高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的比例关系

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望 昆大侠 溝了！

这个故事 说起来就久远 了■ ■ ■ ■ 1

■律!

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不打里思与蔡川因为这一战

攀道剑鮒眾翳胡

请1乍亦

第十八讲 直线形计算中的比例关系

很久以前.

青一场n

惊江 鬭的人战.匚 原大侠望昆与 魔救蹌一高手 黎川相约在华 山之昴决斗.

苓苓「这个飞繚是 怎么来的呼

这就是 ■小黎飞镖" 的来由了！

望昆用尽力■击出一 劃”正好打在•小養飞 *JT 上，井在无星不轉 的飞傑

上留下了一道削*

决斗的情况十幷滋 熱.熾后黎川发出了自 己的绝招•小柴飞象， 打向了箋昆.

在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系, 中的基本结论.

当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比.

如图所示，对于三角形ABD与三角形BDC ,它们有共同的高BH ,可知三角形ABD的面积AD 三角形BDC的面积DC °

例题1.如图，AE:EB=3:2, CD:DB=7:5,三角形ABC的面积是60,求三角形AED的面积.

「分析」图中是否有等高的三角形?

练习1.如图，CE : AE 2:5 , CD : DB 7:5三角形ABC面积为120，求三角形AED的面

积.

在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖” •把“飞镖”立起来（如图），标好字母，A 会发现两个三角形：三角形ADE与三角形ABC •这两个三角形有一个公共的角A,并且

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角A的两边AD、AE分别在AB、AC上.对于符合这种情况的三角形ADE与三角形ABC, 我们称之为“共角三角形” . D

F面我们复习一下其

A

B

对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：

在“小黎飞镖”中，有三角形ADE的面积AD AE .（同学们，可以想一想如何来证明这

三角形ABC的面积AB AC

个结论.提示：连结四边形BDEC的一条对角线）

例如：如果在“小黎飞镖”中，D点是AB上靠近B的3等分点，E点是AC上靠近A

AD 2 AE 1

的3等分点，那么，，那么三角形ADE的面积就是三角形ABC面积的AB 3 AC 3

2 1 2

3 3 9 .

有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了•请看下面的问题.

例题2.如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍.三角

形AED的面积是10,那么三角形ABC的面积是多少？

「分析」△ ADE占厶ABC的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算?

练习2. 积是8, 三角形ABC中，BD的长度是AB的丄,AE的长度是AC的1 .三角形AED的面

4

那么三角形ABC的面积是多少？

例题3•如图，已知长方形ADEF的面积是16, BE=3BD, CE=CF .请问：三角形BEC的

面积是多少?

「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？

练习3 .如图，长方形 ABCD 的面积是48, BE:CE=3:5 , DF:CF=1:2 .三角形CFE 的面积是

接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系. 如图，对于一个任意的四

边形ABCD ，连结对角线 AC 和BD ，将整个四边形分成 本结论，我们可以得到如下关系:

例题4.如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线AC 、BD 分成4个部分.三角形

BOC 的面积是2平方千米，三角形 COD 的面积是3平方千米，三角形 AOB 的面积是1平 方千米.如果公园由大小为 6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多 少平方千米？ 「分析」△ BOC 、A COD 和厶AOB 的面积都知道了，那么△ AOC 的面积是多少呢？

练习4.四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于 O 点，三角形 ABO 的面积为6,三角 形AOD 的面积为8,三角形BOC 的面积是15,那么四边形 ABCD 的面积是多少？

4个小三角形，由等高三角形的基

BO DO

§

S

2 §4 §3

AO S ( S, CO S 4

§3

§i S 4 §2 §3 3 S 2 §1 S 3

§1 S 3

§>

§4

D

「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢?

例题6 .图中四边形 ABCD 的对角线AC 和BD 交于0点，如果△ ABD 的面积是30平方厘 米，△ ABC 的面积是48平方厘米，△ BCD 的面积是50平方厘米.请问：△ BOC 的面积是 多少？ 「分析」题目中给出了 3个大三角形的面积， 能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？

1

例题5.如图，△ ABC 的面积是36,并且AE AC , CD

3

的面积.

1

BC , BF 】AB ，试求△ DEF 4 5

B

C 0

三角形中的五心

重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；

垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；

外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；

内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心.

锐箱三劑形金第三箱形註第三垢形

三角形的垂心

三角形的旁心三角形的内心三朿形附W