第4章 势流理论_1

q p pdx qdy dxdy x y
(4) 积分关系：复速度与速度环量和流量
dW dz C dz i Q
(5)复势的可叠加性
W ( z) W1 ( z) W2 ( z)
—— 基本解叠加法

2 u * v* w * d 2 x y y z z x
由散度定理：第二个积分
v* u * w * d x y y z z x v * v d v * v v * v d v * v d

由此可见，要使φ成为D域内Laplace方程的唯一解， 只要： 1、在D域的整个边界面S上给定φ；或者 2、在D域的整个边界面S上给定 ；或者 n 3、在D域的部分边界 S1 上给定φ，而在另一部分边 S2 S S1 界上给定 。
n
四、凯尔文定理（动能最小原理）
在一个单连通的区域内，若边界上的速度相同，则势运动 是所有可能运动中动能最小的一种运动。 证：设另一种运动的速度为u*,v*,w*，动能为T*，势运动的动能 为T，则 * T T u *u * v*v* w* w* d 2
W ( z ) cz
n
cr n cos n , cr n sin n
可看出，边界上ψ=0是流线。 C=为常数，以u带入时 n=2，直角域 n=1，平行流 n=2/3，绕直角流动 n=1/2，绕平板流动
0 or / n
4.5 作用在任一围线上的力和力矩-布拉休斯公式
第4章 势流理论(Potential Flow Theory)
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
4.1 实际意义及控制方程
4.1.1 实际意义 1、虽然自然界的大多数流体运动是涡运动，但： （1）海姆霍兹定理证明：对理想不可压缩流体，若 初始时是静止的，则在有势力作用下产生的运动将永 远无旋； （2）由最小动能原理，在一定的功作用下所产生的 运动，最可能的运动是势运动。 （3）大多数的涡运动只局限于一定的狭小的范围内， 如边界层内等。 2、势运动较涡运动简单。
一、布拉休斯合力公式
V 2 p U F (t ) 在理想流体的势运动中， t 2
设流动定常，质量力为零， F(t)=A
则压强 p A V 2 A f z f z
2
2
ip d 为微元 d 上的的总压力，垂直 于c，方向向内
4.4 平面势流的基本解
• 平面点涡 (vortex)
dW u iv ( sin i cos ) dz 2 r i i (cos i sin ) 2 r 2 z
i W ln z 2
旋涡点是强度为负虚数的源
4.4 平面势流的基本解
角域内的流动
W ( z ) cz
n
cr n cos n , cr n sin n
可看出，边界上ψ=0是流线。 C=为常数，以u带入时 n=2，直角域 n=1，平行流 n=2/3，绕直角流动 n=1/2，绕平板流动
0 or / n
4.4 平面势流的基本解
角域内的流动
4.1 势流问题的基本方程和边界条件
势流（物理）问题的数学描述——Formulation
Laplace方程 Lagrange积分
vb n n
v 0 v
v 0
2 0 （in fluid）
V 2 U 0 t 2
c
如果c是流线，即沿c有dψ=0，因此
f z dz df d id d
f z dz df d id d
所以，在物面上
f z dz f z dz
于是
Fx iFy i

f z 2
复速度
f ' ( z) f ' ( z) (u 2 v2 )
在单连同域内
f z dz 0
l
l
柯西定理
证：
f z dz i d x iy
l

dx dy i dy dx
l l
0
利用格林公式
c c
p dy idx
c
i pdz
将压力公式代入，得
c
Fx iFy pdy i pdx
c c
i A f z f z dz i 2 2 c
f z f z dz
iy u iv
取其共轭
i
x x, y iy
f ' z u iv V
解析函数的导数的共轭 数代表流场
求解源自文库面势流问题就是寻找满足边界条件的解析函 数的 W f ( z ) 的问题。 复势，复位能
复势的性质
(1) (2) (3)
dW f ' ( z ) u iv Ve i dz
4.4 平面势流的基本解
最简单的流动——解决复杂势流的基础。 • 均匀流 (uniform stream)
W ( z ) i
xU cos yU sin yU cos xU sin
平行于X轴的流动
平行于Y轴的流动
W ( z ) Uze
i
W ( z ) uz W ( z ) ivz



n v * v ds 0
2 2 2 * T T u * v * w * d 2 x y z 0 最小能量原理在流体力学中的运动
W ( z ) m ln( z z0 )
4.4 平面势流的基本解
汇A B 源 • 平面偶极 (dipole)
lg z lg( z s) s s
W ( z ) m lg z m lg( z s ) m
s 0, ms M
有限值
W M
d lg z M ds z
4.4 平面势流的基本解
• 平面点源、点汇 (source & sink)
Q ln 2
Q 2
x x0 y y0
2
2
m
Q 2
ei cos i sin ei cos i sin
ei ei 1
dW m u iv (cos i sin ) dz r m i m m e i r re z
n
（on S）
V P
V0
S
0 or V0 ( R )
F ( x, y , z , t ) 0
4.2 势运动的动能表示式及有关势运动的一些定理
一、势运动的动能
T：D域中的动能，V：流体质点速度
1 2 T V d 2 D 2 T
d
4.3 平面势运动、复势
一、复势的概念
借助复变函数数学工具解平面势流问题。 1、复数的两种表示方法
z x iy i z re
（1） （2）
2、复变函数
f z x, y i x, y
3、解析函数： 若复变函数的导数无论从何方向趋于零，其导数相同， 则称该复变函数为解析函数。 解析函数存在的充要条件：柯西—黎曼条件
另一种推导方法
m x m cos 2 2 r 2 r m y m sin 2 2 r 2 r
m 1 m W 2 (r cos ir sin ) 2 z
4.4 平面势流的基本解
指向任意方向，位于Z0的偶极子
m ei f z 2 z z0
2、若流体在无穷远处是静止的，在内部有固定不动的边 界，则不可能有无旋流；
3、固体边界运动，流体将随同边界运动，固体边界静止， 无旋流立即停止。
三、势流的唯一性定理
设φ满足Laplace方程， φ1也满足Laplace方 程，由势运动的叠加原理， φ*= φ- φ1也是解， 则φ*的动能为
1 T 1 ds 2 s n n
作用在 c上的合力
F npd p i cos j sin d
c c
ipdy
c

c
jpdx
dy dx cos ,sin d d
或可写成分量形式
Fx pdy
c
Fy pdx
c
于是
Fx iFy pdy i pdx
x, y x, y x, y x, y , x y y x
根据解析函数的定义，z 其以任何方式趋 于零微商是一样的。
f ' z
x, y x x, y
i
x, y x, y y x, y iy
五、调和函数的极大和极小
满足Laplace方程的函数叫调和函数。它的一个 很重要的性质是：在一个没有奇点的区域中，其最 大值和最小值只能发生在边界上，而不能在内点。 证：利用柯西积分公式 也可以从物理意义上说明上述结论：设调和函数的最 大值出现在内点P，则在该点函数在各方向的导数将小 于零，这表示P点是个汇点，这与域内无奇点的假定矛 盾。 同理也可说明域内不可能有极小值。 因为调和函数的导数也是调和函数，而调和函数的 导数就是流速，因此上述结论同样适合于速度，但 速度的极小值例外。
l
2
dz
布拉休斯合力公式
2 2 2 d 2 x y z 2 2 2 u * v * w * d 2 x y z
D
2

d n ds 2 2
D s

ds 2 s n
二、有关定理
1、在一个完全为固体壁包围的流体中，不可能有无旋流 （但内部有奇点情况例外）；