径为r1=√8+a2；圆C2:x2+y2=4的圆心为C2(0, 0)，半径为r2＝2；且公共弦AB的长为2√3，如图所示；则圆C2上位于AB右方的点到AB的最长距离为r2+√r22−(AB2)2=2+√22−(√3)2=3．20.a <−43或a >0【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解． 【解答】解：圆C 2：(x −t)2+(y −at +2)2=1的圆心在直线y =ax −2上，∴ 要使圆C 1：(x +4)2+y 2=1与圆C 2：(x −t)2+(y −at +2)2=1没有公共点， 必须使圆心C 1(−4, 0)到直线y =ax −2的距离大于两圆半径之和，即d =√a 2+1>2，∴ a <−43或a >0． 故答案为：a <−43或a >0．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】解：(1)由两圆方程相减即得x −2y +4=0，此为公共弦AB 所在的直线方程．圆C 1的标准方程为(x +1)2+(y +1)2=10，圆C 2的标准方程为(x −1)2+(y +5)2=50，圆心C 1(−1, −1)，半径r 1=√10, C 1到直线AB 的距离为d =5=√5,∴ 公共弦长|AB|=2√r 12−d 2=2√5. (2)圆心C 2(1, −5)，过C 1，C 2的直线方程为y+1−5+1=x+11+1，即2x +y +3=0． 由{2x +y +3=0，y =−x ，得所求圆的圆心为(−3, 3)， 它到AB 的距离为d =√5=√5，∴ 所求圆的半径为√5+5=√10，∴ 所求圆的方程为(x +3)2+(y −3)2=10. (3)过A 、B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆， 由{x −2y +4=0，2x +y +3=0，得圆心(−2, 1)，半径r =√5，∴ 所求圆的方程为(x +2)2+(y −1)2=5． 【考点】相交弦所在直线的方程 点到直线的距离公式【解析】（1）先求公共弦AB 所在的直线方程，再求出C 1到直线AB 的距离，即可求公共弦AB 的长；（2）求出过C 1，C 2的直线与直线y =−x 的交点，可得圆心坐标，求出圆心到AB 的距离，可得半径，从而可得圆的方程；（3）过A 、B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆．【解答】解：(1)由两圆方程相减即得x −2y +4=0，此为公共弦AB 所在的直线方程．圆C 1的标准方程为(x +1)2+(y +1)2=10，圆C 2的标准方程为(x −1)2+(y +5)2=50，圆心C 1(−1, −1)，半径r 1=√10, C 1到直线AB 的距离为d =√5=√5,∴ 公共弦长|AB|=2√r 12−d 2=2√5. (2)圆心C 2(1, −5)，过C 1，C 2的直线方程为y+1−5+1=x+11+1，即2x +y +3=0． 由{2x +y +3=0，y =−x ，得所求圆的圆心为(−3, 3)， 它到AB 的距离为d =√5=√5，∴ 所求圆的半径为√5+5=√10，∴ 所求圆的方程为(x +3)2+(y −3)2=10. (3)过A 、B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆， 由{x −2y +4=0，2x +y +3=0，得圆心(−2, 1)，半径r =√5，∴ 所求圆的方程为(x +2)2+(y −1)2=5． 22. 【答案】解：(1)设M(x, y)，由点M 与两个定点O(0, 0)、P(2, 0)的距离的比为√2得，√x 2+y 2√(x−2)2+y 2=√2，整理得：(x −4)2+y 2=8．∴ 点M 的轨迹方程是(x −4)2+y 2=8．(2)当直线为x =2时，跟圆交于(2，2)和(2，−2)两点， 直线与圆相交所得弦所对的圆心角为θ=2×45∘=90∘， 符合题意.当直线为y =k(x −2)+4时， ∵ 弦所对的圆心角θ=90∘， 半径r =2√2，∴ d=√r22=2，∴ 圆心(4,0)到直线l的距离为2，即√k2+1=2，解得k=−34.∴直线l的方程为x=2或y=−34x+112.【考点】相交弦所在直线的方程轨迹方程【解析】【解答】解：(1)设M(x, y)，由点M与两个定点O(0, 0)、P(2, 0)的距离的比为√2得，√x2+y222=√2，整理得：(x−4)2+y2=8．∴点M的轨迹方程是(x−4)2+y2=8．(2)当直线为x=2时，跟圆交于(2，2)和(2，−2)两点，直线与圆相交所得弦所对的圆心角为θ=2×45∘=90∘，符合题意.当直线为y=k(x−2)+4时，∵ 弦所对的圆心角θ=90∘，半径r=2√2，∴ d=√r22=2，∴ 圆心(4,0)到直线l的距离为2，即√k2+1=2，解得k=−34.∴直线l的方程为x=2或y=−34x+112.23.【答案】【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答24.【答案】解：（1）证明：x2+y2−6y=0可化为x2+(y−3)2=9，则两圆的圆心与半径分别为(0, 3)，3；(2√3, 1)，1；则两圆心的距离为d=√(2√3)2+(3−1)2=4，而半径和为3+1=4，故两圆外切，又∵(0, 3)到x轴的距离为半径3，(2√3, 1)到x轴的距离为半径1；∴x轴是它们的一条公切线．（2）如右图：∵两圆心连线的斜率为k=2√3=−√33，故两圆心连线的倾斜角为5π6，则两个扇形的面积之和为1 2⋅32⋅π3+12⋅12⋅2π3=11π6，梯形的面积为12(1+3)×2√3=4√3，则切点的两弧与x轴所围成图形的面积为4√3−11π6．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定圆的切线方程【解析】（1）由题意确定两个圆的圆心与半径，从而求圆心距与圆心到x轴的距离，确定位置关系；（2）作出图辅助，求两个扇形的角，再求面积．【解答】解：（1）证明：x2+y2−6y=0可化为x2+(y−3)2=9，则两圆的圆心与半径分别为(0, 3)，3；(2√3, 1)，1；则两圆心的距离为d=√(2√3)2+(3−1)2=4，而半径和为3+1=4，故两圆外切，又∵(0, 3)到x轴的距离为半径3，(2√3, 1)到x轴的距离为半径1；∴x轴是它们的一条公切线．（2）如右图：∵两圆心连线的斜率为k=2√3=−√33，故两圆心连线的倾斜角为5π6，则两个扇形的面积之和为1 2⋅32⋅π3+12⋅12⋅2π3=11π6，梯形的面积为12(1+3)×2√3=4√3，则切点的两弧与x轴所围成图形的面积为4√3−11π6．25.【答案】解：圆M的方程可整理为：(x−1)2+(y−1)2=8，故圆心M(1, 1)，半径R=2√2．(1)圆N的圆心为(0, 0)，因为|MN|=√2<2√2，所以点N在圆M内，故圆N只能内切于圆M．设其半径为r．因为圆N内切于圆M，所以有：|MN|=|R−r|，即√2=|2√2−r|，解得r=√2．或r=3√2（舍去）；所以圆N的方程为x2+y2=2．(2)由题意可知：E(−√2, 0)，F(√2, 0)．设D(x, y)，由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2=|DE|×|DF|，即：√(x+√2)2+y2×√(x−√2)2+y2=x2+y2，整理得：x 2−y 2=1．而(−√2−x, −y)•(√2−x, −y)=(−√2−x)(√2−x)+(−y)(−y)=x 2+y 2−2=2y 2−1，由于点D 在圆N 内，故有{x 2+y 2<2x 2−y 2=1，由此得y 2<12，所以DE →⋅DF →∈[−1, 0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为−k ．故直线MA 的方程为 y −1=k(x −1)， 直线MB 的方程为 y −1=−k(x −1)， 由{y −1=k(x −1)x 2+y 2=2，得(1+k 2)x 2+2k(1−k)x +(1−k)2−2=0．因为点M 在圆N 上，故其横坐标x =1一定是该方程的解， 可得x A =k 2−2k−11+k ，同理可得：x B =k 2+2k−11+k 2，所以k AB =y B −y A x B −x A=−k(x B −1)−k(x A −1)x B −x A=2k−k(x B +x A )x B −x A=1=k MN ．所以，直线AB 和MN 一定平行． 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 等差数列的性质两圆的公切线条数及方程的确定【解析】化简圆M 的方程为：x 2+y 2−2x −2y −6=0，为标准方程，求出圆心和半径． (1)判定圆心N 在圆M 内部，因而内切，用|MN|=R −r ，求圆N 的方程；(2)根据圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，列出关系，再求DE →⋅DF →的表达式的取值范围；(3)直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为−k ．得到直线MA 的方程，直线MB 的方程，联立方程组，求出AB 的斜率，判定与MN 的斜率是否相等即可． 【解答】解：圆M 的方程可整理为：(x −1)2+(y −1)2=8，故圆心M(1, 1)，半径R =2√2． (1)圆N 的圆心为(0, 0)，因为|MN|=√2<2√2，所以点N 在圆M 内， 故圆N 只能内切于圆M ． 设其半径为r ．因为圆N 内切于圆M ， 所以有：|MN|=|R −r|， 即√2=|2√2−r|，解得r =√2．或r =3√2（舍去）； 所以圆N 的方程为 x 2+y 2=2．(2)由题意可知：E(−√2, 0)，F(√2, 0)．设D(x, y)，由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列， 得|DO|2=|DE|×|DF|，即：√(x +√2)2+y 2×√(x −√2)2+y 2=x 2+y 2， 整理得：x 2−y 2=1．而(−√2−x, −y)•(√2−x, −y)=(−√2−x)(√2−x)+(−y)(−y)=x 2+y 2−2=2y 2−1，由于点D 在圆N 内，故有{x 2+y 2<2x 2−y 2=1，由此得y 2<12，所以DE →⋅DF →∈[−1, 0)．(3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为−k ．故直线MA 的方程为 y −1=k(x −1)， 直线MB 的方程为 y −1=−k(x −1)， 由{y −1=k(x −1)x 2+y 2=2，得(1+k 2)x 2+2k(1−k)x +(1−k)2−2=0．因为点M 在圆N 上，故其横坐标x =1一定是该方程的解， 可得x A =k 2−2k−11+k 2，同理可得：x B =k 2+2k−11+k ，所以k AB =y B −yA x B−x A=−k(x B −1)−k(x A −1)x B −x A=2k−k(x B +x A )x B −x A=1=k MN ．所以，直线AB 和MN 一定平行． 26.【答案】 解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为(x −1)2+(y −3)2=11、(x −5)2+(y −6)2=61−m ，两圆的圆心距d =√(5−1)2+(6−3)2=5，两圆的半径之和为√11+√61−m ， 由两圆的半径之和为√11+√61−m =5，可得 m =25+10√11．（2）由两圆的圆心距d =√(5−1)2+(6−3)2=5 等于两圆的半径之差为|√11−√61−m|，即|√11−√61−m|=5，可得 √11−√61−m =5 （舍去），或 √11−√61−m =−5，解得m =25−10√11．（3）当m =45时，两圆的方程分别为 (x −1)2+(y −3)2=11、(x −5)2+(y −6)2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x +3y −23=0．=2，可得弦长第一个圆的圆心(1, 3)到公共弦所在的直线的距离为d=|4+9−23|5为2√11−4=2√7．【考点】圆与圆的位置关系及其判定两圆的公切线条数及方程的确定【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值．（2）由两圆的圆心距d=√(5−1)2+(6−3)2=5等于两圆的半径之差为|√11−√61−m，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心(1, 3)到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为(x−1)2+(y−3)2=11、(x−5)2+(y−6)2=61−m，两圆的圆心距d=√(5−1)2+(6−3)2=5，两圆的半径之和为√11+√61−m，由两圆的半径之和为√11+√61−m=5，可得m=25+10√11．（2）由两圆的圆心距d=√(5−1)2+(6−3)2=5等于两圆的半径之差为|√11−√61−m|，即|√11−√61−m|=5，可得√11−√61−m=5 （舍去），或√11−√61−m=−5，解得m=25−10√11．（3）当m=45时，两圆的方程分别为(x−1)2+(y−3)2=11、(x−5)2+(y−6)2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y−23=0．=2，可得弦长第一个圆的圆心(1, 3)到公共弦所在的直线的距离为d=|4+9−23|5为2√11−4=2√7．27.【答案】解：(1)由圆C的方程为x2+y2−2x+4y=0，即(x−1)2+(y+2)2=5，∴圆心C(1,−2)，半径为√5.又∵直线l:x−2y+t=0与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d==√5，即√5|t+5|=5，解得t=0或t=−10.(2)由题得，圆心M(−2,4)，∵ 圆M与圆C相外切，∴|CM|=√5+r.又|CM|=√(1−(−2))2+(−2−4)2=3√5，解得r=2√5.【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的切线方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由圆C 的方程为x 2+y 2−2x +4y =0，即(x −1)2+(y +2)2=5，∴ 圆心C (1,−2)，半径为√5. 又∵ 直线l:x −2y +t =0与圆C 相切， ∴ 圆心C 到直线l 的距离d =√5=√5，即|t +5|=5，解得t =0或t =−10.(2)由题得，圆心M (−2,4)，∵ 圆M 与圆C 相外切，∴ |CM|=√5+r . 又|CM|=√(1−(−2))2+(−2−4)2=3√5， 解得r =2√5. 28.【答案】解：(1)圆C 1:(x −4)2+(y −3)2=25−F ，即C 1(4,3)，R 1=√25−F ，即F ≤25.又∵ 圆C 1与圆O 有公共点，则|R 1−R 2|≤|C 1O|≤R 1+R 2, 即3≤R 1=√25−F ≤7，即−24≤F ≤16. (2)∵ 原点O 在圆C 1上，即F =0，设点P(x,y), ∵ |AP|=|AO|=2,即点O 、点P 在以A 为圆心，2为半径的圆C 2 上，又∵ O ,P 又在圆 C 1 上，即直线OP 为圆C 1,圆C 2的公共弦所在直线， 即{x 2+y 2−8x −6y =0,x 2+y 2+4x =0, 作差得：−12x −6y =0 ,即OP 所在直线方程为 2x +y =0. 【考点】相交弦所在直线的方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)圆C 1:(x −4)2+(y −3)2=25−F ，即C 1(4,3)，R 1=√25−F ，即F ≤25.又∵ 圆C 1与圆O 有公共点，则|R 1−R 2|≤|C 1O|≤R 1+R 2, 即3≤R 1=√25−F ≤7，即−24≤F ≤16. (2)∵ 原点O 在圆C 1上，即F =0，设点P(x,y), ∵ |AP|=|AO|=2,即点O 、点P 在以A 为圆心，2为半径的圆C 2 上，又∵ O ,P 又在圆 C 1 上，即直线OP 为圆C 1,圆C 2的公共弦所在直线， 即{x 2+y 2−8x −6y =0,x 2+y 2+4x =0, 作差得：−12x −6y =0 ,即OP 所在直线方程为 2x +y =0.29.【答案】解：∵x2+y2−8x+6y−8a−25=0的标准方程为：(x−4)2+(y+3)2=8a+ 50．圆的圆心坐标(4, −3)，半径r=√50+8a，(a>−254)．圆x2+y2=9的圆心(0, 0)，半径R=3，圆x2+y2=9与x2+y2−8x+6y−8a−25=0存在唯一公共点，∴√(4−0)2+(−3−0)2=5=√50+8a±3，解得：a=−234或a=74．【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】两个圆存在唯一公共点，利用两个圆的内切与外切，转化为圆心距等于半径和或差，求解即可．【解答】解：∵x2+y2−8x+6y−8a−25=0的标准方程为：(x−4)2+(y+3)2=8a+ 50．圆的圆心坐标(4, −3)，半径r=√50+8a，(a>−254)．圆x2+y2=9的圆心(0, 0)，半径R=3，圆x2+y2=9与x2+y2−8x+6y−8a−25=0存在唯一公共点，∴√(4−0)2+(−3−0)2=5=√50+8a±3，解得：a=−234或a=74．30.【答案】解：(1)设圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率k AC=−1，∴直线AC的方程为y−4=−(x−2)，即x+y−6=0．∵直线OA的斜率k OA=42=2，∴线段OA的垂直平分线为y−2=−12(x−1)，即x+2y−5=0．解方程组{x+y−6=0x+2y−5=0得圆心C(7, −1)．∴圆C的半径r=|AC|=√(7−2)2+(−1−4)2=5√2，圆C的方程为(x−7)2+(y+1)2=50．(2)∵圆C与圆D两圆半径相等，|PM|=|PN|，所以|PC|=|PD|，∴P在线段CD的中垂线上，∵C(7, −1)，D(−9, 1)，CD的中点坐标为(−1, 0)，k CD=8，∴CD的中垂线方程为：8x−y+8=0．∴P的轨迹方程为：8x−y+8=0．【考点】直线和圆的方程的应用两圆的公切线条数及方程的确定轨迹方程圆的标准方程【解析】(1)依题意可求得直线AC的方程，可求得OA的垂直平分线的方程，二者联立即可求得圆心坐标，从而可得圆C的方程；(2)依题意，点P的轨迹就是CD垂直平分线．【解答】解：(1)设圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率k AC=−1，∴直线AC的方程为y−4=−(x−2)，即x+y−6=0．∵直线OA的斜率k OA=42=2，∴线段OA的垂直平分线为y−2=−12(x−1)，即x+2y−5=0．解方程组{x+y−6=0x+2y−5=0得圆心C(7, −1)．∴圆C的半径r=|AC|=√(7−2)2+(−1−4)2=5√2，圆C的方程为(x−7)2+(y+1)2=50．(2)∵圆C与圆D两圆半径相等，|PM|=|PN|，所以|PC|=|PD|，∴P在线段CD的中垂线上，∵C(7, −1)，D(−9, 1)，CD的中点坐标为(−1, 0)，k CD=8，∴CD的中垂线方程为：8x−y+8=0．∴P的轨迹方程为：8x−y+8=0．31.【答案】解：设所求圆x2+y2+2x+2y−14+λ(x2+y2−10)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+2x+2y−14−10λ=0，其圆心为(−11+λ, −11+λ)，∵圆的面积最小，∴所求圆以已知两相交圆的公共弦为直径，相交弦的方程为x+y−2=0，将圆心(−11+λ, −11+λ)，代人x+y−2=0，得λ=−2，所以所求圆的方程为x2+y2−2x−2y−6=0【考点】圆系方程【解析】若圆的面积最小，圆以已知两相交圆的公共弦为直径，即可求圆的方程．【解答】解：设所求圆x2+y2+2x+2y−14+λ(x2+y2−10)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+2x+2y−14−10λ=0，其圆心为(−11+λ, −11+λ)，∵圆的面积最小，∴所求圆以已知两相交圆的公共弦为直径，相交弦的方程为x+y−2=0，将圆心(−11+λ, −11+λ)，代人x+y−2=0，得λ=−2，所以所求圆的方程为x2+y2−2x−2y−6=0 32.【答案】设过圆x2+y2−6x＝0与圆x2+y2＝4交点的圆的方程为：x2+y2−6x+λ(x2+y2−4)＝0…①把点M的坐标(2, −2)代入①式得λ＝1，把λ＝1代入①并化简得x2+y2−3x−2＝0，∴所求圆的方程为：x2+y2−3x−2＝0【考点】圆系方程【解析】先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆的方程．【解答】设过圆x2+y2−6x＝0与圆x2+y2＝4交点的圆的方程为：x2+y2−6x+λ(x2+y2−4)＝0…①把点M的坐标(2, −2)代入①式得λ＝1，把λ＝1代入①并化简得x2+y2−3x−2＝0，∴所求圆的方程为：x2+y2−3x−2＝033.【答案】解：设两圆O1及O2之公共弦为AB，连接O1O2交AB于点C，连接AO1，则△ACO1为直角三角形．O1O2=2（寸），AB垂直平分O1O2，∴O1C=12AC=√A012−01C2=√42−22=2√3（寸），∴AB=2AC=4√3（寸），【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】设两圆O1及O2之公共弦为AB，连接O1O2交AB于点C，连接AO1，则△ACO1为直角三角形，利用弦长公式求出公共弦长．【解答】解：设两圆O1及O2之公共弦为AB，连接O1O2交AB于点C，连接AO1，则△ACO1为直角三角形．O1O2=2（寸），AB垂直平分O1O2，∴O1C=12AC=√A012−01C2=√42−22=2√3（寸），∴AB=2AC=4√3（寸），34.【答案】解：(1)∵圆C：(x+3)2+y2=4，P为圆C上任一点，∴ P(−3+2cos θ, 2sixθ)，设AP 的中点M(x, y)，∵ A(3, 0)，∴ {x =−3+2cos θ+32=cos θy =2sin θ2=sin θ，(0≤θ<2π) ∴ x 2+y 2=1．(2)如图，动点M 的轨迹是以M(0, 0)为圆心，以1为半径的圆，设BD 是圆M 与圆C 的公切线，D 和B 是切点，则BC =2，MD =1，MC =3， 设BD 交x 轴于E ，则E(3, 0)， ∴ tan ∠BEC =√62−22=4√2=√24， ∴ 动点M 的轨迹与圆C 的公切线方程为：y =±√24(x −3)．【考点】 轨迹方程两圆的公切线条数及方程的确定【解析】(1)由圆C ：(x +3)2+y 2=4，P 为圆C 上任一点，知P(−3+2cos θ, 2sixθ)，设AP 的中点M(x, y)，由A(3, 0)，利用中点坐标公式能求出动点M 的轨迹方程．(2)动点M 的轨迹是以M(0, 0)为圆心，以1为半径的圆，设BD 是圆M 与圆C 的公切线，D 和B 是切点，则BC =2，MD =1，MC =3，设BD 交x 轴于E ，则E(3, 0)，故tan ∠BEC =√24，由此能求出动点M 的轨迹与圆C 的公切线方程． 【解答】解：(1)∵ 圆C ：(x +3)2+y 2=4，P 为圆C 上任一点，∴ P(−3+2cos θ, 2sixθ)，设AP 的中点M(x, y)，∵ A(3, 0)，∴ {x =−3+2cos θ+32=cos θy =2sin θ2=sin θ，(0≤θ<2π) ∴ x 2+y 2=1．(2)如图，动点M 的轨迹是以M(0, 0)为圆心，以1为半径的圆，设BD 是圆M 与圆C 的公切线，D 和B 是切点，则BC =2，MD =1，MC =3， 设BD 交x 轴于E ，则E(3, 0)， ∴ tan ∠BEC =√62−22=4√2=√24， ∴ 动点M 的轨迹与圆C 的公切线方程为：y =±√24(x −3)．35. 【答案】解：（1）∵ 圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2：(x −a)2+(y −2)2=4相离， ∴ √a 2+22>2+2， 化简得a 2>12，解得a <−2√3或a >2√3，∴ 实数a 的取值范围是{a|a <−2√3或a >2√3}；（2）假设存在过点(52, 0)的直线m ，使得圆C 2关于m 对称的圆与C 1重合， 显然直线m 的斜率存在，可设为k ， 则直线m 的方程为y =k(x −52)；且圆心O(0, 0)关于直线m 的对称点为(a, 2)， ∴ {k(a2−52)=12a =−1k， 解得{k =−2a =4或{k =−12a =1（不合题意，应舍去）；∴ 当a =4时，k =−2，直线m 的方程为y =−2(x −52)， 化为一般形式是2x +y −5=0． 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】（1）根据两圆相离，d >r 1+r 2，列出不等式求出a 的取值范围；（2）假设存在过点(52, 0)的直线m ，满足条件，即两圆的圆心关于直线m 对称，求出a 、k 的值，即可得出直线m 的方程． 【解答】解：（1）∵ 圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2：(x −a)2+(y −2)2=4相离， ∴ √a 2+22>2+2， 化简得a 2>12，解得a <−2√3或a >2√3，∴ 实数a 的取值范围是{a|a <−2√3或a >2√3}；（2）假设存在过点(52, 0)的直线m ，使得圆C 2关于m 对称的圆与C 1重合，显然直线m 的斜率存在，可设为k ， 则直线m 的方程为y =k(x −52)；且圆心O(0, 0)关于直线m 的对称点为(a, 2)， ∴ {k(a2−52)=12a=−1k ， 解得{k =−2a =4或{k =−12a =1（不合题意，应舍去）；∴ 当a =4时，k =−2，直线m 的方程为y =−2(x −52)， 化为一般形式是2x +y −5=0． 36.【答案】解：圆x 2+y 2+2x −6y +1=0即(x +1)2+(y −3)2=9，表示以(−1, 3)为圆心，半径等于3的圆．圆x 2+y 2−4x +2y −11=0即(x −2)2+(y +1)2=16，表示以(2, −1)为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于√(22+(−1−3)2=5，小于半径之和5，大于半径差1，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2， 【考点】两圆的公切线条数及方程的确定 【解析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数． 【解答】解：圆x 2+y 2+2x −6y +1=0即(x +1)2+(y −3)2=9，表示以(−1, 3)为圆心，半径等于3的圆．圆x 2+y 2−4x +2y −11=0即(x −2)2+(y +1)2=16，表示以(2, −1)为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于√(2+1)2+(−1−3)2=5，小于半径之和5，大于半径差1，故两。