高中数学会考——平面向量专题训练
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
高中数学平面向量经典练习题(含答案)
高中数学平面向量经典练习题（含答案）一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .2.已知向量a=（1，-6），b=（-2，14），则向量 13a-2b 的坐标= .3.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45，若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 .6.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .AEDBCADBC7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a用b、c表示。
则a= .8.已知向量a=（x，5√3+11），b=（x+2√3+1，-1），若a，b互相垂直，则x的值为 .9.已知向量a（1，√2），b（-√2，x）它们的夹角为α，且sin2α=1，则x= .10.已知向量a=（1-x，1），b=（-2，2x），若向量2a+b与a-b平行，则a·b= .二、解答题11.已知向量a=（1,1），b=（√2，-1），若（xa-b）⊥（2a+b），求实数x的值.12.已知|a|=1，|b|=2，它们的夹角为60°，设c=3a+xb，d= -xa+2b，若c⊥d，求实数x的值.参考答案 一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .解：AB→ + AD→ + CD→ + DB→ +BA→=AB→ + AD→ + CD → +（DB→ +BA→ ）=AB→ + AD→ + CD→ +DA→=（AB→ + CD→ ）+（AD→ +DA→ ）（因为AB→ ，CD→ 大小相等，方向相反，它们的和为0）=0+0 =0故原题的答案为：02.已知a=（1，-6），b=（-2，14），则 13a-2b= .解： 13a = 13（1,-6）=（13，-2）2b=2（-2，14）=（-4, 12）13a-2b =（13+4，-2- 12）=（ 133，- 52）故原题的答案为： 133，- 523.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .解：由已知，得|a |2=4，|b |2=20，|a |·|b |=4√5（a-b ）·（2a-3b ）=2a 2-5ab+3b 2=8-5ab+ 60 =68-5ab=68-10√15则ab=2√15cosa = ab |a |.|b|= 2√154√5= √32所以向量a ，b 的夹角为30° 故原题的答案为：30°4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45,若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .解：BC→ =m ，BA→ =n则AC→ = m-n又AD DC= 45所以DC→ = 59AC→= 59m - -59nBD→ = BC→ - DC→=m -（ 59m - 59n ）= 49m + 59n故原题的答案为： 49m + 59nADBC5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 . 解：因为a ，b 共线所以2·（m+1）=（3m -4）·（m -5） 整理，得m 2-7m+6=0 解得，m=1或m=6 故原题的答案为：1或66.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .解：CD→ = b→ - a →CB → = 43CD → = 43（b→ - a→）= 43b→ - 43a→EC → = 13AC → = 13a→EB→ = EC→ +CB→ =（13a→）+（43b → - 43a →）= 43b→- a→故原题的答案是： 43b→- a→7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a 用b 、c 表示。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高中数学平面向量综合练习含解析
（2）设四边形 ABCD的一条边 CD 的中点为 G ， OH AB ，且垂足
为 H ，试用平面解析几何的研究方法判断点 O、G、H 是否共线，
并说明理由．
29．在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1), B(2,3),C(3, 2) ，点 P(x, y) 在
ABC 中三边围成的区域（含边界）上，且 OP AB AC (, R) ． （1）若 2 ，求 OP ；
P 在（ ）
A． ABC 内部 B．AC 边所在的直线上
C．AB 边所在的直线上
D．BC 边所在的直线上
12．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a ， b ， c ， c b 6，
c b a 2 ，且 O 为此三角形的内心，则 AO CB （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
13．在 ABC 中， BC a, AC b,| a | 2,| b | 3,a b 3 则∠C 的大小为是向量 OAn
及
i
的夹角，则
cos1 sin 1
cos2 sin 2
cos2016 sin 2016
的值为 ．
27．已知向量 a (sin x, 3),b (cos x, 1).
2
（1）当 a // b 时，求 2cos2 x sin 2x 的值；
（2）求
f
(x)
(a
b)
7．已知平面向量 a ，b 满足 a a b 3 ，且 a 2 ， b 1，则向量 a
及 b 夹角的正弦值为（
）
A． 1
2
B． 3
2
C． 1
2
D． 3
2
8．在平行四边形 ABCD中，AD 2 ，BAD 60 ，E 为 CD 的中点．若
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
高中数学平面向量测试题及答案
平面向量测试题一、选择题：1。
已知ABCD 为矩形,E 是ＤC 的中点,且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE =( ) (A) →b +→a 21 (Ｂ） →b －→a 21 (C ） →a ＋→b 21 （D) →a －→b 212．已知B 是线段A Ｃ的中点，则下列各式正确的是( ）（Ａ） −→−AB =-−→−BC (B) −→−AC =−→−BC 21（Ｃ） −→−BA ＝−→−BC (D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ＡB ＣDEF 是正六边形，且−→−AB =→a ,−→−AE ＝→b ,则−→−BC ＝（ ） （A))(21→→-b a (B) )(21→→-a b (C) →a +→b 21 （D ） )(21→→+b a４．设→a ，→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a -→b ,−→−CD = －5→a -3→b ,则下列关系式中正确的是 ( )（Ａ）−→−AD =−→−BC （Ｂ）−→−AD ＝2−→−BC (C)−→−AD ＝－−→−BC(D ）−→−AD =－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝(h,k ）(其中h>0,k ＞0)平移，就是将图形F( ) （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向ｙ轴正方向平移k 个单位。
（B ） 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移ｋ个单位。
（C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向ｙ轴负方向平移k 个单位。
（D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。
６.已知→a ＝()1,21,→b =（),2223-，下列各式正确的是（ )(A) 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a (Ｂ） →a ·→b ＝1 (C ） →a =→b (D ） →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e +→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是（ ) （A ） 1 (B ） －１ （Ｃ） 1± (Ｄ) 任意不为零的实数８．在四边形AB ＣＤ中,−→−AB =−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD =０，则四边形A ＢCD 是( ) （A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (Ｄ） 等腰梯形9.已知M （－2,7)、N （１0,-２），点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝-２−→−PM ，则P 点的坐标为（ )（A ） （-14,１６)(B ） （2２，－11）（C ） (6,1） （D ） (2,４）10.已知→a ＝（1,２），→b ＝(-2，3），且ｋ→a ＋→b 与→a －ｋ→b 垂直,则ｋ=( ) (A) 21±-(Ｂ) 12±（C)32±（D ） 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a =（ )(Ａ） ()2,3π-(B) ()2,3π（C ） ()2,3--π(Ｄ） ()2,3-π12.△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（ ) (A ）229（Ｂ)429（C ）829（D ）922二、填空题：13.已知M 、N 是△A ＢC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM =31−→−BC ，−→−CN =31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ,−→−AC ＝→b ，则−→−MN =14.△ABC 中,C A B cos sin sin =，其中A 、B 、Ｃ是△A ＢC 的三内角,则△ABC 是三角形。
高中数学会考——平面向量专题训练
高中数学会考平面向量专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、若向量方程23(2)0x x a --=，则向量x 等于A 、65a B 、6a - C 、6aD 、65a -2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a 和b ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a 与b 为平行向量 B 、a 与b 为模相等的向量C 、a 与b 为共线向量D 、a 与b 为相等的向量3、AB BC AD +-=A 、ADB 、CDC 、DBD 、DC4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-，(4,6)b = B 、(1,2)a =-，(7,14)b =C 、(2,3)a =，(3,2)b =D 、(3,2)a =-，(6,4)b =-5、若P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比为A 、73-B 、37-C 、73D 、37 6、已知(6,0)a =，(5,5)b =-，则a 与b 的夹角为A 、045B 、060C 、0135D 、01207、已知i ，j 都是单位向量，则下列结论正确的是A 、1i j ⋅=B 、22i j =C 、i ∥j i j ⇒=D 、0i j ⋅=8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，BC c =，则DC =A 、a b c -+B 、()b a c -+C 、a b c ++D 、b a c -+9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a 是A 、),(m m -B 、),(m m -C 、),(m m --D 、),(m m10、在ABC ∆中，3=b ，33=c ，030=B ，则=aA 、6B 、3C 、6或3D 、6或411、设F 1，F 2是双曲线：的两个焦点，点P 在双曲线上，且，则的值等于A 、2B 、22C 、4D 、812、已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为)0,(a ，),0(a ，其中常数0>a 。
高中数学平面向量测试题及答案
高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。
以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。
给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。
给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。
给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。
给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。
给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。
给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。
给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。
给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。
给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。
给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。
以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。
解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。
选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。
解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知，若共线，则实数x=A．B．C．1D．2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件；由已知得到，又因为共线，所以。
选B2.已知向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】设量与向量＋2的夹角为故选D4.设向量，是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为，，，则的值可能是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】若则；若则若则无解；故选C5.已知，则实数k的值是。
【答案】-1【解析】略6.已知：（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时，的最小值为5，求m的值.【答案】（1）（2）3【解析】7.已知向量，则实数k的值为（）A．B．0C．3D．【答案】C【解析】，又，，即，解得【考点】平面向量的坐标运算。
8.已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D．【解析】∵，，∴，故选D【考点】平面向量共线的坐标表示．9.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．故选B．【考点】向量减法的坐标的运算．10.已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则的夹角余弦值为．故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．1【答案】C【解析】，根据题意有，解得，故选C．【考点】向量的运算，向量共线的坐标表示．12.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，即可得到结论；第二问，由，则可以得到，运用正弦函数的图象和性质，即可得到函数的值域．试题解析：（1）向量，则函数，，则，；（2）由，则，，则．则的值域为．【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质．13.设，，若，则= ．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以＝．【考点】1、平面向量垂直的充要条件；2、平面向量的模．14.己知向量，满足||=||=2且，则向量与的夹角为．【答案】【解析】因为||=||=2，所以由数量积的运算律可将化为，即，所以，故向量与的夹角为．【考点】①向量数量积的运算律；②向量夹角计算公式．15.在△ABC中，若点D满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，因此．【考点】向量的加法法则．16.设向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，解得，故选C．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．17.已知，，，且与垂直，则实数的值为．【答案】．【解析】本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由得．由得，所以．【考点】向量垂直，向量的数量积．18.设直角的三个顶点都在单位圆上，点M，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C．【考点】1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．【思路点睛】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即可求出的最大值．19.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，故选C．【考点】向量的回头法运算及几何意义．20.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．【考点】1．向量的运算；2．二次函数．21.已知向量，，，若向量与共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．【考点】平面向量的运算及共线定理．22.设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，所以，即．故选D．【考点】向量的线性运算．23.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为，．【答案】，或【解析】作，则，向量，由题意可得为边长为的等边三角形，向量的夹角为，可得，由，可得四点共圆，在中，，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，解得，当在中，同理可得．【考点】平面向量的数量积的运算．24.设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量，，则当时，的取值范围是___________．【答案】．【解析】根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：．【考点】平面向量的线性运算．26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量数量积27.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用.28.梯形中，，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得，故选C.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的平行.29.设向量，若向量与向量垂直，则的值为（）A．3B．1C．D．-1【答案】D【解析】因为向量，向量与向量垂直，所以，故选D.考点 1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为，是边上的动点，则（）A．有最大值B．有最小值C．是定值D．与的位置有关【答案】C【解析】设是中点，则.故选C．【考点】向量的数量积．【名师】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．31.如图，四边形是三个全等的菱形，，设，，已知点在各菱形边上运动，且，，则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则；设，则；∴；∴；∴；设，则，表示在y轴上的截距；当截距最大时，取到最大值；由图形可以看出当直线经过点时截距最大；∴；即x+y的最大值为4．【考点】向量的线性运算．【名师】考查向量的线性运算，通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．这是一道综合题，有一定的难度，对学生分析问题解决问题的能力要求较高．32.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量，故选B．【考点】向量的运算．33.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，两边平方得：，∵，∴,故选A．【考点】（1）直线与圆的方程的应用；（2）向量共线定理；（3）平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．由是圆上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．34.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限，是其终边上的一点，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为，则，因为角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限且，所以，．故应选D．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有，所以，，，即，，故选C.【考点】1、平面向量数量积公式；2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.37.已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为，所以，所以，所以C正确，故选C．【考点】向量平行与垂直的充要条件．38.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,,所以，故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．【答案】－3【解析】，由∥（＋）得，．【考点】向量平行．40.已知向量,若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，即有，由，可得，即有，，由，可得与夹角的大小为．故选：D．【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中，，，点分别是中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，则且，,，令，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，有最小值，将代入得，当直线经过点时，有最大值，将代入得，故答案为A．【考点】（1）平面向量数量积的运算；（2）简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．44.设向量，且，则的值是（）A．2B．C．8D．【答案】C【解析】由已知得，∴.【考点】平面向量坐标运算．45.边长为的正三角形，其内切圆与切于点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，内切圆的方程为，设点，则．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，确定点的坐标，利用内切圆得出的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．46.平面向量与的夹角为30°，已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D．【考点】向量的有关运算．47.已知非零向量的夹角为，且，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由得，，解得，故选A．【考点】向量的数量积．48.在等腰梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为_____________．【答案】【解析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，所以.【考点】向量的数量积、向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解．49.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，点是线段上,，故选A．【考点】向量及其运算．50.设是单位向量，且，则的最小值为（）A．-2B．C．-1D．【答案】D【解析】当时，，故选D．【考点】向量及其基本计算．51.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算．52.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由知P是的重心，则，所以，∵共线，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．故选A．【考点】平面向量基本定理，三点共线定理．【名师】设上直线外一点，，则三点共线的条件是．利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题，通过它把几何问题代数化．53.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.54.已知向量，，且，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线，则（）A．1B．C．2D．【解析】在菱形中，，设相交于点，由向量数量积的几何意义可知，故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足，且，则___________．【答案】【解析】由于，两边平方得，因为.【考点】向量运算.58.已知向量，满足，，且（），则．【答案】【解析】设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．【考点】向量的坐标运算．59.已知向量_________.【答案】【解析】，解得，，那么，故填：.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积；向量的模.61.设向量.若，则实数等于（）A．-1B．1C．-2D．2【解析】，∴，得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为向量，，所以有 , 若,则有，解得.63.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量，且∥，则实数_________.【答案】【解析】依题设，，由∥得，，解得.65.已知向量，若，则__________．【答案】11【解析】由题意可知，因为，所以∙=0，解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】解：∵函数的周期，则，即C点是一个对称中心，根据向量的平行四边形法则可知： ,则： .本题选择D选项.67.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．【答案】【解析】因为，又因为向量与向量共线，所以，所以.68.（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为__________．【答案】19【解析】三点共线，，，，故答案为.69.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】因为所以；因为，所以的最大值与最小值之和为，选C.70.已知向量，，且，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，，则向量和的夹角为，选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.71.在中，，，，，是线段的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知．故本题选．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合．在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】，所以的最大值是3.74.设向量，．则与垂直的向量可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：，本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.76.若向量，且，则的最大值是A．1B．C．D．3【答案】D【解析】× ,选D.77.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得：，其中整理可得：，当时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.78.已知向量，若与垂直，则实数的值是_________.【解析】，79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则，．由，得，即①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算．求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．80.（20分）已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.（1）若,试用表示；（2）证明：；（3）若的外接圆的半径为，用表示.【答案】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，即∣∣=∣∣=∣∣,而，=∣∣-∣∣=0，（3）在中,O是外心A=，B=于是∣∣2=（=+2+2=（），【解析】略81.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．82. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.83.已知，若，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，，解得。
第二章平面向量专题训练
第二章平面向量一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A B C ．D ．102 ．（2012年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===y x ,且//,⊥,_______=+ （ ）A B C ．D ．103 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量. （ ）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 4 ．（2012年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |5 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ= （ ）A ．13B ．23C ．43D ．26 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP ABλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12B C D 7 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则x =（ ）A ．—1B ．—12C ．12D ．1 8 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b9 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12 B ．1C ．32D ．5210 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,211 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =12 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b -13 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =. （ ）A B C ．D 14 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12 B ．1C ．32D ．5215 ．（2012年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（ ）A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--16 ．（2012年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 17．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A．(- B．(-C．(2)--D．(-二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________. 11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,||||CD CN BC BM ,则AN AM ⋅的取值范围是_________ . 12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b|=,则|b |=_______.13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。
高中数学平面向量习题五篇
高中数学平面向量习题五篇篇一：高中数学平面向量练习题一．填空题。
1． +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v=（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； （3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b=(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量)2,11,3(-=，向量垂直于向量，向量平行于，=(),试求OD=时+的坐标.OAOCOD,5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k=f （t ） （2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.1210.3111.0 12. 90° 13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a+tb)18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB OC y x OC ①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即篇二：高中数学平面向量习题及答案第二章 平面向量 一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足，其中R 1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则＝( )．(第1题)A ．λ(＋)，λ∈(0，1)B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )． A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则相等向量是( )． A ．AD 与BC B ．OA 与OB C ．AC 与BD D ．EO 与OF二、填空题11．已知向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点(第10题)共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，||＝4，||＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a ＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值．(第19题)参考答案 一、选择题 1．B解析：如图，与，与不平行，与共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对． 3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)OA ＝(3)OB ＝(3)OAOB ＝(33)，∴ (x ，y)＝(33)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x1，由此得到答案为D ． 4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b2－2a ·b ＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．(第1题)5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴ O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝＋＋C＝－8a－2b＝2BC，∴∥BC且||≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32．12．－1．解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ 3＝4，5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·BC ＋BC ·CA ＋CA · ＝·＋· ＝CA ·(BC ＋) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝4＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，BC ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ， ∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．(第15题)D(第13题)解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)．解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b2－21a2＋43a ·b ．又AB ⊥，且，∴ a2＝b2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴ |2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b 终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)篇三：平面向量练习题精心汇编选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于 （ ）A ．++B ．+-C ．-+D ．--2．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a ab =+=则b等于( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ aD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|高☆考♂资♀源€网 4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52 B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB ABC 是直角三角形的概率为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( )Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP 2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a= 1 ,b= 2, 则CD =（ ）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππD.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34 （C ）)(0,∞- ) ⎝⎛0,34（D ）⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 )⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且==,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC的形状为_ ___20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a=；⑦2a bba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。
高中平面向量测试题及答案
高中平面向量测试题及答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－174．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )D ．112．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．16.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________. 三、解答题17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．20．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．21．已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．22．已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解 a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2.[解AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4.[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ，∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b . 5.[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6.[解析]设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →) ＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7.[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8.[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9.[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10.[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12.[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.14.[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15.[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)，∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16.[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ，∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.17.[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19.[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0，∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1.综上c ＝2或c ＝1. 20.[解析](1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21.[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12]当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22.[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k2≤－125.解得1≤k 2≤3.所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题(附答案)平面向量练题一．填空题。
1.XXX等于0.2.若向量a=(3,2)，b=(-1,1)，则向量2b-a的坐标是(-7,-3)。
3.平面上有三个点A(1,3)，B(2,2)，C(7,x)，若∠ABC=90°，则x的值为-16.4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为90°。
5.已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，那么向量2a-1b的坐标是(1,3)。
6.已知A(-1,2)，B(2,4)，C(4,-3)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|的值等于5.7.将点A(2,4)按向量a=(-5,-2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是(-3,2)。
8.已知a=(1,-2),b=(1,x)，若a⊥b，则x等于-1.9.已知向量a,b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5，则(2a-b)·a=-6.10.设a=(2,-3),b=(x,2x)，且3a·b=4，则x等于-2/3.11.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3)，且BC∥DA，则x+2y的值为-5.12.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为60°。
13.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OAOB+OC的最小值是5.14.将圆x+y=2按向量v=(2,1)平移后，与直线x+y+λ相切，则λ的值为-1.二．解答题。
15.设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)。
1）向量2AB+AC=(3,4)，其模为5.2）向量AB=(1,-1)，向量AC=(1,5)，则它们的夹角为arccos[(1*(-1)+5*1)/(sqrt(2)*sqrt(26))]≈69.4°。
3）向量BC=(2,4)，与向量(-4,2)垂直，故与向量(1,-1)垂直的单位向量为(1/sqrt(2),1/sqrt(2))。
高中数学平面向量精选题目(附答案)
高中数学平面向量精选题目（附答案）一、平面向量的概念及线性运算1.在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→. ∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)， ∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→ ＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －16 注：向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D ∵AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)． 又∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.3.如图，点A ，B ，C 是圆O 上不重合的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC ―→＝m OA ―→＋2m OB ―→，AP ―→＝λAB ―→，则λ＝( )A.56B.45C.34D.23解析：选D 由题意，设OP ―→＝n OC ―→. 因为AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 故n OC ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，n (m OA ―→＋2m OB ―→)－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 即(mn ＋λ－1)OA ―→＋(2mn －λ)OB ―→＝0.而OA ―→与OB ―→不共线，故有⎩⎨⎧mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，解得λ＝23.选D.4.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C (1,0)，A (0,1)，B (cos 30°，－sin 30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.于是OC ―→＝(1,0)，OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(1,0)＝λ(0,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32μ，λ－12μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32μ＝1，λ－12μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33.∴λ＋μ＝ 3. 答案：3二、平面向量的数量积5.(1)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D.32(2)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，NM ―→＝NC ―→－MC ―→＝13AB ―→－14AD ―→， ∴AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB ―→－14 AD ―→ ＝13|AB ―→|2－316|AD ―→|2＋14AB ―→·AD ―→－14AB ―→·AD ―→＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C 注：(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．6．已知△ABC 中，AB ―→＝c ，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，若a ·b ＝b ·c 且c ·b ＋c ·c ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．等腰非直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由c ·b ＋c ·c ＝c ·(b ＋c )＝0，即AB ―→·(CA ―→＋AB ―→)＝AB ―→·CB ―→＝0，可得∠B 是直角． 又由a ·b ＝b ·c ，可得b ·(a －c )＝0， 即CA ―→·(BC ―→＋BA ―→)＝0， 所以CA 与CA 边的中线垂直， 所以△ABC 是等腰直角三角形．7．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.8．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.答案：19．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ―→·BE ―→＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB ―→|＝x ，x ＞0，则AB ―→·AD ―→＝12x .又AC ―→·BE ―→＝(AD ―→＋AB ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12 AB ―→ ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：12三、平面向量与三角函数的综合问题10.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．11．已知向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α＝( ) A.π4B.π6C.π3D.5π12解析：选B 因为向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，所以24sin 2α＝6，所以sin 2α＝14，sin α＝±12.又α是锐角，所以sin α＝12，α＝π6.12．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.巩固练习：1.如图所示，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0B ．1C ．2 D. 53．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)4．已知平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，|a －b |＝x ，a ·b ＝－38x ，则x ＝( ) A. 3 B ．2 C. 5D ．35．在△ABC 中，(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．67．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 8．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 9．已知向量OA ―→＝(1,7)，OB ―→＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA ―→·MB ―→的最小值是________．10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0.(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．参考答案：1.解析：选C 连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→， ① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→. ② 由①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→.③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，④将④代入③，得2AP ―→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，解得AP ―→＝27a ＋47b .2.解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D.3.解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4.解析：选B |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝x 2，两式相减得4a ·b ＝1－x 2.又a ·b ＝－38x ，所以1－x 2＝－32x ，解得x ＝2或x ＝－12(舍去)．故选B.5.解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.6.解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－3－32＝3，∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7.解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－28.解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－69.解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，MA ―→·MB―→＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA ―→·MB ―→ 取得最小值－8.答案：－810.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13.11.解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )，∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2， a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k.∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k .(2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12.设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ. 又|a |＝|b |＝1，∴12＝1×1×cos γ，∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.12.解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. ∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
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高中数学会考平面向量专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
题号123456789101112
得
分
答
案
1、若向量方程，则向量等于
A、 B、 C、 D、
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火
车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是
A、与为平行向量
B、与为模相等的向量
C、与为共线向量
D、与为相等的向量
3、
A、 B、 C、 D、
4、下列各组的两个向量，平行的是
A、，
B、，
C、，
D、，
5、若分所成的比为，则分所成的比为
A、 B、 C、 D、
6、已知，，则与的夹角为
A、 B、 C、 D、
7、已知，都是单位向量，则下列结论正确的是
A、 B、
C、∥
D、
8、如图，在四边形中，设，，
C
B
A
D
，则
A、 B、
C、 D、
9、点，按向量平移后的对应点的坐标是，则向量是
A、 B、 C、 D、
10、在中，，，，则
A、 B、 C、或 D、或
11、设F1，F2是双曲线：的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于
A、 B、 C、 D、
12、已知为原点，点，的坐标分别为，，其中常数。
点在线段上，且
，则的最大值是
A、 B、 C、 D、
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、已知，，则线段的中点的坐标是________。
14、设是平行四边形的两条对角线的交点，下列向量组：（1）与；
（2）与；（3）与；（4）与，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是________________。
15、已知，，则向量方向上的单位向量坐标是________。
16、在中，，，面积，则=________。
三、解答题：（本大题共4小题，共36分）
17、已知，，（1）若，求；（2）若∥，求。
18、已知，，与的夹角为，求。
19、在中，求证：
20、设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为。
当直线绕点旋转时，求：（1）动点的轨迹方程；（2）的最大值与最小值。
七、平面向量
一、选择题：CDDDB CBABC AA
二、填空题：13、（1，-1） 14、（1）、（3） 15、 16、
17、（1）或（2）或
18、 19、略
20、（1）设直线L斜率为k，则L方程为y=kx+1,设，
由题设可得它们是方程组的解，即满足
所以，而=
=。
设P的坐班为（x,y），则
消去k得。
当k不存在时，A,B中点O原点（0，0）也满足上式
所以动点P的轨迹方程是
（2）由，得，可得
=当时取最小值=，当时取最大值=。