一元函数(导数与积分)课堂训练题

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第五章一元函数的导数及其应用【易错题型专项训练】(解析版)

第五章一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（） A ．2.1 B ．0.21C ．1.21D ．0.121【答案】A 【分析】根据平均变化率的公式求解即可. 【详解】1.110.1x ∆=-=，22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---=所以函数2()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)0.21 2.10.1y f f x x ∆-===∆∆. 故选：A2．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（） A ．23B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】由题意结合平均变化率的概念计算出当11x =、23x =时y 的取值，再由yx∆∆即可得解. 【详解】当11x =时，1111y ==；当23x =时，213y =；所以函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为21211113313y y x x y x-∆===-∆---. 故选：C. 【点睛】本题考查了平均变化率的求解，考查了运算求解能力，熟练掌握公式是解题关键，属于基础题. 3．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 【答案】11e - 【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可. 【详解】函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为：()()1111f e f e e -=--. 故答案为：11e - 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（） A ．12千米/小时 B ．24千米/小时 C ．48千米/小时 D ．64千米/小时【答案】C 【分析】对v 求导，代入t 值即可. 【详解】由()23v s t t '==，则当4t =，48v =故选：C. 【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题，属于基础题.2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s【答案】C 【分析】根据瞬时速度为位移对应导数值求解. 【详解】当3t s =时的瞬时速度是为s 导函数在3t =的值，因为39ts t =+，所以213t s '=+，因此当3t s =时的瞬时速度是23143+=，选C. 【点睛】本题考查导数在物理上的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s =时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 【答案】4 【分析】对()()21s t t =-进行求导，再将3t =的值代入，即可得答案. 【详解】因为()()'21s t t =-，所以()'34s =，所以质点M 在3t s =时的瞬时速度为4/m s . 故答案为：4. 【点睛】本题考查导数在物理中的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意导数与瞬时速度的关系. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-【答案】C 【分析】根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果. 【详解】由0()()lim2x f x f xππ∆→+∆-=∆，即()'2f π=因为()sin f x a x =-，所以'()cos f x a x =- 则()'cos 2f a ππ=-=，所以2a = 故选：C 【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题. 2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A ．1B ．1-C ．3D ．13【答案】C 【分析】直接利用导数的定义求解即可【详解】因为(1)1f '=，所以00(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆. 故选：C 【点睛】此题主要考查了利用导数的定义求值，属于基础题. 3．已知()03f x '=，则()()0002lim x x x f x f x∆→+∆-=∆______.【答案】6 【分析】根据导数的定义，将所求的式子用0()f x '表示，即可求解. 【详解】 ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆()()00022lim2x f x x f x x∆→+∆-=∆02()6f x ='=.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用导数的定义求值，要注意函数值的变化量和自变量的变化量要一致，属于容易题. 易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为（）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可求得结果. 【详解】因为()32f x x x =-，所以2()32f x x '=-，所以()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为(1)321f '=-=，所以()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为4π.故选：C 2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（）A ．4πB ．3πC ．34π D ．23π【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.【答案】2- 【分析】转化为求导函数的最大值即可得解. 【详解】因为()321313f x x x x =---+，所以()223f x x x '=---2(1)2x =-+-，因为当1x =-时()f x '取得最大值为()12f '-=-，所以根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =的切线中斜率的最大值为2-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题. 易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-【分析】利用求导公式直接求导即可. 【详解】根据求导公式，()3f x '=-. 故选：D2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（） A ．3ln 3x B ．13ln 32x +C ．132x +D ．3x【答案】A 【分析】利用导数的计算公式，直接判断选项. 【详解】()()()3ln 23ln 3x x f x '''=+=.故选：A3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.【答案】1或13-【分析】根据基本初等函数的求导公式列方程求解即可. 【详解】由导数的公式知，2()2,()3f x x g x x ''==. 因为()1()f x g x ''+=，所以2213x x +=，即3x 2-2x -1=0，解得x =1或x =13-.故答案为：1或13-易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（） A ．1B ．0C ．1-D ．2【分析】利用导数的运算法则求出导函数，令0x =即可求解. 【详解】由2()2x f x x x xe =+-，则()()22x xf x x e xe '=+-+，所以(0)211f '=-=. 故选：A2．下列导数运算正确的是（） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'= 【答案】B 【分析】根据导数的计算公式，以及导数的运算法则，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，()22ln 2x x '=，A 错误；对于B ，22(sin cos 1)(sin )cos sin (cos )cos sin cos2x x x x x x x x x +='='+'=-，B 正确；对于C ，1(lg )ln10x x '=，C 错误；对于D ，()12x x --'=-，D 错误．故选：B ．3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 【答案】3e 【分析】先对2()x f x x e =求导，再将1x =代入即可求解. 【详解】2()2x x f x xe x e '=+，所以(1)23f e e e '=+=，故答案为：3e易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定【答案】A 【分析】由题设得f ′(x )＝2－cos x ，即可判断()'f x 在区间上的符号，进而确定()f x 的单调性. 【详解】∵由f (x )＝2x －sin x ，知：f ′(x )＝2－cos x ，且在(－∞,＋∞)上()0f x '>恒成立， ∵f (x )在(－∞,＋∞)上为增函数. 故选：A2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（） A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 【答案】D 【分析】令()()F x xf x =，结合已知条件可知()F x 为R 上的增函数，故可根据()()21F F >得到正确的选项. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数，所以()()21F F >即()()221f f >，故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性，注意根据导数满足的关系合理构建新函数，本题属于基础题. 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 【答案】(0,3) 【分析】构造新函数，利用已知可以判断出新函数的单调性，最后利用单调性进行求解即可. 【详解】设()()f x g x x=，因为'()()f x x f x ⋅<，所以''2()()()0()x f x f x g x g x x ⋅-=<⇒是()0,∞+上的减函数，因为()30f =，所以()03g =，因此()0()0(3)3,0,03f x g x g x x x x>⇒>=⇒<>∴<<. 所以()0f x x>的解集为(0,3). 故答案为：(0,3)易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在【答案】A 【分析】求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案. 【详解】y ′＝1－21x ＝221x x-．令y ′＝0得x ＝－1．在(－2，－1)上，y ′>0；在(－1，0)上，y ′<0，故函数在x ＝－1处取得极大值－2．故选：A2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（） A ．1 B ．34C ．14D ．12【答案】B 【分析】求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义可得结果. 【详解】f ′(x )＝－1＋2x ＝212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令f ′(x )＝0，得x ＝12．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝12时，f (x )有极小值1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：B ．3．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______．【答案】1e -【分析】先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值. 【详解】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e >；由()0f x '<得10x e<<；所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()y f x =的极小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故答案为：1e-.易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5） D ．f （5），f （2）【答案】D 【分析】利用导数求函数的最值即可. 【详解】f ′(x )＝2x －4＝0，解得x ＝2，当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，∵x ＝2是极小值点，f （2）＝－3．又f （1）＝－2，f (5)＝6，∵最大值是f (5)，最小值是f （2）．故选：D2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（）A ．没有最小值，有最大值B ．有最小值，没有最大值C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值【答案】D【分析】利用()'f x 研究函数()f x 的最值. 【详解】依题意()'2310f x x =+>，所以()f x 在R 上递增，没有最小值，也没有最大值.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．【答案】22e -【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．【详解】由题意可知，[1,e]x ∈，2()2ln f x x x =-，22222(1)(1)'()2x x x f x x x x x --+∴=-==．当[1,e]x ∈时，'()0f x ≥，∴函数()f x 在区间[1,]e 上单调递增，则2max ()()2f x f e e ==-．故答案为：22e -。

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题1、求.)(cos lim 210x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。

3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。

一元函数(导数与积分)课堂训练题

填空题1.下列各极限正确的是（） A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(lim C 、11sinlim =∞→xx x D 、11sinlim 0=→xx x2.不定积分=-⎰dx x211 （）A 、211x- B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（）A 、0)('<x f ,0)(''<x fB 、0)('<x f ,0)(''>x fC 、0)('>x f ,0)(''<x fD 、0)('>x f ,0)(''>x f4.=-⎰dx x 21、（）A 、0B 、2C 、－1D 、15.设⎩⎨⎧+==22t t y te x t ，则==0t dx dy6.设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([7.下列极限中，正确的是（） A 、 e x xx =+→cot 0)tan 1(lim B 、 11sinlim 0=→xx xC 、 e x xx =+→sec 0)cos 1(limD 、 e n nn =+∞→1)1(lim8.已知)(x f 是可导的函数，则=--→hh f h f h )()(lim 0（）A 、)(x f 'B 、)0(f 'C 、)0(2f 'D 、)(2x f '9.设)(x f 有连续的导函数，且0≠a 、1，则下列命题正确的是（）A 、C ax f adx ax f +='⎰)(1)(B 、C ax f dx ax f +='⎰)()( C 、)())(ax af dx ax f =''⎰D 、C x f dx ax f +='⎰)()(10.若x e y arctan =，则=dy （）A 、dx ex211+ B 、dx eexx 21+ C 、dx ex211+ D 、dx eexx21+11.已知)(x f 在()+∞∞-,内是可导函数，则))()(('--x f x f 一定是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、不能确定奇偶性 12.设dx xxI ⎰+=1041，则I 的范围是（）A 、220≤≤I B 、1≥I C 、0≤I D 、122≤≤I13.若广义积分dx xp⎰∞+11收敛，则p 应满足（）A 、10<<pB 、1>pC 、1-<pD 、0<p14.若xxe e xf 11121)(+-=，则0=x 是()x f 的（）A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、无穷间断点D 、连续点15.设函数)(x y y =是由方程)sin(xy e e yx=-确定，则='=0x y16.函数xex x f =)(的单调增加区间为17.⎰-=+11221ta dx xx n x18.已知2)(0'=x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000（）A 、2B 、4C 、0D 、2-19.若已知)()('x f x F =，且)(x f 连续，则下列表达式正确的是（）A 、c x f dx x F +=⎰)()(B 、c x f dx x F dx d +=⎰)()(C 、c x F dx x f +=⎰)()(D 、)()(x f dxx F dxd =⎰20.下列极限中，正确的是（） A 、22sin lim=∞→xx xB 、1arctan lim=∞→xxx C 、∞=--→24lim22x x x D 、1lim 0=+→xx x21.已知)1ln(2x x y ++=，则下列正确的是（） A 、dx x x dy 211++=B 、dx x y 21'+=C 、dx xdy 211+= D 、211'xx y ++=22.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(102sin )(x x bx x x x ax x f 为连续函数，则a 、b 满足 A 、2=a 、b 为任何实数 B 、21=+b aC 、2=a 、23-=bD 、1==b a23.设函数)(x y y =由方程xyey x =+)ln(所确定，则==0'x y24.曲线93)(23++-==x x x x f y 的凹区间为 25.=+⎰-dx x x x )sin (113226.[](]⎩⎨⎧∈--∈=2,00,3)(33x x x x x f ，是：（）A 、有界函数B 、奇函数C 、偶函数D 、周期函数27.当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（）A 、高阶无穷小B 、同阶但不是等价无穷小C 、低阶无穷小D 、等价无穷小28.直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（） A 、()1,1B 、()1,1-C 、()1,0-D 、()1,029.2228R y x =+设所围的面积为S ，则dx x R R⎰-220228的值为（）A 、SB 、4S C 、2S D 、S 230.设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x31.设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，N n ∈，则=)0('f 32.求不定积分=-⎰dx xx231arcsin33.0=x 是xx x f 1sin )(=的（）A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第二类间断点D 、连续点34.若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a （）A 、1-B 、21 C 、21-D 、135.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （） A 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos36.=----→xx xee xxx sin 2lim；37.函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 38.=++⎰-11211xx π ；39.若21)2(lim0=→x x f x ，则=→)3(lim 0xf x x （）A 、21 B 、2 C 、3 D 、3140.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin)(2x x xx x f 在0=x 处（）A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续41.下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（）A 、x e y =B 、x y +=1C 、21x y -=D 、xy 11-=42.已知C e dx x f x +=⎰2)(，则=-⎰dx x f )(' （） A 、C e x +-22B 、C ex+-221 C 、C ex+--22 D 、C ex+--22143.已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小，则=a 44.若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.45.设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，⎰=13)(dx x f ，则⎰=1')(dx x xf46.若2)2(lim 0=→xx f x ，则=∞→)21(lim xxf x （）A 、41 B 、21C 、2D 、447.已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x nsin的高阶无穷小，而x nsin又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （） A 、1B 、2C 、3D 、448.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为（） A 、1B 、2C 、3D 、449.设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=⎰dx x f )2(' （） A 、C x +4cos B 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin50.设dt t x f x ⎰=212sin )(，则=)('x f （）A 、4sin x B 、2sin 2x x C 、2cos 2x x D 、4sin 2x x51.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=020)1()(1x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k52.若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m53.定积分dx x x x )cos 1(43222+-⎰-的值为54.设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A 、)(x f y -=B 、)(43x f x y =C 、)(x f y --=D 、)()(x f x f y -+=55.设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（）A 、)0()()0(lim'f xx f f x -=-→B 、)()()2(lim0'00x f xx f x x f x =-+→C 、)()()(lim0'000x f xx x f x x f x =∆∆--∆+→∆ D )(2)()(lim0'000x f xx x f x x f x =∆∆+-∆-→∆56.设函数)(x f ⎰=122sin xdt t t ，则)('x f 等于（）A 、x x 2sin 42B 、x x 2sin 82C 、x x 2sin 42-D 、x x 2sin 82- 57.设函数)1(1)(2--=x x x x f ，则其第一类间断点为 .58.设函数{=)(x f ,0,3tan ,0,<≥+x xx x x a 在点0=x 处连续，则a ＝ .59.已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 . 60.设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分⎰dx x f )(＝ .61.定积分dx xx ⎰-++1121sin 2的值为 .62.已知32lim22=-++→x b ax x x ，则常数b a ,的取值分别为（）A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a 63.已知函数423)(22-+-=xx xx f ，则2=x 为)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、震荡间断点64.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,1sin 0,0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（）A 、10<<αB 、10≤<αC 、1>αD 、1≥α65.曲线2)1(12-+=x x y 的渐近线的条数为（）A 、1B 、2C 、3D 、466.设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+⎰dx x f )12(' （） A 、C x ++461B 、C x ++463 C 、C x ++8121 D 、C x ++812367.设当0x →时，函数()sin f x x x =-与()n g x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值( ) A. 1,36a n == B. 1,33a n == C. 1,412a n == D. 1,46a n ==68.曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 69.设函数22()cos txx e tdt Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( ) A. 222cos xxex B. 222cos xxex - C. 2cos x xe x - D. 22cos xex -70.设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A. 函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B. 函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C. 函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D. 函数()f x 单调减少且其图形是凸的 71. 1lim ()1xx x x →∞+=-72.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--=73.定积分312111x dx x -++⎰的值为74. 当0→x 时，函数)(x f =e x -x -1是函数g(x )=x 2的 .A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小 75.设函数)(x f 在点x处可导，且lim→h 4)()(00=+--hh x f h x f ,则)('0x f = .A. -4B. -2C. 2D. 4 76.若点(1,-2)是曲线23bx ax y -=的拐点，则 .A. a =l, b =3B. a =-3，b =-1C. a =-l, b =-3D. a =4，b =6 77. 已知lim→x kxxx )2(- =2e ，则k = .78. 设函数⎰=Φ+=Φ21,)1ln(xdt t x ）（则）（“.79.设函数y =arctan==1,x dyx 则 .80.定积分⎰-+2223sin)1(ππxdx x 的值为 .解答题1.已知5cos)21ln(arctanπ+++=xx y ，求dy .2.计算xx dte x x tx sin lim22⎰-→3.求)1(sin )1()(2--=x x x x x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限4.已知xy x yln 2+=，求1,1==y x dxdy .5.计算dx eexx⎰+12.6.已知⎰∞-=+02211dx xk ，求k 的值.7.已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b axx f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.8.过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

一元函数积分学练习题

有且只有一个实根。
x 1 t 4 dt 0 et2 dt 0
0
cos x
7.
设函数
f
在
1 a
,
a
上非负连续
(a
0)
，且
a 1
xf
(x)dx
0
，证明：
a
a 1
x2
f
(x)dx
a 1
f
(x)dx 。
a
a
8. 设 f 在[0, ) 上连续递增，证明：对于任意给定的 b a 0 ，成立
（5）
xdx
；
(x 1)(x 2)(x 3)
（7）
x 2 dx
；
(x 1)(x 2)(x2 1)
（12） (x 1) x2 x 1dx 。
（2）
x dx ； x4 1
（4） (x 1)3 dx ； (x 2 1)2
（6） (x 1)dx ； (x2 2x 5)2
（8） 2(x 1)dx 。 (x 1)(x2 1)2
§3 定积分的计算
1．计算下列定积分：
（1） 2 x2 sin xdx; 0
（3） 2 e2x sin xdx; 0
（5）
1
x arctan xdx;
0
（7） 4 x tan2 xdx; 0
2．计算下列定积分：
（1） 2 1 dx; 1 x(1 ln x)
（3）
1 (x 1)dx ;
n
f (k) f (1)
n f (x)dx 。
1
1
k 1
9．设函数 f ， g 在[a, b] 上连续，且 g(x) 0 。证明：存在 (a, b) ，使得

第五章一元函数的导数及其应用同步课堂单元测试(选填题基础版)(解析版)

第五章一元函数的导数及其应用同步课堂单元测试【选填题基础版】一、单选题1．函数()221y x x =--的导数y '=（）A ．34x -B ．34x +C ．58x +D ．58x-【答案】D 【分析】先将()221y x x =--展开，然后根据基本初等函数的求导公式求解出y '.【详解】解析：∵()2221451y x x x x =--=-+-，∴58y x '=-．故选：D.2．函数21(31)y x =-的导数是（）A ．36(31)x -B ．26(31)x -C ．36(31)x --D ．26(31)x --【答案】C 【分析】将函数变形为()231y x -=-，然后根据复合函数的求导法则求解出y '.【详解】解析：因为()231y x -=-，所以()()2123131y x x --''=--⋅-，所以()()33663131y x x -=-'=---，故选：C.3．已知函数()4f x x ax =+，若()()2lim=12x f x f x x→--△△△△，则a =（）A ．36B ．12C ．4D ．2【答案】C 【分析】根据函数()f x 在0x 处的导数的定义将()()2limx f x f x x→--△△△△变形为()()()023lim303x f x f x f x→--'=△△△△即可求解.【详解】解：根据题意，()4f x x ax =+，则()34f x x a '=+，则()0f a '=，若()()2lim=12x f x f x x→--△△△△，则()()()()()022lim=3lim30123x x f x f x f x f xf xx→→----'==△△△△△△△△，则有312a =，即4a =，故选：C.4．下列函数的求导正确的是（）A ．()22x x'-=-B ．(sin )cos x x'=-C ．()1ln 33x xe e '+=+D ．()22ln x x '=【答案】D 【分析】根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项．【详解】对于A ：()221322x x x ----'=-=-，故A 不正确；对于B ：(sin )cos x x '=，故B 不正确；对于C ：()ln 3x x e e '+=，故C 不正确；对于D ：()2222ln x x x x'==，故D 正确，故选：D ．5．已知某质点的运动方程为22s t t =-，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，则()2s '为（）A ．3m/sB ．5m/sC ．7m/sD ．9m/s【答案】C 【分析】根据导数的定义进行求解即可.【详解】()()22Δ0Δ0Δ02(2Δ)(2Δ)222Δlim lim lim(72Δ)7ΔΔ2t t t t t st t ts →→→+-+-'-=+=⨯==，所以该质点在2s 末的瞬时速度为7m/s ．故选：C6．函数y ＝ln xx的最大值为（）A ．e－1B ．eC ．e 2D ．10【答案】A 【分析】先求导找极大值，再得最大值.【详解】令21ln 0.xy x e x'-==⇒=当x e >时，0y '<；当0x e <<时，0y '>所以函数得极大值为1e -，因为在定义域内只有一个极值，所以1max .y e -=故选：A.7．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒【答案】C 【分析】根据导数的物理意义可求得结果.【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是21s t t =-+在3t =时的导数值，因为12s t '=-+，所以物体在3秒末的瞬时速度是1235-+⨯=米/秒.故选：C8．曲线2()sin f x x x =-在点()()0,0f 处的切线方程为（）A ．y x =-B ．2y x=-C ．12y x=-D ．13y x=-【答案】A 【分析】求得函数的导数()2cos f x x x '=-，得到(0)1f '=-，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数2()sin f x x x =-，可得(0)0f =，又由()2cos f x x x '=-，则(0)1f '=-，即切线的斜率为1k =-，所以曲线2()sin f x x x =-在点()()0,0f 处的切线方程为y x =-.故选：A.9．某质点的运动规律为23s t =+，则在时间(3,3)t +∆内，质点的位移增量等于（）A ．26()t t ∆+∆B ．96t t+∆+∆C ．23()t t ∆+∆D ．9t+∆【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义计算．【详解】位移增量()222(3Δ)(3)(3Δ)3336Δ(Δ)s t s t t t =+-=++-+=+.故选：A.10．已知函数()(1),()x f x x e f x '=-为()f x 的导函数，则(0)f '=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】对()(1)x f x x e =-求导可得：(1())+-'=-=-x x x f x e e xe x ，代入即可得解.【详解】(1())+-'=-=-x x x f x e e xe x ，所以(0)0f '=．故选：B.【点睛】本题考查了函数求导问题，考查求导公式和求导法则，属于基础题.二、多选题11．（多选题）下列求导运算错误．．的是（）A ．()cos sin x x '=B ．()333log x x e'=C ．()1lg ln10x x '=D ．()212x x --'=-【答案】ABD 【分析】运用基本初等函数的导数公式进行判断即可.【详解】因为()cos sin x x '=-，所以A 不正确；因为()31ln 3333log xxx e⋅=⋅'=，所以B 不正确；因为()1lg ln10x x '=⋅，所以C 正确；因为()221322x x x ----'=-=-，所以D 不正确．故选：ABD12．以下函数求导正确的是（）A ．若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+B ．若()2xf x e =，则()2x f x e'=C ．若()f x =，则()f x '=D ．若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】采用逐一验证法，根据导数的四则运算进行计算，然后判断可得结果.【详解】对A ，()()()()()2222222112411+--⋅'==++x x x xxf x xx，故A 正确对B ，()2222'=⋅=x xf x e e ，故B 错对C ，()()()()111222121212212--⎡⎤'=-'=⋅-⋅=-⎢⎥⎦⎣f x x x x 所以C 正确对D ，()sin 222sin 233ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=--⋅=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦f x x x ，故D 错故选：AC 【点睛】本题考查函数导数的计算，考查导数的四则运算以及复合函数的导数，掌握基础函数的导数，细心计算，属基础题.13．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A ．（1x）′21x =B ．（cos 2x ）'＝﹣2sin 2x C ．333x xln '⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．（lgx ）′110xln -=【答案】BC 【分析】对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可.【详解】211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（cos 2x ）′＝﹣2sin 2x ，3'33x xln ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'10lgx xln =.故选：BC .【点睛】本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题.14．下列计算正确的有（）A ．2()2x x '=B ．()sin cos x x '=C ．()x x e e --'=D ．1(ln(2))2x x '+=+【答案】ABD 【分析】根据导数运算法则和常见函数的导数逐一计算,即可选择.【详解】由导数的运算法则和常见函数的导数有2()2x x '=，()sin cos x x '=，()xx ee --'=-，1(ln(2))2x x '+=+所以正确的有ABD 故选：ABD 【点睛】本题考查导数运算法则和常见函数的导数，考查基本求解能力，属基础题.三、填空题15．设函数()33f x x ax =++，()15f '=，则实数a ＝______．【答案】2；【分析】先对()f x 求导，再利用()15f '=即可求解.【详解】()23f x x a '=+，所以()135f a '=+=，解得2a =，故答案为：2.16．函数1y x x=+的导数是___________.【答案】211x -【分析】运用求导法则求导即可.【详解】1y x x =+，211y x'∴=-故答案为：211x -.17．若函数()f x ，()g x 满足()()21f x xg x x +=-，且()11f =，则()()11f g ''+=___________.【答案】3【分析】先求()11g =-，再对()()21f x xg x x +=-两边求导后令1x =可求()()11f g ''+的值.【详解】因为函数()f x ，()g x 满足()()21f x xg x x +=-，且()11f =，所以()()211110f g +=-=，则()11g =-，对()()21f x xg x x +=-两边求导，可得()()()2f x g x xg x x +''+=，所以()()()1112f g g ''++=，因此()()113f g ''+=.故答案为：318．已知函数()sin 2f x x x =-，则()f x 在[,]22ππ-上的最小值是_______________.【答案】1-π【分析】利用导函数可知在[,]22ππ-上()0f x '<，有()f x 单调递减，即可求区间内最小值.【详解】在[,22ππ-上，有()cos 20f x x '=-<，知：()f x 单调递减，∴min ()(sin 21222f x f ππππ==-⨯=-，故答案为：1-π.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性求区间最值，属于基础题.19．函数2sin y x x =+的单调增区间为___________【答案】(,)-∞+∞【分析】利用导函数的正负，求原函数的单调区间，即可.【详解】解：'2cos y x =+，[]cos 1,1x ∈-，∴'0y >在R 上恒成立，所以函数的单调增区间为(),-∞+∞，故答案为：(),-∞+∞【点睛】本题利用导数考查函数的单调性，属于基础题。

2023-2024学年高考数学一元函数的导数及其应用专项练习题(附答案)

2023-2024学年高考数学一元函数的导数及其应用小专题一、单选题1．已知函数在区间上不单调，则实数a 的取值范围为（）()ln 2f x x ax =--(1,2)A ．B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知函数若有两个零点，则的取值范()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩()[]()1F x f f x m =++12,x x 12x x +围是（）A ．B ．C ．D ．[)42ln2,-+∞)1e,⎡++∞⎣)42ln2,1e ⎡-+⎣(),1e -∞+3．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是()f x R ()f x '()()f x f x '<e 自然对数的底，则一定成立的是（）A ．B ．(2019)e (2020)<f f e (2019)(2020)<f f C ．D ．e (2019)(2020)>f f ()()2019e 2020f f >4．函数的图象在点处的切线方程是（）()4e 2x f x x =--()()0,0f A ．B ．C ．D ．310x y ++=310x y +-=310x y -+=310x y --=5．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取()()()210e 210xxx f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩()()1y f f x a =--a 值范围是（）A ．B ．(]11,12,3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ C ．D ．[)111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (]21,12,3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 6．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（）()2e ln 2xx f x x =+-1x ()ln 2xh x x =2x A ．B ．C ．D ．12x x >21x x >12x x ≥21x x ≥7．若对于任意的，都有，则的最大值为（）120x x a <<<211212ln ln 2x x x x x x ->-a A ．1B ．C ．D ．e1e128．已知是方程的一个根，则的值是（）0x 34e 2ln 40x x x -+-=042e2ln x x -+A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题9．曲线在点处的切线与其平行直线l 的距离为，则直线l 的方程可能为2e cos3xy x =()0,15（）A ．B ．26y x =+24y x =-C ．D ．31y x =+34y x =-10．已知函数是自然对数的底数，则（）ln (),e xf x x =A ．(2)(3)f f >B ．若，则1221ln ln =x x x x 212ex x +=C ．的最大值为()f x 1eD ．若关于的不等式有正整数解，则x 119x x λ⎛⎫≤⎪⎝⎭6λ≥11．设函数，定义域交集为，若存在，使得对任意都有()f x ()g x I 0x I ∈x I ∈，则称构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相()()()()00f x g x x x --≥()()(),f x g x 关函数对”的有（）A ．B ．()()()()e R ,1R xf x xg x x x =∈=+∈()()()()1ln 0,0f x x x g x x x=>=>C ．D ．()()()()10,R 2xf x x xg x x ⎛⎫=≥=∈ ⎪⎝⎭()()()()2R ,R f x x x g x x x =∈=∈12．已知函数，，是其导函数，恒有，则（）()y f x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x '()()sin cos f x f x x x '>A ．B ．ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π426f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()2cos11π6f f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭π2(1)cos13f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭三、填空题13．曲线在点处的切线的斜率为.21()ln 2f x x x x =+()()1,1f 14．已知函数在上存在唯一零点x ，则实数k 的值为．()e x f x kx=-()0,∞+15．函数的极小值点为．()3231f x x x =-+16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使（为()f x D x D ∈y D ∈()()2f x f y C-=C 常数）成立，则称函数在上的“半差值”为.下列四个函数中，满足所在定义域上“半()f x D C 差值”为2的函数是（填上所有满足条件的函数序号）.①②③31y x =-()e 1xy x =+④2log y x =sin y x=答案：1．B【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对()f x (1,2)()f x (1,2)函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等()f x a (1,2)a 式，即可求出结果．【详解】由.11()'-=-=ax f x a x x ①当时，函数单调递增，不合题意；0a ≤()f x ②当时，函数的极值点为，0a >()f x 1x a =若函数在区间不单调，必有，解得；()f x (1,2)112a <<112a <<综上所述：实数a 的取值范围为.1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：B.2．A【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表()e 1m f x -=-12,x x ()f x 12,x x 达式，再根据导数求的取值范围.12x x +【详解】由题意可知，当时，，所以；1x ≥()1ln 11f x x +=+≥()()()1ln 1f f x f x ⎡⎤+=+⎣⎦当时，，所以，1x <()311121222x x f x +=-+=->>()()()1ln 1f f x f x ⎡⎤+=+⎣⎦综上，对，有，R x ∀∈()()()1ln 1f f x f x ⎡⎤+=+⎣⎦由有两个零点，即方程有两个根，()[]()1F x f f x m=++12,x x ()()ln 10f x m ++=12,x x 即方程有两个根，不妨设,()e 1m f x -=-12,x x 12x x <易知函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (),1∞-[)1,+∞当时，,当时，1x ≥2ln e1mx -=-1x <11e 12m x --=-令，因为，所以，e 1mt -=-11122x ->12t >所以，则，21e ,22tx x t ==-121e 22,2t x x t t +=-+>令，()1e 22,2t g t t t =-+>，令，解得，()e 2t g t '=-()0g t '>ln 2t >所以函数在上单调递增，在上单调递减， ()g t ()ln2,∞+1,ln22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时.ln2t =()ln2min e 2ln2242ln2g t =-+=-所以函数的值域为，()g t [)42ln2,∞-+即的取值范围是.12x x +[)42ln2,∞-+故选：A.3．B【分析】构造新函数，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，()()e xf x F x =可得结果.【详解】令，则，()()e xf x F x =()()()-=''x f x x f x F e 由，所以，()()f x f x '<()0F x '>故函数为上的单调递增，所以，()F x R ()()20202019F F >故，即，故B 正确，C 错误；20202019(2020)(2019)>e f f e ()()e 20192020f f <对于AD 无法判断其正误，例如，则，满足题意，()-=-x f x e ()-'=xf x e 此时，即20192019(2019)e ,e (2020)e --=-=-f f ()()2019e 2020=f f 故AD 不一定成立.故选：B 4．D【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】因为，所以．因为，()44e 1x f x '=-()03k f '==()01f =-所以切线方程为，即．13y x +=310x y --=故选：D.5．B当时，由得0x <()10f x -=x 点为-2，0，函数有三个零点，当且仅当(())1y f f x a =--()2f x a =-()f x a =所以实数的取值范围是.a 11(1,1)(2,3]{3}e e ++ 故选：B.关键点睛：本题的关键是利用作出函数图象，利用换元法解决嵌套函数问题，最后转化为直线与函数图象交点个数问题.6．A【分析】根据题目条件求出，，即可判断．111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2112e 4x =<【详解】的定义域为，()2e ln 2xx f x x =+-()0,∞+在上单调递增，且，，()1e x f x x x '=+-()0,∞+1213022e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭41e 154104f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以，，111,42x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭1111e 0xx x +-=所以当时，当时，即在上单调递减，在10x x <<()0f x '<1x x >()0f x ¢>()f x ()10,x 上单调递增，()1,x +∞则在处取得极小值且．()f x 1x x =111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的定义域为，由，()ln 2x h x x =()0,∞+()2222ln 1ln 42x x h x x x --'==当时，，当时，，()0,e x ∈()0h x '>()e,+x ∈∞()0h x '<故在处取得极大值，也是最大值，，()ln 2x h x x =e x =()()max ln e 1e 2e 2e h x h ===即．所以．2112e 4x =<12x x >故选：A 7．C【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调1212ln 2ln 2x x x x ++<ln 2()x f x x +=()f x (0,)a 递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值．()0f x '≥(0,)a a 【详解】解：，，，120x x a <<< 120x x ∴-<211212ln ln 2()x x x x x x ∴-<-，，∴121221ln ln 22x x x x x x -<-∴1212ln 2ln 2x x x x ++<函数在定义域上单调递增，∴ln 2()x f x x +=(0,)a 在上恒成立，∴221(ln 2)ln 1()0x x f x x x -+--'==>(0,)a 则，解得，故的最大值是．ln 10x -->10e x <<a 1e 故选：C ．8．B【分析】化简方程，利用构造函数法，结合导数求得，由此求得34e 2ln 40x x x -+-=42ex x -=的值.042e2ln x x -+【详解】依题意，，0x >由，得，34e 2ln 40x x x -+-=3ln 4e e 3ln 4ln x x x x x x -⋅++-=+，3ln 4ln e 3ln 4e ln x x x x x x +-++-=+设单调递增，()()()e ,e 10,x x f x x f x f x '=+=+>由得，()()3ln 4ln f x x f x +-=3ln 4ln x x x +-=即，即，所以，2ln 4x x +=4ln 2x x -=42e xx -=所以.042000e2ln 2ln 4x x x x -=++=故选：B 9．AB【分析】由导数的几何意义求出切线方程，再根据平行直线间的距离公式可求出结果.【详解】，，()222e cos3e 3sin 3x x y x x '=+-()2e 2cos33sin 3x x x =-0|2x y ='=所以曲线在点处的切线方程为，即，2e cos3xy x =()0,112(0)y x -=-210x y -+=设直线（），:20l x y t -+=1t ≠依题意得，解得或，22|1|521t -=+6t =4t =-所以直线的方程为或.l 26y x =+24y x =-故选：AB 10．CD【分析】根据已知，利用特值法、导数与函数的单调性以及结合函数图象进行计算求解.又因为，所以ln 2ln 8ln 3ln 92636=<=当时，由可知，必有0λ<ln ln 90x x λ≥>故选：CD.右侧图象中的图象高于的图象，在的左侧图象中的图象低于的图象.()f x ()g x 0x x =()f x ()g x 对于A 项，令，()()()e 1xh x f x g x x =-=--则，()e 1xh x '=-，，()00h x x >⇒>'()00h x x <⇒<'所以在上单调递减，在上单调递增，()h x (,0)-∞(0,)+∞所以，()(0)0h x h ≥=即恒成立，所以不符合题意，故A 项不成立；()()f x g x ≥对于B 项，令，，1()()()ln x f x g x x x ϕ=-=-0x >则，211()0x x x ϕ'=+>所以在上单调递增，()ϕx (0,)+∞又因为，，(1)ln1110ϕ=-=-<1(e)ln e 0eϕ=->所以由零点存在性定理知，存在唯一，使得，0(1,e)x ∈0()0x ϕ=则对任意，不等式恒成立，符合题意，故B 项正确；,()0x ∈+∞0[()()]()0f x g x x x --≥对于C 项，，1()()()()2xm x f x g x x =-=-则，1211()()ln 2022x m x x -'=+>所以在单调递增，()m x [0,)+∞又因为，，(0)10m =-<1(1)02m =>所以由零点存在性定理知，存在唯一，使得，0(0,1)x ∈0()0m x =则对任意，不等式恒成立，符合题意，故C 项正确；[0,)x ∈+∞0[()()]()0f x g x x x --≥对于D 项，因为，解得：或，()()f x g x =0x =1x =所以图象与图象有两个交点，不符合题意，故D 项不成立.()f x ()g x 故选：BC.12．AD【分析】由题设得，构造并应用导数研究单调性，()cos ()sin f x x f x x '>()()cos g x f x x =【详解】因为，所以，又，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0,cos 0x x >>()()sin cos f x f x x x '>所以，()cos ()sin f x x f x x '>构造函数，，则，()()cos g x f x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->所以在上为增函数，()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，所以，即，即，故A 正确；ππ34>ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，即，故，故B 错ππ46>ππ46g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos 4466f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6π426f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；因为，所以，即，故，故C 错误；π16<()π16g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭ππcos (1)cos166f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭π23(1)cos163f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭因为，所以，即，故，故D 正确.π13>()π13g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭ππcos (1)cos133f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭π2(1)cos13f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭故选：AD 关键点点睛：将已知条件转化为，进而构造研究单调()cos ()sin f x x f x x '>()()cos g x f x x =性为关键.13．2【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率即可.()1f '【详解】由可得，21()ln 2f x x x x =+()ln 1f x x x =++'于是.()11ln112f +'=+=所以曲线在点处的切线的斜率为.21()ln 2f x x x x =+()()1,1f 2故答案为.214．e【分析】根据零点定义，结合导数的性质进行求解即可.【详解】因为函数在上存在唯一零点x ，()e x f x kx =-()0,∞+所以当时，函数有最小值所以当时，两个函数的图象有唯一交点，符合题意，e =k 故e方法点睛：函数的零点问题一般可以转化为方程实根问题或者转化为两个函数交点问题15．2【分析】利用导数判断单调性，进而判断极小值点【分析】①③中函数值域为，可直接判断；②④中求出的值域和值域，看R ()f x ()4f y +是否符合题目要求的包含关系来判断.【详解】①：因为函数的值域是全体实数集，所以对于任意，存在，31y x =-x ∈R R y ∈使成立，符合题意()()22f x f y -=②：，()()e 1e 2x x y x y x '=+⇒=+当时，，该函数此时单调递增，当时，，该函数此时单调递减，2x >-0'>y <2x -0'<y 所以当时，函数有最小值，2x =-2e --若是“半差值”为2的函数，因此有，存在，使成立，()e 1xy x =+x ∀∈R R y ∈()()22f x f y -=即，即的值域是值域的子集，()()4f x f y =+()f x ()4f y +对于，，而，显然，不一定存在，使x ∀∈R ()2e f x -≥-()24e 4f y -+≥-+x ∀∈R R y ∈成立，故本函数不符合题意；()()22f x f y -=③：因为函数的值域是全体实数集，所以对于，存在，使2log y x =x ∀∈R R y ∈成立，符合题意；()()22f x f y -=④：若是实数集上的“半差值”为2的函数，因此有，存在，使sin y x =x ∀∈R R y ∈，即，即的值域是值域的子集()()22f x f y -=()()4f x f y =+()f x ()4f y +对于，，而，显然恒不成立，故假设不成x ∀∈R ()11f x -≤≤()345f y ≤+≤()()4f x f y =+立，所以本函数不符合题意.故①③.。

第五章一元函数的导数及其应用【章节复习专项训练】(解析版)

第五章一元函数的导数及其应用【章节复习专项训练】【考点1】：变化率问题例题1．函数y =x 2在区间[x 0，x 0+x ∆]上的平均变化率为k 1，在[x 0﹣x ∆，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是（）A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1=k 2D ．k 1与k 2的大小关系不确定【答案】A 【分析】直接利用平均变化率公式求解即可【详解】由题意结合函数的解析式有：22000010()()()()2f x x f x x x x k x x x x +∆-+∆-===+∆∆∆，22000020()()()()2f x f x x x x x k x x x x--∆--∆===-∆∆∆，则124k k x -=∆，因为0x ∆>，所以k 1>k 2.故选：A.【变式1】设函数()y f x =在R 上可导，则0(1)(1)lim 3x f x f x ∆→+∆-∆等于（）A ．(1)f 'B ．3(1)f 'C ．1(1)3f 'D ．以上都不对【答案】C 【分析】根据导数的定义，直接得出结果.【详解】根据导数的定义，()()11lim (1)x f x f f x∆→+∆-'=∆.所以0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-∆()()01111lim (1)33x f x f f x ∆→+∆-'==∆故选：C.【变式2】在高台跳水运动中s t 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是()24.9 6.510h t t t =-++，则高台跳水运动中运动员在2s t =时的瞬时速度是（）A ． 3.3-B ．13.1-C ．13.1D ．3.3【分析】根据瞬时速度与导数的关系，先对()24.9 6.510h t t t =-++求导，再把2t =代入'()h t 进行运算即可【详解】解：由()24.9 6.510h t t t =-++，得'()9.8 6.5h t t =-+，当2t =时，'(2)9.82 6.513.1h =-⨯+=-，所以高台跳水运动中运动员在2s t =时的瞬时速度13.1-，故选：B 【点睛】此题考查导数的定义与运算，考查运算能力，属于基础题【变式3】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh 时，原油的温度（单位：℃）为y ＝f (x )＝x 2﹣7x +15（0≤x ≤＜8），则第4h 时，原油温度的瞬时变化率为（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．5【答案】B 【分析】根据瞬时变化率的定义，求得()4f '，则问题得解.【详解】根据题意，第4h 时，原油温度的瞬时变化率为()4f '；又()2715f x x x =-+，故可得()27f x x '=-，则()41f '=.故选：B .【点睛】本题考查导数的计算以及瞬时变化率的定义，属简单题.【变式4】函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为A ．1B ．2C ．πD ．2π【答案】C 【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.【考点2】：导数几何意义的应用例题1．函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是（）A ．在点()()00,x f x 处与()y f x =的图象只有一个交点的直线的斜率B ．过点()()00,x f x 的切线的斜率C ．点()()00,x f x 与点(0,0)的连线的斜率D ．函数()y f x =的图象在点()()00,x f x 处的切线的斜率【答案】D 【分析】由导数的几何意义即可求解.【详解】解：()0f x '的几何意义是函数()y f x =的图象在点()()00,x f x 处的切线的斜率．故选：D.【变式1】过原点作曲线ln y x =的切线，则切线的斜率为（）A ．eB ．1eC ．1D ．21e 【答案】B 【分析】先设出切点坐标为(,)m n ，则由导数的几何意义可得切线的斜率为1m，从而可得切线方程为1()y n x m m-=-，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标1n =，再将1n =代入曲线方程中可求出m 的值，进而可得切线的斜率【详解】解：设切点坐标为(,)m n ，由ln y x =，得'1y x =，所以切线的斜率为1m，所以切线方程为1()y n x m m-=-，因为切线过原点，所以10(0)n m m-=-，得1n =，因为切点(,)m n 在曲线ln y x =上，所以ln n m =，解得m e =，所以切线的斜率为1e，故选：B【变式2】曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】求得函数2y x x =+的导数，由导数的几何意义，可令1x =，计算可得所求切线的斜率.【详解】解：2y x x =+的导数为21y x =+′，可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113⨯+=.故选：C.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.【变式3】函数x y e =（e 是自然对数的底数）在点()0,1处的切线方程是（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．1y x =--D ．1y x =-+【答案】B 【分析】对函数求导，根据导数的几何意义，求出在点()0,1处的切线斜率，进而可得切线方程.【详解】由x y e =得e x y '=，则x y e =在点()0,1处的切线斜率为001x k y e ===='，因此x y e =在点()0,1处的切线方程为10y x -=-，即1y x =+.故选：B.【点睛】本题主要考查求曲线在一点处的切线方程，属于基础题型.【变式4】曲线x y e =在点()22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e 【答案】D 【分析】求出曲线在()22,e处的切线方程，求出切线的横截距和纵截距后可得所求的面积.【详解】e x y '=，故切线的斜率为2k e =，故切线方程为：()222y e e x -=-，化简得到22y e x e =-.令0x =，则2y e =-；令0y =，则1x =.故切线与坐标轴所围三角形的面积为221122e e ⨯⨯=.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及直线方程的应用，对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标，本题属于基础题.【考点3】：导数的运算例题1．下列求导运算正确的是（）A ．2313ln x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．1xxxx ee '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()3cos 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅+D ．()21ln 2log 21ln 2x '+=+-【答案】B 【分析】根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．【详解】选项A ，2313ln x x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；选项B ，()()21x x x x x x e x e x xe e e '''--⎛⎫== ⎪⎝⎭，故B 正确；选项C ，()()3cos 23cos 23(cos 2)x x x x x x '''=+3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x =-⋅=⋅-，故C 错；选项D ，()21ln 2log ln 2x x '+=，故D 错.故选：B.【变式1】下列求导运算中错误的是（）A ．(3)3ln 3xx '=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭D ．(sin cos )cos 2x x x='⋅【答案】C 【分析】依据求导公式及法则一一判断即可.【详解】A 选项：(3)3ln 3x x '=，A 正确；B 选项：()22ln ln ln 1ln x x x x x x x x x '''⋅-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确；C 选项：2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，C 错误；D 选项：()()22(sin cos )sin cos cos sin cos sin cos 2x x x x x x x x x ''⋅-'=⋅+⋅==，D 正确故选：C【变式2】若函数()f x 在R 上可导，且()()()222f x x f x m m R '=++∈，则（）A ．()()05f f <B ．()()05f f =C ．()()05f f >D ．以上答案都不对【答案】C 【分析】由已知等式两边同时求导，取2x =，求出()2'2f 的值，利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题．【详解】()()22'2f x x f x m =++，()()'22'2f x x f ∴=+,()()22222f f ∴=⨯'+',()24f ∴'=-,()28f x x x m ∴=-+，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：4x =，()()05f f ∴>.故选：C ．【点睛】本题考查导数的运算，求出()2f '的值是关键，属于中档题．【变式3】函数f （x ）＝1﹣x +x 4的导数记为()f x '，则()1f '-等于（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣5【答案】D 【分析】先求导()f x '，再将x =-1代入求解.【详解】()f x '＝﹣1+4x 3，∴()1f '-＝﹣1﹣4＝﹣5，故选：D.【变式4】已知()2xf x x e =+，则()0f '=（）A ．0B ．4-C ．2-D ．1【答案】D 【分析】利用导数的运算法则可求得()f x '，进而可求得()0f '的值.【详解】由题意，得()2xf x x e =+'，则()01f '=，故选：D ．【考点4】：函数的单调性例题1．函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（）A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．)+∞D ．⎛ ⎝⎭【答案】D 【分析】由()0f x '<可解得结果.【详解】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x=⋅+⋅=+=+'．令()0f x '<，得2ln 10x +<，解得0x e<<，故函数2()ln f x x x =的单调递减区间为0,e e ⎛ ⎝⎭．故选：D【变式1】已知函数21()ln 2f x x x =-，则其单调增区间是（）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】A 【分析】求导21()x f x x-'=，求函数的单调递增区间，即求不等式()0f x '>，解不等式即可的答案.【详解】由21()ln 2f x x x =-，函数定义域为()0,∞+，求导211()x f x x x x='-=-，令()0f x '>，得1x >或1x <-（舍去）所以()f x 单调增区间是()1,+∞故选：A.【变式2】下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A ．4y x =B ．2xy -=C ．cos y x x=+D ．12y x =-【答案】C 【分析】根据幂函数、知识函数的图象与性质可判断A ，B ，D 的单调性，然后利用导数判断C 选项的增减性．【详解】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减；对于B 选项，函数2x y -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增；对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减.故选：C ．【变式3】已知函数2()ln f x x x ax =++的单调递减区间为1(,1)2，则a 的值为（）A ．(,3)-∞-B ．3-C ．3D ．(,3)-∞【答案】B 【分析】等价于不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，利用一元二次不等式的解集即得解.【详解】由题得1()20f x x a x '=++<的解集为1(,1)2，所以不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，所以11,322aa +=-∴=-故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.【变式4】函数x y x e =⋅的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性即可得到答案.【详解】'(1)x y x e =+⋅，当1x >-时，'0y >，当1x <-时，'0y <，所以函数x y x e =⋅在(1,)-+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.故选：C 【点睛】本题考查根据解析式识别函数的图象，涉及到利用导数研究函数的性质，考查学生的推理能力，是一道容易题.【考点5】：函数的极值与最值问题例题1．设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （）A ．有且仅有一个极小值B ．有且仅有一个极大值C ．有无数个极值D ．没有极值【答案】A 【分析】求出()sin f x x x '=-，二次求导可得()f x '单调递增且()00f '=，从而判断出函数的单调性，进而得到极值点.【详解】()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，考查了基本运算能力，属于基础题.【变式1】已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（）A ．1B ．2C ．12D ．-2【答案】C 【分析】利用()'20f =列方程，解方程求得a 的值.【详解】()'1f x a x =-，依题意()'20f =，即110,22a a -==.此时()()'112022xf x x x x-=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意.所以12a =.故选：C 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.【变式2】当函数2x y x =⋅取极小值时，x 的值为A ．1ln 2B ．1ln 2-C ．ln 2D ．ln 2-【答案】B 【详解】分析：对函数求导，由2221220x x x y x ln xln '=+⋅=+⋅=（），即可得出结论．详解2•2212•20x x x y x ln xln '=+=+=：（），即1120.2xln x ln +==-，故选B ．点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题【变式3】已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为（）A ．3-B ．0C ．3D ．7【答案】B【分析】根据极值与导数的关系判断．【详解】由()'f x 知，0x =时，(0)0f '=，30x -<<时，()0f x '>，03x <<时，()0f x '<，0是极值点．虽然有(7)0f '=，但在7的两侧，()0f x '<，7不是极值点．故选：B ．【变式4】已知函数31()43f x x x =-，则()f x ）的极大值点为（）A ．4x =-B ．4x =C ．2x =-D ．2x =【答案】C【分析】求出函数31()43f x x x =-的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】解：由31()43f x x x =-，得：()24f x x '=-.由()240f x x '=->，得：2x <-，或2x >.由()240f x x '=-<，得：22x -<<.所以函数()f x 的增区间为()(),2,2,-∞-+∞.函数()f x 的减区间为()2,2-.所以，2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.。

第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷(原卷版)

第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()f x 在1x =处的导数为2，则()()011lim2x f x f x ∆→+∆-=∆ ( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．62．已知函数()()22cos f x t g x x ==，，则（）A ．()()0,2sin f x g x x ''==-B ．()()2,2sin f x t g x x =-''=C ．()()02sin f x g x x ''==，D ．()()2,2sin f x t g x x =''=3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪速度为（） A ．7.5m /s B ．13.5m /s C ．16.5m /s D ．22.5m /s4．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数(=cos2ln y x x ⋅的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．6．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '-++<，则（） A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<7．给定函数()()1e x f x x =-，则下列结论不正确的是（）A ．函数()f x 有两个零点B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．函数()f x 的最小值是1-D ．当1a =-或0a ≥时，方程()f x a =有1个解8．若120x x a <<≤都有211212ln ln x x x x x x -<-成立，则a 的最大值为（）A ．12 B ．1 C ．e D ．2e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

考研数学二(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷5(题后

考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x 垂直，则=A．-1．B．0．C．1．D．不存在．正确答案：B解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算2．设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A．a=0，b=2．B．a=1，b=-3．C．a=-3，b=1．D．a=-1，b=-1．正确答案：D解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算3．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要.B．充分必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：B解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在，即均存在且相等因此应选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件．A．充分必要.B．充分非必要.C．必要非充分.D．既非充分也非必要.正确答案：A解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有A．3个．B．2个．C．1个．D．0个．正确答案：B解析：函数｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=-1不可导且它们处处连续．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可导．因此选(B)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．设f(x+1)=a f(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A．不可导．B．可导且f’(1)=a．C．可导且f’(1)=b．D．可导且f’(1)=ab．正确答案：D解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算填空题8．请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是________无穷小．正确答案：同阶；同阶；高阶解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算9．设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．正确答案：ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef( x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算10．设y=f(x)可导，且y’≠0．若y=f(x)二阶可导，则=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算11．对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．正确答案：解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案

《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案一元函数积分学练习题参考答案1. C解析：A. )(0)()(x f x F k x F =='⇒=，正确； B. C C x F x F =+⇒=)(0)(，正确；C. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001cos 1sin 2)(x x xx x x f 在)1,1(-内不连续，但它存在原函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x F ；D. 根据原函数的定义有：)()(x f x F ='。

显然正确。

2. D解析：由于)()(x f x F ='，故)(x F 在I 上必连续，但未必有界，例如：x1在)1,0(上的原函数是x ln ，而x ln 在)1,0(上就无界。

故选 D3. C解析：只有奇函数的原函数一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是。

)(cos x f ，)]()([x f x f x --都是偶函数，故A.，B.，D 不正确。

而)(2x f 的一个原函数为dt t f x F x⎰=2)()(，)()()()(0202x F du u f dt t f x F xtu x-=-−−→−=-⎰⎰-=-，故)(x F 是奇函数，C 正确。

4. C解析：)()(x f x F ='，)(x F 必连续，故)(x F 必存在原函数，C 正确。

5. D解析：1)(lim 0=-→x f x ，41)(lim 0π+=+→x f x ，故0=x 为第一类间断点，A 不正确当)(x f 有第一类间断点),(0b a x ∈，但在),(0x a ，),(0b x 内必连续时，可以证明： dt t f x F xa⎰=)()(，),(b a x ∈，必为],[b a 上的连续函数。

对于本题，不妨有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=0344sin 03431)(3x x x x x x x F π，显然 )(x F 是连续的，所以答案C 错误，但4134)344(sin lim )0()(lim )0(00ππ+=-++=-=++→→+x x x x F x F F x x ， 134)3431(lim )0()(lim )0(300=-++=-=--→→-xx x x F x F F x x ， )0()0(-+≠F F ，故)(x F 在0=x 处不可导。

第五章一元函数的导数及其应用【压轴题专项训练】(解析版)

第五章一元函数的导数及其应用【压轴题专项训练】一、单选题1．已知函数()ln f x x x =+，()ln g x x x =，若()1ln f x t =，()2g x t =，则12ln x x t 的最小值为（）．A ．21e B ．2eC ．1e-D ．21e -【答案】C 【分析】由题可得12ln 12ln xx e x ex ⋅=⋅，由x y xe =在()0,∞+单调递增得12ln x x =，即12x x t =，则12ln ln x x t t t =，利用导数求出()()ln 0h x t t t =>的最小值即可.【详解】()111ln ln f x x x t =+=，11x t e x ∴=⋅①，()222ln g x x x t ==，2ln 2ln x t e x ∴=⋅②，由①②得12ln 12ln xx e x ex ⋅=⋅，x y xe =在()0,∞+单调递增，12ln x x ∴=，则12x x t =，12ln ln x x t t t ∴=，令()()ln 0h x t t t =>，则()ln 1h t t '=+，令()0h t '>，解得1t e >，令()0h t '<，解得10<<t e，故()h t 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()min 11h t h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.故选：C.2．已知存在正实数x ，y 满足2222()(ln ln )0ax x y y x +--=，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．[0，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C 【分析】等式两边同除2x ，参变分离，通过yt x=得到关于t 的函数()f t ，然后利用导数研究其单调性和最值，得到()f t 的值域，从而得到a 的范围.【详解】已知存在正实数x ，y 满足()()2222ln ln 0ax x y y x +--=，则2221ln y ya x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭有解，令2y t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0t >，()()11ln 2f t t t =-，()0t >，则()1ln 1f x t t'=+-，又易得()f t '为增函数，又()10f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()y f x =在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，所以()()10min f x f ==，即()f x 的值域为[)0,+∞，即[)20,a ∈+∞，即实数a 的取值范围是[)0,+∞，故选C 项．3．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -【答案】C 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x+'==2x a x +，[]1,e x ∈.当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意.当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--.综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭.故选C.4．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．5．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22f x f x '-<，若()01f =-，则不等式()22xe f x -<的解集为（）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【分析】构造函数()()221,x f x g x x R e +=-∈，利用()()22f x f x '-<，可得()0g x '<，利用其单调性即可得出不等式的解集.【详解】构造函数()()221,xf xg x x R e+=-∈，∵()()22f x f x '-<，∴()()()()()()()222222222012xxx x f x f x f x e e f x g x e e'--'-+'==<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()120101g -+=-=，∴不等式()()00g x g >=的解集为{|0}x x <，故选：A.6．已知函数2()6x f x x =+，213()211g x x mx =++．若1[2x ∀∈，4]，都2[2x ∃∈，4]，使12()()f x g x 成立，则实数m 的取值范围为A ．(-∞，4]-B ．[4-，2]-C ．[2-，5]4-D ．(-∞，5]4-【答案】D【解析】因为函数2()6x f x x =+，213()211g x x mx =++，1[2x ∀∈，4]，都2[2x ∃∈，4]，使12()()f x g x 成立，所以()()f x g x 最小值最小值，因为1[2x ∀∈，4]，21()66x f x x x x==++在区间[2上为增函数，在，4]上为减函数，f （2）15=，f （4）211=，12511>，所以函数()f x 在区间[2，4]上的最小值是f （4）211=；函数()g x 开口向上，且对称轴x m =-，①当2m - ，即2m - ，()g x g =最小值（2）132********m m =++⇒- ，所以：524m -- ；②当24m <-<，即42m -<<-，()22132()211111g x g m m m m =-=-+⇒-最小值或1m ，所以42m -<<-；③4m - ，即4m - ，()g x g =最小值（4）1321716811118m m =++⇒- ，所以4m - ；综上所述，m 的取值范围：(-∞，5]4-，故选D ．7．已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞-【答案】A 【分析】分四种情况讨论，分别判断x a =两边导函数值的符号，判断()f x 在x a =处是否取得极大值，即可筛选出a 的取值范围.【详解】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->，且②存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足②即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①②，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足②，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.综上，a 的取值范围是()1,0-.故选：A.8．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列排序正确是（）A ．()()()()11f a f a f a f a ''+-+＜＜B ．()()()()11f a f a f a f a ''++-＜＜C ．()()()()11f a f a f a f a ''++-＜＜D ．()()()()11f a f a f a f a ''+-+＜＜【答案】C 【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.【详解】因为'()f a 、'(1)f a +分别是函数()f x 在x a =、1x a =+处的切线斜率，由图可知'(1)'()0f a f a +<<，又0(1)()(1)()'()(1)f a f a f a f a f x a a+-+-==+-，0(,1)x a a ∈+，所以()()()()11f a f a f a f a ''++-＜＜，故选：C.9．记函数(2)()y f x =表示对函数()y f x =连续两次求导,即先对()y f x =求导得'()y f x =,再对'()y f x =求导得(2)()y f x =,下列函数中满足(2)()()f x f x =的是A ．()f x x =B ．()sin f x x=C ．()xf x e =D ．()ln f x x=【答案】C 【详解】()()()()2,'1,0A f x f x f x ==≠；()()()()2,'cos ,sin B f x x f x x f x ==-≠；()()()()2,',x x C f x e f x e f x ===；()()()()2211,',D f x fx f x xx ==-≠，综上可知，只有C 满足()()()2fx f x =，故选C.10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-(e 是自然对数的底数)，且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（）A ．[),0e -B ．)2,0e ⎡-⎣C ．(],0e -D ．(2,0e ⎤-⎦【答案】C【分析】由题意得()()23x e f x f x x '+=+⎡⎤⎣⎦即()23x e f x x '⎡⎤=+⎣⎦求出()f x 解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】()()23xx f x f x e+'=-即()()23xe f x f x x '+=+⎡⎤⎣⎦，所以()23xe f x x '⎡⎤=+⎣⎦，则()23x e f x x x c =++，所以()23xx x c f x e ++=，因为()01f =，所以()001c f c e ===，所以()231xx x f x e ++=，()()()()()()2222331221x x xxxx e e x x x x x x f x e e e +-++-+--+-'==，由()0f x '>得21x -<<，此时()f x 单调递增，由()0f x '<得2x <-或1x >，此时()f x 单调递减，所以1x =时，()f x 取得极大值为()51f e=，当2x =-时，()f x 取得极小值()220f e -=-<，又因为()10f e -=-<，()010f =>，()330f e -=>，且1x >时，()0f x >，()0f x m -<的解集中恰有两个整数等价于()231xx x f x e++=在y m=下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则()10f m -<≤，解得0e m -<≤，所以0e m -<≤时，()0f x m -<的解集中恰有两个整数1,2--，故实数m 的取值范围是(],0e -故选：C二、多选题11．已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值【答案】BC 【分析】利用()0f x '>的区间是增区间，使()0f x '<的区间是减区间，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值分别对选项进行逐一判定.【详解】对于A ，函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有增有减，故A 不正确；对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确；对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确.故选：BC12．已知函数()ln 2x f x e x =--，则下列说法正确的是（）A ．()f x 有且仅有一个极值点B ．()f x 有零点C ．若()f x 的极小值点为0x ，则()0102f x <<D ．若()f x 的极小值点为0x ，则()0112f x <<【答案】AC 【分析】利用导数知识对四个选项逐一分析即可得正确的选项.【详解】由题意得，()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()x f x e x'=-，设()()h x f x '=，则21()0xh x e x'=+>，∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，又1212202h e ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，1(1)10h e =->，∴()0h x 存在唯一零点，设为0x ，当00x x <<时，()0,()f x f x '<单调递减，当0x x >时，()0,()f x f x '>单调递增，∴()f x 有唯一极小值点0x ，故选项A 正确．令()00010xf x e x '=-=，得001x e x =，两边同时取对数可得0001ln ln x x x ==-．∴()000001ln 2220xf x e x x x =--=+-≥=（当且仅当01x =时等号成立），又0112x <<，∴()00f x >，即min [()]0f x >，∴()f x 无零点，故选项B 错误．由()0000112,12f x x x x =+-<<，可设1()2g x x x =+-，则21()1g x x=-+'．当112x <<时，()0g x '<，∴()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．∴1(1)()2g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()0102f x <<，故选项C 正确，选项D 错误，故选：AC 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.13．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e ef e e f >【答案】BD 【分析】对函数()g x 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A ，B ；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C ；利用()g x 在()1,-+∞上为增函数，比较()2g 与()g e 的大小关系，判断出选项D ．【详解】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确；若()10g -<，则()y g x =有两个零点，若()10g -=，则()y g x =有一个零点，若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22e f f e e e<，化简得2()(2)e e f e e f >，D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．14．若函数()ln f x x ⋅在定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数为（）.A ．1()f x e =B ．()1f x x =-C ．1()xf x e =D ．()xf x e =【答案】AD 【分析】根据已知中函数()f x 具有M 性质的定义，一一验证可得．【详解】解：对于A ，()1()ln ln g x f x x x e=⋅=⋅定义域为()0,∞+，则()10g x ex '=>恒成立，故满足条件；对于B ，()()()ln 1ln g x f x x x x =⋅=-⋅定义域为()0,∞+，则()1ln 1g x x x'=-+，又2111ln 10x x x x '⎛⎫-+=+> ⎪⎝⎭，()11ln1101g '=-+=，即当01x <<时()0g x '<，函数()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时()0g x '>，函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故不满足条件；对于C ，()1()ln ln x g x f x x x e=⋅=⋅定义域为()0,∞+，()1ln xxx g x e -'=，又2111ln 0x x x x '⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()g x '在定义域上单调递减，且()110e e g e e-'=<，故不满足函数()g x 在定义域上单调递增，故错误；对于D ，()()ln ln x g x f x x e x =⋅=⋅定义域为()0,∞+，()11ln ln x x x g x e x e e x x x ⎛⎫'=⋅+=+ ⎪⎝⎭，令()1ln h x x x =+，()22111x h x x x x-'=-=，则1x >时，()0h x '>；当01x <<时()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值即最小值()()min 110h x h ==>，所以()1ln 0x g x e x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭恒成立，即()g x 在定义域上单调递增，故D 正确；故选：AD 三、填空题15．已知函数32()245f x ax x x =+-+，当23x =时，函数()f x 有极值，则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为_________.【答案】13【分析】由题可得()f x 在23x =的导数值等于0，可求得1a =，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】()2344f x ax x '=+-，当23x =时，函数()f x 有极值，2440333f a ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得1a =，()()()2344322f x x x x x '∴=+-=-+，当()3,2x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增，当22,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在2x =-处取得极大值()213f -=，且()38f -=，()14f =，∴()f x 在[]3,1-上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.16．已知函数()3kf x lnx x x=++-的极小值大于零，则实数k 的取值范围是．【答案】(2,)+∞【解析】函数()3kf x lnx x x=++-，(0,)x ∈+∞，2221()1k x x kf x x x x +-'=-+=，令20x x k +-=，△14k =+，令△0 ，解得14k -，此时20x x k +- ，()0f x ' ，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上的单调递增，函数()f x 无极值．104k -< 时，20x x k +->，()0f x '>，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上的单调递增，函数()f x 无极值．0k >时，△0>，设方程20x x k +-=的两个实数根为1x ，2x ，12x x <，解得：10x =，20x =，因此可得：函数()f x 在2(0,)x 上单调递减，在2(x ，)+∞上单调递增．2x x ∴=时函数()f x 取得极小值，222222222222()3322x x kf x lnx x lnx x lnx x x x +=++-=++-=+-，f （1）0=，又2()f x 在(0,)+∞上单调递增，21x ∴>．∴1>，解得2k >．∴实数k 的取值范围是(2,)+∞．故答案为：(2,)+∞．四、解答题17．已知函数1()ln 1f x x x=+-,32()324g x x a x a =--+,[]0,1x ∈,其中0a ≥.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]11,x e ∈,总存在[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞（2）11,22e ⎡⎤-⎢⎣⎦【分析】（1）求导后,令导函数大于0的解集即为增区间,令导函数小于0的解集即为减区间;（2）问题等价于函数()f x 在[]1,e 上的值域包含于函数()g x 在[]0,1上的值域,再求解即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,22111()x f x x x x-'=-+=,令()0f x '>,解得1x >,令()0f x '<,解得01x <<,∴函数()f x 的减区间为(0,1),增区间为(1,)+∞;（2）依题意,函数()f x 在[]1,e 上的值域包含于函数g x （）在[]0,1上的值域,由（1）可知,函数()f x 在[]1,e 上单调递增,故值域为10,e ⎡⎤⎢⎣⎦,由32()324g x x a x a =--+得22()333()()g x x a x a x a '=-=+-,①当0a =时,()0g x '≥恒成立,故函数g()x 在[]0,1上单调递增,此时值域为[]224,3254,5a a a ⎡⎤-+--+=⎣⎦,故0a =不符合题意;②当0a >时,()0g x '>的解集为(,)a +∞,()0g x '<的解集为(0,)a ,∴故函数()g x 在(0,)a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,且2(0)42,(1)325g a g a a =-=--+,()i 当01a <<时,函数g()x 在(0,)a 上单调递减,在(,1)a 上单调递增,此时值域为{}32224,42,325a a max a a a ⎡⎤--+---+⎣⎦,则此时需要32240a a --+≤,即320a a +-≥,当01a <<时,320a a +-≥不可能成立,故01a <<不符合题意;()ii 当1a ≥时,()0g x '≤在[]0,1上恒成立,则函数g()x 在[]0,1上单调递减,此时值域为2325,42a a a ⎡⎤--+-⎣⎦,则23250142a a a e ⎧--+≤⎪⎨-≥⎪⎩,解得1122a e ≤≤-;综上所述,实数a 的取值范围为11,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.已知函数21()2f x x ax =-.（1）若()()ln g x f x x a x =-+，讨论()g x 的单调性；（2）已知()()2ln 42h x f x x x a =--+，若方程()0h x =在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）19ln 2,22010⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【分析】（1）对()g x 求导，再对a 分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；（2）将方程()0h x =在1[,)2+∞有且只有两个解，转化为关于x 方程2222x xlnx a x -+=+在1[,)2+∞上有两个不相等的实数根，令22()2x xlnx t x x -+=+，利用导数求得()t x 的单调性，结合题意可求得a 的取值范围．【详解】（1）依题可得()21()1ln 2g x x a x a x =-++，函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++==.当0a ≤时，由()0g x '<，得1x <，则()g x 的减区间为(0,1)；由()0g x '>，得1x >，则()g x 的增区间为(1,)+∞.当01a <<时，由()0g x '<，得1<<a x ，则()g x 的减区间为(,1)a ；由()0g x '>，得x a <或1x >，则()g x 的增区间为(0,)a 和(1,)+∞.当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的增区间为(0,)+∞.当1a >时，由()0g x '<，得1x a <<，则()g x 的减区间为(1,)a ；由()0g x '>，得1x <或x a >，则()g x 的增区间为(0,1)和(,)a +∞.（2）()2()2ln 422ln 42h x f x x x a x ax x x a =--+=---+.()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，即关于x 方程2ln 222x x x a x -+=+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令2ln 2()2x x x t x x -+=+，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2232ln 4()(2)x x x t x x +--'=+.令2()32ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则(21)(2)()x x p x x-+'=，显然()0p x '≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为(1)0p =，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0p x <，即()0t x '<，所以()t x 单调递减；当[1,)x ∈+∞时，有()0p x >，即()0t x '>，所以()t x 单调递增.因为19ln 22105t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(1)1t =，41(4)3ln 232t t ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是19ln 2,22010⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将方程分离常数后转化为两个函数的交点个数问题，分离常数后构造函数，求导后利用函数的单调性结合函数图象判断出两个零点的常数的范围.19.已知函数()()()2ln f x a x x x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当1x >时，12221ln x e x x x x-+≥-.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，求得()221ax ax f x x--'=，对实数a 的取值进行分类讨论，讨论()f x '在()0,∞+上的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调性；（2）利用（1）中的结论可得当1x >时，20ln x x x <<-，利用导数证明出12210x e x -≥+>，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212121ax ax f x a x x x--'=--=.令()221g x ax ax =--.①当0a =时，()10g x =-<，()()0g x f x x'=<，故()f x 在()0,∞+单调递减；②当0a ≠时，()g x 为二次函数，28a a ∆=+.若0∆≤，即80a -≤<，则()g x 的图象为开口向下的抛物线且()0g x ≤，所以()0f x '≤，故()f x 在()0,∞+单调递减；若0∆>，即8a <-或0a >，令()0g x =，得14a x a =，24a x a+=.当8a <-时，()g x 图象为开口向下的抛物线，210x x <<，所以当()20,x x ∈或()1,x x ∈+∞时，()0g x <，所以()0f x '<，()f x 单调递减；当()21,x x x ∈时，()0g x >，所以()0f x '>，()f x 单调递增；当0a >时，()g x 图象为开口向上的抛物线，120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x ≤，所以()0f x '<，故()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，所以()0f x '>，()f x 单调递增.综上，当8a <-时，()f x 在0,4a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭和,4a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,44a a a a ⎛+-⎪⎝⎭上单调递增；当0a >时，()f x 在0,4a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在,4a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当80a -≤≤，()f x 在()0,∞+单调递减;（2）由（1）知，当1a =时，()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，因此对1x ∀>恒有()()1f x f >，即2ln x x x ->.因为20ln x x x <<-，若1221x e x -≥+成立，则12221ln x e x x x x-+≥-成立.令()()()121112x x ex x ϕ-=-+≥，则()1x x e x ϕ-'=-，()11x x e ϕ-''=-.因为1≥x ，所以()0x ϕ''≥，所以()x ϕ'在[)1,+∞单调递增，又()01ϕ'=，所以当1≥x 时，()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在[)1,+∞单调递增，又()10ϕ=，所以对1x ∀>恒有()()10x ϕϕ>=，即1221x e x -≥+.当1x >时，20ln x x x <<-，则2110ln x x x>>-，由不等式的基本性质可得12221ln x e x x x x-+≥-.因此，原不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数()cos ,()ln (1ln )cos f x x g x x x x x xππππ=+=-+-.（1）求证：函数()f x 在区间30,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有2个零点；（2）求证：函数()g x 有唯一的极值点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数说明其单调性，即可证明；（2）首先求出()g x 的导函数，记()()sin ln ln ,h x g x x x πππ==+-'则()()cos h x x f x xπ='+=，结合（1）的结论证明即可；【详解】证明：（1）由题意得()2sin f x x x π'=--.①当()0,x π∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,π上单调递减，从而()()0f x f π>=，所以()f x 在区间()0,π上没有零点.②当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()32cos 0f x x x π-+''=>，所以()f x '在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.因为134()0,1029f f ππππ''⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在3,2t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t '=，从而可列下表：x π(),t πt3,2t π⎛⎫⎪⎝⎭32π()f x '-+()f x 0小于023所以存在3,2t πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0.f α=又因为()0fπ=，所以()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点.综上，所以()f x 在区间30,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有2个零点.（2）由题意得()g x 的定义域为()()0,,sin ln ln g x x x ∞πππ++-'=.记()()sin ln ln ,h x g x x x πππ==+-'则()()cos h x x f x xπ='+=.①当()0,x α∈时，由（1）知，若()0,x π∈，则()0h x '>，所以()h x 在区间()0,π上单调递增；若[),x πα∈，则()0h x '≤，所以()h x 在区间[),πα上单调递减.又因为()0h π=，所以()0h x ≤在()0,α上恒成立，且()0h α<，即()0g x '≤在()0,α上恒成立，且()0g α'<，所以()g x 在区间()0,α上不存在极值点.②当3,2x πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时由（1）知()0h x '>，所以()h x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()g x '在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()333270,1ln 13ln ln 02228g g e παπ⎛⎫<=-+>-+=> ⎪⎭''⎝，所以存在3,2πβα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，从而可列下表：x (),αββ3,2πβ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '-+()g x 极小值所以x β=是()g x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值点.③当3,2x π∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()33sin ln ln sin lnln 1ln 022g x x x x ππππππππ=+->+-≥-+>'即()g x 在区间3,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 在区间3,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上不存在极值点综上，函数()g x 有唯一的极值点.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

第二章一元函数微分学例题练习

第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义，且对任意的x >0,y >0，都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中，g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值，使得f (x )在点x 0=0处连续，并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明：对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数，证明：对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数，f (0)=0，(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在区间[a,a ]上至少存在一点η，使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数，且f ′′(x )=0，证明：(1)对于(−1,1)内任意x =0，存在唯一的θ(x )，使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0，证明：f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ，使得当x →0+时，f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导，且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x )，其中g (x )为连续函数，满足当x =0，g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34，证明：(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点，且是极小值点；(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)可导，并且f (0)=f (1)=0，已知对任意的x ∈(0,1)，都有f ′′(x )>0，且f (x )在[0,1]上的最小值m <0，求证：(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1)，使得f ′(x n )=m n；(2)数列{x n }收敛，且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，求证：存在ξ,ηϵ(a,b )，使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续， ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0，求证：f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续，在(0,1)内可导，f ′(x )>0，f (0)=0,f (1)=1，证明：对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ，在(0,1)内存在不同的数，x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1，其中n 为正整数，证明：(1)若n 为奇数，则存在唯一的正实数x n ，使得f (x n )=0(2)若n 为奇数，则存在两个实数根x n ,y n ，且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在，并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ，满足b −a >π，函数f (x )在开区间(a,b )内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。

高等数学一元函数微积分学题目与答案A

三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +；（4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ；（7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -；（8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -；（10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïíì££=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学练习题（ A ）参考答案一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。

高等数学（一元函数积分学）测试卷

高等数学（一元函数积分学）测试卷高等数学（一元函数积分学）测试卷一、填空题（每题4分，共20分） 1.确定定积分dx x ?-112的值2.估计定积分+π20)sin 35(21dx x 的取值范围 3.设)(x f 连续，0>x ，且+=212)1()(x x x dt t f ，则=)2(f4.设平面图形由星形线 ==ty tx 33sin 2cos 2 所围成,则此平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 5.判定反常积分∞+∞-++222x x dx的收敛性。

如果收敛，写出其值；反之则只需写“发散”。

二、选择题（每题3分，共15分） 1.设：?=badx x f I ,)(，据定积分的几何意义可知A.I 是由曲线)(x f y =及直线b x a x ==,与x 轴所围成图形的面积，所以0>IB.若0=I ，则上述图形面积为零，从而图形的“高”0)(=x fC.I 是曲线)(x f y =及直线b x a x ==,与x 轴之间各部分面积的代数和D.I 是曲线)(x f y =及直线b x a x ==,与x 轴所围成图形的面积2.已知质点以速度 2)(t te t v -=（米/秒）作直线运动，则质点从时间11=t 秒到时间32=t 秒内所经过的路程为 A.913---e e B.()913---e e C.91---e e D.()9121---e e3.已知连续函数)(x f 满足方程?++=1032)(11)(dx x f x xx f ，则)(x f = A.32311)(x x x f π++= B.311)(32x x x f ++= C.3211)(x xx f ++=D.条件不足，无法求出4.曲线)1ln(2x y -=在??210，上的弧长为A.122211()1dx x +-?； B.122211x dx x +-?； C.122211x dx x-+-?； D. 122201[ln(1)]x dx +-?.5.如果要求出)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→的值，我们可以运用定积分的概念求解，那么该极限与下列哪个定积分是等价的 A.dx x x ?+∞+021 B.dx x ?+10211 C.?+1011dx x D.dx x+10211 三、解答题（共55分）1.(12分）求不定积分（1）?+)41(2x x dx （2）?xdx 3sec2.（8分）已知,1,10,1)(ln ?+∞<<≤<='x x x x f 且,0)0(=f 求).(x f3.（12分）求定积分（1）?-adx x a x222（2）?--243cos cos ππdx x x4.（8分）设曲线22,y x y x -==及0=y ，围成一平面图形（1）求这个平面图形的面积（2）求此平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积5.(15分）从下列三题中任选一题解答（1）半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?（2）边长为a 和b 的矩形薄板，与水面成α角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深h 处。

一元函数求导练习题及答案

一元函数求导数练习题一、求下列函数的导数：1.y=secx+tanx；2.y=x5x；3.y=e−sinx；4.y=2tan1x；5.y=sin n x+cosnx；6.x2+y2−xy=1；7.y=e y+xe y；8.y=arctan(e x)；9. y=lntanx；10.y=ln[ln2(ln3x)]；11.y=(1+x2)∙arctanx ；12.y=�x−5√x2+255 ； 13.�xx=cos tt2yy=tt c os tt2 ，求d yy d xx；14.f(x)=�sinx x,x≠01,x=0 ,求f′(x);15.e x+y=x2+y2+1,求dy dx；16.y=1x2+1，求y” ；17.�x=t−ln⁡(1+t)y=ln(1+tt2) ,求d2y dx2 ；18.y=xlnx ，求y(n)；19.y=1x2−3x+2 ，求y(n)；20.f(x)=sinxsin2xsin3x，求f(n)(x)。

二、求导数综合应用：1.设f’(a)存在，求lim h→0f(a+2h)−f(a−h)h。

2.设f(x)连续，且lim x→0f(x)−2sinx=1,求f′(0)。

3.设lim x→a f(x)−b x−a=A，求lim x→a sinf(x)−sinbx−a。

4.已知f ’(1)=4，则。

5.设函数f(x)在x=0处连续，且6.设f(1)=f ’(1)=2,求极限。

7.设f(x)可导，且满足,求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程。

8.证明可导的偶函数的导数f ’(x)为奇函数。

9.设函数f (x )=�ln √x 2−a 2,x >1e b(x −1)−1, x ≤1 在x=1处可导，求a,b 的值。

10.设函数F(x)=f(x)(1+|sinx|),且F(x)、f(x)在点x=0处均可导，试求f(0)。

11.已知f (x )=�sinx, x <0x, x ≥0，求f ’(x)。

《高等数学一》第五章一元函数积分学历年试题模拟试题课后习题(含答案解析)

第五章一元函数积分学[单选题]1、设函数f(x)连续，,则=（）A、x f (x)B、a f(x)C、-x f(x)D、-a f (x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察积分上限函数应用..[单选题]2、如果是的原函数，则另一个原函数是（）A、B、C、sin2xD、cos2x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】且[单选题]3、已知且，则y= （）A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】故故.[单选题]4、微分方程cosydy=sinxdx的通解是（）A、sinx+cosy=CB、cosx+siny=CC、cosx-siny=CD、cosy-sinx=C【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】分离变量，两端积分得sin y=-cos x+C,即cos x+sin y=C. [单选题]5、下列广义积分收敛的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、计算（）.A、eB、0C、1D、e+1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、（）.A、ln2B、ln4C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设是连续函数，且，则（）.A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]12、微分方程的解为（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】原方程可化为，即，由公式和通解可得：[单选题]13、设，则下列结论中错误的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】根据定积分的性质：，且都是任意常数，[单选题]14、（）.A、-1B、1C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设D是由直线和所围成的平面图形，其面积A =（）.A、B、0C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】.[单选题]16、用换元法计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】令[单选题]17、若（）A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、若（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】?[单选题]19、=（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0. [单选题]20、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、（）.A、B、C、0D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】给定函数对关于t的定积分，当x求导，原式相当于常数.. [单选题]22、=（）.A、B、C、0D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0.[单选题]23、已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（）A、30-2x2B、30-x2C、30x-2x2D、30x-x2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】R=当x=0时，R=0，所以C=0，此时R=30x-x2[单选题]24、无穷限积分（）.A、B、C、-1D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】. [单选题]25、积分的值为（）A、0B、4C、10D、20【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题用到奇函数在对称区间上的积分为0。

一元函数的导数及其应用单元测试卷(B卷)参考答案与提示

一、单选题1.B 提示:由题图可知函数f (x )的图像在x =1处的切线的斜率比在x =3处的切线的斜率大,且均为正数,所以0<f '(3)<f'(1)㊂连接A B ,则割线A B 的斜率为f (3)-f (1)3-1,其比在x =1处的切线的斜率小,但比在x =3处的切线的斜率大,所以0<f '(3)<f (3)-f (1)2<f'(1),选B ㊂2.B 提示:y'=1+2x2㊂当x =1时,y'=1+2=3,所以t a n α=3㊂c o s 2α=c o s 2α-s i n 2αc o s 2α+s i n 2α=1-t a n 2α1+t a n 2α=1-91+9=-45㊂所以c o s 2α1+t a n α=-45ˑ14=-15㊂3.D 提示:因为F (x )=f (x 2-4)+f (4-x 2),所以F '(x )=2x f'(x 2-4)-2x f '(4-x 2),故F '(2)=4f '(0)-4f'(0)=0㊂4.A 提示:由题意得f (x )是F (x )的导函数㊂g (x )=e x (3x 2+10x +4)中存在因式e x,且括号内最高次项为x 2,不妨设G (x )=e x (a x 2+b x +c ),其中G '(x )=g (x ),则G '(x )=e x [a x 2+(b +2a )x +c +b ]㊂故a =3,b +2a =10,c +b =4,解得a =3,b =4,c =0,G (x )=e x (3x 2+4x )㊂则G (3)-G (2)=39e 3-20e 2,选A ㊂5.D 提示:函数f (x )的定义域为(0,+ɕ),由已知条件,要求f '(x )=l n x -a +1+1x ȡ0恒成立,即a -1ɤl n x +1x恒成立㊂设函数g (x )=l n x +1x,则g '(x )=x -1x2㊂由g '(x )<0,得0<x <1;由g'(x )>0,得x >1㊂所以g (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,g (x )m i n =g (1)=1㊂故a -1ɤ1,解得a ɤ2㊂6.C 提示:由题意可知,曲线f (x )=a x -2与y =l n x 有公共点,即方程a x -2=l n x 有解,a =2+l n xx有解㊂令h (x )=2+l n xx,则h '(x )=-1-l n x x2㊂当0<x <1e 时,h '(x )>0;当x >1e时,h '(x )<0㊂故当x =1e时,h (x )取得极大值h1e=e,也即为最大值㊂当x 趋近于0时,h (x )趋近于-ɕ,所以a ɤe 满足条件㊂7.C 提示:f'(x )=-3x 2+2a x ,由f (x )在x =2处取得极值,知f '(2)=0,即-3ˑ4+2a ˑ2=0,故a =3㊂所以f (x )=-x 3+3x 2-4,f'(x )=-3x 2+6x ㊂令f'(x )=0,得x =0或x =2㊂若x ɪ[-1,1],当-1<x <0时,f '(x )<0;当0<x <1时,f'(x )>0㊂所以f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当x =0时,f (x )取得极小值,也是最小值㊂当m ɪ[-1,1]时,f (m )m i n =f (0)=-4㊂8.B 提示:当x ɤ0时,f (x )=x ㊃e x,图1f'(x )=(x +1)㊃e x ㊂可得f (x )在(-ɕ,-1)上单调递减,在(-1,0]上单调递增,且f (-1)=-1e,所以f (x )的大致图像如图1所示㊂由f 2(x )-(m +1)㊃f (x )+m =0,解得f (x )=1或f (x )=m ㊂由f (x )的图像可知,当f (x )=1时,有1个根㊂所以f (x )=m 有3个根,则实数m 的取值范围为-1e,0㊂二、多选题9.B C 提示:由题意可知f (x )是R 上的增函数㊂对于A ,由f '(x )=-3x 2+1>0,得-33<x <33,所以f (x )在区间-33,33上为增函数,故A 中函数不是 H 函数㊂对于B ,f'(x )=3-2(c o s x +s i n x )=3-22s i n x +π4㊂又22s i n x +π4ɪ-22,22 ,所以f '(x )=3-22s i n x +π4>0恒成立,故B 中函数是 H 函数㊂对于C ,f'(x )=e x>0恒成立,故C 中函数是 H 函数㊂对于D ,易知f (x )为偶函数,所以它不可能为R 上的增函数,故D 中函数不是 H 函数㊂10.A C D 提示:对于A ,f'(x )=2x (x 2+1)-(x 2-1)2x (x 2+1)2=4x(x 2+1)2,故A 正确㊂对于B ,f'(x )=e 2x ㊃2=2e 2x ,B 错误㊂对于C ,f'(x )=(2x -1)12'=12㊃(2x -1)-12㊃2=(2x -1)-12=12x -1,故C正确㊂对于D ,f '(x )=2x +3f '(2)+1x㊂令x =2,得到f '(2)=-94㊂D 正确㊂11.A B C 提示:因g (x )是偶函数,故g (-x )=g (x ),两边求导得-g '(-x )=g '(x ),所以g '(x )是奇函数,g'(0)=0㊂由f (x )+g '(x )-10=0,f (x )-g'(4-x )-10=0,得f (x )-10=-g '(x )=g'(4-x )㊂故g '(-x )=g '(-x +4),g'(x )是周期函数,且周期为4,g '(0)=g '(4)=0㊂g '(2)=g '(2-4)=g '(-2)=-g '(2),所以g '(2)=0㊂选项A :f (x )+g'(x )-10=0,令x =2得,f (2)+g '(2)-10=0,所以f (2)=10,A 正确㊂选项B :f (x )-g '(4-x )-10=0,令x =4得,f (4)-g '(0)-10=0,故f (4)=10,B 正确㊂选项C :由f (x )+g '(x )-10=0,可得f (4-x )+g '(4-x )-10=0㊂又f (x )-g '(4-x )-10=0,所以f (x )+f (4-x )=20㊂又g '(x )是奇函数,f (-x )+g'(-x )-10=f (-x )-g '(x )-10=0,所以f (x )+f (-x )=20㊂又f (x )+f (4-x )=20,所以f (-x )=f (4-x ),即f (x )=f (4+x )㊂则f '(x )=f '(4+x ),f'(x )-f '(-x )=0,f '(x )=f'(-x ),函数f '(x )是周期为4的偶函数㊂所以f '(-1)=f '(3)=f '(-3),故C 正确㊂选项D :f'(2023)=f '(4ˑ505+3)=f'(3),由题设得不出f '(3)=0,所以f'(2023)=0不一定成立,故D 错误㊂12.A B D 对于A 选项,令f (x )=t a n x -x ,其中0<x <π2㊂则f '(x )=c o s 2x +s i n 2x c o s 2x-1=t a n 2x >0,函数f (x )在0,π2上单调递增㊂f12=t a n 12-12>f (0)=0,即t a n12>12,A 正确㊂对于B 选项,令g (x )=x22+c o s x -1,其中0<x <π2,则g '(x )=x -s i n x ㊂令p (x )=x -s i n x ,则p '(x )=1-c o s x >0,函数p (x )在0,π2上为增函数㊂故p (x )>p (0)=0,函数g (x )在0,π2上为增函数,g12=c o s 12-78>g (0)=0,c o s 12>78,B 正确㊂对于C 选项,因为0<12<π2,且0<c o s 12<1,所以s i n 1=2s i n 12c o s 12<2s i n 12,C 错误㊂对于D 选项,令h (x )=x l n x ,其中x >0,则h '(x )=l n x +1㊂由h '(x )<0,可得0<x <1e;由h '(x )>0,可得x >1e㊂所以,函数h (x )的单调递减区间为0,1e,单调递增区间为1e,+ɕ㊂因此,h (x )ȡh 1e =-1e >-25㊂令q (x )=l n x -2(x -1)x +1,其中x >0,则q '(x )=1x -4(x +1)2=(x -1)2x (x +1)2ȡ0,当且仅当x =1时,等号成立㊂所以函数q (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂又因为q (1)=0,所以q 23<q (1)=0,即l n 23<223-123+1=-25㊂因此,h (x )=x l n x >l n23,即x x >23,故s i n12s i n12>23,D 正确㊂三、填空题13.2 提示:对函数求导得到f '(x )=2x -2+1x,所以f '(1)=1,f (1)=-1㊂曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -(-1)=f '(1)(x -1),y =x -2㊂设切线与两坐标轴的交点为A (2,0),B (0,-2),所以S әA O B =12ˑ2ˑ2=2㊂14.(-e ,2) 提示:由题意可得f '(x )=e x +3x 2+(a -3),且f '(x )在区间(0,1)上单调递增㊂要使函数f (x )=e x +x 3+(a -3)x +1在区间(0,1)上有最小值,则f'(0)<0,f'(1)>0⇒1+a -3<0,e +3+a -3>0⇒-e <a <2㊂这时存在x 0ɪ(0,1),使得f (x )在区间(0,x 0)上单调递减,在区间[x 0,1)上单调递增,即函数f (x )在区间(0,1)上有极小值也是最小值,故实数a 的取值范围是(-e ,2)㊂15.-ɕ,1e +12提示:由题意可知x +e xx -12x 2-aȡ0有解⇔a ɤx ex +x -12x 2有解㊂设f (x )=x ex +x -12x 2,则f '(x )=1-x e x +1-x =(1-x )(e x+1)ex㊂当x <1时,f '(x )>0;当x =1时,f '(x )=0;当x >1时,f'(x )<0㊂故f (x )在(-ɕ,1)上单调递增,在(1,+ɕ)上单调递减,f (x )m a x =f (1)=1e +12,即a ɤ1e +12㊂16.①④⑤(或②③④) 提示:若选择条件①a =1,b =1作为已知条件,f (x )=(1+c o s x )s i n x ,则f '(x )=2c o s 2x +c o s x -1=(2c o s x -1)(c o s x +1)㊂令f '(x )>0,解得c o s x >12;令f'(x )<0,解得c o s x <12㊂所以f (x )在-π3+2k π,π3+2k π 上单调递增,在π3+2k π,5π3+2k π 上单调递减㊂显然f (x )在0,π2上不单调,③错误㊂因为f (2π-x )=[1+c o s (2π-x )]㊃s i n (2π-x )=-(1+c o s x )s i n x =-f (x ),所以f (x )的图像关于点(π,0)对称,④正确㊂易知f (x )的一个周期是2π,当x =5π3时,f (x )取得最小值f 5π3=-334,⑤正确㊂故可选①④⑤㊂若选择条件②a =1,b =-1作为已知,则f (x )=(1-c o s x )s i n x ,f '(x )=-2c o s 2x +c o s x +1=(2c o s x +1)(1-c o s x )㊂令f '(x )>0,解得c o s x >-12㊂令f '(x )<0,解得c o s x <-12㊂所以f (x )在-2π3+2k π,2π3+2k π上单调递增,在2π3+2k π,4π3+2k π上单调递减㊂显然f (x )在0,π2上单调递增,③正确㊂因为f (2π-x )=[1-c o s (2π-x )]s i n (2π-x )=-(1-c o s x )s i n x =-f (x ),所以f (x )的图像关于点(π,0)对称,④正确㊂显然f (x )的一个周期是2π,所以当x =4π3时,f (x )取得最小值f 4π3=-334,⑤错误㊂故可选②③④㊂四、解答题17.(1)若f (t )的图像为一条连续曲线,则l o g 2(2ˑ2+4)+c o s (2-2)+17=a ㊃23-22+1,即3+1+17=8a -4+1,解得a =3㊂(2)当0ɤt <2时,f (t )=l o g 2(2t +4)+c o s (t -2)+17㊂则f '(t )=1(t +2)l n 2-s i n (t -2)㊂f'(1)=13l n 2-s i n (1-2)=13l n 2+s i n 1㊂因此,质点在t =1时的瞬时速度v 0=13l n 2+s i n 1㊂18.(1)f (x )=x 2+l n x ,x ɪ(0,+ɕ),则f '(x )=2x +1x㊂f (1)=1,f'(1)=3,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0㊂(2)要证f (x )<e x +x 2-2,即证e x>l n x +2㊂先证明e x >x +1㊂令g (x )=e x-x -1,其中x >0,则g '(x )=e x-1>0,所以函数g (x )在(0,+ɕ)上为增函数,g (x )>g (0)=0,即e x>x +1㊂接下来证明l n x ɤx -1㊂令h (x )=x -l n x -1,其中x >0,则h '(x )=1-1x =x -1x㊂由h '(x )<0,可得0<x <1;由h '(x )>0,可得x >1㊂因此,函数h (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+ɕ),h (x )ȡh (1)=0,即l n x ɤx -1㊂因此,e x>x +1=(x -1)+2ȡl n x +2,e x>l n x +2,原不等式得证㊂19.(1)因为f (x )=l n x -m x +2,定义域为(0,+ɕ),所以f '(x )=1x-m ㊂当m ɤ0时,因为1x>0,所以f '(x )>0恒成立,f (x )在(0,+ɕ)上单调递增,f (x )无极值㊂当m >0时,令f '(x )=0,解得x =1m ㊂当0<x <1m时,f'(x )>0,则f (x )在0,1m上单调递增;当x >1m 时,f'(x )<0,则f (x )在1m,+ɕ上单调递减㊂所以当m >0时,f (x )在x =1m处取极大值1-l n m ㊂综上,当m ɤ0时,f (x )无极值;当m >0时,f (x )有极大值1-l n m ㊂(2)由(1)知,当m >0时,f (x )在0,1m上单调递增,在1m,+ɕ上单调递减㊂要使f (x )在区间1e 2,e上有两个零点,只需:f1m =l n 1m -m ˑ1m+2>0,f 1e 2=l n 1e 2-m ㊃1e2+2ɤ0,f (e )=l n e -m e +2ɤ0 ⇒0<m <e ,m ȡ0,m ȡ3e⇒3eɤm <e㊂综上,m 的取值范围是3e,e㊂20.(1)设p (x )=x f (x )-x -g (x )=x e x-x -l n x ,定义域为(0,+ɕ)㊂则p '(x )=e x+x e x-1-1x=(x +1)㊃e x-1x,定义域内x +1>0恒成立㊂令q (x )=e x-1x,x ɪ(0,+ɕ),易知q (x )是增函数,q 12=e-2<0,q (1)=e -1>0㊂所以q (x )在(0,+ɕ)上存在唯一零点x 0,x 0ɪ12,1且满足e x 0-1x 0=0,x 0e x 0=1㊂当0<x <x 0时,q (x )<0,即p '(x )<0,p (x )单调递减;当x >x 0时,q (x )>0,即p '(x )>0,p (x )单调递增㊂所以p (x )m i n =p (x 0)=x 0e x-x 0-l n x 0=1-x 0+l n e x=1-x 0+x 0=1㊂(2)不等式f (a x )ȡg (x )a化为e a xȡl n x a,即a e a xȡl n x ㊂因为x >0,所以a x e a xȡx l n x ,即e a xl n e a xȡx l n x ㊂令s (t )=t l n t ,t >0,则s '(t )=l n t +1㊂当0<t <1e时,s '(t )<0,s (t )单调递减;当t >1e时,s '(t )>0,s (t)单调递增㊂s (t )m i n =s 1e=-1e ㊂因为a >0,x >0,所以e a x>1㊂因此,不等式e a x l n e a xȡx l n x 恒成立,则e a xȡx 恒成立,a x ȡl n x ,即a ȡl n x x㊂设u (x )=l n x x ,则u '(x )=1-l n xx2㊂当0<x <e 时,u '(x )>0,u (x )单调递增;当x >e 时,u '(x )<0,u (x )单调递减㊂所以u (x )m a x =u (e )=1e㊂所以a ȡ1e,即正实数a 的取值范围是1e,+ɕ㊂21.(1)f (x )的定义域为R ,对函数求导得到f '(x )=a e x -2e -x+(a -2)=a e 2x+(a -2)e x-2e x =(a e x-2)(e x+1)ex㊂当a ɤ0时,f '(x )<0,函数f (x )在R 上单调递减㊂当a >0时,由f '(x )<0,解得x <l n2a ,故函数f (x )在-ɕ,l n 2a上单调递减;由f '(x )>0,解得x >l n2a,故函数f (x )在l n 2a,+ɕ上单调递增㊂综上所述,当a ɤ0时,f (x )在R 上单调递减;当a >0时,f (x )在-ɕ,l n 2a上单调递减,在l n2a,+ɕ上单调递增㊂(2)当x =π2时,f π2=ae π2+2e -π2+(a -2)㊃π2ȡ(a +2)c o s π2㊂则e π2+π2a ȡπ-2eπ2>0,故a >0㊂令g (x )=f (x )-(a +2)c o s x =a e x+2e -x +(a -2)x -(a +2)c o s x ,则g '(x )=a e 2x-2e x+(a -2)+(a +2)㊃s i n x ,且g '(0)=2(a -2)㊂若a ȡ2,则当x ɪ[0,π]时,g'(x )ȡ0,函数g (x )在[0,π]上单调递增;当x ɪ(π,+ɕ)时,g'(x )ȡa e x-2e -x +(a -2)-(a +2)>a e π-2e -π-4>4a -24-4>0,g (x )在(π,+ɕ)上单调递增㊂又g (x )在[0,+ɕ)上连续,所以g (x )在[0,+ɕ)上单调递增,故g (x )ȡg (0)=,符合题意㊂若0<a <2,则g '(0)=2(a -2)<0,g'(x )ȡa e x -2e -x +(a -2)-(a +2)=a e x-2e -x-4㊂由a e x-2e-x-4=0,得x =l n 2+4+2a a >0,故g 'l n 2+4+2a aȡ0㊂故存在x 0ɪ0,l n2+4+2a a,使得g '(x 0)=0,且当x ɪ(0,x 0)时,g '(x )<0㊂因此,g (x )在x ɪ(0,x 0)上单调递减,当x ɪ(0,x 0)时,g (x )<g (0)=0,不符合题意㊂综上,实数a 的取值范围为[2,+ɕ)㊂22.(1)由题意可知x ɪ(0,+ɕ),要使f (x )<0恒成立,即l n x -a2x -1<0恒成立㊂a 2x >l n x -1恒成立⇔a 2>l n x -1x 恒成立㊂构造函数h (x )=l n x -1x(x >0),则h '(x )=2-l n xx2㊂令h '(x )>0,得0<x <e 2;令h '(x )<0,得x >e 2㊂所以h (x )在(0,e 2)上单调递增,在(e 2,+ɕ)上单调递减㊂h (x )m a x =h (e 2)=l n e 2-1e 2=1e2㊂所以只需a 2>1e 2,即a >2e 2㊂综上,a ɪ2e2,+ɕ㊂(2)由题意可知f '(x )=l n x -a x ,所以x 1,x 2是方程l n x -a x =0的两个根㊂因此,l n x 1=a x 1,l n x 2=a x 2㊂整理得l n x 2x 1=a (x 2-x 1),a =l nx 2x 1x 2-x 1㊂又λx 1+λx 2>a ,所以a x 1x 2-λ(x 1+x 2)=l n x 2x 1㊃x 1x 2x 2-x 1-λ(x 1+x 2)<0㊂不妨设0<x 1<x 2,则上式转化为l n x 2x 1-λx 22-x 21x 1x 2=l n x 2x 1-λx 2x 1-x 1x 2<0㊂令x 2x 1=t (t >1),则l n t -λt -1t<0在(1,+ɕ)上恒成立㊂由l n t >0,t -1t>0,易得λ>0㊂令H (t )=l n t -λt -1t(t >1),则H '(t )=1t -λ1+1t 2=t -λ(1+t 2)t2(t >1)㊂令G (t )=t -λ(1+t 2),则函数G (t )的图像开口向下,且对称轴为t =12λ㊂①当12λɤ1,即λȡ12时,G (1)=1-2λɤ0,则G (t )<0在(1,+ɕ)上恒成立,H (t )在(1,+ɕ)上单调递减㊂故H (t )<l n 1-λ1-11=0,符合题意㊂②当12λ>1,即0<λ<12时,G (1)=1-2λ>0,此时存在唯一的t 0ɪ(1,+ɕ),使得G (t 0)=0㊂则H (t )在(1,t 0)上单调递增,在(t 0,+ɕ)上单调递减,从而H (t 0)>l n 1-λ1-11=0,不符合题意㊂综上所述,λ的取值范围是12,+ɕ㊂(责任编辑徐利杰)。

2023 届高考数学复习：历年经典好题专项(一元函数的导数及其应用)练习(附答案)

-(a>0),若对∀x1∈{x|g(x)=√
.
-},∃x2∈[4,16],使 g(x1)=f(x2)
.
成立,则实数 a 的取值范围是
1
2
16.已知函数 f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x- (a>0).若直线 y=2x-b 与函数 y=f(x),y=g(x)的图像均相切,则 a 的值
ln
在点
e
13.(历年山东、海南两省 4 月模拟,13)函数 f(x)=
a=
.
P(1,f(1))处的切线与直线 2x+y-3=0 垂直,则
14.设 f(x)=ex(ln x-a),若函数 f(x)在区间
15.已知函数 f(x)=log2x,g(x)=√
1
,e
e
上单调递减,则实数 a 的取值范围为
(1)当 a=1 时,求曲线 y=
x=1 处的切线方程;
1
在(0,+∞)上的单调性.
()
(2)讨论函数 F(x)=f(x)-
18.(12 分)(历年河南开封三模,理 20)已知函数 f(x)=axex-ln x+b(a,b∈R)在 x=1 处的切线方程为 y=(2e1)x-e.
(1)求 a,b 值;
点,则实数 a 的取值范围为(
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)
8.(历年河南新乡三模,理 12)已知函数 f(x)=x2-ax ∈
y=x 对称的点,则实数 a 的取值范围是(
1
e
B. 1,e-
A. e- ,e
C. 1,e-
1
e
D. 1,e

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