变化的快慢与讲义变化率
2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大选修2-2)
其中自变量的变化
x2－x1
称作自变量的改变量，记
作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量， 记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改 fx2－fx1 Δy 变量与自变量的改变量之比，即 ＝ x2－x1 . Δx (2)作用：刻画 函数值 在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)
Δx＝2.01－2＝0.01， Δy 0.080 2 ∴ ＝ ＝8.02. Δx 0.01 (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
2 ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1
＝2Δx(2x0＋Δx)， Δy 2Δx2x0＋Δx ∴ ＝ ＝4x0＋2Δx. Δx Δx
s3－s2.5 2－1.25 (2)t∈[2.5,3]时， v ＝ ＝ ＝1.5. 0.5 3－2.5 s3＋Δt－s3 t∈[3,3＋Δt]时， v ＝ Δt Δt2＋2Δt ＝ ＝Δt＋2. Δt 当Δt趋于0时， v 趋于2，即为t＝3时的瞬时速度．
4．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时 的瞬时速度为12，求a.
答案：B
2．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3]，[1,2]，
[1,1.1]，[1,1.001]上的平均变化率．
f3－f1 解：函数f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为 ＝4. 3－1 f2－f1 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝3. 2－1 函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f1.1－f1 ＝2.1.函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 1.1－1 f1.001－f1 ＝2.001. 1.001－1
变化的快慢与变化率》课件(北师大版选修
变化率：描述变 化速度的量，通 常用单位时间内 的变化量来表示
变化的快慢：描 述变化速度的直 观感受，通常用 变化量与变化时 间的比值来表示
关系：变化率是 变化的快慢的量 化表示，两者成 正比关系
应用：在物理、 化学、生物等领 域，变化率是描 述变化快慢的重 要参数，可以帮 助我们更好地理 解和分析问题
影响：变化的快慢与变化率对未来科技、经济、社会等领域的发展具有重要影响 意义：理解变化的快慢与变化率有助于我们更好地适应未来社会的变化，提高应对能力 挑战：未来发展的不确定性和复杂性将带来新的挑战，需要我们不断学习和适应 机遇：未来发展的变化将为我们带来新的机遇，需要我们积极把握和利用
气候变化：通过变化率预测 气候变化趋势
股票市场：通过变化率判断 股票价格走势
经济增长：通过变化率评估 经济增长速度
疾病传播：通过变化率预测 疾病传播速度
变化率：描述变化快慢的量，通常 用导数或微分表示
数学建模：将实际问题转化为数学 模型，通过求解模型得到问题的解
添加标题
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变化快慢：描述变化率的大小，通 常用积分或极限表示
初始状态：初始状态越接近目 标状态，变化越快
变化速度：变化速度越快，变 化越快
变化方向：变化方向与目标状 态一致，变化越快
干扰因素：干扰因素越小，变 化越快
变化率：描述 事物变化快慢
的量
意义：帮助理 解事物变化的
速度
应用：广泛应 用于物理、化 学、生物等领
域
计算方法：通 过比较两个时 间点的数据变 化来计算变化
率
高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修2_2
§1 变化的快慢与变化率1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔxB [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12－22＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1． 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2C [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ，故选C.]12速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )， 故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )A ．甲的日生产量大于乙的日生产量B ．甲的日生产量小于乙的日生产量C ．甲的日生产量等于乙的日生产量D ．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B [由平均变化率的几何意义可知，当接近于t 0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ [提示] 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h (0)6549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示] 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示] 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度．【例3】 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度． [解] 当时间从3变到3＋Δt 时， v －＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝3(3＋Δt )2＋1－(3×32＋1)Δt＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；2．计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；3．将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率． [解] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2．∴Δy Δx ＝7Δx ＋3(Δx )2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx →0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6D [Δs Δt ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3)Δt＝－6－3Δt .]3．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．1912 [ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝1912.] 4．在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与Δs Δt ；(2)t ＝20时的瞬时速度．[解] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)∵Δs Δt＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.。
高中数学知识点精讲精析 变化的快慢与变化率
1 变化的快慢与变化率
1.平均变化率：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率。
1．函数的平均变化率的概念：一般地，给出函数()f x 在区间12[]x x ，上的平均变化率2121
()()f x f x x x --； 2. 平均变化率的几何意义：直线的斜率；
3．平均变化率的实际作用：反映了函数某个区间上的平均变化率（变化快慢）；或者说在某个区间上曲线的陡峭程度．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
提醒：平均变化率有局限．我们知道平均变化率只能反映函数在某个区间内的平均变化，而无法精确反映某一点的变化状态
1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及
临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则
=∆∆x
y . 【解析】
)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.
【解析】
2
020)(x x x y -∆+=∆
所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 1
212)()(x x x f x f --
所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02。
变化的快慢与变化率
y 2x2
在x =1处的瞬时变化率。
解：y x
f (x0 x) x
f (x0 ) 2 (1 x)2 2 12 x
2 2 x x2 4 2 x x
当△x→0时，
y x
4
即函数在x =1处的瞬时变化率为4.
适应性练习：估计x =-1处的瞬时变化率。
思考与交流
有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10cm，高
课后作业：课本31页A组第2、3题；B组第2题
y
100m
甲 乙
o
t0 t
抽象与概括
对一般的函数来说，当自变量x从x1变为x2时，
函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为：
f (x2 ) f (x1) x2 x1
记 x x2 x1, y f (x2 ) f (x1)
我们用 y x
来刻画函数值在区间[x1,x2]
上变化的快慢。
变化的快慢与变化率
临川一中曾志平
变化的快慢与变化率
气温“骤降” 房价“暴涨” 股市大幅“跳水” GDP“猛增”
这些形容词表述什么含义呢？
变化的快慢与变化率
例：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如下 图所示，试问：
（1）甲、乙两人的百米速度哪个快？ （2）甲、乙两人的起跑速度哪个快？ （3）临终点时，谁的冲刺速度快？
为100cm。右侧面为一活塞。容器中装有1000ml的水，
活塞的初始位置（距左侧面）为x0=1cm,水面高度为
100cm。当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为
ycm. （1）写出 y与x的函数解析式；
10
解：10 x y 1000
y 100 , x 1 x
y x
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
高中数学课件-第2章 §1 变化的快慢与变化率
(2)自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f（2）2－－1f（1）＝2＋12－（1 1＋1）＝12； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f（5）5－－3f（3）＝5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快.
1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1). 第三步，求平均变化率Δ Δyx＝f（x2）x2－ －fx（1 x1）. 2.求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）的形式.
[构建·体系]
1.在曲线 y＝x2＋1 的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则Δ Δyx
为( )
A.Δx＋Δ1x＋2
B.Δx－Δ1x－2
C.Δx＋2 【解析】
D.2＋Δx－Δ1x Δ Δyx＝（1＋ΔΔx）x2＋1－2＝2＋Δx，故选 C.
【答案】 C
2.一质点运动的方程为 s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速
阶
阶
段
段
一三Leabharlann §1 变化的快慢与变化率学
阶 段 二
业 分 层 测
评
通常我们把自变量的变化x2－x1 称作自变量的改变量，记作 Δx ，函数值的 变化 f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以 表示为函数值 的改变量与自变量的改变量之比，即Δ Δyx＝ f（x2）x2－ －fx（1 x1）.
求函数 f(x)在点 x＝x0 处的瞬时变化率的步骤： (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)计算Δ Δyx，并化简，直到当Δx＝0 时有意义为止； (3)将Δx＝0 代入化简后的Δ Δyx即得瞬时变化率.
2.1 变换的快慢与变化率 课件3 (北师大选修2-2)
记 一 记
9
不需推导，但要注意符号的运算.
1 公式7 (1oga ) 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
10
练习 (1) 5x4 ;
(3) cost ;
(2) 6x5 ; (4) -sin .
y 0, x y ' ' f ( x ) C lim 0. x 0 x
C C 0
5
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x ) lim lim1 x 0 x x 0 1
12
( 5) y
x ( 6) y x
1 3
15
5、基本初等函数的导数公式
0 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=_____; nxn-1 n(n∈R),则f ′(x)=_; （2）若f(x)=x cosx ′(x)=_____; （3）若f(x)=sinx,则f （4）若f(x)= cosx,则f
' '
y f ( x ) 2 lim lim0 0. x0 x x0
3
(2) 求函数f(x)=0的导数；
0
(3) 求函数f(x)=-2的导数. 0
4
公式1 C 0 (C为常数).
'
证明： f ( x ) C , y
y f ( x x ) f ( x )
变化的快慢与变化率课件
y f(34)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
[问题]如果将上述气温
C
曲线看成是函数y =
f(x)
的图象, 则函数y = f(x)在区间f ([314，)34]f上(1的) 平均变化率为34 1
34 x 在 区 间 [1f，( xx11)]上f的(1平) 均变化率为 x1 1
y
(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)， ＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴ΔΔst＝5×0.00.10×1 6.01＝30.05(m/s)．
(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt， 即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)， ∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32 ＝5·Δt·(6＋Δt)， ∴ΔΔst＝5Δt6Δ＋t Δt＝30＋5Δt. 当Δt趋于0时，ΔΔst趋于30. ∴在t＝3时的瞬时速度为30 m/s.
的平均变化率.
答案：都是2
2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化
率.
答案：还是2
3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化
率.
答案：是k
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区
间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
平均变化率
一般地,函数 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ] 区间上
t(秒) 0 2 5 10 13 15 …
s(米) 0 6 9 20 32 44 …
实例3分析
抚州市今年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载
第2章 §1 变化的快慢与变化率(有答案)
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图，函数y＝f(x)在A，两点间的平均变化率等于(B)
A．1B．－1
C．2D．－2
[解析]平均变化率为 ＝－1.
2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(D)
A．3B．0.29
C．2.09D．2.9
[解析]f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
8．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速率为210_m/s__.
[解析]由导数的定义知在t＝20s时的瞬时速度为v＝ ＝ ＝10＋10t＋5Δt.
当Δt趋于0时，v趋于10＋10t，则v＝10×20＋10＝210.
二、填空题
6．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是相等．
[解析]物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
7．若物体运动方程为s(t)＝－2t2＋t，则其初速度为1_.
[解析]物体的初速度即t＝0时的瞬时速度， ＝ ＝－2Δt＋1，当Δt趋于0时， 趋于1，即初速度为1.
[解析]∵函数y＝f(x)在[2,2＋Δx]上的平均率为 ＝ ＝ ＝ ＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
C级 能力拔高
质点M按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s?
故选D.
5．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(A)
变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f （x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．3、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝【典例例题分析】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：，故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）＝或f′（x0）＝导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）＝；②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．。
2.1 变化的快慢与变化率
A．f(t+Δt)
B．f(t)+Δt
C．f(t)•Δt
D．f(t+Δt)-f(t)
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2．函数y＝x2＋1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率是( C )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
【解析】
∵(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
2
x+
∆
∆
=
(1 )−(0 )
1 −0
=
(0 +∆)−(0 )
.
∆
如果当△x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）
在点xo的瞬时变化率.
瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
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课堂评价
1．函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t+Δt时，y的变化为( D )
x
∴
2 x ，故选C.
x
2
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3．做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2.求此物
体在 t＝2 时的瞬时速度．
解 取一时间段[2,2＋Δt]，
ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
= 4(m/s).
13 10
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
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实例2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图.
比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪
【数学】2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
这里出现了负号它表示体温下降了显然, 绝对值越大下降得 , , 越快, 这里, 体温从20 min到30 min 这段时间下降得比 min到 0 20 min 这段时间要快 .
归纳 在第一个问题中我们用一段时间内物体 , 的平均速度刻画了物
体运动的快慢 当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从s (t0 )变 , 为s (t1 ), 这段时间内物体的平均 速度是 : s(t1 ) s(t0 ) 平均速度 . t1 t0
如图设该物体在时刻t0 的位置是 ｓ (t0)＝OA0 ，在时刻t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s ); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s ). 2 1
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢 当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是 : y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
第2章 变化率与导数总讲义
2.1变化的快慢与变化率【学习要求】1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 【学法指导】从平均速度和瞬时速度的概念推广到函数的平均变化率与瞬时变化率，用来刻画事物变化的快慢，为导数的学习作准备. 一．基础知识回顾1．对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2 －f x 1x 2－x 12．对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．3．平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢 二．问题探究探究点一：平均变化率例1：已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．解：f (x )＝2x 2＋3x －5，∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) ＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f x 2 －f x 1x 2－x 1＝f 5 －f 45－4，它表示抛物线上P 1(4,39)与点P 2(5,60)连线的斜率．在(2)题中，ΔyΔx＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f 4.1 －f 44.1－4，它表示抛物线上点P 1(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率．跟踪训练1：已知函数f (x )＝x 2＋x ，计算f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解：函数f (x )＝x 2＋x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋x 0＋Δx － x 20＋x 0 Δx ＝ 2x 0＋1 ·Δx ＋ Δx2Δx ＝2x 0＋1＋Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数f (x )＝x 2＋x 在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.探究点二：瞬时变化率例2 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)解：当时间从3变到3＋Δt 时，v ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝3 3＋Δt 2＋1－ 3×32＋1Δt＝3Δt ＋18. 当Δt 趋于0时，v 趋于常数18. ∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s. 跟踪训练2：求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的瞬时变化率．解：∵Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝－ 2＋Δx 2＋3 2＋Δx － －22＋3×2 Δx ＝－ Δx 2－ΔxΔx ＝－Δx －1. ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－1. 即函数f (x )在x ＝2处的瞬时变化率为－1.三．练一练1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx=(C)A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )22．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为 (C)A ．2B ．1C ．12D ．143．质点运动方程为s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )内，相应的平均速度等于6＋Δt ． 4．函数y ＝f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为－2．四．课时小结1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义. 五．作业设计1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 (D)A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是 (A)A ．0B ．1C ．2D ．Δx3． 在曲线y ＝x 2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy )，则ΔyΔx等于 (C)A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx4． 函数y ＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是 (C)A ．7B ．7＋ΔxC ．7＋2ΔxD ．7＋2(Δx )2 5． 一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为 (B)A ．4B ．6C ．24D ．486． 自由落体运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，则Δt趋于0时，v 趋于9.8 m/s ，它是(C)A ．0～1秒内的平均速度B ．1～(1＋Δt )秒内的速度C ．1秒这一时刻的瞬时速度D ．1～(1＋Δt )秒内的平均速度7 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的 (B)A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定8 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为－99． 过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝2.110．自由落体运动物体在t ＝4 s 时刻的瞬时速度为39.2 m/s ．(取g ＝9.8 m/s 2) 11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．解：因为Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2 Δx2Δx＝－8－2Δx .12．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝ 2＋Δx 2－7 2＋Δx ＋15－ 22－7×2＋15 Δx ＝4Δx ＋ Δx 2－7Δx Δx ＝Δx －3，当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－3，即第2 h 时，瞬时变化率为－3. 它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降．13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t <3) 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt＝482＝24 (m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0 Δt ＝29＋3[ 0＋Δt －3]2－29－3 0－32Δt＝3Δt－18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝29＋3[ 1＋Δt －3]2－29－3 1－3 2Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.2.2导数的概念及其几何意义【学习要求】1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义． 3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【学法指导】通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思想进一步直观感受这种思想． 一．基础知识回顾1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx2．曲线的切线如图，曲线y ＝f (x )的一条割线AB ，其中A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))．当Δx 趋于零时，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．3．函数的平均变化率的几何意义是曲线y ＝f (x )割线的斜率；函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)表示曲线f (x )在点A 处的切线的斜率 二．问题探究探究点一：函数在一点处的导数例1：蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T ′(2)，并解释它的实际意义．解：T ′(2)＝lim Δt →0T 2＋Δt －T 2 Δt ＝lim Δt →01207＋Δt ＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1207＋15Δt ＝lim Δt →0－120·Δt7 7＋Δt ·Δt＝－12049 (℃/min)．T ′(2)＝－12049(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以12049℃/min 的速度下降．跟踪训练1：已知正方形的面积S 是边长x 的函数S ＝x 2，计算S ′(5)并说出S ′(5)的意义．解：S ′(5)＝lim Δx →0S 5＋Δx －S 5 Δx ＝lim Δx →05＋Δx 2－52Δx ＝lim Δx →010Δx ＋ Δx2Δx＝lim Δx →0(10＋Δx )＝10. S ′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加．探究点二：导数的几何意义问题1：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．问题2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图像．根据图像，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．解：我们用曲线h (t )在t 0，t 1，t 2处的切线，刻画曲线h (t )在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t ＝t 0时，曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以，在t ＝t 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t ＝t 1时，曲线h (t )在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0.所以，在t ＝t 1附近曲线下降，即函数h (t )在t ＝t 1附近单调递减．(3)当t ＝t 2时，曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以，在t ＝t 2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．跟踪训练2：(1)根据例2的图像，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解：函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(A)解析：依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足．探究点三：求切线的方程问题1：怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．问题2：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．例3：已知曲线f(x)＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解：(1)设切点为(x0，y0)，limΔx→0 x0＋Δx 2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋ Δx 2－x20Δx＝2x0，∴f′(1)＝2. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)＝x2上，设切点为(x0，y0) 由(1)知，f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)①，再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20②，联立①，②得，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25. 综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.跟踪训练3：已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2 x＋Δx 2－7]－ 2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.三．练一练1．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h －f x 0h(B)A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关2．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为 (B) A ．12 B ．6 C ．3 D ．23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 (A) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．已知曲线f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为(3,30) ． 四．课时小结1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点. 五．作业设计1． 函数f (x )＝x 2－1在x ＝1处的导数是 (C)A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对2． 设函数f (x )＝ax 3＋2，且f ′(－1)＝3，则a 等于 (D)A ．－1 B.12 C.13D ．13. 已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 (B)A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4． 在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是 (D)A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)5． 设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是 (B)A ．1B ．－1 C.12D ．－26． 曲线f (x )＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为 (A)A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －27． 已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝38． 若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝39． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12 10．一质点按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt .由题意知，在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0ΔsΔt＝4a ，故4a ＝8，所以a ＝2. 11．求过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率f ′(1)＝lim Δx →0 3 1＋Δx 2－4 1＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·ΔxΔx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x .∴f ′(－2)＝－4，f ′(3)＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.2.3计算导数【学习要求】1．会求函数在一点处的导数．2．理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数． 【学法指导】利用定义求导法是最基本的方法，而导数公式的应用在简单函数的求导中作用重大；我们要从几何、物理等不同角度深刻认识导数的内涵. 一．基础知识回顾1．导函数：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x)：f ′(x)＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x)是关于x 的函数，称f ′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数． 2．导数公式表二．问题探究探究点一：函数在一点处的导数计算例1：已知f(x)＝x 2－3.(1)求f(x)在x ＝2处的导数；(2)求f(x)在x ＝a 处的导数． 解：(1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2 Δx ＝ 2＋Δx 2－3－ 22－3 Δx ＝4＋Δx ，∴f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(4＋Δx)＝4. (2)Δy Δx ＝f a ＋Δx －f a Δx ＝ a ＋Δx 2－3－ a 2－3Δx ＝2a ＋Δx ，∴f ′(a)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(2a ＋Δx)＝2a.跟踪训练1：求函数f(x)＝1x－x 在点x ＝4处的导数．解：Δy Δx ＝14＋Δx － 4＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫14－4Δx ＝－14 4＋Δx －1. ∴f ′(4)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋4Δx －1＝－1716. 探究点二：导函数例2：求函数y ＝f(x)＝1x＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(2)．解：∵Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) ＝1x ＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5＝－Δx x ＋Δx ·x ，∴Δy Δx ＝－1 x ＋Δx ·x ，∴f ′(x)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－1 x ＋Δx ·x ＝－1x 2.∴f ′(2)＝－14.跟踪训练2：求函数f(x)＝－x 2＋3x 的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)． 解：f ′(x)＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0－ x ＋Δx 2＋3 x ＋Δx ＋x 2－3xΔx＝lim Δx →0(－Δx －2x ＋3)＝－2x ＋3，即f ′(x)＝－2x ＋3，∴f ′(3)＝－2×3＋3＝－3，f ′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.探究点三：导数公式表的应用 例3:求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x.解:(1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(34x)′＝3414x-＝344x；(5)y ′＝(log 3x)′＝1xln 3.跟踪训练3:求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝13log x.解:(1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝32x，∴y ′＝3212x；(4)y ′＝1xln13＝－1xln 3.三．练一练1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若f(x)＝3x ，则f′(1)＝3.其中正确的个数是 (C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．函数f(x)＝x ，则f ′(3)等于(A)A.36B.0C.12xD.323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 (A)A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为12e 2．解析：∵y ′＝(e x)′＝e x，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.四．课时小结1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cosx ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化． 五．作业设计1． 下列结论中正确的个数为 (D)①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1xln 2.A ．0B ．1C ．2D ．32． 过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 (B)A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3． 已知f(x)＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 (A)A ．4B ．－4C ．5D ．－54． 曲线y ＝x 3的斜率等于1的切线有 (B)A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5． 若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于 (A) A ．64 B ．32 C ．16 D ．86． 已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为 (D)A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 7． 若f(x)＝10x ，则f ′(1)＝10ln 108． 曲线f(x)＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为－349．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b ＝ln 2－110． 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 解：(1)y ′＝(x x)′＝32()x ′＝32312x -＝32x.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x－5＝－4x 5.(3)y ′＝(5x 3)′＝35()x ′＝35315x -＝3525x -＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x)′＝1xln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cosx2＝sin x ，∴y ′＝(sin x)′＝cos x. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P(8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝23()x ′＝2313x -，即在点P(8,4)处的切线的斜率为13.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，利用导数的定义求h ′(2)，并解释其实际意义．解：烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)．而Δh Δt ＝h 2＋Δt －h 2Δt＝－4.9－4.9Δt.所以h ′(2)＝lim Δt →0 ΔhΔt ＝lim Δt →0 (－4.9－4.9Δt)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降．13．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，试求f 2 014(x)． 解：f 1(x)＝(sin x)′＝cos x ，f 2(x)＝(cos x)′＝－sin x ，f 3(x)＝(－sin x)′＝－cos x ，f 4(x)＝(－cos x)′＝sin x ，f 5(x)＝(sin x)′＝f 1(x)，f 6(x)＝f 2(x)，…，f n ＋4(x)＝f n (x)，可知周期为4，∴f 2 014(x)＝f 2(x)＝－sin x.2.4 2.5导数的四则运算法则【学习要求】1．理解导数的加减法法则．2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数． 3．理解导数的乘法与除法法则．4．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题． 【学法指导】1. 应用导数的运算法则可以解决比较复杂的函数的求导问题，简化求导过程，体现了数学中的转化思想.2.使用导数公式和运算法则，可以先将函数解析式化简变形，减少计算量，增强导数工具的实用性.一．基础知识回顾1.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )，[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．2.一般地，若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .特别地，当g (x )＝k 时，有[kf (x )]′＝kf ′(x) 二．问题探究探究点一：导数的加法与减法法则例1：求下列函数的导数．(1)y ＝x 3＋x 2＋x ；(2)y ＝2x＋x .解：(1)y ′＝(x 3＋x 2＋x )′＝(x 3)′＋(x 2)′＋(x )′＝3x 2＋2x ＋1. (2)y ′＝(2x＋x )′＝(2x )′＋(x )′＝2xln 2＋12x.跟踪训练1：已知f (x )＝tan x ＋sin x ，求f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 解：f ′(x )＝(tan x )′＋(sin x )′＝1cos 2x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4＋12＝92.探究点二：导数加减法的应用例2：已知函数f (x )＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程． 解：f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13. ∴切线方程为y －10＝13(x －2)，即13x －y －16＝0. ∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.跟踪训练2：已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线方程．解：∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0. ∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.探究点三：导数乘除法的运算法则 例3：求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)y ＝ln x ＋2xx 2；(4)y ＝1－12sin 2x 2. 解：(1)∵y ＝x 3＋32x-＋sin x x2＝x 3＋32x-＋sin x ·x －2，∴y ′＝(x 3＋32x-＋sin x ·x－2)′＝3x 2－3252x-＋cos x ·x －2＋(－2x －3)sin x ＝3x 2－32x5＋cos xx 2－2sin xx 3.∴y ′＝3x 2＋cos x x 2－32x 2x－2sin x x 3.(2)∵y ＝ 1＋x 21－x ＋ 1－x 21－x ＝2 1＋x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝(41－x －2)′＝4′ 1－x －4 1－x ′ 1－x 2＝4 1－x 2.(3)y ′＝(ln x x 2＋2xx 2)′＝(ln x x 2)′＋(2xx 2)′＝1x·x 2－ln x ·2xx 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2xx 4＝1－2ln x x ＋ ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ ln 2·x －2 2xx3.(4)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14(3＋1－2sin 2x 2)＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝(34＋14cos x )′＝－14sin x .跟踪训练3：求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x sin x －2cos x .解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′＝ x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝ sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x(2)y ′＝x ＋3 ′ x 2＋3 － x ＋3 x 2＋3 ′ x ＋3 ＝－x 2－6x ＋3 x ＋3 .(3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x )′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x. 探究点四：导数的应用例4：(1)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为3x －y ＋1＝0(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：f (x )＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为(－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解析:（1）y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1（2）解析：设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，f ′(x 0)＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)．（3）解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.跟踪训练4：(1)曲线f (x )＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 (B) A ．－12B ．12C ．－22D ．22（1）解析：f ′(x )＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故f ′(π4)＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.(2)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．解：由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 0 ＝0f 0 ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a ·0＋b ＝0c ＝1，故b ＝0，c ＝1.三．练一练1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是 (A)A ．f ′(x )＝cos x ＋1B ．f ′(x )＝cos x －1C ．f ′(x )＝－cos x ＋1D ．f ′(x )＝－cos x ＋x2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为 (B) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 3．已知f ′(1)＝13，则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处的导数为144．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点坐标为(1，e) 解析：∵(e x)′＝e x.设切点坐标为(x 0，ex )，则过该切点的切线斜率为ex ，令ex ＝e x －0x 0－0.即x 0·ex ＝ex ，∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)．5．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于(D)A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x ) 6．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为(A)A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋27．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝0 ，b ＝－18．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，当h (x )满足下列条件时，求h (5)，h ′(5)．(1)h (x )＝3f (x )＋2g (x )；(2)h (x )＝f (x )g (x )＋1； (3)h (x )＝f x ＋2g x.解：(1)h ′(x )＝3f ′(x )＋2g ′(x )．∴h (5)＝3f (5)＋2g (5)＝3×5＋2×4＝23，h ′(5)＝3f ′(5)＋2g ′(5)＝3×3＋2×1＝11. (2)h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．∴h (5)＝f (5)g (5)＋1＝5×4＋1＝21，h ′(5)＝f ′(5)g (5)＋f (5)g ′(5)＝3×4＋5×1＝17. (3)h ′(x )＝f ′ xg x －[f x ＋2]g ′ x g 2x .∴h (5)＝f 5 ＋2g 5 ＝5＋24＝74，h ′(5)＝f ′ 5 g 5 －[f 5 ＋2]g ′ 5 g 2 5 ＝3×4－ 5＋2 ×142＝516. 四．课时小结1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具． 2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点. 3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 五．作业设计导数的加法与减法法则1． 下列结论不正确的是 (D)A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2． 函数y ＝x －(2x －1)2的导数是 (D)A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为 (C)A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)4． 曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是 (C)A.24B.22C.322D. 2 5． 已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是 (A)A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －16． 函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为 (D)A.x ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2＋1B.x ⎝⎛⎭⎫3－1x 2－1C.x ⎝⎛⎭⎫3－1x 2＋1 D .x ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2－1 7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 (A)A ．4B ．－14C ．2D ．－128． 过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是2x －y ＋4＝09． 某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为71316m/s10．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝111． 已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ，求f ′(1)，f ′(4)．解：f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′＝2xln 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2ln 2＋1，f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解：因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.13．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数f (x )的解析式．解：由M (－1，f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得－1＋2f (－1)＋5＝0即f (－1)＝－2.也即－a －61＋b＝－2.①f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －6 x 2＋b 2，由f ′(－1)＝－12得a 1＋b ＋2 －a －6 1＋b 2＝－12.②由①②得a ＝2，b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋bx2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值此定值为6.导数的乘法与除法法则1． 函数y ＝x1－cos x 的导数是 (B)A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x (1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )22． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 (B)A ．－1B ．－2C ．2D ．03． 设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 (D)A ．2 B.12 C ．－12D ．－24． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 (B)A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(D)A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 6． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是(D)A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]7． 曲线f (x )＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为.x ＋y －2＝08． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝19．若函数f (x )＝e x x 在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为12．10． 求下列函数的导函数：(1)f (x )＝(x 2＋7x －5)sin x ；(2)f (x )＝x 3＋cot x ln x ；(3)f (x )＝2sin x ＋x －2x 3x2.解：(1)f ′(x )＝(x 2＋7x －5)′sin x ＋(x 2＋7x －5)(sin x )′＝(2x ＋7)sin x ＋(x 2＋7x －5)cos x .(2)f ′(x )＝ x 3＋cot x ′ln x － x 3＋cot x ln x ′ln 2x＝ 3x 2－1sin 2x x ln x －x 3－cot xx ln 2x .(3)f ′(x )＝(x ＋2sin x －2x)′x －23＋(x ＋2sin x －2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23′＝(1＋2cos x －2x ln 2)x －23－23(x ＋2sin x －2x)x －53.11．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程．解：∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，∴2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.12．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解：∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 4＋bx3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.②由①②解得a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．解：设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x－2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2 x 2－2 ，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.2.6简单复合函数的求导法则【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)． 【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程． 一．基础知识回顾二．问题探究探究点一：复合函数的定义例1：指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x)2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x.解：(1)y ＝(3＋5x)2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的．(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的．(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．跟踪训练1：指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1. 探究点二：复合函数的导数 例2：求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)y ＝11－2x＝(1－2x)12-可看作y ＝u12-，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u32-·(－2)＝(1－2x)32-＝11－2x 1－2x.(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.跟踪训练2：求下列函数的导数．(1)y ＝ln 1x；(2)y ＝e 3x；(3)y ＝5log 2(2x ＋1)．解：(1)函数y ＝ln 1x 可以看成函数y ＝ln u 和函数u ＝1x 的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(lnu)′·(1x )′＝1u ·(－1x 2)＝－1x .(2)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u和函数u ＝3x 的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u)′·(3x)′＝3e u＝3e 3x. (3)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u)′·(2x ＋1)′＝10uln 2＝102x ＋1ln 2. 探究点三：导数的应用 例3：求曲线f(x)＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解：∵f ′(x)＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e2x ＋1，∴f ′(－12)＝2，∴曲线f(x)＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.跟踪训练3：曲线f(x)＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解：f ′(x)＝(e 2x cos 3x)′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x)′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x(－3sin 3x) ＝e 2x(2cos 3x －3sin 3x) f ′(0)＝2. 则切线方程为y －1＝2(x －0) 即2x －y ＋1＝0若直线l与切线平行可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.三．练一练1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 (D) A ．2(3x －2) B ．6x C ．6x(3x －2) D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y′等于 (A)A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin xcos xD ．cos 2x3．若y ＝f(x 2)，则y′等于 (A)A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x)C ．4x 2f(x)D ．f ′(x 2)4．设曲线f(x)＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝2 四．课时小结求简单复合函数f(ax ＋b)的导数：求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f(u)，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f(u)与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f(u)，u ＝ax ＋b 的形式是关键.五．作业设计1． 下列函数不是复合函数的是 (A)A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42． 函数y ＝1(3x －1)2的导数是 (C)A.6(3x －1)3B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)23． y ＝ex 2－1的导数是 (B)A ．y ′＝(x 2－1)ex 2－1B ．y ′＝2xex 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝ex 2－1 4． 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为 (B)A ．y ′＝2xcos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2xcos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2xsin 2x D ．y ′＝2xcos 2x ＋2x 2sin 2x 5． 已知直线y ＝x ＋1与曲线f(x)＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 (B)A ．1B ．2C ．－1D ．－26． 曲线f(x)＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (D )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2 7． 函数y ＝(2 011－8x)3的导数y ′＝－24(2 011－8x)28． 曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为－29． 函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f ′(2)＝5，则实数a 的值为1 10．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x2；(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2. 解：(1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x(1＋2x 2)7.(2)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′＝(12u -)′(1－x 2)′＝(－1232u -)·(－2x)＝x(1－x 2)32-.(3)y ′＝(sin 2x －cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22sin(2x ＋π4)．(4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u)′·(x 2)′＝(－sin u)·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2xsin x 2.11．已知a>0，f(x)＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l 的方程．解：f(x)＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f(0)＝1.∴f ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1＝。
变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率知识点：1. 平均速度物体所走的路程s 是时间t 的函数s=(t)，当时间从0t 变为1t 时，路程从)(0t s 变为)(1t s ，则这段时间内物体的平均速度是0101)()(t t t s t s --2平均变化率对一般的函数)(x f y =来说，当字变量x 从1x 变为2x 时，函数值从)(1x f 变为)(2x f ，它的平均变化率为1212)()(x x x f x f --。
通常x ∆表示12x x -，y ∆表示()(12x f x f -3瞬时变化率对于函数)(x f y =，在自变量x 从0x 变到1x 时,设01x x x -=∆，)()(01x f x f y -=∆则当时x ∆趋进于0，平均变化率xx f x x f x x x f x f xy ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101趋于函数f(x)在0x 点的瞬时变化率。
学点一 平均变化率 求平均变化率的步骤：求函数)(x f y =在内[10,x x ]的平均变化率。
（1）先计算函数的增量)()(01x f x f y -=∆z （2）计算自变量增量01x x x -=∆ （3）得平均变化率101)()(x x x f x f xy --=∆∆例1求函数2x y =在x=1,2,3附近的平均变化率，取31=∆x 都为 ，哪一点附近平均变化率最大？解：在x=1附近平均变化率为;21)1()1()1(21x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=在x=2附近平均变化率为;42)2()2()2(222x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=在x=3附近平均变化率为;23)3()3()3(223x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=若31=∆x ,则373121=+=k ，319316,31432=+=+=k k 由于321k k k <<∴在x=3附近的平均变化率最大。
变换的快慢与变化率教案 (1)
变化的快慢与变化率（第二课时）一、学习目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢．3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题． 二、学习重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢． 三、学习难点：平均变化率到额瞬时变化率的实际意义四、学法指导：由于平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，因此，我们设想不断减少自变量的改变量，借助计算器、电脑等对平均变化率进行直接计算，体会随着t ∆的减小，st∆∆的值越来越趋于稳定状态，从而建立瞬时速度可以用平均速度逼近的直接体验，并最终形成用“平均变化率”逐渐“逼近”函数在某一点的变化率，即“瞬时变化率”的观念，并在计算过程中体会瞬时速度、瞬时变化率的实际意义． 五、学习内容：(一)复习：函数平均变化率的计算公式.(二)亲自计算，体会逐渐逼近的过程，理解瞬时速度，线密度的意义． 例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度．指导：教材的分析过程体现了用平均速度逼近瞬时速度的思想．表2-2显示了时间1t 5s >且不断逼近5s 时，平均速度趋于49m/s.那么，当时间t 1<5s 且不断趋紧5s 时，平均速度的变化趋势是怎样的？填写下表,分析平均速度的变化趋势．（教师用excel 计算）t0/st 1/s时间的改变量（Δt ）/s路程的改变量（Δs ）/m平均速度⎪⎭⎫⎝⎛∆∆t s /（m/s ）5 5 -0 5 5 5可以看出，当时间t 1<5s 趋于t 0=5s 时，平均速仍然趋于 ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的 为49m/s ．从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是， ，每秒将要运动49m ．例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m ．x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：x x f y 2)(==．估计该合金棒在x =2m 处的线密度．分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度．填写下表，分析当x 1<2且不断趋近2时，平均线密度的变化趋势．可以看出，当x 1<2且趋于x 0=2m 时，平均线密度仍然趋于 ，因此，可以认为合金棒在x 0=2m 处的 为 ．从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m 的物理意义是， ，其质量将为．(三)抽象概括：1.对于一般的函数)(x f y =，在自变量x 从x 0变到x 1的过程当中，若设Δx = x 1－x ０，)()(01x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是.而当Δx 趋于 时，平均变化率如果趋近于一个 ，则这个常数就是函数)(x f y =在点x 0的 ，瞬时变化率刻画的是 的快慢．2.上述结论中，Δx 趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0.3.求瞬时变化率的步骤： （1） . (2) .（3） .1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时原油的温度)(C 为157)(2+-=x x x f )80(≤≤x .计算第2 h 和第6 h 时，原油的瞬时变化率.．（答：1；65）2、以初速度为)0(00>v v 做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为2021)(gt t v t s -=，求物体在时刻0t 处的瞬时速度． (答：00v gt -)3：求函数()3x x f y ==图像上两点P （1,1）和 ()y x Q ∆+∆+1,1作曲线的割线，(1)求出当1.0=∆x 时割线的斜率．(2)求()3x x f y ==在0x x =处的瞬时变化率．（答：；03x ）七．学习反思：1.瞬时变化率与平均变化率的关系．2.求瞬时变化率的一般步骤：。
变化率
变化的快慢与变化率
国家环保总局对长期超标排放污染物的企业下 达了限期治理的决定， 达了限期治理的决定，国家环保总局在排定的排污 达标日期前，对甲乙两家企业进行检查，其连续检 达标日期前，对甲乙两家企业进行检查， 排 测结果如图所示（其中W表示治污量 表示治污量） 测结果如图所示（其中 表示治污量）问哪个企业 污 治污效果好？为什么？ 治污效果好？为什么？ 量
变化的快慢与变化率
思考题 请您设计方案来判断高速路 上行驶的汽车是超速？ 上行驶的汽车是超速？
淮北市实验高级中学
丁新华
变化的快慢与变化率
淮北市实验高级中学
丁新华
变化的快慢与变化率
淮北市实验高级中学
丁新华
变化的快慢与变化率
瞬时变化率
对于一般函数一份f ( x), 在自变量x从x0变到x1 的过程中，记∆x = x1 − x0 , ∆y = f ( x1 ) − f ( x0 ) 则平均变化率为： ∆y f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = = ∆x x1 − x0 ∆x 当∆x → 0时，平均变化率就趋近于舜时变化率。
变化的快慢与变化率
淮北市实验高级中学
丁新华
变化的快慢与变化率
淮北市实验高级中学
丁新华
变化的快慢与变化率
问题1： 假设刘翔从某一时刻开始110米栏的起跑， 米栏的起跑， 问题 ： 假设刘翔从某一时刻开始 米栏的起跑 表示他经过时间t跑过的路程 是时间t的 设S表示他经过时间 跑过的路程，显然 是时间 的 表示他经过时间 跑过的路程，显然S是时间 函数，表示为s=s(t),在跑步的过程中测得一些数据， 在跑步的过程中测得一些数据， 函数，表示为 在跑步的过程中测得一些数据 如下表 t /s s /m 0 0 2 6 5 16 7 59 10 90 12 12.91 102 110
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x2 x1
探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平均变化率. 答案：都是2
2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率. 3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率.
3.5 o1
C(34,33.4) B(32,18.6)
你能否类比归纳出 “函
数f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率”的一般性定义吗？
气温曲线 32 34 t (d)
归纳概括
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ] 区间上的平均变化率为:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1)) x2-x1
0
=△x
f(x2)-f(x1) =△y
x
f (x2) f (x1) y
x2 x1
x
2 平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x) 上两点(x1, f (x1))、(x2, f (x2)) 连线的斜率.
平均变化率
一般地,函数 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ] 区间上
答案：还是2 答案：是k
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区 间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
平均变化率
一般地,函数 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.
精品
变化的快慢与变化率
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快 慢程度
实例1分析
银杏树
雨后春笋
树高:15米 树龄:1000年
高:15厘米 时间:两天
实例2分析
物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体 经过时间t走过的路程，在运动的过程中测 得了一些数据，如下表.
t(秒) 0 2 5 10 13 15 … s(米) 0 6 9 20 32 44 …
物体在0～2秒和10～13秒这两段时 间内，哪一段时间运动得更快？
实例3分析
某市今年3月18日到4月20日期间的日最高 气温记载.
T(oC) 33.4
时间 3月)
4月20日 33.4℃
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o 1 (3月18日为第一天) 32 34 t (d)
如果将上述气温曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y
化率为 ？
=
f(x)在区间[1，34]上的平均变
在区间[1， x1]上的平均变化率为？
在区间[x2，34]上的平均变化率为？
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
y
A
C1 C3
B C2
答案：是0
平均变化率的缺点:
它不能具体说明函数在这一 段区间上的变化情况.
O x1
x2 x
THANK YOU