数列求和之错位相减法练习

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(完整版)错位相减法等比数列求和十题

(完整版)错位相减法等比数列求和十题1. 题目已知一个等比数列的首项是a，公比是r，前n项和是Sn。

根据错位相减法，推导出用Sn表示S2n-Sn的公式。

2. 解答根据错位相减法的原理，我们可以得出：S2n - Sn = (a*r^(2n-1) + a*r^(2n-2) + ... + a*r + a*r^0) - (a*r^(n-1) + a*r^(n-2) + ... + a*r + a*r^0)化简后得到：S2n - Sn = a * (r^(2n-1) + r^(2n-2) + ... + r + 1) - a * (r^(n-1) +r^(n-2) + ... + r + 1)因此，用Sn表示S2n-Sn的公式可以表示为：S2n - Sn = (a * (r^(2n-1) + r^(2n-2) + ... + r + 1)) - (a * (r^(n-1) + r^(n-2) + ... + r + 1))3. 答案验证为了验证这个公式的正确性，我们可以举一个具体的例子。

假设首项a=2，公比r=3，项数n=3。

根据公式计算：S2n - Sn = (2 * (3^(2*3-1) + 3^(2*3-2) + 3^2 + 3 + 1)) - (2 * (3^(3-1) + 3^(3-2) + 3 + 1))= (2 * (81 + 27 + 9 + 3 + 1)) - (2 * (9 + 3 + 3 + 1))= (2 * 121) - (2 * 16)= 242 - 32= 210我们还可以通过计算原数列的前2n项和和前n项和，来验证公式的准确性。

原数列前2n项和：S2n = (2 * (3^(2*3-1) + 3^(2*3-2) + 3^2 + 3 + 1)) = 242原数列前n项和：Sn = (2 * (3^(3-1) + 3^(3-2) + 3 + 1)) = 32由此可见，公式得出的结果与实际计算符合，验证了公式的正确性。

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•(I)求数列的通项公式;(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，则设,又点「均在函数的图象上，二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T又忙：=.：「=乜，适合上式,I ............................................... （7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨, ,: ■ .1=2整理得：，•.................2.已知数列’的各项均为正数，是数列’（14 分）的前n项和，且（1）求数列’的通项公式；（2）二知二一-［答案］查看解析解出a i = 3, ［解析］又4S n = a n? + 2a n —3 ①2当 -时4S n -1 = + 2a n-1 —3 ②①—②他・％7^+ «叫-叫J,即丐~二・+ j)=o... ■ - ■ :.”■-■'"叫—2( 一)二数列也“｝是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二心=3 + 2(n-1) = 2/? + !T ti=3x2' +5x2?+L +(切1).『又.：匚............... : -.:-T a=-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'④一③+(2卄】)・2曲12分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数■' ：■ 1 1 1'，数列：前项和’，：；：「“二二；-匕斥.二’，数列■，满足沢二U.(I)求数列：，的通项公式•；(n)设数列屮广的前项和为•，数列殖的前；项和为’：，证明：［答案］(i 由■'，，得'•■•kJ是以;为公比的等比数列，故叫=』芦|.用错位相减法可求得■. ■? •比丁■二.(注：此题用到了不等式：：I ，I …进行放大.)4. 已知等差数列'中，；是与的等比中项.fa 3(I)求数列的通项公式：(n)若' .求数列' 的前厂项和［解析］(I)因为数列'是等差数列，是与的等比中项.所以 '又因为，设公差为」，U ' ' '' ' 1 , 所以.门 "'1',解得，［或，当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；当d -0时，毎二4 .所以’或. .(6分)(n)因为' ，所以'，所以^所以' •「——，所以■二丁「1 - - I■:」-：■ 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2•—-n-2^'两式相减得,所以' .(13 分)5. 已知数列：的前I：项和' ,' , 'J'■,等差数列：中= S,且公差心2.(I)求数列’、；的通项公式；(n)是否存在正整数'，使得’'''：若存在，求出“的最小值，若不存在，说明理由.u. —L £?… . = 2S + L 当H工2 u 虬=25 . + I —亠/口［解析］(I) 时，相减得：%=她Z ") & 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人? ?'数列：是以1为首项，3为公比的等比数列令-处叮"存沁"¥宥“ 4［細一恥汀丄“：：.2：冷严」37； =3x3*5x3J +7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)^3*-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl -,)-(2» + 1)x3fl二匚=^V ，一 o> 伽,即 3" >60 ,当 n<3，亍弋60 ,当/;>4。

错位相减法求和选择题(1)张海涛

1．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项，则求数列{}n na 的前n 项和n T =( ) A.(1)2n n - B.(1)21n n -+ C.1(1)21n n --+ D.21n n ⋅+ 答案： B解答：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . ∴12)1(11-⋅+=-n n a S . 从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a .∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， ∴=1a 1.∴12-=nn S . 当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a ，∴ 12-⋅=n n n na ，∴1212232211-⨯++⨯+⨯+⨯=n n n T . ①nn n T 22322212321⨯++⨯+⨯+⨯= .② ①-②得n n n n T 2222112⨯-++++=--∴12)1(+-=nn n T .2．在数列{}n a 中，1111,30(2,)n n n n a a a a a n n N --=+-=≥∈，设{}n b 满足求数列{}n b 的前n 项和n S =( )A.13(34)()2n n -+⋅B.14(33)()2n n -+⋅C.114(34)()2n n --+⋅D.14(34)()2n n -+⋅答案： D解答：∵10a ≠，∴0n a ≠，∴由已知可得(n ≥ 2)，故数列是等差数列，首项为1，公差为3．(32)n ++-23111=1()4()(35)()(32)()n n n S n n +⋅+⋅++-⋅+-⋅， 1()]2n ++-n T =( ).A.(1)2n n -⋅B.1(1)21n n --⋅+C.(1)21n n -⋅+D.21n n ⋅+ 答案： C解答：当n≥2时，1n n n a S S n -=-=，又111a S ==，也满足上式，所以(*)n a n n N =∈，1122n n n n b a n --∴=⋅=⋅，所以1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得12n -++-所以，(1)21n n T n =-⋅+.4．已知数列{}n a 设·2n n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S =( )A.2n n ⋅B.()112n n +⋅+C.12n n ⋅+D.()112n n -⋅+答案： C解答：12a =，∴当2n ≥时， (n a a ++- 12a =1. 212()n n n b na n n ∴=⋅=⋅+， 232232421(2)n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯＋，①23122232212()n n n S n n =⨯+⨯++⨯++⨯＋，②2(n n +-＋1112221?21?2(2),n n n n n n n S n +++--++=-∴=⋅+=.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+)2(≥n ，若(21)n n b n a =-，则数列{}n b 的前n 项和n T =( )A.212(23)2n n --+⨯B.112(23)2n n --+⨯ C 212(21)2n n --+⨯ .D.12(23)2n n --+⨯ 答案： A 解答：11335n n n n S S a a ---=-，∴12n n a a -=，， ∵12a =，∴2(21)2n n b n -∴=-，(21)(23)2n n ++-++-⨯， 22)n -++-11)2n-- ∴212(23)2nn T n -=-+⨯.6．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，已知数列),(1x f ),(2x f ),(n x f 是公差为2的等差数列，且21a x =，当时，数列{()}n n x f x ⋅的前n 项和n S =( )A.224n n +⋅+B.2(1)24n n +-+C.2(1)23n n +-+D.1(1)24n n +-⋅+ 答案： B解答：21()log 2a f x a ==，且2d =，()2(1)22n f x n n ∴=+-⋅=，即log 2a n x n =，所以2nn x a =.，则23411222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，341221222(1)22n n n S n n ++∴=⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减得12n n +++-2(1)24n n S n +∴=-+.7．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==， 3521a b +=，5313a b +=，数列n 项和n S =( )A.12322n n -+- B.2362nn +- C.12162n n -+-D.12362n n -+-答案： D解答：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =，所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．2232n n --++32312n n ---++，② 2222222n -+++++-21212n n --⎫++-⎪⎭ 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S () 321,,n =，等差数列{}n b 中，11b =，53=b ，设n n n b a c =，数列{}n c 的前n 项和n T =( )A.1(23)26n n +-⋅+B.1(23)23n n +-⋅+C.1(21)26n n +-⋅+D.(23)26n n -⋅+ 答案：A解答：1122,22,n n n n S a S a --=-=- *12,)n n nS S a n n N -≥∈又－＝，（，122,0n n n n a a a a -∴=-≠ 11111,22,22n n a S a a a a =∴=-∴=∴=　，，设等差数列{}n b 的公差为d ，d b b 213+=得到2=d ，12-=∴n b n ，(21)2n n c n ∴=-，231122123252(21)2,n n n n T a b a b a b n ∴+++=⨯+⨯+⨯++-＝23121232(23)2(21)2n n n T n n +∴=⨯+⨯++-+-23112222222)(21)2n n n T n +∴-=⨯⨯⨯⨯--＋(＋＋＋， 341112(222(21)2n n n ++=⨯++++--），1(23)26n n T n +∴=-⋅+.9．已知递增等比数列{}n b 满足2464b b ⋅=，532b =，数列{}n a 满足12n n a b n-=，数列{}n c 的通项公式21-=n n na c ，数列{}n c 的前n 项和n T =( ) A.2(1)2n n --⋅ B.12(1)2n n +-- C.122n n +-⋅ D.12(1)2n n --- 答案：B解答：依题意可得，在{}1,01>>q b b n 中，由2464b b ⋅=,532b =知 2,8,64323==∴=q b b ，所以{}n b 通项公式nn b 2= ，，1231222322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯，23121222(1)22n n n T n n +∴=⨯+⨯++-+⨯1231121212122n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯，12(1)2n n T n +∴=--.10．在数列{}n a 中， 2 2 n +==+n n a a a 111，，数列{}n a 的前n 项和n S =( )A.()1121n n --⋅+B.()1121n n +-⋅+C.()112n n --⋅D.()1211n n -⋅--答案： A 解答; 由已知nn n a a 221+=+得，即12-⋅=n n n a ， 121122322 n n S n -∴=+⋅+⋅++⋅ ① 232222322 n n S n ∴=+⋅+⋅++⋅ ②由①－②得12n n -++-()1 121n n S n -∴=-⋅+.11．在数列{}n a 中，已知，1331-+=-n n n a a （*,2N n n ∈≥）.数列{}n a 的前n 项和n S =( )A.12312n nn +⋅++ B.12133442n n n +-⋅++C.12133442n n n +-⋅+-D.2133442n n n -⋅++答案： B解答：∵ 1331-+=-n n n a a （*,2N n n ∈≥）∴1.，令n n n T 3343332314321⋅++⨯+⨯+⨯+⨯= …………① 则1543233)1(343332313+⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n n T ……② 两式相减得：15432133333332+⋅-++++++=-n n n n T ，.12．已知数列n a 满足，数列{}n b 的前n 项n S =( ) A. 1(1)22n n +-+ B.1(1)2n n +- C.1(1)22n n --+ D.1(1)22n n +++答案： A解答：1n =时，112a =2n ≥时，22221321na a a a n n =+⋅⋅⋅++-……………………………..(1) (1)-(2)2n n b n ∴=⋅，231222322n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，23121222(1)22n n n S n n +∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，22)1(1+-=∴+n n n S13．在数列{}n a {}n c 满足n n n c a b =，{}n c 的前n 项和n S =( )A.*21281()()334nn n N +-⨯∈ B.1*11281()()334n n n N ++-⨯∈ C.1*21281()()334n n n N ++-⨯∈ D.1*21281()()334n n n N -+-⨯∈ 答案： C解答：①② 两式①-∴ 14．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，221a b b =+，的等差中项与是413a a b ，数列n 项和n S =( )A.12332n n -+- B.12362n n -+-C.2362nn +- D.12162n n -+-答案： B解答：设{}n a 的公差为d ， {}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且由2112113q dq d+=+⎧⎨=++⎩，解得2d =，2q =． ∴1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．2232n n --++32312n n ---++2222n -++-2121)2n n --++-1- 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 满足12b =，点1(,)()n n P b b n N *+∈在直线2y x =+上，()n n n c a b n N *=∈，数列{}n c 的前n 项和n T =( )A.14(1)2n n ++-⋅B.242n n ++⋅C.24(1)2n n ++-⋅D.24(1)2n n +++⋅ 答案： C解答：∵22n n S a =-，12a ∴=，1122n n n n n a S S a a --=-=-，2n n a ∴=，()12*n n b b n N +∴-=∈.∴{}n b 是等差数列.设公差为2，又12,2n b b n =∴=. 12n n c n +∴=⋅， ∴2312222n n T n +=+⨯++ ①34122222(1)22n n n T n n ++=+⨯++-+② -②得23122222n n n T n ++-=+++-即24(1)2n n T n +=+-16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ，数列{}n na 的前n 项和n T =( ) A.1*113()22n n n -⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N B.1*113()22n n n +⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭N C.*113()22n n n ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭N D.1*113()22n n n -⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭N 答案： D解答：12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，又111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩，，，≥．，12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =；………………………7分当2n ≥时，0121436323n n T n -=+⋅+⋅++⋅，…………①12133436323n n T n -=+⋅+⋅++⋅，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-⋅11(12)3n n -=-+-⋅．又111T a ==也满足上式，17．已知{}n a 是等差数列，其中251=a ，前四项和824=S ．令，数列}{n b 的前n 项之和n T =( )A.1322222n n --+ B.322222nn -+C.322222nn ++D.1322222n n +-+答案： B解答：，n a n 328-=∴。

数列求和之错位相减法练习

数列求和之错位相减法专项练习一、解答题1.已知正项数列{a n}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{a n2n−12.在数列{a n}中，前n项和为S n，a n+S n=n,b1=a1,b n=a n−a n−1(n≥2)．(1)设c n=a n−1，求证：{c n}为等比数列．(2)求{(n+1)b n}的前n项和T n．3.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2(a n−1)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=n(a n−1)，求数列{b n}的前n项和T n．4.已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{a n2a n5.已知{a n}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的等比中项，S n为{a n}的前n项和．(1)求a n及S n；(2)若b n=a n+1⋅3a n，求数列{b n}的前n项和．6.已知数列{a n}是首项为1的等差数列，数列{b n}是首项b1=1的等比数列，且b n>0，又a3+b5=21，a5+b3=13．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a n b n}的前n项和S n．7.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令C n=(a n+1)(b n+2)n n+1，求数列{C n}的前n项和．8.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=2S n+1(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)若数列{b n}满足a n=3b n−1，求数列{b na n2−a n2=2(n∈N+).(1)求数列{a n}的通9.各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+1项公式;(2)求数列{a n2}的前n项和S n．2n10.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足3S n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=(n+1)a n，求数列{b n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】解：(1)设a n =a 1+(n −1)d ，则(a 1+d)(a 1+3d)=6且a 1+5d =4，解得a 1=32，d =12或a 1=−172，d =52， ∵a n >0， ∴a 1=32，d =12，∴a n =n2+1，(2)设{an2n−1}的前n 项和为S n ，a n 2n−1=n 2+12n−1=n+22n，∴S n =3×(12)+4×(12)2+5×(12)3+⋯+(n +2)×(12)n ，∴12S n =3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+⋯+(n +2)×(12)n+1，①−②得：12S n=32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)n ]−(n +2)×(12)n+1=32+14(1−12n−1)1−12]−(n +2)×(12)n+1，∴S n =4−n +42n【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设a n =a 1+(n −1)d ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．2.【答案】解：(1)证明：当n =1时，a 1+S 1=1=2a 1，∴a 1=12，当n ≥2时，{a n +S n =n,a n−1+S n−1=n −1.两式相减，得a n −a n−1+a n =1，∴a n =12a n−1+12，∴a n −1=12(a n−1−1)，即c n =12c n−1(n ≥2)，又c 1=a 1−1=−12≠0，故数列{c n }是以−12为首项，以12为公比的等比数列； (2)∵c n =(−12)⋅(12)n−1=−(12)n，∴a n =1−(12)n ，当n ≥2时，b n =(12)n−1−(12)n =(12)n；当n =1时，b 1=a 1=12，∴T n =2⋅12+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(n +1)⋅(12)n，又12T n =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(n +1)⋅(12)n+1，两式相减，得12T n =1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−(n +1)⋅(12)n+1=1+14[1−(12)n−1]1−12−(n +1)⋅(12)n+1=32−(n +3)⋅(12)n+1，故T n =3−(n +3)⋅(12)n．【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题．(1)运用当n ≥2时，{a n +S n =n,a n−1+S n−1=n −1.两式相减，得a n −a n−1+a n =1，即得到a n −1=12(a n−1−1)，即c n =12c n−1(n ≥2)，再根据c 1=a 1−1=−12≠0即可证明{c n }为等比数列；(2)由(1)得c n =(−12)⋅(12)n−1=−(12)n，即得a n =1−(12)n，进而得到当n ≥2时，b n =(12)n−1−(12)n=(12)n，当n =1时b 1=a 1=12，然后用错位相减法求和即可得解．3.【答案】解：(1)因为S n =2(a n −1)，①当n ≥2时，S n−1=2(a n−1−1)，②①−②得a n =2a n −2a n−1，即a n =2a n−1，由①式中令n =1，可得a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n =2n 。

题型-数列求和之错位相减法

1数列求和之错位相减法一、题型要求：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）。

二、例题讲解：1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、练习巩固：1、（2012－信宜二模）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，（1）求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式.；2、（2015－漳浦校级模拟）等差数列}{n a 中，.2,49197a a a ==数列}{n b 满足n a n n a b 22⋅=（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和n S3、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；4、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a （*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列}12{+n a n的前n 项和，求n S ；35、（2014－惠州调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12n n a S -=；数列{}n b 满足(27)n n b n a =-（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和为n T6、（2014－珠海六校联考）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .7、（2014－中山期末）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈．（1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；8、（2014－梅州质检）设等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，已知122(*)n n a S n N +=+∈。

高中数学数列-错位相减法求和专题训练含答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版错位相减法求和专题训练1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.(1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121nn n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++， *n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 122n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.5．已知数列{}n a 及()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11?nn f n -=-, 1,2,3,n =.（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证:11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()*n S n N ∈；（Ⅱ）若()1232n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()*n T n N ∈.7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；（2）令11•213nn n n na b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b += 12n n b n+．（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.参考答案1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）成等比数列 2q = ()()2{2nn n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()()21221222121222142kkk k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++23241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣⎦(3) ()()3121nnn C n =-+- ()()()()2121{ 2121nn nn n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶2．解析：(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，∴()22n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=-(2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅①()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅∴()12n 1n T 13222--=++++ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立∴()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅ ()()()nn 3n 52n 72n 73n 522---==-⋅，即n 2n 7m 2-≥恒成立. 设n n 2n 7k 2-=， n 1n n 1nn 12n 52n 792nk k 222+++----=-= 当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +< ∴()n 55max 33k k 232===，∴3m 32≥. 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键. 3．解：（1）设数列{}n a 的公比q ，由()4422332S a S a S a +=+++，得()()42434232S S S S a a a -+-+=+，即424a a =，∴214q =． {}n a 是单调递减数列，∴12q =， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知2n n nna =，所以234112*********n n n n nT --=++++++，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得： 211112222n n n n nT -=++++-，1122212212nn n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--，由()111112n n n n n T T n a ++++-=+=，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ， 122n T ≤<点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题. 4．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q由已知， 42302S S =≠.则1q ≠，则()()212414161{1301a q S q a q S q-==--==-，，两式相除得2q =±，∵数列{}n a 为递增数列，∴2q =，则12a =，所以2n n a =.（2）122log 22n n n n b n ==-⋅，()1231222322n n T n =-⋅+⋅+⋅++⋅ 设1231222322n n H n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23412222322n n H n +=+⋅+⋅++⋅，②①-②得：()1231121222222212n n n n n H n n ++--=++++-⋅=-⋅-，11222n n n n T +-=-⋅+-=，1250n n T n ++⋅>，即111222250n n n n n +++-⋅+-+⋅>，1252n +>，∴正整数n 的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．5．解析：（1）由已知()1111f a -=-=-，所以11a =.()21212f a a -=-+=，所以23a =.()312313f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则()()()()2121111nn n f a a a -=-+-++-，①()()()()()21112111111nn n n n f a a a a +++-=-++-++-+-，②两式相减，得()()()1111?11n n n n a f f +++-=---= ()()()11?11?n nn n +-+--，所以()11n a n n +=++,即121n a n +=+，又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()211,2,3,n a n n =-=.（3）()233521n n f x x x x n x =++++-，所以()2311111352133333nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③()2341111111·3521333333n n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④①-②得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11133n n n f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又1,2,3,n =，∴103nn +>，故113n f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 又1111210333n n n n f f +++⎛⎫⎛⎫--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13n f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递增数列，故1111333n f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．6．解析：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公差为d ，由条件可得23111a a a =，即()()2222210d d +=+，解得3d =或0d =（舍去），则数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-，()()23113122n n n S n n +-==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()121322n a n n b --==，则()1231223341225282312n n n n T a b a b a b a b n +=++++=⨯+⨯+⨯++-⨯，①()23412225282312n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②将①-②得()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()211132324312834212n n n n n +++⨯-⨯=+--⨯=---⨯-，则()18342n n T n +=+-⨯.【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.7．解析：（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，1121n n a a +-=-112,n n a --=得 121n n a -=- n a = 14,1{21,2n n n -=+≥(2)当1n =时， 123b = 当2n ≥时， 13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当1n =时， 123T =当2n ≥时， 232111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2311123333nM n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3411111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 23M = 122111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2111111312323nn M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭132311243n n n T +⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式． 132311243n n n T +∴=-⋅ ()*n N ∈ ．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 8．解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则11121{{,.510151n a d a a n a d d +==⇒∴=+==由题意得1111122n n b b b n n +=⋅=+，，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12， 2n n n b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-， 222n n n T +∴=-；()()()2122222n n n nn n S T n nS f n n +-+=∴==+；()()()()()221111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+∴+-=-= 当3n ≥时， ()()10f n f n +-<；当3n <时， ()()10f n f n +-≥；()()()3311,2,322f f f === ∴()f n 存在最大值为32.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 9．解析：（1）当1n =时， 11==3a S ；当2n ≥时， ()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+， 1=3a 也符合，∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +. （2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，∴()111111111...1422314141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10．解析：（1）设等比例列16.λ∴的最大值为的首项为1a ，公比为q依题意，有3112120{8a q a q a q +==，解之得12{ 2a q ==或132{ 12a q ==，又数列{}n a 单调递增， 12{ 2.2n a a n q =∴∴==，（2）依题意， 12.log2.2,.2bn n n n n ==- 12222323.........2,Sn n n ∴-=⨯+⨯+⨯++①2122223324........21Sn n n -=⨯+⨯+⨯+++②由①—②得： 2222324......2.21Sn n n n =+++++-+()212.2112n n n -=-+-21.212n n n =+-+- ， 1250n n S n +∴=⋅>，即12250,226n n +->∴>，当4n ≤时， 2241626n <=<；当5n ≥时，5223226n <=<， ∴使1250n n S n ++⋅>，成立的正整数n 的最小值为5.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解

数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *），（i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足，则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和，所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

错位相减法求和典型例题

错位相减法求和典型例题一、引言错位相减法是一种数学中常用的求和方法。

它通过将两个等式错位相减，消去其中的某些项，从而得到一个新的等式，通过求解这个新的等式可以得到原问题的解。

在本文中，我们将介绍错位相减法的定义、原理以及应用，并提供一些典型的例题，以帮助读者更好地理解和掌握这个方法。

二、错位相减法的定义和原理1. 定义错位相减法是指将两个等式的左、右两边错位对应的项相减，并得到一个新的等式的求和方法。

它主要用于解决一些复杂的求和问题，通过消去一些项，简化问题的求解过程。

2. 原理错位相减法的原理可以通过以下步骤来解释：a) 将两个等式的左、右两边分别写出，并使其对应项排列在一起；b) 将两个等式的左、右两边错位对应的项相减，得到一个新的等式；c) 求解这个新的等式，得出问题的解。

三、错位相减法的应用错位相减法主要应用于解决求和问题，特别是一些具有特定模式的求和问题。

下面将介绍一些典型的例题，以帮助读者更好地理解和应用这个方法。

例题1：求解等差数列的和已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S，求解S的表达式。

解法：设等差数列的第一项为a，公差为d，则等差数列的第n项为a+(n-1)d。

根据等差数列的求和公式，可得：S = (a + a+(n-1)d)n/2= 2a + (n-1)d)n/2= (2a + (n-1)d)n/2= (2a + n*d - d)n/2= (2a + n*d)n/2 - d*n*(n-1)/2因此，S的表达式为(2a + n*d)n/2 - d*n*(n-1)/2。

例题2：求解等比数列的和已知等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为S，求解S的表达式。

解法：设等比数列的第一项为a，公比为r，则等比数列的第n项为a*r^(n-1)。

根据等比数列的求和公式，可得：S = a*(1-r^n)/(1-r)因此，S的表达式为a*(1-r^n)/(1-r)。

例题3：求解级数的和已知级数的通项为an，求级数的和S。

高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习含答案

高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习【高考真题】2022年没考查【方法总结】错位相减法求和错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n ．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010＝S 55＋5． (1)求a n ；(2)若b n ＝a n ·4S n a n求数列{b n }的前n 项的和T n ．2．(2020·全国Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．3．(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝(n ＋1)a n －2．(1)求a 2，a 3和通项a n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·2n －1，求{b n }的前n 项和T n ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．6．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1＝32a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．7．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋1． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝12n ·a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 9．(2020·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ．公差不等于0的等差数列{b n }满足________，________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n ．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．13．在①已知数列{a n }满足：a n ＋1－2a n ＝0，a 3＝8；②等比数列{a n }中，公比q ＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n ＞m －2 022对n ∈N *恒成立，求正整数m 的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．14．(2021·全国乙)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2． 15．已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并证明：13≤T n ＜34． 16．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12． (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2．17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)设K n 为数列{a n b n }的前n 项和，若不等式λS n T n ≥K n ＋n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．18．(2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ．若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．19．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．20．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ×2n ＋1＞30成立的正整数n 的最小值．。

错位相减法数列求和十题

（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2kn•an，求数列{bn}的前n项和Tn．
3.数列的前项和为 ,且是和的等差中项，等差数列满足
（1）求数列、的通项公式
（Hale Waihona Puke ）设 = ，求数列的前项和 .
4.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线上。
（2）设cn=1+an·bn，求cn的前n项和Tn。
8.已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn=a1+a2q+…+anqn-1，Tn=a1-a2q+…+（-1）n-1anqn-1，q≠0，n∈N*，
(1)若q=1，a1=1，S3=15，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1=d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值；
（II）设数列{an}的公比q=f（λ），数列{bn}满足b1=1/2，bn=f（bn-1）（n∈N*，n≥2）求数列{bn}的通项公式；
（III）记λ=1，记Cn=an( 1/bn-1)，求数列{Cn}的前n项和为Tn．
6.已知数列的前项和，数列满足
（1）求数列的通项公式 ;（2）求数列的前项和 ;
（3）求证：不论取何正整数，不等式恒成立
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，S6=36，数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3，b4+b5=24。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
错位相减法数列求和十题
1.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3=4，S2=3．
（1）求数列{an}的通项公式；

等比数列错位相减法例题

等比数列错位相减法例题错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的。

用错位相减法求和应注意：1、要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2、在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．3、在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的错位相减求和求Sn,求过程？Sn=（3^2+...+3^（n+1））/2-3n/2=3^2（3^n-1）/（3-1）2-3n/2=（3^（n+2）-9）/4-3n/2 这个不需要错位相减。

典型的数学数列的错位相减法例题？例Cn=(2n-3)*2^(3-2n),求Sn 数列cn=(2n-3)2^(3n-2)可以看成等差数列an=2n-3与等比数列bn=2^(3-2n)的对应项的乘积等差数列有特点相邻两项之差相等，等比数列的每一项乘同一个数（公比）都得到下一项。

利用这一点就得到“错位相减法”Sn=-1*2+1*2^(-1)+3*2^(-3)-5*2^(-5)+……+(2n-3)*2^(3-2n)(*)(1/4)Sn=-1*2^(-1)+1*2^(-3)+3*2^(-5)+……+(2n-5)2^(3-2n)+(2n-3)2^(5-2n)(**)Sn-(1/4)Sn=-1*2+2*2^(-1)+2*2^(-错位相减裂项相交分组求和公式？Sn=1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+ 1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）=1-1/(n+1)错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn=1/2+1/4+1/8+....+1/2^n两边同时乘以1/21/2Sn=1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)Sn=1-1/2^n倒序相加法这个在证明等差数列求和公式时就应用了数列求和错位相减法怎么看有几项？如果求的是n项和，则中间等比数列有n-1项能用错位相减法求和的数列一般是一个等差数列乘以一个等比数列求前n项的和Sn=a1+a2+……an 先乘以一个公比q，得qSn=qa1+qa2+……qa(n-1)+qan 错一位相减，就是a2+……+an减去qa1+……qa(n-1) 结果是一个等比数列，一共有n-1项(a1和qan是不参加错位相减的)数列n/2^n该怎样错位相减求和？例：求an=n/2^n的前n项和Sn?Sn=1*1/2^1+2*1/2^2+3*1/2^3+4*1/2^4+........+n/2^n1/2*Sn=1*1/2^2+2*1/2^3+3*1/2^4+4*1/2^5+........+(n-1)/2^ n+n/2^(n+1) 上式-下式得：1/2*Sn=(1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+.....1/2^n)-n/2^(n+1)1/2*Sn=[1/2-1/2^(n+1)]/(1-1/2)-n/2^(n+1)1/2*Sn=1-2/2^(n+1)-n/2^(n+1) 1/2*Sn=1-(n+2)/2^(n+1)Sn=2-(n+2)/2^n小学奥数题，熟悉“错位相减求和”的请进？题目要求的值设为X1+3+（3的2次）+（3的3次）+（3的4次）+（3的5次）+（3的6次）+（3的7次）作一式（X）一式*3即：3+（3的2次）+（3的3次）+（3的4次）+（3的5次）+（3的6次）+（3的7次）+3（3的8次）为二式（3X）二式—减一式的值=2X将上值处以二即可10道公式法例题？法:(1)x^2+14x+2=0x^2+14x+49=47 (x+7)^2=47 x+7=±√47x=-7±√47 （2）x^2+4x-3=0 x^2+4x+4=7(x+2)^2=7x+2=±√7 x=-2±√7 (3)3z^2-4z-7=0 z^2-4/3z-7/3=0z^2-4/3z+4/9=4/9+7/3(z-2/3)^2=25/9 z-2/3=±5/3z=-1,z=7/3 因式分解:b2+2ab+c2-2ac=(b2-c2)+(2ab-2ac)=(b+c)(b-c)+2a(b-c)=(b-c)(b+ c+2a)(a+ b)^2+(a^2-b^2)=(a+b)^2+(a+b)(a-b)=(a+b)(a+b+a-b)=2a(a+b)a^2-b^2+(-a-b)=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1)m2+n2+2mn-p2=(m+n)2-p2=(m+n+p)(m+n-p)3a3b2c-6a2b2c2-9ab2c3=3 ab2 c(a2-2ac-3c2)=3ab2c(a+c)(a-3c)xy+6-2x-3y=x(y-2)-3(y-2)=(x-3)(y-2)x^2(x-y)+y^2(y-x)=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x+y)(x -y)^2等比数列求和的错位相减怎么引入不突兀？就利用等比数列的性质，数列中的任何一项乘以公比得到它的后一项等比数列求和的错位相减怎么引入不突兀？谢邀错位相减法可以用来推导等比数列，也可以用于“等差乘等比”形式数列的求和，即数列的求和。

错位相减法(提高篇)

[例 3] 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解析 (1)由已知，得当 n≥1 时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
2an
1
， an an1
2 ，……（3
分）
又 a1 2 ，{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，……………………………（4 分）
an 2 2n1 2n . ……………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ） bn n 2n ，
Tn 1 21 2 22 3 23 n 2n，
an
n （Ⅱ）数列{an } 的前 n 项和 Sn ．
解析（Ⅰ）
an1
2an an 1
，
1 an 1 1 1 1 ， an1 2an 2 2 an
1 an1
1
1 2
1 ( an
1) ，又 a1
2 3
，
1 a1
1
1 2
，
数列{
1
1}是以为 1
1
首项，
为公比的等比数列．
an
2
2
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
数列求和之错位相减法
[例 1] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且有 a1=2，3Sn= 5an 4an1 3Sn1(n 2)
（I）求数列 an 的通项公式；
（Ⅱ）若 bn=n·an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
解析：（Ⅰ） 3Sn

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3 ①当时 4s n－1 = + 2a n-1－3 ②①－②, 即，∴ ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： . [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.得（Ⅱ）由，…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

错位相减练习题答案

错位相减练习题答案1.已知等差数列的前n项和为，且满足，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ由题意得：，解得，故的通项公式为；Ⅱ由Ⅰ得：，，，得：．故．【解析】Ⅰ由，可得关于首项和公差d的方程组，解方程组求出首项和公差，即可得出数列的通项公式；Ⅱ利用错位相减法即可求数列的前n项和Tn．2.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】解：设等差数列的公差为d，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，又，所以，从而．因为，所以，所以，以上两个等式相减得，化简得．【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的和．利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出公差，根据成等比数列列出关于公差的方程，通过求解该方程求出公差，进而写出该数列的通项公式；根据数列的通项公式写出数列的通项公式，根据错位相减法求出其前n项和．3.已知等比数列的前n项和为，且，的等差中项为10．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：的等差中项为10，，，，，，数列的通项公式．，，，，相减得，，．【解析】由已知，，计算q，进而，即可求得数列的通项公式；利用错位相减法求和．4.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足求数列通项公式；令，求数列的前n项和．【答案】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，数列的前n项和，，．．【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及利用错位相减法求和利用等差数列与等比数列的通项公式即可求出公差与公比，即可求解；由数列的通项可判断由错位相减法求和，属中档题．5.已知等差数列和正项等比数列，求数列、的通项公式若，求数列的前n项和【答案】解依题意，为等差数列，设其公差为d；为正项等比数列，设其公比为q，则可知，，可知，即又，，解得，故，由已知，，即，，所以，．，，．以上两式相减得：．．【解析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．6.已知数列的前n项和为．求数列的通项公式；令，求数列的前项和；【答案】解：由题意，得：当时，，当时，，又满足上式，故；由知，，所以其前n项和由得：，所以【解析】由题意，得当时，，当时，，代入表达式化简即可得到；运用错位相减法求和即可得结果．。

(完整版)错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，Ⅰ，Ⅰ，又点均在函数的图象上，Ⅰ．Ⅰ当时，，又，适合上式，Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，Ⅰ，Ⅰ，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3①当时4s n－1 = + 2a n-1－3②①－②, 即，Ⅰ ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.得（Ⅰ）由，…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅰ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或.（6分)（Ⅰ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以.（13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅰ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅰ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案

高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案1.已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+2}=\frac{2a_n}{n+2}$，其中$a_{n+2}$为奇数，$2a_n$为偶数，且$a_1=1,a_2=2$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 设$b_n=a_na_{n+1}$，$n\in\mathbb{N}$，求数列$\{b_n\}$的前$2n$项和$S_{2n}$；3) 设$c_n=a_{2n-1}a_{2n}+(-1)^n$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<\frac{4}{3}c_n$。

2.已知正项数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_3=7$，$a_{n+1}=6S_n+9n+1$，$n\in\mathbb{N}^*$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若正项等比数列$\{b_n\}$满足$b_1=a_1$，$b_3=a_2$，且$c_n=a_nb_n$，数列$\{c_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；若对任意$n\geq 2$，$n\in\mathbb{N}^*$，均有$(T_n-5)m\geq 6n-3n+35$恒成立，求实数$m$的取值范围。

3.已知$n\in\mathbb{N}^*$，设$S_n$是单调递减的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$a_1=1$且$2S_2+a_2,S_4+a_4,S_3+a_3$成等差数列。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 记数列$\{na_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求证：对于任意正整数$n$，$T_n<\frac{4}{3}S_n$。

4.递增的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_2=6$，$S_4=30$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若$b_n=a_n\log_{1/a_n}n$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求满足$T_n+n^2>50$的正整数$n$的最小值。

专题03 错位相减求和(解析版)

专题3 错位相减求和一、解答题 1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且111a b ==，32312S b ==．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若1n n n c a b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-，14n n b -=(2)()1414n n T n +=+-【解析】【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得：13312a d +=，解得：3d =，所以()13132n a n n =+-=-，由2312b =得：24b =，所以214a q a ==，所以14n n b -= (2)()1324nn n n c a b n +==-⋅，则()2344474324n n T n =+⨯+⨯++-①， ()2341444474324n n T n +=+⨯+⨯++-①，两式相减得：()23413434343434324n n n T n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--()()111164433241233414n n n n n +++-=+⨯--=-+--，所以()1414n n T n +=+-2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），N n *∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列． (1)求q 的值和{}n a 的通项公式； (2)设2221log ,nn n a b a -=N n *∈ ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的N n *∈，满足()4(1)n n n n b n b nS λλ+-+>，试求实数λ的取值范围．【答案】(1)2q ， 12222n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数(2)1λ≥ 【解析】【分析】（1）先根据23a a +，34a a +，45a a +成等差数列以及11a =，22a =计算出q ，再根据奇偶项分别写出{}n a 的通项公式即可（2）根据题意先求出{}n b 的通项公式，再根据错位相减法求出{}n b 的前n 项和为n S ，最后根据()4(1)n n n n b n b nS λλ+-+>列出关于λ的不等式，解出λ即可 (1)由己知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，所以322a a ==．由31a a q =，得2q，当()21N n k n *=-∈时，1122122n k n k a a ---===，当()2N n k n *=∈时，2222nk n ka a ===，所以{}n a 的通项公式为12222n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数 (2)由（1）得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，两式相减，得23111111112212122222222212n n n n n n n n n n S --=++++⋯+-=-=---，整理得1242n n n S -+=-，所以数列{}n b 的前n 项和为1242n n -+-． ①111124(1)4222n n n n n n n n n λλ---+⎛⎫⎛⎫+-⋅+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即41511(2)22n n n λ-<+-=-+++，又5112n ->-+，①1λ-≤-，①1λ≥ 3．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n p 是首项为2的等差数列，{}n q 是公比为2的等比数列，且满足32p q =，73p q =．设数列{}n a 满足n n n a p q =⋅．(1)求{}n a 的通项公式；(2)在①1n n n b a n =+；①4log 2n n a b n =+；①()132n n n n n b a a ++⋅=这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列{}n b 满足______，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)()12nn a n =+⋅(2)答案见解析【解析】【分析】设出数列{}n p 的公差d 及数列{}n q 的首项1q ，由题列方程可求出d ，1q ，利用等差数列和等比数列的通项公式，即可求解；（2）结合（①）若选①，利用错位相减法即可求解；若选①，利用分组求和法即可求解；若选①，利用裂项相消法即可求解． (1)设数列{}n p 的公差为d ，数列{}n q 的首项为1q ．由题意得1222dq +=，1264d q +=，解得1d =，12q =，则1n p n =+，2n n q =，所以()12nn a n =+⋅．(2) 若选①1n n nb a n =+，即()1221n n n nb n n n =⋅+⋅=⋅+，所以1231222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减得123122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()1122212n n n ++-=-⨯-()1122n n +=--所以()1122n n T n +=-⨯+．若选①4log 2nn a b n =+，即44411log log 2log 222n n n n nb n n ++=+=+++，所以()4442311log log log 123422n n T n n +⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭()41231log 3424n n n n ++⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯+⎪+⎝⎭ ()412log 24n n n +=++．若选①()132n n n nn b a a ++⋅=，即()113211n nn nn n n b a a a a +++⋅==-，所以12231111111n n n T a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n a a +=-()111422n n +=-+．4．（2022·福建省福州第一中学三模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，21a =，11(21)(1)10(2)n n n nS n S n S n +--+++-=.(1)证明：{}n a 为等差数列；(2)设2n an b =，在n b 和1n b +之间插入n 个数，使这2n +个数构成公差为n d 的等差数列，求1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】(1)证明见解析 (2)116(3)2n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可得到*1(1)10,N n n na n a n +-+-=∈，从而得到1(1)10,2n n n a na n ----=，作差即可得到112,2n n n a a a n +-+=，从而得证；（2）由（1）可得{}n a 的通项公式，从而得到1112n n n d -+=，再利用错位相减法计算可得； (1)证明：因为2n 时，11(21)(1)10n n n nS n S n S +--+++-=，则()()11(1)10n n n n n S S n S S +---+--=，即1(1)10n n na n a +-+-=，2n ，· 因为21210a a --=，·则*1(1)10,N n n na n a n +-+-=∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①，所以1(1)10,2n n n a na n ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①，则①-①得1120,2n n n na na na n +--+=，即112,2n n n a a a n +-+=，· 所以{}n a 为等差数列. (2)解：由（1）可得{}n a 的首项为10a =，公差为211a a -=，所以1n a n =-，所以12n n b -=，所以111222111n n n n n n b b d n n n --+--===+++，则1112n n n d -+=，记1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则01211111234(1)2222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①，所以1231111111234(1)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①，则①-①得21111112(1)22222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，·所以1111121(1)3(3)122212nn nn T n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，·所以116(3)2n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.·5．（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 满足1330a a +=，2490a a +=，其前n 项和为n S ．数列{}n b 满足3n n nb a =⨯． (1)求1321n na a a S -++．(2)求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)314n + (2)121344nn -+⋅ 【解析】【分析】（1）列方程组求得等比数列{}n a 的首项1a 公比q ，进而利用等比数列前n 项和公式即可求得1321n na a a S -++的值；（2）先求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法去求其前n 项和n T 即可. (1)设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则2113113090a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解之得133a q =⎧⎨=⎩，则3nn a =，()()313331132n nn S --==-，()()1321319391198n n n a aa ---++==-，则()()()13213919131843314312n n n n n n n a a a S --++-+===--(2)由3nn a =，可得133n n n nb a n -=⋅=⋅ 则数列{}n b 的前n 项和()01221132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅()12313132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅则()1123131321333331313n n nn n T n n ---⎡⎤-=+++++-⋅=+-⋅⎣⎦-则()131311213324244n n n n n n T ---=-++⋅=+⋅ 6．（2022·全国·模拟预测（文））若数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】(1)3n n a =(2)()132134n n S n ++-=【解析】【分析】（1）利用等比中项法判断出{}n a 为等比数列，设其公比为q （0q ≠），由23243a a =，求出3q =，得到{}n a 的通项公式；（2）先得到3n nn a b n =⋅，利用错位相减法求和.(1)因为数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =，所以0n a ≠.所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q （0q ≠）.所以22323113243a a a q a q q =⨯=⨯=，解得：3q =. 所以113n nn a a q -==. 即{}n a 的通项公式为3nn a =.(2)由（1）可知：33l 3log og n n n b a n ===，所以3n nn a b n =⋅，所以1122n n n S a b a b a b =+++1213233n n =⋅+⋅++⋅ ①3⨯①得：231313233n n n S +=⋅+⋅++⋅ ①①-①得：()123111313131333n n n S n +-⋅=⋅+⋅+++⋅-⋅()1133331133nn n n S +-⋅=-⋅--所以()132134n n S n ++-=7．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=；(2)1242n n n S -+=-. 【解析】【分析】（1）求出等比数列{}n b 的公比即可得其通项公式，再求出等差数列{}n a 的公差，求出其通项作答. （2）利用（1）的结论求出n c ，再利用错位相减法求解作答. (1)依题意，等比数列{}n b 的公比322b q b ==，则有2122n n n b b q --==，因此，111a b ==，由851a b +=得85115a b =-=，等差数列{}n a 的公差81281a a d -==-，1(1)21n a a n d n =+-=-，所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别为：21n a n =-，12n n b -=.(2)由（1）知，111222n n n n n a n nc b -++===，则23123412222n n nS -=+++++，于是得23111231222222n n nn nS --=+++++，两式相减得：23111()11112212122222211222nn n n nn n n S n --+=+++++-=-=--，所以1242n n n S -+=-. 8．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n nn nT --=++++， 012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n n S n n nT ．故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.9．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{n a }为等差数列，23a =，1453a a =，数列{n b }的前n 项和为n S ，且满足231n n S b =-． (1)求{n a }和{n b }的通项公式；(2)若n n n c a b =⋅，数列{n c }的前n 项和为n T ，且()31n n n T n m -⋅-<⋅对n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()21n a n n N +=-∈；()13n n b n N -+=∈(2)()82m ∈-，【解析】【分析】（1）求解等差数列{n a }通项公式，只需设参数1a ，d 列方程组即可求解，数列{n b }通过已知前n 项和n S 求解通项公式n b ；（2）需要先用错位相减法求得数列{n c }的前n 项和为n T ，代入不等式中对n 分类讨论，转化为最值问题，求出m 范围即可． (1)解：等差数列{n a }中，设公差为d ，则211451133313312a a d a a a d a d =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩()111312122n a d a a n n N a d d ++==⎧⎧⇒⇒⇒=-∈⎨⎨==⎩⎩数列{n b }中的前n 项和为n S ，且231n n S b =-① 当1n =时，11b =当2n ≥时，11231n n S b --=-① ①－①得：132)(n n b b n -=≥故数列{n b }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以()13n n b n N -+=∈.(2)解：数列{n c }中，()1213n n n n c a b n -=⋅=-⋅.则()()01211333233213n n n T n n --=⨯+⨯++-⋅+-⋅ 所以()()12131333233213n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅故()()()11110221233...321312333n n n n T n ---=++++--⋅=-++++()()()1321312213223213nnn n n n n ---⋅=-+⋅--⋅=-⋅--所以()131nn T n =-⋅+①()1313nn n n m T n -⋅>-⋅=-对n *∈N 恒成立．当n 为奇数时，()()1min 1133131312nn n n m m m m -⋅=->-⇒<-⇒<-=-=，当n 为偶数时，()()22max 11313138n n m m m -⋅=>-⇒>-=-=-综上：实数m 的取值范围为()82m ∈-，． 10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足242340,n n a S n n n N *-+--=∈．数列{}n b 满足11b =，12,n n n n b a b n N *+=∈．(1)求证：数列{}-n a n 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：1113,2n n n n b b n N *+-+>≥-∈．【答案】(1)证明见解析，2nn a n =+(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由公式当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得n a 与1n a -的关系式，进而可证数列{}-n a n 为等比数列，并求得数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得112n n n n b b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1n b +与n b 同号，又数列{}n b 为递增数列，又122n n n n n n n b b b +-=≥，累加得121121222n n n b b ---≥+++1122n n -+=-所以n b 1132n n -+≥- (1)当1n =时，13a =；当2n ≥时，21142(1)3(1)40,n n a S n n n N *---+----=∈，所以()142240n n n a a a n ---+-=，整理得122n n a a n -=-+．所以[]12(1)n n a n a n --=--，又1120a -=≠，故0n a n -≠．所以12(1)n n a na n --=--，即{}-n a n 为等比数列．所以2,2n n n n a n a n -==+(2)由题意得112n n n n b b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1n b +与n b 同号，又因为110b =>，所以0n b >，即102n n n n nb b b +-=>，即1n n b b +>．所以数列{}n b 为递增数列，所以11n b b ≥=，即122n n n n n n n b b b +-=≥，累加得121121222n n n b b ---≥+++．令21121222n n n T --=+++，，所以2311212222n nn T -=+++，两式相减得：12311111111111221222222212n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=--，所以1122n n n T -+=-，所以1132n n n b -+≥-，所以11132n nn n b b +-+>≥-． 11．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的*n ∈恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=；(2)(),2-∞. 【解析】【分析】（1）利用等差数列()11n a a n d +-=，等比数列11n n b b q -=代入计算；（2）利用错位相减法可得1242n n n S -+=-，令2142nn c -=-，由{}n c 为递增数列，结合恒成立思想可得答案． (1)解：因为数列{}n b 是等比数列，则可得2123124b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩，所以12n n b -=．因为数列{}n a 是等差数列，且111a b ==，8117116a a d +=++=，则公差2d =，所以()12121n a n n =+-=-．故21n a n =-，12n n b -=；(2)解：由（1）得：1112n n n n a nc b -++==，数列{}n c 的前n 项和为121231222n n nS -=+++⋅⋅⋅+① 所以22111231222222n n n n nS --=+++⋅⋅⋅++①由①-①得：121111112121222222222n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=--=- ⎪⎝⎭，所以1242n n n S -+=-．不等式12n n n S λ-<+恒成立，化为不等式2142n λ-<-恒成立，令2142n n c -=-且{}n c 为递增数列，即转化为()min n c λ<当1n =时，()12min 1422n c -=-=，所以2λ<．综上可得：实数λ的取值范围是(),2-∞．12．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+，其中A ，B ，q 为常数.(1)若0A B +=，证明：数列{}n a 是等比数列； (2)若11a =，24n n a a +=，求数列{}n na 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析； (2)1(1)2n n +-⋅ 【解析】【分析】（1）由退位相减法求得数列{}n a 的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；（2）先由24n n a a +=求得2q ，再由314a a =求得1A =，即得数列{}n a 的通项公式，再由错位相减求和即可. (1)当2n ≥时，11n n S Aq B --=+，则()()1111n n n n n n a S S Aq B Aq B A q q ----=+--=+=，又正项数列{}n a ，则0q ≠且1q ≠，当1n =时，11a S Aq B ==+，又0A B +=，则()11a A q =-，也符合()11n n a A q q -=-，则()11n n a A q q -=-，()11nn A q q a +=-，则1n na q a +=，故数列{}n a 是以()1A q -为首项，q 为公比的等比数列；(2)由（1）知：当2n ≥时，()11n n a A q q -=-，则()121n n A q q a ++-=，由24n n a a +=可得24q =，又正项数列{}n a 可得0q >，则2q ，12(2)n n a A n -⋅≥=，则34a A =，又11a =，314a a =可得1A =，则12(2)n n a n -=≥，1n =时也符合，则12n na ，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，两式相减得()0123112222222212112n n nn n n T n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--，则()112nn T n =+-⋅.13．（2022·天津·耀华中学一模）设数列{}()*n a n ∈N 是公差不为零的等差数列，满足369a a a +=，25796a a a +=.数列{}()*n b n ∈N 的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b ，11x ，2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x ，22x ，使2b ，21x ，22x ，3b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x ，2n x ，…，nn x ，使n b ，1n x ，2n x ，…，nn x ，1n b +成等差数列.（i ）求()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）n T 123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（ii ）存在；(9,2)和(3,3).【解析】【分析】（1）设}n a ｛的公差为d ，根据题意列式求出1a 和d 即可求出n a ；根据11n n n b S S ++=-可求出n b ；（2）（i ）根据等差中项的性质得到()123411357(21)2n n n T b b b b n b nb +=+++++-+，再根据错位相减法可求出n T ；（ii ）根据n T 和{}n a 的通项公式得到23213n n m +=-，推出211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，推出{}n c 的单调性，根据单调性可知，只有2c 和31,13c ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由此可求出结果.(1)设}n a ｛的公差为d ，0d ≠，则()111211125846648a d a d a d a d a d a d+++=+⎧⎪⎨+++=+⎪⎩，解得11a d ==，所以1(1)11n a a n d n n =+-=+-=.由423n n S b +=得11423b b +=，得112b =， 11423n n S b +++=，所以114()2()330n n n n S S b b ++-+-=-=，所以11422n n n b b b +++=，即113n n b b +=，所以11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.综上所述：n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）依题意得12112b b x +=，2321222()2b b x x ++=，343132333()2b b x x x +++=， 45414243444()2b b x x x x ++++=，，123n n n nn x x x x ++++1()2n n n b b ++=，所以()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++2334451122()3()4()()22222n n b b b b b b n b b b b ++++++=+++++()123411357(21)2n n b b b b n b nb +=+++++-+012311111111111111()3()5()7()(21)()()2232323232323n n n n -⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅⨯+⋅⨯ ⎪⎝⎭012311111111()3()5()7()(21)()()4333333n n n n -⎛⎫=+⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭令0123111111()3()5()7()(21)()33333n n R n -=+⨯+⨯+⨯++-⋅，则1234111111()3()5()7()(21)()333333n n R n =+⨯+⨯+⨯++-⋅，所以13n n R R -=12311111112()()()()(21)()33333n n n -⎛⎫+++++--⋅ ⎪⎝⎭，所以1111()213312(21)()13313n n n R n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--⋅-，所以113(1)()3n n R n -=-+⋅，所以11()43n n n T R n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭1113433n n n n -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（ii ）假设存在正整数m ，n ，使12m n m a T a +=，即12313432n n m m ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23213n n m+=-成立，因为210m->，所以2m >，所以3m ≥，所以211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，则1125253233(23)3n n n nn c n n c n ++++==++2512544n n n +=<+++，所以数列{}n c 单调递减，1513c =>，279c =，313c =，当4n ≥时，4111813n c c ≤=<，所以由27219c m ==-，得9m =；由31213c m==-，得3m =，所以存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=，且所有的正整数对(,)m n 为：(9,2)和(3,3). 14．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点()n n a S ，在直线5410x y --=上. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足()514log 3n n n b a a +=⋅-，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)15n n a -=(2)()115nn T n =+-⋅【解析】【分析】（1）根据点在直线上建立数列递推关系式，通过化简后结合等比数列的定义确定数列是等比数列，并求得首项与公比，即可得到其通项公式；（2）先根据数列{}n a 的通项公式表示得到n b ，然后利用错位相减法求数列的和. (1)解：因为点()n n a S ，在直线5410x y --=上，所以()*5410n n a S n N --=∈，当1n =时，11154110a S a --=-=，解得1 1.a =当*2n n N ≥∈，时，115410n n a S ----=，所以111554450n n n n n n a a S S a a -----+=-=，所以15nn a a -=，所以可知数列{}n a 是首项为1，公比为5的等比数列，所以15n n a -=.(2)由（1）可知，15nn a +=，所以514log 343n a n +-=-，所以()1435n n b n -=-⋅.所以()0121155595435n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅,则()()12315155595475435n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减，可得()()121414555435n n n T n --=++++--⋅()()15151443515n n n --=+--⋅-()4445nn =-+-+,化简得()115nn T n =+-⋅.15．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知数列{}n a ，13a =，点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，且12n n b a =-. (1)求证：数列{}n b 是等差数列； (2)已知数列{}n c 满足122n b n n c b +=⋅，记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >.【答案】(1)证明见解析(2)16(23)2n n S n +=+-⋅；证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得15823n n n a a a +-=-，由1111222n nn n b b a a ++-=-=--，结合等差数列的定义可证结论成立；（2）利用错位相减法求出n S ，根据n S 的解析式可证当2n ≥时，6n S >. (1)因为点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，所以15823n n n a a a +-=-，因为13a =，所以11111232b a ===--，因为11111158222223n n n n n n n b b a a a a a ++-=-=-------231222n n n a a a -=-=--，所以数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列. (2)由（1）得1(1)221n b b n n =+-⋅=-，所以1221)22(n n b n n c b n +=⋅=-⋅，所以123123252(212)n n n S =⨯+⨯+⨯++-⋅，3124123252(21)22n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅，所以231222(222)(21)2n n n n S S n +-=++++--⋅，所以114(12)22(21)212n n n S n -+--=+⨯--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅，所以16(23)2n n S n +=+-⋅，当2n ≥时，230n ->，所以6n S >.16．（2022·天津河西·二模）已知数列{}n a 的首项13a =，且满足*122()n n n a a n N +=+∈．(1)证明数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求1nk k a =∑的值；(3)设()242221(1)210132n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解析；1(2)2n n a n -=+⋅.(2)1(1)21nnk k a n ==+⋅-∑ (3)n T 有最小值25144-，最大值16225-. 【解析】【分析】（1）等式两边同除以2n 得11122n nn n a a +--=即可证明结论，再根据等差数列的定义求通项公式；（2）结合（1），根据错位相减法求解即可；（3）由题知2211(1)(2)(3)n n b n n ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦，进而裂项求和，并分n 的奇偶性讨论单调性求解最值即可. (1)解：因为*122()n n n a a n N +=+∈，所以，等式两边同除以2n 得11122n nn n a a +--=，又因为1103,32a a ==，所以，数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为1，首项为3.所以，122nn a n -=+，即1(2)2n n a n -=+⋅. (2)解：设01221324252(1)2(2)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+++++⋅，则12123242(1)2(2)2n n n S n n -=⨯+⨯+++++，所以，两式作差得：123132222(2)2n n n S n --=+++++-+，整理得：()1223(11122)2(1)2n nn n S n n --=+-++-=--，即(1)12nn S n =-+.所以，1(1)21nnk k a n ==+⋅-∑(3)解：由（1）知24224222222221(1)(21013)2(1)(21013)2(2)2(3)2n n n n n n n n n n n n n b a a n n ---+-⋅++⋅-⋅++⋅==⋅+⋅⋅+⋅ 22222(1)(21013)11(1)(2)(3)(2)(3)n n n n n n n n ⎡⎤-⋅++==-+⎢⎥++++⎣⎦，所以，222222211111111()()(1)(1)3445(2)(3)(3)9n nn T n n n ⎡⎤=-+++-+-+=--⎢⎥+++⎣⎦，所以，当n 为奇数时，211(3)9n T n =--+，随着n 的增大而增大，故当1n =时，nT 有最小值25144-；当n 为偶数时，211(3)9n T n =-+，随着n 的增大而减小，故当2n =时，n T 有最大值16225-；综上所述，n T 有最小值25144-，最大值16225-. 17．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)2,1,, 2.n n a n n =⎧=⎨≥⎩ (2)1213344n n n T ++=⨯- 【解析】【分析】（1）利用数列中n a 与n S 的关系即可求得{}n a 的通项公式；（2）先利用题给条件求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法去求数列{}n b 的前n 项和n T ． (1)当1n =时，11111222a S ==++=；当2n ≥时，()()221111111112222n n n a S S n n n n n -=-=++-----=．综上，2,1,, 2.n n a n n =⎧=⎨≥⎩ (2)因为11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，所以当1n =时，1293322b a =-=，所以16b =．当2n ≥时，由11223111223133,2213322n n n n n n b b b a a a b b b a a a ++-⎧++⋅⋅⋅+=⨯-⎪⎪⎨⎪++⋅⋅⋅+=⨯-⎪⎩ 得1113133332222n n n n n b a ++=⨯--⨯+=，所以()13n n b n =+⋅．又当1n =时，()116113b ==+⋅，所以()13n n b n =+⋅．所以()212233313nn n T b b b n =++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，()2313233313n n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，所以()23122333313nn n T n +-=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅()()11191332161331322n n n n n -++-+=+-+⋅=-⨯-，所以1213344n n n T ++=⨯-． 18．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1，且满足836S =．数列{}n b 是首项为2的等比数列，公比不为1，且3b 、232b 、12b 成等差数列，其前n 项和为n T ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若()12224n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值；(3)记*35(1)](N [)(1)(2)n an n n n n na n c nb a a b +=-+∈++，求数列{}nc 的前n 项和n R ．【答案】(1)n a n =，2nn b =；(2)4； (3)3211)()913(8212n n n R n ++⋅-+=-+. 【解析】【分析】（1）由836S =求出{}n a 的首项，由3b 、232b 、12b 成等差数列求出{}n b 的公比，再求出它们的通项作答.（2）求出n S ，n T ，再求出数列{}n T 前n 项和，代入给定等式求解即得. （3）利用（1）的结论求出n c ，再借助分组求和法、错位相减法求解作答. (1)依题意，183781682a S ⨯⨯==+，解得11a =，则1(1)1n a n n =+-⨯=，设数列{}n b 的公比为q ，因3b ，232b ，12b 成等差数列，则31223b b b +=，有22640q q -+=，而1q ≠，解得2q，2n n b =，所以数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为：n a n =，2nn b =.(2)由（1）知，(1)2n n n S +=，12(12)2212n n n T +-==--，213122(222)2242n n n T T n n T ++=++++⋅⋅⋅-++=--，依题意，2(1)242242n n n n n n +++--=+⨯，整理得2340n n --=，而N n *∈，解得4n =，所以正整数n 的值是4. (3)由（1）知351(1)2(2)(1)]()(1)2(1)(2)22(1)(2)2[nn n n n n nn n n n c n n n n n ++++=-+=-+-++⋅++⋅1111()(1)[]22(1)2(2)n n n n n n n -=-+-+++，令数列1{()}2n n -的前n 项和为n A ，数列111{(1)[]}2(1)2(2)nn n n n --+++的前n 项和为n B ，则2311111()2()3()()2222n n A n =⋅-+⋅-+⋅-++⋅-，于是得231111111()2()(1)()()22222n n n A n n +-=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-，两式相减得：231111[1()]311111122()()()()()()122222221()2n n n n n A n n ++---=-+-+-++---=----11321()332n n ++=--⋅-，因此，2321()992n n n A +=-+⋅-， 0112233411111111()()()()2232324242525262n B =-+++-++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111(1)(1)[]2(1)2(2)22(2)n nn n n n n n ---++=-++++，数列{}n c 的前n 项和2321(1)13(22(2)113211())()9928922n n n n n n n n n n n R A B ++=+=-+⋅-+⋅-+-++--=+. 【点睛】方法点睛：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．19．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）已知正项数列{}n a 满足()221113,33*--=-=+∈n n n n a a a a a n N ，数列{}n b 的前n 项和为n S 且满足22=-n n S b ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设()24*+=∈-nn n a C n N b ，证明：1294n C C C +++<．【答案】(1)3n a n =；2nn b =.(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）将221133n n n n a a a a ---=+移项后化简可轻易得出{}n a 为等差数列，通过()12n n n b S S n -=-≥将已知条件22=-n n S b 代入后易得{}n b 为等比数列，再分别通过等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）将n C 化简后，可判断出3142n n n C +<⋅，设将此式的前n 项和为n T ，错位相消后可求出n T 的表达式，通过判断出94n T <即可证明1294++⋯+<n C C C .(1)由已知条件，可化为221133n n n n a a a a ---=+{}n a 为正项数列，①13n n a a --=，所以{}n a 为等差数列，则()1313n a a n n =+-=.22n n S b =-①，1122(2)n n S b n --=-≥①1n =时，得12b =，由①-①得12n n b b -=，所以{}n b 为等比数列1222-∴=⋅=n nn b .(2)证明：由题意，2324+=-n n nC ，233312442142n n nn n n ++=⋅<⋅--，设3142n n +⋅的前n 项和为n T ， 1233112131142222n n n T ++++⎛⎫∴=++++⎪⎝⎭① 23113112+11++242222n n n n n T +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭①，①-①得，2311131111113332422222422n n n n n n T +++++⎛⎫⎛⎫=++++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3393424n n n T +⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭，1294n n C C C T ∴+++<<. 20．（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k -==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22nn c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =可得证.。

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