第4章 势流理论_1
第四章(2)§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动(势流理论)
V d 在复平面上的沿两点 z0 及 z 间任意曲线上的复积分 dz
的实部为两点z0 及 z 间的曲线上的速度环量 ，虚部为过两点z0 及 z 间曲线 的速度通量或流量。
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动 — 复位势性质
y 0 y 0
i
V u x iu y V e
i
2 2 —复速度 V u x uy
uy tan ( ) ux
1
o ω - 平面
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动
• 以速度势函数Φ作为求解对象。这时控制方程为拉普拉斯方程。在固壁边界C 上应满足Vn=0。在无限远满足▽Φ=V∞，即为下列定解问题：
0 n 0 C V
拉普拉斯方程 黎曼问题
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
理想不可压缩流体有势流动 ——用于实际流动的计算和模拟 —— 泵内流 场计算常用势流理论数字模拟计算 —— 除了固壁边界邻近处的附面层外 —— 运 用势流理论 —— 可以得到很好的近似和满意的精度。
§4-3-1 势流运动的基本方程 d ◆ 连续性方程 V 0 dt
M
0
M M Q M V ndl M uxdy uy dx M dy ( )dx
0
0
第四章平面势流(4.1~4.4)详解
关，只是平面上点的函数。
dz
W (z) dF F F dz x (iy)
W (z) F i u iv
x x x
W (z) F 1 u iv
(iy) i y y
第四章 平面势流
§4.2 复位势和复速度
三、复速度
复 速 度 ： W (z) u iv 共轭复速度： W (z) u iv 复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。
B
Q = -vdx+udy
A
=
B A
Ψ x
dx +
Ψ y
dy =
B
dΨ
A
=Ψ2
-Ψ1
Ψ =Ψ2
Ψ =Ψ1 A
B
dl
u dy
v dx
第四章 平面势流
§4.1 速度势函数与流函数
二、流函数
3、流函数的性质
➢ 方 程
平面流动时，只存在z方向的涡量分量
v x
u y
x
x
y
y
2
有旋流动时： 2 或 2k
四、绕角流动
n=2 n=1
2
0
0
n= ½
2 0
n 小于 ½ 时得到大于 2π的区域，这显然没有物理意义。因此n应大于 ½ 。
第四章 平面势流
§4.3 基本流动
四、绕角流动ຫໍສະໝຸດ n=1/2n=3/2
n=2
n=3
第四章 平面势流
n=2/3
§4.3 基本流动
五、偶极子
偶极子：一对无限接近的强度相等的点源和点汇的迭加。
WW = (u - iv)(u +iv) = u2 + v2 = u u
势流理论
2.经过Ｂ，Ｄ后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时速度
又降至零。离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方
的无限远处时再恢复为ｖ０。
柱面上的压力分布:
定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:
p
V 2
2
p0
V02
2
无穷远均匀流中压力
将（６-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:
p
p0
V02
2
(1 4sin2 )
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学式表达
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δ x 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
若
V0 r
M
2 r
0
，即
r2 M
2 V0
令
M
2 V0
, r02
就有r
=
r0，
圆周r = r0 也是ψ ＝０流线的一部分
现在验证边界条件（ａ）
将M
2V0r02
代入φ，有：
化工装备(高流)第4章 漩涡和势流基本理论
d 0 ，或 等势面方程：
证：
V 1 2 1 v p F ) ( V Ω ) t 2
(a b) b a a b a b b a ( V ) 1 1 ( v 2 ) ( p ) F ( V Ω ) ( a) 0 t 2 ( a) ( a) a (Ω) 1 1 0 [ (p) ( ) p] F [Ω V V Ω V Ω Ω V ] a 0 t f ( ) f '( ) (Ω) 1 [0 2 p ] F [Ω V V Ω Ω V ] t Ω 1 [ V Ω] Ω V Ω V 2 p F t DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
故，对理想流体涡量输运方程
DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
DΩ 1 Ω V Ω V 2 p F Dt
旋转角速 度变化 速度沿涡 线变化 体积 收缩 外力 流体非 正压性
不可压流体 气体等容、等温、 等熵、多变过程
不可压缩、均质、理想流体恒定势流的基本方程
拉普拉斯方程（调和函数）
对不可压流体、无旋流动，连续方程为：
u v w 2 2 2 V 0, 2 2 0 2 x y z x y z
u , v , w , x y z
ij p ij p I
对于理想流体：
故，
( V ) ( VV ) F p t
I 0
第4章 交通工程学 交通流理论 习题解答
1 p(h 6) e (t 1) exp 6 1 3
4-9 今有 1500 辆/h 的车流量通过三个服务通道引向三个收费站， 每个收费站可服务 600 辆 /h，试分别按单路排队和多路排队两种服务方式计算各相应指标。 解： （1）按单路排队多通道系统（M/M/1 系统）计算：
Vs 35.9 ln
180 k
式中车速 Vs 以 km/h 计；密度 k 以 /km 计，试问在该路上的拥塞密度是多少？ 解答： V 35.9 ln
180 k
拥塞密度 Kj 为 V = 0 时的密度， ∴ ln
180 0 Kj
第四章 交通流理论 ∴ Kj = 180 辆/km 4-5 某交通流属泊松分布，已知交通量为 1200 辆/h，求： （1）车头时距 t ≥ 5s 的概率； （2）车头时距 t ＞ 5s 所出现的次数； （3）车头时距 t ＞ 5s 车头间隔的平均值。
东南大学交通学院 程琳教授
解答：车辆到达符合泊松分布，则车头时距符合负指数分布，Q = 1200 辆/h （1） P(ht 5) e
t
e
Q t 3600
e
1 5 3
0.189
（2）n = P ( ht 5) Q = 226 辆/h （3）
5 e t tdt 1 5 8s t 5 e dt
排队车辆数 (q1 q2 ) 1.69 541 0.28h 消散能力 q3 q2 1930
因此，交通阻塞时间＝排队形成时间＋排队消散时间＝1.69h＋0.28h = 1.97h
0.189 257 360pcu/h 0.135
(2) 关于第 2 问还存在另外一种解答。负指数分布的特点是“小车头时距大概率” ，即车头 时距愈短出现的概率越大。 “车头时距等于零的概率的最大”这个特征违反了客观现实，因 为相邻两个车头之间的距离至少不低于车身长度，也就是说车头时距必须不低于某个阈值 τ，此时，应考虑采用移位负指数分布 p(h≥t)＝exp(－λ(t－τ))。主要道路的最小车头时 距是 1s，可以理解为τ=1s。
势流理论笔记：01势流理论基础
势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。
所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。
如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。
格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。
格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。
现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。
平面势流
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
在上述流动中，如果源点和汇点相互 接近，即2a → 0时（2aq=常数），所 得到的就是偶极流。
实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些 基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流 动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环 量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠 加可得到有环量的圆柱绕流等。
1 2
意义：在工程实际中，常利用势流叠加原理解决一 些较为复杂的势流问题
(1) 等速均匀流与源流的叠加
Y
A
O
r X
将与x轴正方向一致的等 速均匀流和位于坐标原点 的源流叠加
q 2u 0
(c)
等速均匀流与源流的叠加结果就相当于等速均 匀来流绕半无限体的流动 。这种方法的推广， 是采用很多不同强度的源流，沿x轴排列，使 它和匀速直线流叠加，形成和实际物体轮廓线 完全一致或较为吻合的边界流线。这样无需进 行费用巨大的实验，就能准确估计物体上游端 （如桥墩、闸墩的前半部）的速度和压强分布。
如图
环流强度 Г ，是不随圆周半径而变的 常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时 针旋转；Г ＜0时，为顺时针旋转。
Γ ur 0 , u 2r
水力学第四节
第四章 试探题:4-1：N-S 方程的物理意义是什么？适用条件是什么？物理意义：N-S 方程的精准解尽管不多，但能揭露实际液体流动的本质特点，同时也作为查验和校核其他近似方程的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参考点和起点。
适用条件：不可紧缩均质实际液体流动。
4-2 何为有势流?有势流与有旋流有何区别?答:从静止开始的理想液体的运动是有势流. 有势流无自身旋转,不存在使其运动的力矩.4—3 有势流的特点是什么？研究平面势流有何意义？有势流是无旋流，旋转角速度为零。
研究平面势流能够简化水力学模型，使问题变得简单且于实际问题相符，通过研究平面势流能够为咱们分析复杂的水力学问题。
4-4.流速势函数存在的充分必要条件是流动无旋，即xu y u yx ∂∂=∂∂时存在势函数，存在势函数时无旋。
流函数存在的充分必要条件是平面不可紧缩液体的持续性方程，即确实是0=∂∂+∂∂yu x u yx存在流函数。
4—5何为流网，其特点是什么？绘制流网的原理是什么 ？流网：等势线（流速势函数的等值线）和流线（流函数的等值线）彼此正交所形成的网格 流网特点：（1）流网是正交网格（2）流网中的每一网格边长之比，等于流速势函数与流函数增值之比。
（3）流网中的每一个网格均为曲线正方形原理:自由表面是一条流线，而等势线垂直于流线。
依照入流断面何处流断面的已知条件来确信断面上 流线的位置。
4-6.利用流网能够进行哪些水力计算?如何计算？解:能够计算速度和压强。
计算如下：流场中任意相邻之间的单宽流量∆q 是一常数。
在流场中任取1、2两点，设流速为u 1，u 2，两头面处流线间距为∆m1，∆m 2。
则∆q=u 1∆m1=u 2∆m 2，在流网中，各点处网格的∆m 值能够直接量出来，依照上式就能够够得出速度的相对转变关系。
若是流畅中某点速度已知，就可以其他各点的速度。
流畅中的压强散布，可应用能量方程求得。
z1+p 1ρg +u 122g=z 2+p 2ρg +u 222g当两点位置高度z1和z 2为已知，速度u 1，u2已通过流亡求出时，那么两点的压强差为p 1ρg -p 2ρg=z 2-z 1+u 222g-u 122g若是流畅中某一点压强已知，那么其他个点压强都可求得利用流网计算平面势流的依据是什么？ （参考的说明）4-8流网的形状与哪些因素有关？网格的疏密取决于什么因素？答：流网由等势线和流线组成，流网的形状与流函数φ（x,y ）和流速势函数ψ(x,y)有关；由∆q=∆ψ=常数，∆q=u 1∆m 1=常数，得两条流线的间距愈大，那么速度愈小，假设间距愈小，那么速度愈大。
浮体水动力分析的基本理论
2 浮体水动力分析的基本理论2.1 势流理论流场中速度场是标量函数（即速度势）梯度的流称为势流（Potential Flow ）。
特点是无旋、无黏、不可压缩。
简谐传播的波浪中具有浮动刚体的流场速度势可以分为三个部分：∅(x,y,z,t )=∅r +∅ω+∅d 1 （2-1）∅r 为浮体运动产生的辐射势；波浪未经浮体扰动的入射势表示为∅ω；∅d 为波浪绕射势，是波浪穿过浮体后产生的。
需要满足的边界条件有：① 普拉斯方程（Laplace Equation ）：ð2∅ðx 2+ð2∅ðy 2+ð2∅ðz 2=0 （2-2）② 底边界条件：ð∅ðz=0，z =−ℎ （2-3）③ 由表面条件：ð2∅ðt 2+g ð∅ðz =0，z =0 （2-4）④ 没物体表面条件：ð∅ðn=∑v j f j (x,y,z)6j=1 （2-5） ⑤辐射条件：辐射波无穷远处速度势趋近于0lim R→∞∅=0 （2-6）2.1.1 波浪力的组成浮体浸入水中受到的力和力矩分别为：⎰⎰-=Sn p dS )*(F （2-7）dS n r p S⎰⎰-=)*(*M （2-8）S 表示浮体湿表面，n ⃗ 的方向是由浮体内指向流场。
用线性化的伯努利方程以速度势表达压力：gz tdt t r gz t p ρδδφδδφωδδφρρδδφρ-++-=--=)( （2-9） 则s d r F F F F +++=ωF （2-10） s d r M M M M +++=ωM （2-11）辐射载荷表达为r F 、r M ，是由浮体强迫振动产生的；浮体固定时，入射波浪产生的载荷表示为ωF 、ωM ；浮体固定时，产生的绕射波载荷表示为d F 、d M ；静水力载荷表示为s F 、s M 。
2.1.2 附加质量与辐射阻尼当浮体发生强迫振动时，其在j 方向和k 方向产生的耦合水动力包含附加质量和辐射阻尼两个部分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎰⎰⎰⎰S kj S k j kjdS n dS n M φφρωφφρIm N ，Re kj （2-12）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎰⎰⎰⎰S jk Sj kdS n dS n M φφρωφφρIm N ，Re kj jk （2-13） 如图2.1所示为波激力、附连质量力、阻尼力和回复力的叠加。
高等流体力学讲义课件_第四章二维势流4.2.
ε 2 m ε ε = ln + + + 0 2 2π z z z ε m ε ε m ε ln + + 0 2 = + 0 2 2π z z 2π z z
0 sin 0 0,
0 1 4Ua
1 4Ua
•有环量流动，
0 1 4Ua
有两个驻点，分别位于3，4象限，且关于y轴对称。 顺时针点涡流场与绕流圆柱流场叠加在 1 ， 2 象限速度方 向相同，速度增加；在 3 ， 4 象限速度方向相反，速度减 少，于是分别在 3 ， 4 象限的某个点处速度为零。相当于 把θ＝0和π的两个驻点分别移动至3，4象限。
4.7 圆柱的无环量绕流
叠加原理
势函数和流函数满足的控制方程是线性的，因此它们的解具有可 叠加性。依据这一原理，上面给出的基本流动的复位势函数可以叠 加起来给出较为复杂的流动问题的解。
4.7 圆柱的无环量绕流
均匀流与偶极子叠加
沿 x 方向的均匀流和在原点的偶 极子叠加给出圆柱绕流的解，
F(z) Uz +
4.6 偶极子流动
F( z ) μ z
显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点。
4.6 偶极子流动
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇
ε m m m z+ε m z F( z ) ln z + ε ln(z - ε)= ln = ln 2π 2π 2π z - ε 2π - ε z +
有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x 轴方向圆柱所受表面力合力为零。 由于环量的存在，流场对 x 轴不再对称，在圆柱上表面顺时针 的环流和无环量的绕流方向相同，因此速度增加，而在下表面 则方向相反，速度减少。根据伯努利方程上表面压强减小，下 表面压强增大，于是产生向上的合力，称升力。
第17讲势流理论4
a3 ϕ ( R,θ , t ) = V (t ) R cos θ (1 + 3 ) 2R
*
根据动系中相对速度势的这一特点，可将时间变量和空间变量分离：
* ϕ * ( r , t ) = V (t )ϕ 0 (r ) * ϕ 0 (r )
称为单位相对速度势，与时间无关，仅是空间坐标的函数，取决
* ϕ 0 (r ) =
得流函数为：
θ
o
R y
1 ψ = ∫ rv z dr − rv r dz = v 0 r 2 2
ε r x
v0
根据柱坐标系和球坐标系的关系：
z = R cos θ , r = R sin θ
1 2
可得球坐标下均匀场的速度势和流函数：
ϕ = v 0 R cos θ
ψ = v0 R 2 sin 2 θ
空间点源
∂ϕ = V (t ) ⋅ n = V0 ⋅ n + (ω × r ) ⋅ n = V0 ⋅ n + ( r × n) ⋅ ω ∂n = Vx nx + V y n y + Vz nz + ω x ( ynz − zn y ) + ω y ( ynx − zn z ) + ω z ( yn y − zn x ) = ∑ Vi ni
于物面形状和来流方向。 如果物体作六个自由度的非定常运动，物体上任意一点r处的速度可表 示为：
V (t ) = V0 (t ) + ω(t ) × r
V0 = (Vx ,V y , Vz ) ——物体的平移速度
ω = (ω x , ω y , ω z ) ——物体的旋转角速度
在动系中，绝对速度势满足定解问题，此时物面边界条件为：
第14讲势流理论1
∇2ϕ = 0
z y
o V (t)
x
x0
（2）边界面有大球表面（外边界）和小球表面（内边界）。内边界 就是小球的表面，其方程为：
F = (x − x0 )2 + y2 + z 2 − a2
t
∫ (x0 =
V (t)dt)
t0
由内边界方程可得：
y （2） 平面点源和点汇
设从源注入流场的体积流量为m，称m 为平面点源的强度。m>0，是点源；m<0， 是点汇。
r
x
如图取极坐标系，点源位于原点，则
流场中只有径向速度vr。
ψ = 常数
ϕ = 常数
由质量守恒定律，单位时间内流过半径为r的单位厚度柱面的流体体
积等于源强：
m = 2π rvr
则平面点源的速度场为：
第14讲 势流理论(1)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.势流问题的基本方程和边界条件 2.复势 3.平面势流的基本解
1 势流问题的基本方程和边界条件
(1) 势流问题
势流：不可压、理想流体的无旋流动称为势流。势流即无源、无旋的 流动，其势函数满足拉普拉斯方程
势流问题：势流流场对物体的作用力 势流问题的求解思路：
① 物体表面（船体表面，鱼身体表面）； ② 互不渗透的两种流体边界（海面）； ③ 无穷远边界面。
物面边界条件
理想流体中不存在剪应力，流体质点可以沿物面滑动，但不能穿越物 面，即理想流体在物面上满足不可穿透条件：
v ⋅n = vb ⋅n
∂ϕ
∂n
=
vb ⋅n
也就是说，流体和物面在物面法向的速度相同。根据梯度的概念，物面的 单位外法向量可用物面方程表示：
水力学第四章液体运动的流场理论.
化简之，得 同理
1 p dux fx x dt 1 p duy fy y dt 1 p duz fz z dt
2、理想液体运动微分方程式－欧拉方程式 液体平衡微分方程式是表征液体处于平衡状态时作 用于液体上各种力之间的关系式。 在理想液体中任取一微分平行六面体，作用于六面 体的力有表面力与质量力。 左表面动水压力
p dx p x 2
右表面动水压力
p dx p x 2
26
假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为
自右面流出的液体质量为
u x dx dx u dydzdt x x 2 x 2
dt 时段内流进与流出六面体的液体质量之差：
在x方向为 ( ux ) dxdydxdt y
在y方向为 在z方向为
y ( uz ) dxdydxdt yz 22
1 e c
n
称为沿封闭周线C的速度环量。 速度环量也可写成：
(u x dx u y dy u z dz )
c
21
4-5
液体运动的连续性方程式
设想在流场中取一空间微分平 行六面体取如图示。经一微小时 段dt自左面流入的液体质量为：
u x dx dx dydzdt u x x 2 x 2
dx u x ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u cos
9
dx u x ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u cos
( u x ) ( u y ) ( u z ) dxdydzdt dxdydzdt t y z x
第14讲势流理论1
(2) 基本方程
势流问题的基本方程就是速度势的拉普拉斯方程：
∇ 2ϕ = 0
（在流体中）
拉普拉斯方程有无穷多个解，要想得到唯一解，就要给出具体问题的 边界条件，非定常流动还要给出初始条件。
(3) 边界条件
边界条件是指速度势在流体域边界上满足的条件。流体域边界面的可 能形式： ① 物体表面（船体表面，鱼身体表面）； ② 互不渗透的两种流体边界（海面）； ③ 无穷远边界面。
z
y
o
V (t )
x
x0
∇ 2ϕ = 0
（2）边界面有大球表面（外边界）和小球表面（内边界）。内边界 就是小球的表面，其方程为：
F = ( x − x0 ) + y + z − a
2 2 2
2
( x0 = ∫ V (t )dt )
t0
t
由内边界方程可得：
∂F = −2( x − x0 )V (t ) ∂t
第14讲 势流理论(1)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.势流问题的基本方程和边界条件 2.复势 3.平面势流的基本解
1 势流问题的基本方程和边界条件
(1) 势流问题
势流：不可压、理想流体的无旋流动称为势流。势流即无源、无旋的 流动，其势函数满足拉普拉斯方程 势流问题：势流流场对物体的作用力 势流问题的求解思路： 流函数 拉普拉斯方程 速度势 复势 伯努利方程 速度分布 压力分布 积分 压力合力
∇ϕ = v0
( R → ∞)
（4）初始条件
初始条件是初始时刻、速度势或速度在流体域内或边界上满足的条 件。初始条件要根据具体问题来确定。
例5-1
半径为R的固定大球壳中充满不可压 理想流体，半径为a的小球以速度V(t)在其 中运动。试建立速度势满足的基本方程和 边界条件。 解：（1）以大球壳中心为原点，建立 静止坐标系，速度势满足的基本方程：
势流理论 1
第5章 势流理论
(Chapter 5. Potential Flow Theory)
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场
, x y y x
(C-R 条件)
5.2.1 复势与复速度（复平面） • 复势（函数）：
W ( z) ( x, y) i ( x, y)
解析函数 平面势流
z x iy
• 复速度（导数）与流体速度的关系： d W W W
o
x
W ( z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
=0 时：
V0 x, V0 y, W ( z) V0 z
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
源强：源点注入流场的体积流量 m。m 0 点源，m 0 点汇。 点源位于（0，0）：
2. 无穷远边界条件 • 大地坐标系：
Vb
( R )
0
•
随体坐标系：若物体以V0 运动，则问题转化为物体不
动，而流体从无穷远处以-V0 流来 —— 绕流问题。
Vb
( R )
5.1.3 初始条件（initial condition)
初始时刻 t 0 速度势 (或 )在 流体域内或边界上满足的条件。
v n Vb n
（on S）
Vb n n
n
F F
②
v n Vb n
F Vb F （on S）
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V 2 p U F (t ) 在理想流体的势运动中， t 2
设流动定常，质量力为零， F(t)=A
则压强 p A V 2 A f z f z
2
2
ip d 为微元 d 上的的总压力，垂直 于c，方向向内
D
2
d n ds 2 2
D s
ds 2 s n
二、有关定理
1、在一个完全为固体壁包围的流体中，不可能有无旋流 （但内部有奇点情况例外）；
复速度
f ' ( z) f ' ( z) (u 2 v2 )
在单连同域内
f z dz 0
l
l
柯西定理
证：
f z dz i d x iy
l
dx dy i dy dx
l l
0
利用格林公式
2 2 2 d 2 x y z 2 2 2 u * v * w * d 2 x y z
4.3 平面势运动、复势
一、复势的概念
借助复变函数数学工具解平面势流问题。 1、复数的两种表示方法
z x iy i z re
（1） （2）
2、复变函数
f z x, y i x, y
3、解析函数： 若复变函数的导数无论从何方向趋于零，其导数相同， 则称该复变函数为解析函数。 解析函数存在的充要条件：柯西—黎曼条件
角域内的流动
W ( z ) cz
n
cr n cos n , cr n sin n
可看出，边界上ψ=0是流线。 C=为常数，以u带入时 n=2，直角域 n=1，平行流 n=2/3，绕直角流动 n=1/2，绕平板流动
0 or / n
4.4 平面势流的基本解
角域内的流动
l
2
dz
布拉休斯合力公式
2 u * v* w * d 2 x y y z z x
由散度定理：第二个积分
v* u * w * d x y y z z x v * v d v * v v * v d v * v d
由此可见，要使φ成为D域内Laplace方程的唯一解， 只要： 1、在D域的整个边界面S上给定φ；或者 2、在D域的整个边界面S上给定 ；或者 n 3、在D域的部分边界 S1 上给定φ，而在另一部分边 S2 S S1 界上给定 。
n
四、凯尔文定理（动能最小原理）
在一个单连通的区域内，若边界上的速度相同，则势运动 是所有可能运动中动能最小的一种运动。 证：设另一种运动的速度为u*,v*,w*，动能为T*，势运动的动能 为T，则 * T T u *u * v*v* w* w* d 2
2、若流体在无穷远处是静止的，在内部有固定不动的边 界，则不可能有无旋流；
3、固体边界运动，流体将随同边界运动，固体边界静止， 无旋流立即停止。
三、势流的唯一性定理
设φ满足Laplace方程， φ1也满足Laplace方 程，由势运动的叠加原理， φ*= φ- φ1也是解， 则φ*的动能为
1 T 1 ds 2 s n n
iy u iv
取其共轭
i
x x, y iy
f ' z u iv V
解析函数的导数的共轭 数代表流场
求解平面势流问题就是寻找满足边界条件的解析函 数的 W f ( z ) 的问题。 复势，复位能
复势的性质
(1) (2) (3)
dW f ' ( z ) u iv Ve i dz
q p pdx qdy dxdy x y
(4) 积分关系：复速度与速度环量和流量
dW dz C dz i Q
(5)复势的可叠加性
W ( z) W1 ( z) W2 ( z)
—— 基本解叠加法
W ( z ) m ln( z z0 )
4.4 平面势流的基本解
汇A B 源 • 平面偶极 (dipole)
lg z lg( z s) s s
W ( z ) m lg z m lg( z s ) m
s 0, ms M
有限值
W M
d lg z M ds z
n
（on S）
V P
V0
S
0 or V0 ( R )
F ( x, y , z , t ) 0
4.2 势运动的动能表示式及有关势运动的一些定理
一、势运动的动能
T：D域中的动能，V：流体质点速度
1 2 T V d 2 D 2 T
d
c
如果c是流线，即沿c有dψ=0，因此
f z dz df d id d
f z dz df d id d
所以，在物面上
f z dz f z dz
于是
Fx iFy i
f z 2
4.1 势流问题的基本方程和边界条件
势流（物理）问题的数学描述——Formulation
Laplace方程 Lagrange积分
vb n n
v 0 v
v 0
2 0 （in fluid）
V 2 U 0 t 2
4.4 平面势流的基本解
最简单的流动——解决复杂势流的基础。 • 均匀流 (uniform stream)
W ( z ) i
xU cos yU sin yU cos xU sin
平行于X轴的流动
平行于Y轴的流动
W ( z ) Uze
i
W ( z ) uz W ( z ) ivz
4.4 平面势流的基本解
• 平面点源、点汇 (source & sink)
Q ln 2
Q 2
x x0 y y0
2
2
m
Q 2
ei cos i sin ei cos i sin
ei ei 1
dW m u iv (cos i sin ) dz r m i m m e i r re z
五、调和函数的极大和极小
满足Laplace方程的函数叫调和函数。它的一个 很重要的性质是：在一个没有奇点的区域中，其最 大值和最小值只能发生在边界上，而不能在内点。 证：利用柯西积分公式 也可以从物理意义上说明上述结论：设调和函数的最 大值出现在内点P，则在该点函数在各方向的导数将小 于零，这表示P点是个汇点，这与域内无奇点的假定矛 盾。 同理也可说明域内不可能有极小值。 因为调和函数的导数也是调和函数，而调和函数的 导数就是流速，因此上述结论同样适合于速度，但 速度的极小值例外。
第4章 势流理论(Potential Flow Theory)
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
4.1 实际意义及控制方程
4.1.1 实际意义 1、虽然自然界的大多数流体运动是涡运动，但： （1）海姆霍兹定理证明：对理想不可压缩流体，若 初始时是静止的，则在有势力作用下产生的运动将永 远无旋； （2）由最小动能原理，在一定的功作用下所产生的 运动，最可能的运动是势运动。 （3）大多数的涡运动只局限于一定的狭小的范围内， 如边界层内等。 2、势运动较涡运动简单。
c c
p dy idx
c
i pdz
将压力公式代入，得
c
Fx iFy pdy i pdx
c c
i A f z f z dz i 2 2 c
f z f z dz
另一种推导方法
m x m cos 2 2 r 2 r m y m sin 2 2 r 2 r
m 1 m W 2 (r cos ir sin ) 2 z
4.4 平面势流的基本解
指向任意方向，位于Z0的偶极子
m ei f z 2 z z0
作用在 c上的合力
F npd p i cos j sin d
c c
ipdy
c
c
jpdx
dy dx cos ,sin d d
或可写成分量形式
Fx pdy
c
Fy pdx
c
于是
Fx iFy pdy i pdx
x, y x, y x, y x, y , x y y x
根据解析函数的定义，z 其以任何方式趋 于零微商是一样的。
f ' z
x, y x x, y
i
x, y x, y y x, y iy
n v * v ds 0
2 2 2 * T T u * v * w * d 2 x y z 0 最小能量原理在流体力学中的运动