北师大版高中数学必修二 圆的一般方程精品课件(共16张ppt)
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由于a, b, r均为常数
令 2 a D , 2 b E ,a 2 b 2 r 2 F
结论：任何一个圆的方程都可以写成下面形式：
x2y2Dx E y F0
自主探究 2.方程 x2y2Dx E y F0
一定表示圆的方程吗？
将x2y2DxEyF0左边配方
(xD )2(yE )2D 2E 24F
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
②没有xy这样的二次项．
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
① aD , bE , r1D 2E 2 4 F
2 22
②标准方程易于看出圆心与半径．
小组讨论：
二 元 二 次 方 程 A x2 B xy C x2D xE yF 0 在 什 么 条 件 下 表 示 圆 的 方 程 ？
(1) x2 y2 4x2y10 (x22)(y12)4
(2) x2 y2 4x2y50 (x2)2(y1)20 (3) x2y22x4y60 (x1)2(y2)21
自主探究
把圆的标准方程 (x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
展开，得
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
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例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的 圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解出a，b，r（或D，E，F）， 代入标准方程（或一般方程）
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
本课小结
1. 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为
x2y2DxEyF0 D2E24F0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方 一般方程 展 开 标准方程(圆心,半径)
C . 4, 6, 3 D . 4 , 6 , 3
答案：B
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
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（二）课堂演练
例题2.若方程 x2 y2 2 a x 2 y a 3 0
表示圆心在第二象限的圆,则实数 a的取值
高中数学新课标北师大版必修二
§2.2 圆的一般方程
温故知新
1.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
2.圆的标准方程:(x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
特点： 直接可以看出圆心坐标为 (a,b),
半径为 r
小组活动
思考1：下列方程各表示什么图形？
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
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必做题：P82 练习1, 2
选做题：1.下列方程各表示什么图形?若是圆， 则求出圆心和半径.
(1 )2 x2 2 y2 4 x 8 y 1 0
2
2
4
(1)当D2＋E2－4F>0时，此方程表(示 D,以 E)
22
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为圆心， 1 D 以 2E24F为半径的圆。 2
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
(xD )2(yE )2D 2E 24 F
2
2
4
(2)当D2＋E2－4F＝0时，
此方程表示一个点 ( D , E ) ；
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
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（一）小试牛刀
例题1. 已知圆 C :x2y2DE x y F 0
的圆心坐标为(2,-3),半径为2,则 D, E, F分别
是（ ）
A .4, 6, 9
B . 4, 6, 9
方法1： x 2 y 2 D x E y F 0 ( D 2 E 2 4 F 0 )
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F 0
D 8
待定系数法D E F 2 0
解
得
E
6
4D 2E F 20 0 F 0
x所2求圆y2的方8x程为6:y0，即 (x4)2(y3)225
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，
此方程无实数解,不表示任何图形．
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圆的一般方程： x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
( 1 ) 圆心 ( D , 坐 E )半 , 标 1 径 D 2 为 E 为 2 4 F ； 22 2
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总结求圆方程的方法：
待定系数法
设 圆 的 方 程 为 (xa)2(yb)2r2 或 x2y2DxEyF0
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
方法2：
解：设所求圆的标准方程为：
(xa)2(yb)2r2(r0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
待定系数法
(a)2 (b)2 r2
a 4
(1
a)2
(1
b)2
r2
解
得
b
3
(4 a)2 (2 b)2 r 2
r 5
所求圆的方程为：(x4)2(y3)225
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
(2 )x2y22 a y0 (a0 )
2. 求 过 两 点 A(0,4),B(4， 6),且 圆 心 在 直 线 xy30上 的 圆 的 方 程 。
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范围是________________．
答案a： 1
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(三)挑战自我
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
令 2 a D , 2 b E ,a 2 b 2 r 2 F
结论：任何一个圆的方程都可以写成下面形式：
x2y2Dx E y F0
自主探究 2.方程 x2y2Dx E y F0
一定表示圆的方程吗？
将x2y2DxEyF0左边配方
(xD )2(yE )2D 2E 24F
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
②没有xy这样的二次项．
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(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
① aD , bE , r1D 2E 2 4 F
2 22
②标准方程易于看出圆心与半径．
小组讨论：
二 元 二 次 方 程 A x2 B xy C x2D xE yF 0 在 什 么 条 件 下 表 示 圆 的 方 程 ？
(1) x2 y2 4x2y10 (x22)(y12)4
(2) x2 y2 4x2y50 (x2)2(y1)20 (3) x2y22x4y60 (x1)2(y2)21
自主探究
把圆的标准方程 (x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
展开，得
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
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例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的 圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解出a，b，r（或D，E，F）， 代入标准方程（或一般方程）
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本课小结
1. 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为
x2y2DxEyF0 D2E24F0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方 一般方程 展 开 标准方程(圆心,半径)
C . 4, 6, 3 D . 4 , 6 , 3
答案：B
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（二）课堂演练
例题2.若方程 x2 y2 2 a x 2 y a 3 0
表示圆心在第二象限的圆,则实数 a的取值
高中数学新课标北师大版必修二
§2.2 圆的一般方程
温故知新
1.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
2.圆的标准方程:(x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
特点： 直接可以看出圆心坐标为 (a,b),
半径为 r
小组活动
思考1：下列方程各表示什么图形？
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。
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必做题：P82 练习1, 2
选做题：1.下列方程各表示什么图形?若是圆， 则求出圆心和半径.
(1 )2 x2 2 y2 4 x 8 y 1 0
2
2
4
(1)当D2＋E2－4F>0时，此方程表(示 D,以 E)
22
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为圆心， 1 D 以 2E24F为半径的圆。 2
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(xD )2(yE )2D 2E 24 F
2
2
4
(2)当D2＋E2－4F＝0时，
此方程表示一个点 ( D , E ) ；
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（一）小试牛刀
例题1. 已知圆 C :x2y2DE x y F 0
的圆心坐标为(2,-3),半径为2,则 D, E, F分别
是（ ）
A .4, 6, 9
B . 4, 6, 9
方法1： x 2 y 2 D x E y F 0 ( D 2 E 2 4 F 0 )
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F 0
D 8
待定系数法D E F 2 0
解
得
E
6
4D 2E F 20 0 F 0
x所2求圆y2的方8x程为6:y0，即 (x4)2(y3)225
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，
此方程无实数解,不表示任何图形．
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圆的一般方程： x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
( 1 ) 圆心 ( D , 坐 E )半 , 标 1 径 D 2 为 E 为 2 4 F ； 22 2
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
总结求圆方程的方法：
待定系数法
设 圆 的 方 程 为 (xa)2(yb)2r2 或 x2y2DxEyF0
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
方法2：
解：设所求圆的标准方程为：
(xa)2(yb)2r2(r0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
待定系数法
(a)2 (b)2 r2
a 4
(1
a)2
(1
b)2
r2
解
得
b
3
(4 a)2 (2 b)2 r 2
r 5
所求圆的方程为：(x4)2(y3)225
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
(2 )x2y22 a y0 (a0 )
2. 求 过 两 点 A(0,4),B(4， 6),且 圆 心 在 直 线 xy30上 的 圆 的 方 程 。
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
范围是________________．
答案a： 1
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(三)挑战自我
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：