对数与对数函数学案

教学过程

一、知识讲解

考点/易错点1 对数与对数运算

（1）指数与对数互化式：log x

a a N x N =⇔=；

（2）对数恒等式：log a N

a

N =.

（3）基本性质：01log =a ，1log =a a .

（4）运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：

①()N M MN a a a log log log +=；

②N M N M a a a log log log -=⎪⎭

⎫

⎝⎛； ③M n M a n

a log log =；

④log log n m a a m

b b n

=

（5）换底公式：a

b

b c c a log log log =

()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .

推论：a

b b a log 1

log =

()1,0,1,0≠>≠>b b a a ；log log log a b a b c c ⋅=

考点/易错点2 对数函数：()1,0log ≠>=a a x y a 的图像与性质

注意：延箭头方向底数越大

＞1

＜

＜1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R 恒过点(1,0)

注意：（1）a y =与x y a log =的图象关系是关于y=x 对称；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为

同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

考点/易错点3 与对数函数有关的复合函数问题 1、与对数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法： ①函数log [()]a y f x =的定义域为()0f x >的x 的取值；

②先确定()f x 的值域，再根据对数函数的单调性可确定log [()]a y f x =的值域； 2、与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：

①求复合函数的定义域； ②按复合函数的单调区间求法求解（用“同增异减”原则）

二、例题精析

【例题1】

【题干】（1）2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；

（3）1

.0lg 2

1

036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅

【答案】见解析

【解析】（1）原式2

2

(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；

（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24

=⋅=；

（3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2

=++=++；

分母=41006lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=⨯-+；∴原式=4

3

. 【例题2】

【题干】设0.3

113211log 2,log ,3

2a b c ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为

【答案】a c b <<

【解析】由11,(0,1)32∈，可知函数1132

1log ,log ,2x

y x y x y ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭都是减函数，

因此，0.3

111133221111log 2log 10,log log 1,1,3222a b c ⎛⎫⎛⎫

=<==>==<= ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

且0.3

102c ⎛⎫

=> ⎪

⎝⎭

. 综上可知，01a c b <<<<，

【例题3】

【题干】已知01,01a b <<<<且

，则

的取值范围是

【答案】

6

【解析】由指数函数

在

上单调递减，可知，

，又由函数

在定义域内单调递减，并结合函数的定义域，可知，所以

．

【例题4】

【题干】对于)32(log )(22

1+-=ax x x f ，

（1）函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；

（2）结合“实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义”与“实数a 的取何值时函数的定义域为

),3()1,(+∞⋃-∞”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；

（3）结合（1）（2）两问，说明实数a 的取何值时)(x f 的值域为]1,(--∞ （4）实数a 的取何值时)(x f 在]1,(-∞内是增函数. 【答案】（1）不一样（2）见解析（3）{－1，1}（4）)2,1[.

【解析】记2

23)()(a a x x g -+-==μ，则μ2

1

log )(=x f ；

（1）不一样；

定义域为R ⇔0)(>x g 恒成立.

得：0)3(42

<-=∆a ，解得实数a 的取值范围为)3,3(-.

值域为R ：μ2

1log 值域为R μ⇔

至少取遍所有的正实数，

则0)3(42

≥-=∆a ，解得实数a 的取值范围为),3[]3,(+∞⋃--∞.

（2）实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义：命题等价于0)(>=x g μ对于任意),1[+∞-∈x 恒成立，

则⎩⎨⎧>--<0)1(1g a 或⎩

⎨⎧>--≥0312

a a ，解得实数a 得取值范围为)3,2(-. 实数a 的取何值时函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞：

由已知得不等式0322>+-ax x 的解集为),3()1,(+∞⋃-∞可得a 231=+，则a =2.故a 的取值范围为{2}. 区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）

（3）易知)(x g 得值域是),2[+∞，又)(x g 得值域是),3[2

+∞-a ，得1232±=⇒=-a a ，

故a 得取值范围为{－1，1}.

（4）命题等价于)(x g 在]1,(-∞上为减函数，且0)(>x g 对任意的]1,(-∞∈x 恒成立，则⎩

⎨⎧>≥0)1(1g a ，

解得a 得取值范围为)2,1[. 【例题5】

【题干】已知函数f (x )＝log a (2－ax )，若函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围

【答案】(1,2)

【解析】∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，

∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．

其充要条件是⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＞1

2－a ＞0，即1＜a ＜2. ∴a 的取值范围是(1,2)．