浙江大学数学分析历年考研试题

浙江大学大二数学专业《数学分析(二)》考试A卷及答案

数学分析（二）课程考试A 卷适用专业考试日期：试卷所需时间120分钟闭卷试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。

（）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。

（）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。

（）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。

（）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。

（）6、若在可积，则在可积。

（）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为。

2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为、、。

3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于。

4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是。

5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为、。

6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为。

三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

院系：专业班级：姓名：学号：装订线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。

六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。

浙江大学1999年数学分析

浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→−n n
n n Lim n 二．在xy 平面上求一点，使它到三条直线0,0==y x 及0162=−+y x 的距离平
方和最小
三．计算二重积分∫∫D
xydxdy ，其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域
四．设)(x f 在0>x 时连续，3)1(=f ，并且∫∫∫+=x
y xy dt t f y dt t f x dt t f 111)()()(，)0,0(>>y x ，试求函数)(x f
五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使
)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及，则对A ，B 之间的任意数µ，可找到数列a x n →，使得µ=)(n z Limf
六．设∑===<≤n k k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n n n
k k k s n ns a a −≥−∑
=11 七．设函数f 在n a b v a f f f b a n n vn −=
+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：
)}()(ln 1exp{
∞→−=∫n dx x f a b b a 并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21
202=+−∫π
π )1(>r 八．从调和级数L L +++++n
131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的。

2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】

2001年浙江大学436数学分析考研真题浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（436）一、（30分)()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-；()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-；()iii 设101(ln )1x f x x x <≤⎧'=⎨>⎩，且(0)0f =，求()f x .二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中2sin 7x y y ye e x x =-+-.三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ∂∂+=∂∂.四、（20分)()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域[][]0,10,1⨯上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之；()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之.六、（15分) 设()f x 是在[]1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ϕ⎧-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ . 证明：11lim()()(0)2n n n f x x dx f ϕ-→∞=⎰.。

2000年浙江大学804数学分析考研真题【圣才出品】

2000年浙江大学804数学分析考研真题浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（804）一、（10分)()i 求极限10(1)lim x x e x x →-+； ()ii 设01,x a x b ==，21,2,3,2n n n x x x n ---==.求lim n n x →∞.二、（10分) ()i 设(0)f K '=，试证明00()()lim a b f b f a K b a -+→→-=-；()ii 设()f x 在[],a b 上连续，()f x ''在(),a b 内存在，试证明存在(),a b ξ∈，使得2()()()2()()24a b b a f b f a f f ξ+-''+-=.三、（15分)()i 求数项级数12n n n ∞=∑的和；()ii 试证明函数11()x n S x n ∞==∑在()1,+∞上连续.四、（15分)()i 设方程组0sin sin 0x y u v x u y v +++=⎧⎨+=⎩，确定了可微函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，试求,,v v du x y ∂∂∂∂； ()ii 设2)()y x y F y dx x =，求(1)F '.五、（30分) ()i 计算积分20sin 1cos x x I dx x π=+⎰；()ii 求以曲面22x y z e --=为顶，平面0z =为底，柱面221x y +=为侧面的曲顶柱体的体积V ；()iii 设S 表示半球面221)z x y =+≤的上侧，求第二类曲面积分222()(2)(2)S J x y z dydz x y z dzdx x z y dxdy=++-++⎰⎰.六、（20分)()i 将函数(),()f x x x ππ=-≤≤展开成Fourier 级数；()ii 求级数211n n ∞=∑的和；()iii 计算广义积分10ln(1)x dx x -⎰.。

浙大02数分

浙江大学
2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：数学分析编号：441
一、（共30﹪）
1．用“εδ-语言”证明()()121lim 03
x x x x →--=- 2．给出一个一元函数f ，在有理点都不连续、在无理点都连续，并证明之
3．设为二元函数(),f x y ，在()00,x y 附近有定义，试讨论“(),f x y 在()00,x y 处可微”与“(),f x y 在()00,x y 附近关于,x y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。

二、（共30﹪）
1．设()21
x f x x +=+，数列{}n x 由如下递推公式定义： ()()011,,0,1,2,n n x x f x n +=== ，
求证：lim n n x →∞=2．
求2
lim x x →∞； 3．求()()0n f ，其中()()1
1,2,,00,x n f f x e -=== （当0x ≠时）
4．
求不定积分
5．证明()1
1x n g x n ∞==
∑在()1,∞上连续可微三、（共20﹪） 1．求第一型曲面积分
2222x y z R I ++==⎰⎰，其中h R = 2．设,,a b c 为3个实数。

证明：方程2x e ax bx c =++的根不超过3个。

四、（共20﹪）
设()2cos cos cos n
n f x x x x =+++ ，求证：
1．对任意自然数n ，方程()1n f x =在1[0,)3
内有且仅有一个根； 2．设1[0,)3n x ∈是()1n f x =的根，则lim 3n n x π
→∞=。

浙江大学1999年——2008年数学分析

2
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个．四、（20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、（20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性．五、（10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、（15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ．（1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；

浙江大学数学试题及答案

浙江大学数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \(\sqrt{2}\)是有理数B. \(\pi\)是无理数C. \(e\)是有理数D. \(0.3333...\)是无理数答案：B2. 函数\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)的顶点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A3. 以下哪个级数是发散的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：B4. 矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式是？A. 5B. -5C. 2D. -2答案：B5. 函数\(y = \sin(x)\)的周期是？A. \(\pi\)B. \(2\pi\)C. \(\frac{\pi}{2}\)D. \(\frac{2\pi}{3}\)答案：B6. 以下哪个函数是奇函数？A. \(f(x) = x^2\)B. \(f(x) = x^3\)C. \(f(x) = \cos(x)\)D. \(f(x) = \sin(x)\)答案：D7. 已知\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\)，则\(\lim_{x \to 0} f(x)\)是？A. 0B. 2C. -2D. 不存在答案：A8. 以下哪个选项是正确的？A. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}\)B. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{2}\)C. \(\int_0^1 x^2 dx = 1\)D. \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{6}\)答案：A9. 以下哪个选项是正确的？A. \(\ln(e^x) = x\)B. \(\ln(e^x) = e^x\)C. \(\ln(e^x) = e\)D. \(\ln(e^x) = \ln(x)\)答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)B. \(\frac{d}{dx}(x^2) = x^2\)C. \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2\)D. \(\frac{d}{dx}(x^2) = x\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\(f(x) = x^3 - 3x\)的导数是\(f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\ _\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案

浙江大学20 10 -20 11 学年春夏学期《数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名：学号：所属院系： _一、计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。

浙江大学 2019 年数学分析考研试题

y
dx
在 x ≥ 0 上一致收敛.（注：此为试卷原题，但疑似是 dy ）
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三、(15′ ) 对于函数 f : R → R, 证明 f 在 R 上连续的充分必要条件是，对于 R 上任意 a, b,
{x : f (x) > a} 和 {x : f (x) < a} 都是开集合.
四、(15′ ) 对于函数 f : [a, b] → R, 证明函数 |f (x)| 在 [a, b] 上黎曼可积的充分必要条件是，函数
f 2 (x) 在 [a, b] 上黎曼可积.
五、(15′ )
（1）(5′ ) 叙述 R 上的聚点定理；（2）(10′ ) 使用聚点定理证明闭区间上的连续函数一致连续.
时,∀n ≥ 1, 有 |fn (x) − fn (y )| < ε; 又设函数列 {fn (x)} 在 [a, b] 上逐点收敛, 证明 {fn (x)} 在 [a, b] 上一致收敛.
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3. (10′ ) 计算
∫
0
1
ln x
(1 + x)
2 dx.
4. (15′ ) 计算
∫∫ x2 dxdy,
D
其中 D 是由 A (x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ) , C (x3 , y3 ) 三点围成的三角形闭区域.
二、(15′ ) 证明
I (x) =
∫
0
∞
x 2 e −x
3
2 2
浙江大学 2019 年数学分析考研试题
一、计算题 (50′ )
1. (10′ ) 计算 In =
0
∫
n
( x )n xa−1 1 − dx. n

浙江大学2009年数学分析

浙江大学20**年数学分析试题一、计算（每小题10分，共40分）（1）22221(0)cos sin dx ab a x b x≠+⎰，（2）220220cos lim (1)(1cos )arctan t x x x e tdt x e x x →---⎰，（3）20ln 1x dx x +∞+⎰，（4）()sgn()Dx y x y dxdy +-⎰⎰，其中[0,1][0,1]D =⨯ 二、（15分）如果()f x 在的某邻域内可导，且00()1lim 2x x f x x x →'=-。

证明()f x 在点处取极小值。

三、（15分）设(,,)f x y z 表示从原点(0,0,0)O 到椭球面：2222221x y z a b c++=(0a >，0b >，0c >)上点(,,)p x y z 处的切平面的距离。

求第一类曲面积分(,,)ds f x y z ∑⎰⎰。

四、（20分）设()f x 在[,]a b 上连续，且[,]min ()1x a b f x ∈=。

证明：1lim()1(())b n n an dx f x →∞=⎰。

五、（20分）设对任意0a >，()f x 在[0,]a 上黎曼可积，且lim ()x f x C →∞= 。

证明： 00lim ()tx t t e f x dx C ++∞-→=⎰。

六、（20分）证明|sin |()x f x x=在(0,1)与(1,0)-上均一致连续，但在(1,0)(0,1)-⋃中不一致连续。

（注：称()y f x =在集合()D D R ⊂上一致连续是指：对0ε∀>，存在0δ>，使得对,x x D '''∀∈，当||x x δ'''-<时，有|()()|f x f x ε'''-<）。

七、（20分）设()f x 在[,]a b 上可导，导函数()f x '在[,]a b 上单调下降，且()0f b '>。