挡土墙受力分析及配筋设计

…………………………（17）
1 3 b4 1 b2 − k 0 x 2 ( Ab 2 − Bb + C ) + ( A − Bb3 + C1 − D1b − E1 ) = 0 2 4 32 12 4
……（18）
∫ ∫ ∫
b 2 b − 2 b 2 b − 2 b 2 b − 2
(6 A2 y + 2 B2 )dy = 0
…………………………………………（19）
1 2 ( Ay 4 + By 3 + C1 y 2 + 2 D1 y − E1 )dy = 0 2 3 (6 A2 y + 2 B2 ) ydy = 0
………………………（20）
………………………………………（21）
由以上 7 式化简后联立可解得： A =
2ρ 2 g 3ρ 2 g 1 ， B = 0，C = ， D = − ρ2g ， 3 2b 2 b
，
d 4 f 2 ( y) =0 dy 4
，
2k 0
d 2 f ( y ) d 4 f1 ( y ) + =0 dy 2 dy 4
即
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d 4 f1 ( y ) d 2 f ( y) = −2k0 dy 4 dy 2
………………………………………… （9）
σx = σy =
∂ 2φ − fxx ∂y 2 ∂ 2φ − fy y ∂x 2
∂ 2φ ∂x∂y
…………………………………………………（2）
…………………………………………………（3） ………………………………………………………（4）
τ xy = −
其中，φ 为平面问题的应力函数，即上面所说的艾里应力函数， f x , f y 分别为 x ， y 方向 的体力。 本题中， x 方向的体力为 f x = 式得：
……………………（22）
y3 3y 1 σ y = k 0 ρ 2 gx(2 3 − − ) 2b 2 b
……………………………………（23） ……………（24）
τ xy
y3 3y b y2 3 = −k 0 ρ 2 gx (3 3 − ) − ρ 2 gy (− 3 + − ) 10b 80 y 4b b b
ρ1 g ， y 方向的体力为 0，即 f y = 0 ，则将（1）式代入（3）
∂ 2φ = xf ( y ) ………………………………………………………（5） ∂x 2 将（5）式对 x 积分得： 1 φ = k 0 x 3 f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ) …………………………………（6） 6
T = f y As
z = h0 −
A
x 2
M AB
c = α1 f c bx x
x
B
图 2 挡土墙截面受力图
由 AB 截面上受力平衡得：
α 1 f c bx x = f y As ，则：
1 × 9.6 × 1000 x = 210 As
…………………………………………（28） 式中， As 为钢筋面积，再由力 T 对受压区中心取矩得：
-5-
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x M AB = f y As (h0 − ) ，则： 2 x 0.588 × 10 6 × 10 3 = 210 × As × (465 − ) 2
……………………………（29）由式（28）
2
和 式 （ 29 ） 联 立 得 ： x = 159mm ， As = 7269mm
本题中， y =
2 3
b 平面上，有 σ y = − k 0 ρ 2 gx ，由于墙背光滑，故无剪应力，即 τ xy = 0 。 2
b y = − 平面上，有 σ y = 0 ，同样 τ xy = 0 。 2 x = 0 平面上，我们可利用圣维南原理，即将该面上的力和力矩进行等效替换。由于该
面上的正应力， 剪应力以及正应力对 x 轴的力矩均为 0， 因此有
………………………（15）
1 3 b4 1 b2 − k 0 x 2 ( Ab 2 + Bb + C ) + ( A + Bb 3 + C1 − D1b − E1 ) = 0 ……（16） 2 4 32 12 4
-3-
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1 1 1 k 0 (− Ab 3 x + Bb 2 x − Cbx + Dx) = 0 8 4 2
1 3
σ y = k 0 ( Axy 3 + Bxy 2 + Cxy + Dx)
1 2 1 2
………………………………（13）
τ xy = −[ k 0 x 2 (3 Ay 2 + 2By + C) + (− Ay 4 − By3 − C1 y 2 − 2D1 y + E1 )] …（14）
1.5 考虑应力边界条件
在这里，由于 f 2 ( y ) 中的一次项和常数项不影响应力分量，故可将其略去。 将（10）式代入（6）式得应力函数：
φ = k0 x3 ( Ay3 + By2 + Cy + D) + x(−
1 6
1 5 1 4 1 Ay − By − C1 y 3 − D1 y 2 + E1 y + F1 ) + A2 y 3 + B2 y 2 10 6 3
4 d 4 f1 ( y ) d 4 f 2 ( y ) d 2 f ( y) 1 3 d f ( y) 2k 0 x + k0 x +x + =0 6 dy 2 dy 4 dy 4 dy 4
…………（8）
这是 x 的三次方程，但相容方程要求它有无数的根，可见它的系数和自由项都必须等于 0， 即
d 4 f ( y) =0 dy 4
C1 = −
3ρ 2 g ρ gb ， D1 = 0 ， E1 = − 2 ， A2 = 0 ， B2 = 0 。 10 80
最后，将这些系数代入（12） ， （13） ， （14）式可得各应力分量分别为：
σx =
2ρ 2 g 3 3ρ g 4ρ 2 g 3 x y + 2 xy − 3 xy − ρ1 gx 3 5b b b
…………………………………………………………………… （11）
1.4 由应力函数求应力分量
将（11）式分别代入（2） ， （3 ） ， （4）式可得应力分量为：
σ x = Ax3 y + Bx3 + x(−2 Ay3 − 2By 2 − 2C1 y − 2D1 ) + 6 A2 y + 2B2 − ρ1 gx ……（12）
2.1 根据正截面受力计算配筋[2]
由图 1 可得，在 AB 截面上的 A 点处，挡土墙受到的拉应力最大，可取 AB 截面为控制 面来计算配筋，设挡土墙的混凝土等级为 C20，取挡土墙长 bx = 1m 来研究，为了求出挡土墙 的具体配筋，我们可取挡土墙及填土的参数如下： 混凝土密度： ρ 1 = 2.5 × 10 kg / m
0.5 m 面上的正应力，即： 2 (
……（25）
0.5 3 0.5 ) 3× 2 − 1 ]x = −14112 x σ y = 0.72 × 2.0 × 10 3 × 9.8 × [2 × 2 3 − 2 × 0.5 2 0.5
则侧压力的合理即底面 AB 上的剪力为：
FAB = ∫ 1 × 19600 xdx = 2.45 × 10 5 N
∫
b 2 b − 2
σ x dy = 0 ，∫ 2b τ yx dy = 0 ，
− 2
b
∫
b 2 b wk.baidu.com 2
σ x ydy = 0 。
将（12） ，(13),(14)式分别代入以上各边界条件中得：
1 1 1 k 0 ( Ab 3 x + Bb 2 x + Cbx + Dx) = −k 0 ρ 2 gx 8 4 2
， 查 配 筋 表 ， 可 选 配
9φ 32 ( As = 9 × 804.2 = 7238mm 2 ) ，且在挡土墙中呈单排等间距布置。
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度 x 成正比，因此，我们可以假设 σ y 的形式为：
σ y = k 0 xf ( y )
……………………………………………………（1）
其中， k 0 为与挡土墙内土质有关的系数，其值可由规范查得。
1.2 推求应力函数的形式
在这里，我们利用艾里应力函数：
3 3
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挡土墙厚度： b = 0.5m 挡土墙高度： h = 5m 墙的混凝土保护层厚度： c = 25mm 填土密度： ρ 2 = 2.0 × 10 kg / m
3 3
这样，我们可以求出挡土墙的侧压力及对底面 AB 的弯矩。由以上分析得出的应力分量 σ y 可得 出在 y =
d 20 f c = 9.6 N / mm 2 ，且 h0 = 500 − (c + ) = 500 − (25 + ) = 465mm ，这样，问题的求解转 2 2
化为力和力矩的平衡。由于在 AB 截面上，受压区混凝土的压应力并非平均分布，故在实际处 《规 理时，可将其等效为矩形应力，即其上的应力均为 α 1 f c ，其中 α 1 为等效换算系数，见图 2。 范》 规定： 当混凝土强度等级不超过 C 50 时， 取 α 1 =1， 当混凝土强度等级为 C 80 时， α 1 取 0.94 ， 其间按线形内插法取值，本题中取 α 1 =1。
1、弹性力学分析挡土墙受力
弹性力学是将物体作为弹性体来分析受力而建立方程的， 在目前处理的挡土墙受力问题中， 绝大部分力学理论是把挡土墙当作弹性体来分析的。因此，将弹性力学方法用于挡土墙受力分 析是比较合理的。在分析完挡土墙的受力后，再对其进行配筋，便能使问题得到简化和精确。 我们来看一下具体的挡土墙问题： 设挡土墙的密度为 ρ1 ，厚度为 b ，土的密度为 ρ2 ，见图 1。 0
可设
⎫ ⎪ ⎪ 3 2 f 2 ( y ) = A2 y + B2 y ⎬ ………（10） ⎪ 1 1 1 f1 ( y ) = k 0 (− Ay 5 − By 4 − C1 y 3 − D1 y 2 + E1 y + F1 )⎪ 10 6 3 ⎭
f ( y ) = Ay 3 + By 2 + Cy + D
2
由此不难看出，弹性力学求得的解不仅能反应边界受力，而且在受力体内的每一个特定 的点，都有 σ x ， σ y ， τ xy 三个应力分量，比其它分析方法更为准确。
2、挡土墙配筋设计
在填土较高，土质较差的地区设挡土墙，为了保持墙身稳定，常要在挡土墙中配筋，以 下我们以钢筋混凝土挡土墙为例来进行配筋设计。以上，我们已求出了挡土墙的受力，可根据 其受力进行配筋设计，以下将挡土墙当作一悬臂梁或板来处理，并假设挡土墙的填土为粘性土 (查规范得 k 0 = 0.72 )。
y
ρ2 g
b/2
b/2
ρ1 g
x
图1
x
图 1 挡土墙示意图
假设挡土墙墙背光滑，且填土水平（当填土是淤泥质或含水量较高的土时，因其摩擦系数 较小，适用性将更好。 ） 图 1 所示挡土墙可看作弹性力学的平面应力问题，下面采用半逆解法求解挡土墙受力[1]， 步骤如下：
1.1 设应力分量的函数形式
由图示挡土墙受力特点可以看出： 在同一个竖平面上的正应力 σ y 只与 x 有关， 且 σ y 与深
其中， f ( y ) ， f 1 ( y ) ， f 2 ( y ) 都是待定的 y 的函数。
1.3 由相容方程求解应力函数
由艾里应力函数满足的相容方程为：
∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ + 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
将应力函数 φ 代入相容方程得：
………………………………………（7）
0
5
………………………………（26）
底面 AB 上的弯矩为：
M AB = ∫ 1 × 14112 xxdx = 0.588 × 10 6 N ⋅ m
0
5
…………………………（27）
2
选 配 HPB 235 钢 筋 ， 其 抗 拉 强 度 为 ： f y = 210 N / mm ， C 20 混 凝 土 的 抗 拉 强 度 为 ：
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挡土墙受力分析及配筋设计
马牛静
中国矿业大学 摘 要：本文介绍了挡土墙的内力计算方法及配筋设计。传统的计算方法是利用朗金土压力、 库仑土压力等理论，而本文则直接用弹性力学的方法来建立具体模型，通过一些合理的假设， 得出挡土墙的应力分量，使挡土墙的受力计算更为准确。此外，利用应力分量，可以求出挡土 墙的最危险截面，进而可以将挡土墙当成梁或板来计算配筋，颇为方便。 关键词：挡土墙 弹性力学 配筋