高一数学 必修四3.1.3二倍角公式
313正弦余弦正切的二倍角公式
必修4 第三章 三角恒等变换
(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)
＝2((11＋＋ssiinn
θ)2＋2cos2θ θ)2－cos2θ
＝2si4n(1θ＋(1＋sinsiθn) θ)＝sin2 θ.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．对二倍角的理解及二倍角公式的应用形式 (1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是32α 的二倍角；α 是α2的二倍角；α3 是α6的二倍角；… 又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
必修4 第三章 三角恒等变换
记法
公式
S2α sin2α＝__2_si_n_α_c_o_s_α___
C2α
cos2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__1_－__2_s_in_2_α__ ＝__2_c_o_s2_α_－__1_
T2α
2tanα
tan2α＝__1_－__t_a_n_2α___
必修4 第三章 三角恒等变换
弦、正切公式的记 忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形 公式的应用．(难点)
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．如右图(甲)所示，已知弓弦的长度AB＝2a， 弓箭的长度MN＝2b(其中MA＝MB， MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A、B 的连线的距离相等(如右图(乙)所示)，设∠AMN ＝α，你能用a，b表示∠AMB的正切值即tan 2α 的值吗？
学案1：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1．知识与技能以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．2．过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养分析问题和解决问题的能力，并体会化归与转化的思想方法．3．情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养．学习重点、难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式．难点：二倍角的理解及其灵活运用．学习过程知识点1：二倍角的正弦、余弦、正切公式问题导思在公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？总结二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点2：正弦、余弦的二倍角公式的变形1.余弦的二倍角公式的变形2．正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α. (2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.例1.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)sin 10°sin 50°sin 70°.规律方法对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．例2.已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2x cos （π4＋x ）的值．规律方法1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． 例3.(1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ； (2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°规律方法1．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．(2)降幂或升幂．(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ.课堂小结1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2 ·α2n ＋1(n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2 α＝1－cos 2α2. 课堂检测1.12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18C.116D.122．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°－cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．cos 215°＋sin 215°3．已知tan α＝12，则tan 2α＝__________. 4．若tan(α＋π4)＝3＋22，求1－cos 2αsin 2α的值．参考答案学习过程知识点1：二倍角的正弦、余弦、正切公式问题导思成立例1.解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24. (3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18. 例2.解：∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4)． 又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213. 又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169， cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513， ∴原式＝120169513＝2413. 例3.解：(1)1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝2cos θ（cos θ－sin θ）2sin θ（sin θ－cos θ）＝－1tan θ， ∴原式＝－1tan θ. (2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5°＝（cos 5°＋sin 5°）2－（cos 5°－sin 5°）2＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°)＝2sin 5°.∴原式＝2sin 5°.课堂检测1.B【解析】原式＝14sin 30°＝18. 2.B【解析】A ：2sin 15°－cos 15°≠32， B ：cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32， C ：2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， D ：cos 215°＋sin 215°＝1.故选B. 3.43【解析】tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43. 4．解:由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝22， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22.。
【高中数学】必修4 专题3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)
第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．已知sinα–cosα=43，则sin2α=A．–79B．–29C．29D．79【答案】A【解析】将sinα–cosα=43的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=169，即sin2α=–79．2．（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=A．12B2C．32D．1【答案】C【解析】因为sin75°=sin（90°–15°）=cos15°，cos75°=cos（90°–15°）=sin15°，所以（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=（cos15°–sin15°）（cos15°+sin15°）=cos215°–sin215°=cos30°3C．3．cos2π182的值为A．1 B．1 2C．22D．24【答案】D【解析】2π1cos 82-=π1cos1422+-=1πcos 24⋅D ．4．已知2θ是第四象限角，且cos 2θsin θ的值为A ．BC ．D【答案】D 【解析】∵2θ是第四象限角，且cos 2θsin 2θ=因此，sin θ=2sin2θcos 2θ=2×（×（）， ∵x ≤–1，∴sin θ．故选D ． 5．已知cos （π4θ+）•cos （π4θ-）θ∈（3π4，π），则sin θ+cos θ的值是 A．2 B ．–2C．2D．2【答案】C 【解析】ππcos cos 44θθ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππsin cos 44θθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1πsin 222θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos22θ=，∴cos22θ=．∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3π22π2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，∴1sin22θ=-． ∴211(sin cos )1sin2122θθθ+=+=-=，∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴sin θ+cos θ<0．∴sin cos 2θθ+=-．故选C ．6．已知θA ．sin 4θB ．cos4θ C ．–sin 4θD ．cos 4θ-【答案】A【解析】根据θ为第三象限角，得到θ∈（2k π+π，2k π+3π2）， 则2θ∈（k π+π2，k π+3π4），4θ∈（π2k +π4，π2k +3π8），所以cos 2θ<0，sin 4θ>0， 则原式4θ|=sin 4θ．故选A ． 7．已知α∈（π2，π），sin α=5tan2α等于A ．–43 B ．–47 C ．–34D ．–35【答案】A 【解析】∵α∈（π2，π），sin αcos α==，∴tan α=–12，∴tan2α=22tan 1tan αα-=212211()2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–43．故选A ．8．函数y =8sin x cos x cos2x 的周期为T ，最大值为A ，则 A ．T =π，A =4 B ．π42T A ==，C ．T =π，A =2D ．π22T A ==，【答案】D【解析】由于函数y =8sin x cos x cos2x =4sin2x •cos2x =2sin4x 的周期为T ，∴T =2π4=π2，且函数的最大值为A =2，故选D ．9．函数f （x ）=2cos x +cos2x （x ∈R ）的最小值是A ．–3B ．–32 C ．–1 D ．12【答案】B【解析】∵函数f （x ）=2cos x +cos2x =2cos x +2cos 2x –1=221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭–32，故当cos x =–12时，函数f （x ）有最小值等于–32，故选B ． 10．2tan151tan 165︒-︒的值是A BC ．6D 【答案】C【解析】∵15°+165°=180°，∴2tan151tan 165︒-︒=2tan151tan 15︒-︒=12⋅tan30°．故选C ． 11．已知tan a =3，则cos （2α+π2）= A ．–35 B ．35 C ．–35D ．35【答案】C【解析】由tan a =3，得cos （2α+π2）=–sin2α=–222sin cos sin cos αααα+=22tan 1tan αα-+=63195-=-+．故选C ．12．已知cos （π–α）α∈（0，π），则sin2α=A ．–1B ．2-C ．2D ．1【答案】A【解析】由cos（π–α）=2，得–cos2α=，则cos2α=-，∴α∈（0，π），∴sinα2 =，则sin2α=2sinαcosα=2⎛⎝⎭=–1．故选A．13．已知sin（π12+α）sin（π3–2α）=A．4B．34CD．–34【答案】B【解析】sin（π12+α），则sin（π3–2α）=cos（2α+π6）=1–2sin2（π12+α）=1–2×2=34．故选B．14．若5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，则tan2α的值为A．120119B．120119-C．119120D．119120-【答案】B【解析】∵5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴cosα=–1213，∴tanα=sincosαα=–512，则tan2α=22tan1tanαα-=2521251()12⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–120119，故选B．15．已知α为第四象限角，sinα+cosα=3，则cos2α=A ．B ．C D 【答案】D【解析】∵α为第四象限角，sin α+cos α1+2sin αcos α=13，即2sin αcos α=–23，∴sin α–cos α==∴cos2α=cos 2α–sin 2α=–（sin α+cos α）×（sin α–cos α）=–3×（–3）=3，故选D ． 二、填空题16．若sin （π8α-）=3，则cos （π24α-）=_____________． 【答案】59【解析】cos （π24α-）=cos[2（π8α-）]=1–22πsin 8α⎛⎫- ⎪⎝⎭=1–2×259=．故答案为：59． 17．若ππ3sin 225αα-<<=，，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________．【解析】∵ππ3sin 225αα-<<=，，∴cos α=45， ∴sin2α=2sin αcos α=2×45×324525=，cos2α=1–2sin 2α=1–2×972525=，∴πsin 26α⎛⎫+⎪⎝⎭=sin2αcos π6+cos2αsin π24625=725×12=．18．设cos2θsin 4θ+cos 4θ的值是_____________．【答案】7 8【解析】由于cos2θ=2，则cos4θ+sin4θ=（sin2θ+cos2θ）2–2sin2θcos2θ=1–12sin22θ=1–12（1–cos22θ）=1–12（1–34）=78，故答案为：78．19．函数y=1–2cos2x的最小正周期是_____________．【答案】π【解析】∵y=1–2cos2x=1–（1+cos2x）=–cos2x．∴T=2π2=π．故答案为：π．20．若cosα–sinα=14，则sin2α=_____________．【答案】15 16【解析】∵cosα–sinα=14，∴（cosα–sinα）2=116，可得1–sin2α=116，∴sin2α=1516．故答案为：1516．21．函数y=sinαcosα–cos2α的最小正周期为_____________．【答案】π【解析】∵y=sinαcosα–cos2α=111sin2cos2222αα--=π12242α⎛⎫--⎪⎝⎭，∴三角函数的最小正周期是T=2π2=π，故答案为：π．三、解答题22．在△ABC中，cos（π4+A）=513，求cos2A的值．【解析】在△ABC中，cos（π4+A）=513，∴sin（A+π4）=1213．∴cos2A=sin（π2+2A）=2sin（A+π4）cos（A+π4）=2×513×1213=120169．23．求值：cos 2π7+cos4π7+cos6π7．【解析】原式=π2π4π6πsin cos cos cos7777πsin7⎛⎫++⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin cos sin cos sin cos 777777πsin7++=13ππ15π3π17π5πsin sin sin sin sin sin 277277277πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=–12． 24．已知a 为第二象限角，cos a =–45，求sin2a ． 【解析】∵a 为第二象限角，cos a =–45，∴sin a=35，则sin2a =2sin a cos a =2×35×（–45）=–2425．25．求函数y =2cos 2x 的单调增区间．【解析】函数y =2cos 2x =cos2x +1， 令2k π–π≤2x ≤2k π，解得k π–π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 故函数的增区间为[k π–π2，k π]，k ∈Z ． 26．已知111cos sin αα-=，求sin2α的值． 【解析】∵111cos sin αα-==sin cos cos sin αααα-， ∴sin α–cos α=sin αcos α，两边平方可得1–2sin αcos α=（sin αcos α）2． 即1–sin2α=21sin 24α，2sin 24sin 240αα+-=，解得sin2α–2，或sin2α=––2（舍去）．。
人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
人教版高中数学高一A版必修4 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
主动成长夯基达标 1.化简ααααcos 3cos sin 3sin -等于( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析:原式=.22sin 21)3sin(cos sin sin 3cos cos 3sin =-=-ααααααααα答案:A 2.cos 48π-sin 48π等于( ) A.0 B.22 C.1 D.-22解析:原式=(cos 28π+sin 28π)(cos 28π-sin 28π)=cos 4π=22. 答案:B3.下列各式中,值为21的是( ) A.sin15°cos15° B.2cos 212π-1 C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2 解析:对于A,sin15°cos15°=21sin30°=41. 对于B,2cos 212π-1=cos 6π=23. 对于C,230cos 1︒+=cos15°. 对于D,︒-︒⨯=︒-︒5.22tan 15.22tan 2215.22tan 15.22tan 22 =21tan45°=21. 故选D. 答案:D4.︒︒-15tan 215tan 12等于( )A.3B.33C.1D.-1 解析:∵3330tan 15tan 115tan 22=︒=︒-︒,∴原式=3.答案:A5.设f(tanx)=tan2x,则f(2)等于( ) A.54 B.34- C.-32D.4 解析:∵f(tanx)=tan2x,求f(2)即令tanx=2. ∴tan2x=34414tan 1tan 22-=-=-x x . 答案:B 6.已知0＜θ＜4π,化简θ2sin 1-所得结果是( ) A.cosθ-sinθ B.sinθ-cosθ C.2cosθ D.2cosθ 解析:原式=222)cos (sin cos cos sin 2sin θθθθθθ-=+-,∵0＜θ＜4π,∴cosθ＞sinθ. ∴原式=cosθ-sinθ. 答案:A 7.化简αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+等于( )A.cot2αB.tan2αC.cotαD.tanα 解析:原式=αααα4sin )4cos 1(4sin )4cos 1(+++-=αααααα2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222++ =)2cos 2(sin 2cos )2cos 2(sin 2sin αααααα++=tan2α. 答案:B8.当0＜x ＜4π时,函数f(x)=x x x x 22sin sin cos cos -的最小值是( )A.41 B.21C.2D.4 解析:∵0＜x ＜4π,∴cosx≠0.把f(x)的分子,分母同时除以cos 2x 得 f(x)=41)21(tan 1tan tan 122+--=-x x α.∵0＜x ＜4π,∴0＜tanx ＜1. ∴f(x)min =4. 答案:D9.函数f(x)=cosx-21cos2x(x ∈R )的最大值等于_______________. 解析:原式=f(x)=cosx-21(2cos 2x-1)=cosx-cos 2x+21=-(cos 2x-cosx+41)+43=-(cosx-21)2+43.∵x ∈R ,∴-1≤cosx≤1.∴cosx=21时,f(x)max =43. 答案: 4310.已知sinα=cos2α,α∈(2π,π),则tanα=_____________.解析:由sinα=cos2α,得sinα=1-2sin 2α,即2sin 2α+sinα-1=0.sinα=21或sinα=-1(舍去), ∴α=65π.∴tanα=tan65π=33-.答案: 33-11.求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x-2的取值范围、最小正周期以及为增函数的区间. 解:y=(sin 2α+cos 2α)+sin2α+2cos 2x-2=1+sin2x+cos2x-1 =2sin(2x+4π). (1)∴-2≤y≤2.(2)T=22π=π. (3)2kπ-2π≤2x+4π≤2kπ+2π(k ∈Z ).解之,得kπ-83π≤x≤kπ+83π,k ∈Z . ∴增区间为［kπ-83π,kπ+83π］,k ∈Z . 12.已知cos(4π+x)=53,1217π＜x ＜47π,求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.解:方法一:∵原式=xx x x x x tan 1cos sin cos sin 22sin -•+=sin2x·xxtan 1tan 1-+=sin2x·xxtan 4tan1tan 4tanππ-+=sin2x·tan(4π+x).① 由1217π＜x ＜47π,知35π＜4π+x ＜2π,又由cos(4π+x)= 53,得sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π,∴tan(4π+x)=345354)4cos()4sin(-=-=++x x ππ.又sin2x=-cos(2x+2π)=-cos ［2(4π+x)］=-［2cos 2(4π+x)-1］=1-2cos 2(4π+x)=1-2×257259=. 将上述结果代入①式有: 原式=257×(43-)=7528-. 方法二:∵xx xx x xx x cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=xx x x x x sin cos )cos (sin cos sin 2-+.①由cos(4π+x)=53,得cos 4πcosx-sin 4πsinx=53.∴有cosx-sinx=523.② ∴(cosx-sinx)2=2518,即2sinxcosx=257.③ 又(cosx+sinx)2=1+2sinxcosx=1+257=2532.∵1217π＜x ＜47π,cosx ＞0,sinx ＜0,且|cosx|＜|sinx|, ∴cosx+sinx ＜0. ∴cosx+sinx=524-.④ 将②③④代入①得原式=7528523)524(257-=-⨯. 走近高考13.(2006陕西高考,17)已知函数f(x)=3sin(2x-6π)+2sin 2(x-12π)(x ∈R ), (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合. 解:(1)f(x)=3sin2(x-12π)+1-cos2(x-12π)=2［23sin2(x-12π)- 21cos2(x-12π)］+1=2sin ［2(x-12π)- 6π］+1 =2sin(2x-3π)+1, ∴T=22π=π. (2)当f(x)取最大值时,sin(2x-3π)=1, 有2x-3π=2kπ+2π,k ∈Z , ∴x=kπ+125π(k ∈Z ).∴所求x 的集合为{x ∈R|x=kπ+125π,k ∈Z }. 14.(2006辽宁高考,17)已知函数f(x)=sin 2x+2sinx·cosx+3cos 2x,x ∈R ,求: (1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x 的集合; (2)函数f(x)的单调增区间. 解:(1)方法一:∵f(x)=22cos 1x -+sin2x+2)2cos 1(3x +)=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4π), ∴当2x+4π=2kπ+2π, 即x=kπ+8π(k ∈Z )时,f(x)取得最大值2+2.因此,f(x)取得最大值的自变量x 的集合是{x|x=kπ+8π,k ∈Z }.方法二:∵f(x)=(sin 2x+cos 2x)+sin2x+2cos 2x=1+sin2x+1+cos2x=2+2sin(2x+4π), ∴当2x+4π=2kπ+2π, 即x=kπ+8π(k ∈Z )时,f(x)取得最大值2+2.因此,f(x)取得最大值的自变量x 的集合是{x|x=kπ+8π,k ∈Z }.(2)f(x)=2+2sin(2x+4π). 由题意得2kπ-2π≤2x+4π≤2kπ+2π(k ∈Z ),即kπ-83π≤x≤kπ+8π(k ∈Z ).因此,f(x)的单调增区间是［kπ-83π,kπ+8π］(k ∈Z ).15.(2006安徽高考,17)已知43π＜α＜π,tanα+cotα=310-. (1)求tanα的值;(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解:(1)∵tanα+cotα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0. 解得tanα=-3或tanα=-31. ∵43π＜α＜π, ∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31. (2)∵tanα=-31,∴)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++=ααααααcos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522--++++=.451tan 3tan 4cos sin cos 3sin 4cos sin 8cos 33sin 45-=-+=-+=--+++αααααααααα16.(2006重庆高考,18)设函数f(x)=3cos 2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1)求ω的值; (2)如果f(x)在区间［-3π,65π］上的最小值为3,求a 的值. 解:(1)f(x)=23cos2ωx+21sin2ωx+23+a=sin(2ωx+3π)+23+a 依题意得2ω·6π+3π=2π, 解之,得ω=21. (2)由(1)知f(x)=sin(x+3π)+23+a,又当x ∈［-3π,65π］时,x+3π∈［0,67π］.故-21≤sin(x+3π)≤1,从而f(x)在［-3π,65π］上取得最小值-21+23+a.因此,由题设知-21+23+a=3, 故a=213+. 17.(1)(2006全国高考卷Ⅱ,3)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( ) A.2π B.4π C.4π D.2π (2)(2006全国高考卷Ⅱ,10)f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x 解析:(1)y=sin2xcos2x=21sin4x. (2)f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2+2sin 2x,f(cosx)=2+2cos 2x=2+1+cos2x=3+cos2x. 答案:(1)D (2)C。
必修4：3.2倍角公式(3)
件与结论沟通.
题型四 易错辨析
例4 化简： 1 sin 1 sin (0, )
错解：原式 sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2 2sin cos
2
2
22
2
2
22
sin
cos
2
2
1 2
c
os50
3 2
s
in
50
1 2sin 50 cos50
2 sin 80 1 sin100
2
2
4 sin 80 sin 80 4.
方法技巧
对于给角求值问题,一般有两类: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基 本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的 正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的 条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
2
2
2
2
因为 0,
，所以
2
0,
2
.
(1)当 （0， ]时，cos sin ,
24
22
此时原式
sin
cos
cos
sin
2 s in
.
2 2 22
2
(2)当 （ , )时，cos sin ,
2 42
22
此时原式 sin cos cos sin 2cos .
人教版高一数学必修四第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P132－P134，并思考下列问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin 2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→令β＝αS2αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→令β＝αC2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan 2α＝2tan α1－tan2αT(α＋β)――→令β＝αT2αT2α正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( ) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos 2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos⎝⎛⎭⎫2×π6＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12 D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎫cos2π12－sin2π12⎝⎛⎭⎫cos2π12＋sin2π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan2 30°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin （2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 【解】 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x .1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选 D.cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. (2)证明：法一：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0， 所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α.证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 答案：13 793．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. (2)由(1)知cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( )A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79.故选A. 5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169. 10．已知π2<α<π，sin α＝45. (1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 解：(1)由题意得cos α＝－35， 所以tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4. 又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213. 因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 14．(选做题)已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。
课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手，证明一边 等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0，左 右边 边＝1；(3)分析 法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
(1)【解析】cos4 α2－sin4 α2＝
cos2
α2－sin2
α2cos2
α2＋sin2
α2＝cos α.
【答案】cos α
(2)解：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°＝
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)． 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公 式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α cos 2α＝cos2 α－sin2α＝
类型 3 化简与证明 典例 3 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
证明：(1)左边＝1＋cos（22A＋2B）＝1－cos（22A－2B）＝
cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B）＝
1 2(cos°80°＝
3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α， 得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式； 在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α， 得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式， 其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
利用二倍角公式化简与证明
2 2 已知tan2β ＝tan2α＋
cos 2α－2cos 2β＝1.
1 ： cos 2α－2c 已知 tan β＝tan α＋ 2 求证 .求证： cos α
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
1 解析：∵1＋tan β＝1＋tan α＋ 2 ， cos α 1 2 ∴ 2 ＝ 2 ，∴cos2α＝2cos2β， cos β cos α 1＋cos 2α ∴ ＝1＋cos 2β， 2 ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， 即得 cos 2α－2cos 2β＝1.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正 用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． α α α 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是 的二倍角， 是 的 2 3 6 α α α α 二倍角等等．又如 α＝2× ， ＝2× ，„， n 2 2 4 2 α ＝2× n＋1等等． 2 π (2)当 α＝kπ＋ ，(k∈Z)时，tan α 的值不存在， 2 这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． π π (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin ≠2sin . 3 6
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教版必修4
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝sin26 ＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
所以
cos2α＋π4
＝
22－2245－275＝－3150
2 .
类型三 给值求角问题 【例 3】 已知 tan α ＝13，tan β ＝－17，且 α，β ∈(0，π )，
求 2α－β 的值. 解 ∵tan α ＝13>0，
∴α ∈0，π2 ，2α ∈(0，π )， ∴tan 2α ＝12－tatnanα2α ＝1－2×13132＝34>0，
系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符
号.
【训练 2】已知 cosα
＋π4 ＝35，π2 ≤α
3π <2
，求 cos2α
＋π4
的值.
解
∵π2
≤α
3π <2
，∴3π4
≤α
＋π4
7π <4
，于是可由 cosα
＋π4
＝35得到 sinα ＋π4 ＝－45.即 22cos α － 22sin α ＝35，
必修4第三章两角和差的正弦、余弦、正切、二倍角公式学案
3.1.1两角差的余弦公式一、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
教学过程（一）创设情景，揭示课题问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？ （二）、研探新知向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。
()()cos ,sin ,cos ,sin OA OB ααββ==则由向量数量积的概念,有 OA OB ∙=由向量数量积的坐标表示,有OA OB ∙=因为 α、β、都是任 意 角,所以αβ-也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)θπ∈，使得cos cos()θαβ=-。
于是对于任意角α、β都有x如图,建立单位圆Oco Cαβ-（）简记例1. 利用差角余弦公式求0cos15的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin)2cos(=-；（2）cos(2)cosπαα-=4π52.sinα=απcosβ= - βcos5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值变式训练：15sin cos173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值三、反思总结：本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式Cαβ-（）的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 四、当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求00cos75,cos1052.求值0000cos75cos30sin75sin30+ 3．化简cos()cos sin()sinαββαββ+++14.cos sin7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos五、课后练习与提高1. 0000cos50cos20sin50sin20+的值为（）A. 12 B. 13 C. D. 2. 0cos(15)-的值为（）A. B. C. D 3.已知12cos,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则c o s()4πα-的值等于（）A. B. C. D. 134.化简00cos(30)cos sin(30)sinαααα+++= 5.若()0000cos60,sin60,(cos15,sin15)a b==，则a b∙= 6.已知233sin,,cos,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）教学目的：能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，并进而推得两角和差的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学重点： 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式 教学难点： 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 教学过程：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos αβ+= ；二、讲解新课： ()c o s αβ-= ．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？请同学们动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos 2παβαβ⎡⎤+=-+=⎢⎥⎣⎦()()sin sin αβαβ-=+-=⎡⎤⎣⎦．三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：（熟悉公式结构）1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒例2 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α) （构造辅助角方法）例3 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52 求βαtan tan 的值 （整体计算思想）四、当堂检测)(37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒(A)23-(B)21- (C)21(D)232、x x sin cos 3-=_____________.)(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x =(A)10π(B)6π(C)5π (D)4π.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、()()._________sin sin cos cos 6=+++ββαββα、五、小结 两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”如：asin α+bcos α=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab 等，有时能收到事半功倍之效.六、课后作业：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）教学目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学重点：根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 教学难点：公式T α+β ,T α-β及运用 教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-二、讲解新课：请同学们结合教材完成下列探究观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.∵cos (α+β)≠0()()()sin tan cos αβαβαβ++==+ ．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()tan tan αβαβ-=+-=⎡⎤⎣⎦注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．三、讲解范例：例1求tan15︒，tan75︒的值：（熟悉公式结构）例2 已知tan α=31，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒例3 求下列各式的值：1︒75tan 175tan 1-+（对1的灵活处理） 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒（整体计算思想）(四)当堂检测 1. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（ ）)(75tan 75tan 1 22的值为、︒︒-(A)32(B)332()32-C (D)332-3. 若.)tan(,21cos cos ,21sin sin ,=-=--=-βαβαβαβα则均为锐角，且4、α为第二象限角，）的值。
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1
1
−
.
1+tan
3
2
(2)1+
2
2
课前篇自主预习
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)对任意的角,总有sin 2θ=2sin θ. (
)
(2)不存在角α,使得cos 2θ=2cos θ. (
)
2tan
π
(3)公式 tan 2α=
成立的条件是 α≠kπ+ ,k∈Z.
2
1-tan2
S2α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α
正切
tan 2α=
2 α
1- 2
T2α
课前篇自主预习
4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围
π
在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠2+kπ,且
π
4
π
π
平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π
解:(方法一)∵0<x< ,
4
π
π
∴4-x∈ 0, 4 .
π
5
又 sin - = ,
4
13
π
12
∴cos 4 - = 13.
π
π
∵cos 2x=sin 2 -2 =2sin 4 -