第二篇衍射运动学理论简介
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第2-2章 X射线运动学衍射理论-2
Fhkl 2 F f (1 1) 0
2 2
Fhkl 0
5.密排六方结构
射 线 运 动 学 衍 射 理 论
每个平行六面体晶胞有2个同类原子，其坐标为 （000），（1/3 2/3 1/2）,原子散射因子为fa。
1 2 1 1 2 1 2 Fhkl f a [2 2 cos 2 ( h k l )] 2 f a [1 cos 2 ( h k l )] 3 3 2 3 3 2 根据公式cos 2 x 2 cos2 x 1, 将上式改写为：
4.金刚石结构 胞中有8个C原子，分别位于以下位置： 0 0 0，1/2 1/2 0，1/2 0 1/2，0 1/2 1/2， 1/4 1/4 1/4， 3/4 3/4 1/4， 3/4 1/4 3/4， 1/4 3/4 3/4
X
射 线 运 动 学 衍 射 理 论
原子散射因子为fa
Fhkl F f [2 2 cos
X
X
射 线 运 动 学 衍 射 理 论
若仅从布拉格反射条件来讨论射线的衍
射问题，任一（hkl）晶面都可以得到反 射; 但对某些点阵格子形式（非初基格子） 和实际晶体结构（存在微观对称元素） 而言，在某些晶面上由于反射振幅-结构 因数等于零而不能得到反射，这种现象 称为系统消光。
作业
X
射 线 运 动 学 衍 射 理 论
fae e
2 i (
hl ) 2
f ae
2 i (
l k ) 2
e
i ( h l )
i (l k )
)
X
射 当h，k，l为全奇或全偶时 线 （h＋k）（k＋l）和（h＋l）必为偶数， 运 故 动 学 衍 F=4fa 射 |F|2＝16fa2 理 论
第二章衍射公式及
第二章衍射公式及衍射是指波在通过一个孔或绕过一个障碍物时发生的偏折现象。
在物理学中，衍射是一种常见的现象，可以解释光、声波等的传播和干涉。
衍射公式是用来计算衍射现象的数学表达式，它描述了波通过一个狭缝或孔时偏折的规律。
根据衍射公式，我们可以计算出特定条件下的衍射图样和衍射角度。
由于衍射公式的推导较复杂，下面我们将通过一个简单的例子来说明衍射的基本原理和公式的应用。
假设有一束单色光通过一个宽度为a的狭缝，我们希望计算出衍射图样中间的主极大（也叫零级衍射极大）的角度。
根据衍射公式，主极大的角度为：sinθ = λ/a其中，θ为主极大的角度，λ为波长，a为狭缝的宽度。
这个公式可以用来计算单缝衍射的主极大角度，也可以应用于其他衍射实验中。
衍射公式的推导涉及到波的数学描述和波动方程的求解过程，需要通过波动光学等课程进行学习。
在推导过程中，我们需要使用亥姆霍兹方程和惠更斯原理等基本假设来求解解析解。
除了单缝衍射，衍射公式还可以应用于其他形状和结构的衍射实验。
例如，在光的衍射实验中，当光通过一个孔径很小的圆形屏幕时，会产生中央强度最强的中央最大光斑，以及周围逐渐减弱的一系列光斑。
这种现象被称为菲涅耳圆形屏幕衍射。
对于不同形状和结构的衍射实验，衍射公式的具体形式和应用方法可能不同。
但是，衍射公式的核心思想是一样的，即通过计算波的传播和干涉，来确定衍射图样和衍射角度。
总结起来，衍射公式是用来计算衍射现象的数学表达式，它描述了波在通过狭缝或孔时的偏折规律。
通过衍射公式，我们可以计算出衍射图样和衍射角度，从而深入理解波的传播和干涉现象。
衍射公式的具体形式和应用方法会根据不同的衍射实验而有所不同，需要通过学习相关课程来掌握。
第二章X射线运动学衍射理论PPT
第三章. X射线运动学衍射理论
2020/9/24
3.1 X射线衍射的几何原理
X射线照射晶体→衍射。 晶体基本特征→微观结构有周期性。 散射波与入射波→干涉→产生衍射线。
晶体产生衍射的方向决定于晶体微观结构的 类型（晶胞类型）及其基本尺寸（晶面间距，晶 胞参数等）；
衍射强度决定于晶体中各组成原子的元素 种类及其分布排列的坐标。
• 在入射束波长一定的情况下，衍射线方
向是晶面间距d的函数
立方晶系：
sin2
4a22
2
(H
K2
L2)
正方晶系：
sin22
4
H2 K2 ( a2
cL22)
2020/9/24
3.1.2.3衍射花样与晶体结 构的关系
• 不同晶系的晶体，或者同一晶系而晶胞 大小不同的晶体，其衍射花样各不同
• 说明：布拉格方程可以反映出晶体结构 中晶胞大小及形状的变化
2020/9/24
3.1.1 衍射基础知识
• 在劳厄实验的基础上，英国物理学 家布拉格父子首次利用X射线衍射方 法测定了NaCl的晶体结构，从而开始 了X射线晶体结构分析的历史。
2020/9/24
3.1.2 布拉格（Bragg）方 程
• 3.1.2.1 产生衍射的 必要条件 波长为λ的入射束 照射到处于相邻晶面 的O、B两原子上， 晶面间距为d，在与 入射角相等的反射方 向上产生散射线,光 程差:
2020/9/24
3.1.1 衍射基础知识
• 衍射的条件：一 、 相干波，二 、 光栅 • 衍射结果：产生明暗相间的衍射花纹，
代表着衍射方向（角度）和强度
2020/9/24
3.1.1 衍射基础知识
• 根据衍射花纹可以反过来推测光源和光栅的 情况。 为了使光能产生明显的偏向，必须使“ 光栅间隔”具有与光的波长相同的数量级。
2020/9/24
3.1 X射线衍射的几何原理
X射线照射晶体→衍射。 晶体基本特征→微观结构有周期性。 散射波与入射波→干涉→产生衍射线。
晶体产生衍射的方向决定于晶体微观结构的 类型（晶胞类型）及其基本尺寸（晶面间距，晶 胞参数等）；
衍射强度决定于晶体中各组成原子的元素 种类及其分布排列的坐标。
• 在入射束波长一定的情况下，衍射线方
向是晶面间距d的函数
立方晶系：
sin2
4a22
2
(H
K2
L2)
正方晶系：
sin22
4
H2 K2 ( a2
cL22)
2020/9/24
3.1.2.3衍射花样与晶体结 构的关系
• 不同晶系的晶体，或者同一晶系而晶胞 大小不同的晶体，其衍射花样各不同
• 说明：布拉格方程可以反映出晶体结构 中晶胞大小及形状的变化
2020/9/24
3.1.1 衍射基础知识
• 在劳厄实验的基础上，英国物理学 家布拉格父子首次利用X射线衍射方 法测定了NaCl的晶体结构，从而开始 了X射线晶体结构分析的历史。
2020/9/24
3.1.2 布拉格（Bragg）方 程
• 3.1.2.1 产生衍射的 必要条件 波长为λ的入射束 照射到处于相邻晶面 的O、B两原子上， 晶面间距为d，在与 入射角相等的反射方 向上产生散射线,光 程差:
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3.1.1 衍射基础知识
• 衍射的条件：一 、 相干波，二 、 光栅 • 衍射结果：产生明暗相间的衍射花纹，
代表着衍射方向（角度）和强度
2020/9/24
3.1.1 衍射基础知识
• 根据衍射花纹可以反过来推测光源和光栅的 情况。 为了使光能产生明显的偏向，必须使“ 光栅间隔”具有与光的波长相同的数量级。
第二篇X射线运动学衍射理论
由于FHKL＝0而使衍射线消失的现象称为 系统消光， 分为：点阵消光、结构消光。
点阵消光 ： 因点阵中存在附加阵点,成为复杂点 阵,从而使某些方向的结构因数为零
结构消光 ：当阵点由两个或两个以上同类原子、 异类原子、分子组成时,这种“缔合”点阵结构,除
遵 循点阵消光规律外, 还因阵点“缔合”,存在附加
反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干
涉面的面指数称为干涉指数HKL。
把面间距为d’的（hkl）晶面的n级反射看成
为面间距为 一级反射。
d d’ 的 (nh,nk,nl) 晶面的
n
简单点阵的晶面间距公式
晶系 正交晶系 四方晶系 立方晶系 六方晶系
公式
cos2 cos2 cos2 1
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
■ 倒易点阵参数
g HKL
Ha*
*
Kb
Lc*
倒易矢量表示法： gHKL Ha* Kb * Lc*
a* b, c 平面 ，
a* b c bc sin
V
V
b* ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa,c平面
c* a, b 平面
b* c a ca sin
V
V
c* a b absin
那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3 Ae ...fn Ae ；
各原子与入射波的位相差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞顶点为坐标原点O,则任意一点A坐 标矢量为
OA rj X j a Y jb Z j c
波程差为 j rj k'rj k rj (k'k)
相差为 i 2 (HX i KYi LZ i )
点阵消光 ： 因点阵中存在附加阵点,成为复杂点 阵,从而使某些方向的结构因数为零
结构消光 ：当阵点由两个或两个以上同类原子、 异类原子、分子组成时,这种“缔合”点阵结构,除
遵 循点阵消光规律外, 还因阵点“缔合”,存在附加
反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干
涉面的面指数称为干涉指数HKL。
把面间距为d’的（hkl）晶面的n级反射看成
为面间距为 一级反射。
d d’ 的 (nh,nk,nl) 晶面的
n
简单点阵的晶面间距公式
晶系 正交晶系 四方晶系 立方晶系 六方晶系
公式
cos2 cos2 cos2 1
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
■ 倒易点阵参数
g HKL
Ha*
*
Kb
Lc*
倒易矢量表示法： gHKL Ha* Kb * Lc*
a* b, c 平面 ，
a* b c bc sin
V
V
b* ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa,c平面
c* a, b 平面
b* c a ca sin
V
V
c* a b absin
那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3 Ae ...fn Ae ；
各原子与入射波的位相差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞顶点为坐标原点O,则任意一点A坐 标矢量为
OA rj X j a Y jb Z j c
波程差为 j rj k'rj k rj (k'k)
相差为 i 2 (HX i KYi LZ i )
第二章X射线运动学衍射理论PPT课件
衍射花样和晶体 结构的关系
◆选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各 原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线 的方向恰好相当于某原子面对入射线的反射， 所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。
但是X射线的原子面反射和可见光的镜面 反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面
上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射 并不是任意的，只有当、、d三者之间满足 布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
第一篇 X射线衍射
第二章 X射线运动学衍射理论
◆布拉格方程 ◆倒易点阵 ◆X射线衍射强度
◆():
反映空间点阵中阵点周期性排列规律的最小
§2.1 布拉格方程
布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论 布拉格方程的应用
§2.1.1布拉格方程的导出
■ X射线在单原子面上的镜面反射
■ 晶体中平行原子面对X射线的衍射
布拉格 2d Sin 方程的两种
用途：
1）结构分析：已知波长的特征X
射线，通过测量 角,计算晶面间
距d
2）X射线光谱学：已知晶面间距d
的晶体，通过测量 角,计算未知
X射线的波长
§2.2 倒易点阵
倒易点阵：在晶体点阵的基础上按一定对应
关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵 的另一种表达形式。
■ 定义式 ■ 倒易点阵参数：
gHKLH*a K*b L*c
倒易矢量表示法： gHKLH*a K*b L*c
a* b,c 平面 ，
a* bcbcsin
VV
b* a,c平面
c* a,b 平面
b* cacasin
VV
c* ababsin
VV
cos*cosscin oss in cos
◆选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各 原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线 的方向恰好相当于某原子面对入射线的反射， 所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。
但是X射线的原子面反射和可见光的镜面 反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面
上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射 并不是任意的，只有当、、d三者之间满足 布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
第一篇 X射线衍射
第二章 X射线运动学衍射理论
◆布拉格方程 ◆倒易点阵 ◆X射线衍射强度
◆():
反映空间点阵中阵点周期性排列规律的最小
§2.1 布拉格方程
布拉格方程的导出 布拉格方程的讨论 布拉格方程的应用
§2.1.1布拉格方程的导出
■ X射线在单原子面上的镜面反射
■ 晶体中平行原子面对X射线的衍射
布拉格 2d Sin 方程的两种
用途：
1）结构分析：已知波长的特征X
射线，通过测量 角,计算晶面间
距d
2）X射线光谱学：已知晶面间距d
的晶体，通过测量 角,计算未知
X射线的波长
§2.2 倒易点阵
倒易点阵：在晶体点阵的基础上按一定对应
关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵 的另一种表达形式。
■ 定义式 ■ 倒易点阵参数：
gHKLH*a K*b L*c
倒易矢量表示法： gHKLH*a K*b L*c
a* b,c 平面 ，
a* bcbcsin
VV
b* a,c平面
c* a,b 平面
b* cacasin
VV
c* ababsin
VV
cos*cosscin oss in cos
射线分析第二章—X射线运动学理论
n—反射级数（=0，1，2，3…）
n=0时相当于透射（看不到）
对于一定波长的X射线，晶面间距越大，波程差越大， 反射级数越高。
2.2 布拉格方程的讨论
选择反射
产生衍射的极限条件
干涉面和干涉指数 衍射花样和晶体结构的 关系 布拉格方程的应用
1. 选择反射
X射线衍射几何是借用镜面反射规律描述的。
其面指数称干涉指数。
4. 衍射花样和晶体结构的关系
将各晶系的d值代入布拉格方程得：
2 2
简单立方晶系： 简单正方晶系： 简单斜方晶系： 简单六方晶系：
Sin
2
(H
2
K
2
L）
2
4a
Sin
2
2
(
2
H
2
K a
2
2
2 2
L c
2 2
）
4
Sin
2
(
H a
2 2
K b
• 被测物质各衍射线对的sin2θ比例数列1：2：3：4：5：
6：8：9：10：11：……为简单立方点阵。
• 从内低角衍射线开始，按θ增大顺序，标注出科 • 衍射线对的干涉指数(HKL)为：(100)，(110)，(111)， (200)，(210)……等
S 1 4 1 R
S 2 ( 2 4 2 ) R
3．用单色X射线照射多晶体，相当单晶体围绕所有可能轴 转，所有倒易矢量都以原点为心转成一个个同心球，与反 射球相交即可获得衍射，即粉末法。
2 2
H 2 K 2 L2
2
2
2
2.4 衍射矢量方程和厄瓦尔德图解法
第二章X射线运动学衍射理论
相干散射是衍射的基础，而衍射则是晶体对x-ray散射的 一种特殊表现形式，并非x-ray与物质相互作用的新现象。
2013-11-10
2. 布拉格方程的导出
设一束平行的X射线(波长λ)以角照射到晶体中晶面指数为 (hkl)的各原子面上，各原子面产生反射。 见图任选两相邻面 (A1与A2)，反射线光程差：
H * hkl AB ( ha k b lc )(b / k a / h) k bb / k hAB
hkl
b a
同理可证：
H
*
AC
* H hkl BC
O A
H
*
hkl
ABC平面即H
*
hkl
hkl）晶面 （
讨论： 若图2-8a中AB+BC=λ，产生衍射束； 图2-8b中DE+EF= λ/2, 产生相消干涉而相互抵消。 结果：改变原子排列方式或原子种类，会改变 X射线 衍射强度。
2013-11-10
1. 结构因子
系统消光：原子在晶体中位置不同或原子种类 不同而引起的某些方向上衍射线消失的现象。 根据系统消光结果以及通过测定X射线强度的 变化可以推断出原子在晶体中的位置。
两晶面 晶面夹角：
h1k1l1 、h2 k 2l2 法线间夹角
晶带: 晶体结构和空间点阵中,同时平行于某一晶向的
晶面属于同一晶带,这些晶面称为晶带面,该晶向 称晶带轴,其晶向指数为晶带指数,记着[uvw].
晶带定律: 晶带轴[uvw],晶带面(hkl),则有hu+kv+lw=0.
2013-11-10
2013-11-10
1. 晶体点阵对X射线的衍射 产生原因
原子在晶体中是周期排列的，原子中的电子对x-ray产生
2013-11-10
2. 布拉格方程的导出
设一束平行的X射线(波长λ)以角照射到晶体中晶面指数为 (hkl)的各原子面上，各原子面产生反射。 见图任选两相邻面 (A1与A2)，反射线光程差：
H * hkl AB ( ha k b lc )(b / k a / h) k bb / k hAB
hkl
b a
同理可证：
H
*
AC
* H hkl BC
O A
H
*
hkl
ABC平面即H
*
hkl
hkl）晶面 （
讨论： 若图2-8a中AB+BC=λ，产生衍射束； 图2-8b中DE+EF= λ/2, 产生相消干涉而相互抵消。 结果：改变原子排列方式或原子种类，会改变 X射线 衍射强度。
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1. 结构因子
系统消光：原子在晶体中位置不同或原子种类 不同而引起的某些方向上衍射线消失的现象。 根据系统消光结果以及通过测定X射线强度的 变化可以推断出原子在晶体中的位置。
两晶面 晶面夹角：
h1k1l1 、h2 k 2l2 法线间夹角
晶带: 晶体结构和空间点阵中,同时平行于某一晶向的
晶面属于同一晶带,这些晶面称为晶带面,该晶向 称晶带轴,其晶向指数为晶带指数,记着[uvw].
晶带定律: 晶带轴[uvw],晶带面(hkl),则有hu+kv+lw=0.
2013-11-10
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1. 晶体点阵对X射线的衍射 产生原因
原子在晶体中是周期排列的，原子中的电子对x-ray产生
第2章衍射
o
b
P 0
λ
分割为更窄的环带, 相邻小环带在P0贡献的振动位相差
2
为半 径做球面
对半波带的进一步分割
π
m
,
振动的合成用矢量图来表示
振动矢量图
uur M 1 Δ Am
π
m
uu r A1
uu r o uu Δ uur Δ A3 r A2 Δ A1
m → ∞ uur Δ Ak → 0
A1 A3
uu r A1
~ n +1 Un ( P0 ) = Kn (−1)
Aeik ( R+b) Kn = (1 + cosθn ) ( R + b)
~ 所以：~ ( P0 ) = ∑ U n ( P0 ) = ∑ K n ( −1) n +1 U
自由传播时的光波场A0： A2 A1 A0
S R s Q
1 A0 = A1 2
场复振幅。
1 ikr −i 1 ~ ~ U ( P) = ∫∫ 2 (cos θ 0 + cos θ )U 0(Q ) r e d S λ ∑0
光孔和接收场点都满足傍轴近似时：
光源
s∗
θ0 θ = 0
倾斜因子
θ0
光 孔
r
r0
P
观 察 屏
1 ikr 1 ikr e ≈ e r r0
1 f (θ 0 , θ ) = (cos θ 0 + cos θ ) ≈ 1 2
1 A ' = OB = 2( A1 ) 2 A1 = 2 A A' = 2A
2
C
u r A
B
A'
I ' = 2 A ，即光强为自由传播时的2倍
第二章 X射线运动学衍射理论
26
Made by sxc
27
Made by sxc
DE＋EF=λ/2
AB＋BC=λ
28
系统消光: 我们把因原子在晶体中位置不同或原子种类不
同而引起的某些方向上的衍射线消失的现象称 之为“系统消光”。
Made by sxc 根据系统消光的结果以及通过测定衍射线的强度
的变化就可以推断出原子在晶体中的位置。
这便是一个电子对X射线散射的汤姆孙（J. J. Thomson）公式。
31
②非相干散射
hv2＜hv1。
这两个波长之差为：
Made by sxc 1－cos2θ）（nm） Δλ＝λ’－λ≈0.0024（
可见碰撞后的波长只决定于散射角，2θ＝0时，
Δλ＝0（原向散射），2θ＝180°时（背向散 射），Δλ＝0.005nm。
32
2.一个原子对X射线的散射
原子核也具有电荷，所以X射线也应该在原子核上
产生散射。
Made by sxc
散射强度与引起散射的粒子质量的平方成反比，原
子核的质量是电子的1800多倍，所以原子核引起的 散射线的强度极弱，可以忽略不计。
33
Made by sxc
34
Ia＜ZIe
为评价原子散射本领，引入系数f(f≤Z)，称
式，可以有如下关系 eix＝cosx＋i sinx 波动可以用复指数形式表示，即 Aeiφ＝Acosφ＋iAsinφ 多个向量的和可以写成 ΣAeiφ＝Σ（Acosφ＋iAsinφ）
波的强度正比于振幅的平方，当波用
复数的形式表示的时候，这一数值为 复数乘以共轭复数，Aeiφ的共轭复数为 Ae-iφ，所以 |Aeiφ|2＝AeiφAe－iφ＝A2 该式还可以写成以下形式 A（cosφ＋isinφ）A（cosφ－isinφ） ＝A2（cos2φ＋sin2φ）＝A2
Made by sxc
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Made by sxc
DE＋EF=λ/2
AB＋BC=λ
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系统消光: 我们把因原子在晶体中位置不同或原子种类不
同而引起的某些方向上的衍射线消失的现象称 之为“系统消光”。
Made by sxc 根据系统消光的结果以及通过测定衍射线的强度
的变化就可以推断出原子在晶体中的位置。
这便是一个电子对X射线散射的汤姆孙（J. J. Thomson）公式。
31
②非相干散射
hv2＜hv1。
这两个波长之差为：
Made by sxc 1－cos2θ）（nm） Δλ＝λ’－λ≈0.0024（
可见碰撞后的波长只决定于散射角，2θ＝0时，
Δλ＝0（原向散射），2θ＝180°时（背向散 射），Δλ＝0.005nm。
32
2.一个原子对X射线的散射
原子核也具有电荷，所以X射线也应该在原子核上
产生散射。
Made by sxc
散射强度与引起散射的粒子质量的平方成反比，原
子核的质量是电子的1800多倍，所以原子核引起的 散射线的强度极弱，可以忽略不计。
33
Made by sxc
34
Ia＜ZIe
为评价原子散射本领，引入系数f(f≤Z)，称
式，可以有如下关系 eix＝cosx＋i sinx 波动可以用复指数形式表示，即 Aeiφ＝Acosφ＋iAsinφ 多个向量的和可以写成 ΣAeiφ＝Σ（Acosφ＋iAsinφ）
波的强度正比于振幅的平方，当波用
复数的形式表示的时候，这一数值为 复数乘以共轭复数，Aeiφ的共轭复数为 Ae-iφ，所以 |Aeiφ|2＝AeiφAe－iφ＝A2 该式还可以写成以下形式 A（cosφ＋isinφ）A（cosφ－isinφ） ＝A2（cos2φ＋sin2φ）＝A2
二章X射线运动学衍射理论
1.3 原子对X射线的散射
❖ 一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么 一个原子对X射线散射后该点的强度
Ia f 2Ie
f：原子散射因子
推导过程
❖一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电子散射的叠 加
❖若不存在电子电子散射相位差
Ia ZIe
实际上，存在电子电子相位差，引入原子散射
因子
对称性。
刚玉
邻苯二甲酸氢钠
锗酸铋 电气石
2、晶体结构与空间点阵
2.1 基本概念
➢ 结构基元 ➢ 点阵 ➢ 阵点 ➢ 点阵矢量
基本概念（续）
➢ 晶胞
➢ 晶轴 X， Y， Z
➢ 晶胞参数
2.2 阵点和原子
阵点是在空间中无穷小的点 原子是实在物体 阵点不必处于原子中心
2.3 点阵和晶胞
两个点阵点之间的矢量(r)满足：
h+k+l为偶数： h+k+l为奇数：
F 2 4fa2
F 2 0
倒易点阵为面心点阵
在体心点阵中，只有当h+k+l为偶数时才能产生衍 射
❖ 面心点阵
F fa e 2 i( 0 ) fa e 2 i( k 2 l) fa e 2 i( h 2 k ) fa e 2 i( l 2 k ) fa [ 1 e i( h k ) e i( k l) e i( h l) ]
1.1 系统消光
❖ 定义：原子在晶体中位置不同或原子种类不同而 引起的某些方向上衍射线消失的现象
❖ 结构因子：定量表征原子排布及原子种类对衍射 强度影响规律的参数
1.2 电子对X射线的散射 ❖汤姆逊公式
Ie I0R 2 m e 4 2 c 4( 1 c 2 2 o 2) ＝ sI07 .9 R 1 2 20 ( 6 1 c 2 2 o 2)s
第二章 X射线运动学衍射理论
第二章 X 射线运动学衍射理论2.1 X 射线衍射方向如图两个波，在A 方向上，有波程差ΔA ，当λn A =∆() ,3,2,1,0=n两个波的位相相同，两个波相互加强，合成波振幅增大，合成波振幅等于两个波原振幅的叠加。
在B 方向上，波程差λ)2/1(+=∆n B () ,3,2,1,0=n ，两波的位相不同，一个波的波峰与另一个的波谷重叠，合成波振幅为零。
如下图b 。
两波的波程差随方向不同而不同，位相差也有变化。
在A 方向和B 方向之间的方向上，合成波振幅介于前两者之间。
如上图c 。
因此，两个波的波程不同就会产生位相差，随着位相差的变化，其合成波振幅也有变化。
下图是平行的单色X射线以θ角入射到晶面上，在与入射线成2θ角的方向上的散射波。
对于波1和1a，它们在1′和1a′方向上的散射波位相相同，波程差为零。
两波互相加强。
A晶面上该方向的所有散射线均互相加强。
对于波1和2分别被K和L原子散射时，1′和2′的波程差为ML＋NL＝2d′sinθ，如果波程差2d′sinθ为波长的整数倍，即满足：时，散射波1′和2′的位相相同，两波相互加强。
上式就是布拉格定律。
它是X射线衍射的最基本的定律。
式中n为整数，称为反射级数。
因sinθ≤1，n的大小有一定限制。
n =1时称为第一级反射。
对于一定的λ和d′，存在可以产生衍射的若干个角θ1,θ2,θ3,…，分别对应于n =1，2，3，…。
在满足布拉格定律的方向上，各晶面的散射波位相都相同，其振幅互相加强，散射强度增加，这样，在与入射线成2θ角的方向上就会出现衍射线。
而其他方向上的散射波位相不同，振幅互相抵消，散射强度减弱或完全消除。
X射线衍射和可见光反射有相似的现象，如：入射束、反射面法线、反射束三者处于同一平面，且入射角和反射角相等，但衍射和反射有如下本质的区别：a. X射线不仅被晶体表面的原子散射，而且被晶体内层原子散射，衍射线是晶体中X射线路径上所有原子散射波干涉的结果。
02衍射运动学理论
假想在（100）之间存在（200）面，两邻近（200）晶面满 足（100）晶面的二级反射，同时还是（200）晶面的一级反 射，称为200反射。
推广：面间距为d′的（hkl)晶面的第n级反射，可看作是晶面 间距为 d=d′/n的（nk,nk,nl)晶面的第一级反射。
X射线运动学衍射理论
Bragg衍射方程重要作用： (1)已知 ，测角，计算d（材料分析的内容）； (2)已知d 的晶体，测角，得到特征辐射波长 ， 确定元素，X射线荧光分析的基础。
2. 晶体结构与空间点阵-C
X射线运动学衍射理论
◆阵点的坐标表示
●以任意顶点为坐标原点，以 与原点相交的三个棱边为坐标 轴，分别用点阵周期（a、b、 c）为度量单位
四种点阵类型 •简单P •体心B •面心F •底心C
◆简单点阵P的阵点坐标为000
X射线运动学衍射理论
◆底心点阵 C
除八个顶点上有阵点外，两个
X射线运动学衍射理论
2.反射级数与干涉指数
布拉格公式表示了面间距为d′的（hkl)晶面产生了几级衍射
2d sin n (n 1,2,) 式中n为反射级数
（ 2 d / n) sin ＝2dsin (n 1, 2, )
d d / n
X射线运动学衍射理论
a*矢量垂至于b和c，a*矢量与b×c矢量同方向。
X射线运动学衍射理论
倒易点阵的性质
1.倒易点阵的倒易是正点阵。
2.可由正点阵单位格子出发得到相应在倒易
格子的三个基矢长度及交角的数值。
具体关系间P14-15， 式2-10，11，12
当正点阵中某一基矢的模越大，则在倒易点
阵中相应的基矢模越小。
一束非偏振X射线光经电子散射后其散射强度在空 间的各个方向上变得不相同，被偏振化了，程度 取决于2θ角。
推广：面间距为d′的（hkl)晶面的第n级反射，可看作是晶面 间距为 d=d′/n的（nk,nk,nl)晶面的第一级反射。
X射线运动学衍射理论
Bragg衍射方程重要作用： (1)已知 ，测角，计算d（材料分析的内容）； (2)已知d 的晶体，测角，得到特征辐射波长 ， 确定元素，X射线荧光分析的基础。
2. 晶体结构与空间点阵-C
X射线运动学衍射理论
◆阵点的坐标表示
●以任意顶点为坐标原点，以 与原点相交的三个棱边为坐标 轴，分别用点阵周期（a、b、 c）为度量单位
四种点阵类型 •简单P •体心B •面心F •底心C
◆简单点阵P的阵点坐标为000
X射线运动学衍射理论
◆底心点阵 C
除八个顶点上有阵点外，两个
X射线运动学衍射理论
2.反射级数与干涉指数
布拉格公式表示了面间距为d′的（hkl)晶面产生了几级衍射
2d sin n (n 1,2,) 式中n为反射级数
（ 2 d / n) sin ＝2dsin (n 1, 2, )
d d / n
X射线运动学衍射理论
a*矢量垂至于b和c，a*矢量与b×c矢量同方向。
X射线运动学衍射理论
倒易点阵的性质
1.倒易点阵的倒易是正点阵。
2.可由正点阵单位格子出发得到相应在倒易
格子的三个基矢长度及交角的数值。
具体关系间P14-15， 式2-10，11，12
当正点阵中某一基矢的模越大，则在倒易点
阵中相应的基矢模越小。
一束非偏振X射线光经电子散射后其散射强度在空 间的各个方向上变得不相同，被偏振化了，程度 取决于2θ角。
第二章标量衍射理论
dS
级扰动中心，它们能产生球面子波，并且，后一时刻的波前
位臵是所有这些子波前的包络面”。
2015-5-30
4
古斯塔夫· 罗伯特· 基尔霍夫
基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～
1887），德国物理学家。他提出了稳恒电路网络中
电流、电压、电阻关系的两条电路定律，即著名的
基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律
G 2U k 2UG 0 U 2G k 2UG 0
S
P0
上面两相减得
G 2U U 2G 0
V
代入下式
U G (G U U G )dV (G U )dS V n n S U G (G U )dS 0 n n S 上式是同频率的两个光振动在无源点上必须满足的关系式， 即简化后的格林定理。
亥姆霍兹理论；对肌肉活动的研究使他丰富了早
些时候朱利叶斯· 迈耶和詹姆斯· 焦尔的理论，创立
了能量守恒学说。
2015-5-30 14
2015-5-30
15
复习： 1.格林（Green）定理 设U(P)和G(P)是空间位臵坐标的两个复函数，S是
包围体积V的封闭曲面。若在曲面S上和S面内U和G为单
值连续，并且有一阶和二阶的单值连续偏导数。则
2 2
2015-5-30
21
格林函数的选择
选格林函数为由 P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G( P1 )
S
r01
P1
e jkr01 r01
S P0 n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
3. 第二章 x射线运动学衍射理论概述
倒易点阵的这两个性质表明了倒易点阵的几何意 义：正点阵中的每组平行晶面(hkl)相当于倒易点阵中 的一个倒易点，此点必须处在这组晶面的公共法线上， 即倒易矢量方向h上；它至原点的距离为该组晶面间 距的倒数(1/dhkl)。由无数倒易点组成点阵即为倒易点 阵。 因此，若已知某一正点阵，就可以作出相应的倒 易点阵。
• 立方晶系的晶面夹角公式 ：
2.1 X射线衍射方向
1、波的合成 图1所示：两个波的波程不一样就产生位 相差，随位相的变化，其合成振幅也变化。
将此原理用于X射线衍射中去。
2、布拉格定律（Bragg′s
见图2-2，
law）
当波1和波2分别被K和L原子散射时，两者 的波程差为： ML+NL=d′sinθ +d′sinθ = 2d′sinθ
• 空间点阵的要素： A、结点：空间点阵中代表晶体结构中的原 子、分子等相同点。 B、行列：结点在直线上的排列，代表晶体 上的晶棱或晶向。
• C、晶面：由结点组成的空间平面，其间距称 为晶面间距。 • D、晶胞单位点阵（平行六面体）：空间点阵 中的一个最小重复单元。 • E、点阵参数或晶体常数：空间坐标系统中-晶轴：一般A轴左右、B轴前后、C轴上下。 结点间距（点阵周期）：a, b, c 晶轴夹角：α ,β ,γ
若已知某个晶体的晶体常数a、b、c和α 、 β 、γ ，根据解析几何原理，很容易推导出计 算晶面间距的公式。
•
•
立方晶系 正方晶系
斜方晶系
•
实际工作中这些晶面间距可以通过X射线 的仪器分析测得，并通过这些公式计算晶体的 晶体常数。
• 晶面夹角：
若已知某晶体上两个晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)， 可以求二者之间的夹角φ (晶面法线夹角 )。
• 立方晶系的晶面夹角公式 ：
2.1 X射线衍射方向
1、波的合成 图1所示：两个波的波程不一样就产生位 相差，随位相的变化，其合成振幅也变化。
将此原理用于X射线衍射中去。
2、布拉格定律（Bragg′s
见图2-2，
law）
当波1和波2分别被K和L原子散射时，两者 的波程差为： ML+NL=d′sinθ +d′sinθ = 2d′sinθ
• 空间点阵的要素： A、结点：空间点阵中代表晶体结构中的原 子、分子等相同点。 B、行列：结点在直线上的排列，代表晶体 上的晶棱或晶向。
• C、晶面：由结点组成的空间平面，其间距称 为晶面间距。 • D、晶胞单位点阵（平行六面体）：空间点阵 中的一个最小重复单元。 • E、点阵参数或晶体常数：空间坐标系统中-晶轴：一般A轴左右、B轴前后、C轴上下。 结点间距（点阵周期）：a, b, c 晶轴夹角：α ,β ,γ
若已知某个晶体的晶体常数a、b、c和α 、 β 、γ ，根据解析几何原理，很容易推导出计 算晶面间距的公式。
•
•
立方晶系 正方晶系
斜方晶系
•
实际工作中这些晶面间距可以通过X射线 的仪器分析测得，并通过这些公式计算晶体的 晶体常数。
• 晶面夹角：
若已知某晶体上两个晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)， 可以求二者之间的夹角φ (晶面法线夹角 )。
衍射理论
2
x x 2 y y 2 x x 2 y y 2 2 0 0 0 0 r z 1 2z 2 8z 4
r z 2 x x0 y y0
2
2
1 x x0 2 1 y y0 2 z 1 2 z 2 z
同频率的两个光扰 动的复振幅在无源 点上必须满足的关 系式
2.格林函数的选择： 格林函数G由 p0 向外发散
的单位振幅的球面波在任 意一点P处，G的值为：
exp jkr01 G P 1 r01
v
U G U n G n ds 0 s
n r
p 0
第二章 标量衍射理论
衍射规律是光波传播的基本规律
何谓衍射: 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离 惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到限 制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波前 的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改变， 使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为衍射。
2.1.2
惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分
1 U P j
令：
e jkr U P0 K r ds
jkr
1 e hP, P0 K j r
代入上式得：
U P U P0 h P, P0 ds
或写成： U x, y
由于
r21 , r01 ,
所以
1 1 k , k , r21 r01
基尔霍夫衍射公式： exp jk r21 r01 cos n , r01 cos n , r21 1 U P0 ds j r21r01 2
x x 2 y y 2 x x 2 y y 2 2 0 0 0 0 r z 1 2z 2 8z 4
r z 2 x x0 y y0
2
2
1 x x0 2 1 y y0 2 z 1 2 z 2 z
同频率的两个光扰 动的复振幅在无源 点上必须满足的关 系式
2.格林函数的选择： 格林函数G由 p0 向外发散
的单位振幅的球面波在任 意一点P处，G的值为：
exp jkr01 G P 1 r01
v
U G U n G n ds 0 s
n r
p 0
第二章 标量衍射理论
衍射规律是光波传播的基本规律
何谓衍射: 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离 惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到限 制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波前 的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改变， 使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为衍射。
2.1.2
惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分
1 U P j
令：
e jkr U P0 K r ds
jkr
1 e hP, P0 K j r
代入上式得：
U P U P0 h P, P0 ds
或写成： U x, y
由于
r21 , r01 ,
所以
1 1 k , k , r21 r01
基尔霍夫衍射公式： exp jk r21 r01 cos n , r01 cos n , r21 1 U P0 ds j r21r01 2
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transform the direct lattice into a lattice in reciprocal space defined
by the three basis vectors a*, b* and c*:
a* b c ab c
b* c a ab c
c* a b ab c
Consider two scattering centres d apart with incident and scattered
wavevectors k0 and k’.
Path Difference:
d sin 0 d sin d e0 e
Constructive interference at
多晶可以看做是 单晶旋转的组合
样品为多晶体（粉末） 三维衍射线变成一维衍射圆锥
常用衍射几何：
Debye-Scherres几何，细条状样品
劳厄相机几何
图3 劳厄衍射花样照片，（a）背射花样，（b）透射花样
Bragg-Brenteno几何，平板状样品
1/dhkl
A
θhkl
θhkl
O
O1 1/λ
根据欧拉公式： eiп((h+k+l )＝cosп(h+k+l)＋isinп(h+k+l)
由于h+k+l为整数，所以： i•sinп (h+k+l)＝0 因此1+eiп ((h+k+l )＝1+cosп(h+k+l) Fhkl＝fjei2 п (hxj+kyj+lzj) +fjei2 п (hxj+kyj+lzj+1/2(h+k+l))
The Reciprocal Lattice and
Reciprocal Space
Wavectors, k 1whose dimensions are inverse length do not fit easily into the direct lattice picture of a crystal. We will therefore
衍射方向:
Consider photons of wavelength,
incident on a series of slits d apart. The maxima of the
diffraction orders is given by:
m d sin d sin
Crystals are 3D with planes separated by dhkl. There will only
(x) Fs exp(i2s • x)dvs
对非周期性的材料, 散射振幅是所有电子散射的位相 叠加, 求和或积分遍及所有电子. 对周期性的晶体材 料, 由于平移对称性, 傅立叶变换导致倒易空间中除 倒易阵点外的所有空间的电荷密度为零, s只能取整数 值, 散射振幅为相应的矢量叠加.
•结构因子Fhkl-衍射强度的条件--与晶胞中原子的种类及分布 的关系
•系统消光-结构因子Fhkl-空间群的关系B
螺旋轴的作用--螺旋轴消光条件的推导
设晶体在b方向由一平移量为1/2的螺旋轴21处于X＝0、Z＝0处， 晶胞中由它联系的每对原子的坐标为：xj、yj、zj；－xj、 1/2+yj、－zj，它们对结构因子的贡献为： Fhkl＝fjei2п (hxj+kyj+lzj) +fjei2п ( hxj+kyj+－lzj+k/2)
实际小晶体
累积能量EHKL： E KF 2LPTAV
E
I0
e4 c4m2
1 3
w Vu2
F
2
(12scinos2
2 2 2
)e2MT
AV
粉末样品
单位长度衍射圆弧上
的积分强度IHKL：
I HKL
KJ
HKL
F2 HKL
LPHKLTHKL
AV
I HKL
I0
e4 c4m2
3 16R
1 Vu2
J
HKL
F2 HKL
N=N1N2N3， N1、N2、N3是a、b、c方向上的晶胞数
退回到散射
Fs (r)eiH •r dv
(r)
0
(r)
晶体晶中体外
Fs FH • R( )
IS IeFS2 f (S )
f
(S )
sin 2 N11 sin 2 1
sin 2 sin
N 2 2 2 2
sin 2 N33 sin 2 3
sin OP dhkl
AO
2
2d hk l
λ=2dhklsinθ
1
sin 2dhkl 1/ 2dhkl
λ=2dhklsinθ
衍射强度公式
理想小晶体的衍射强度公式：
I HKL Ie FHKL 2 N 2
Ie
I0
e4 c4r 2m2
[1 cos2 2
2
]
n
FHKL f j[exp 2i(Hx j Ky j Lz j )] j 1
k
[ak (sHKL
s0 )]
在衍射极大时，要求：
k gk
其中，gk为任意整数。此时，sinsin2
Nk 2 k
k
N
2 k
f
(S )
N12
N
2 2
N32
N2
对应于不同的gk，可有多个极大
在衍射极小时：k=pk/Nk
式中|pk|为小于Nk的任意整数，此时：
sin 2 sin
Nk 2 k
k
0
在两个极大值之间有Nk-1个极小
d2
a2
只要一条衍射线！！
不同晶系需要线数不同
2）误差分析：
a d 2 cot(2 )
ad
2
要(2)小， 90
误差来源
仪器 因素
入射束发散度(A、D)，单色性和 偏振性 F)，加工与调整精度。样品表面的粗糙度， 偏心度(B)，测量条件 (E)
样品 晶粒大小，均匀性，吸收及X线透入深 因素 度(C)
d k0 k m
Laue Formulation:
T (k0 k) m
OR
exp 2ik0 kT 1
衍射分析的基本概念及基本理论
•布拉格方程（衍射方向的条件）
nλ=2dsinθ
•衍射方向与晶胞参数的关系：
θd
a, b ，c， , b g
： 面网间距：指平行面网中，相邻面网之间的 距离，决定于晶胞参数和面网符号。
•衍射振幅－结构因子
N个散射体，位矢是x1,x2,…,XN, 散射因子是f1,f2,…fN. 第n个原子的散射因子为fn.
假定：电子的散射因子是1, 散射体相对光源和观测 点很小，即认为散射体中相同原子散射到观测点有相 同的散射振幅．
则N个散射波叠加的衍射振幅为
A
N 1
fn
exp( i2
S1
S0
例：正交晶系
1 h2 k2 l2
d
2 hkl
a2
b2
c2
•系统消光-结构因子Fhkl--空间群的关系A
格子类型的作用--体心格子消光条件的推导
晶胞中有一原子坐标为xj、yj、zj，必有坐标为1/2+xj、1/2+yj、1/2+zj的 相同原子存在, 它们对结构因子的贡献为
Fhkl＝fjei2п (hxj+kyj+lzj) +fjei2п (hxj+kyj+lzj+1/2(h+k+l)) = fjei2п (hxj+kyj+lzj) (1+eiп ((h+k+l ) )
= fjei2п kyj (ei2п (hxj+lzj)+eiп ((hxj+lyj+k/2 ) ) 当h, l都为零时：
F0k0＝fjei2п kyj (1＋eiп k/2 ) ) 对于晶胞内所有原子：
Fhkl = （ 1 ＋ eiп k/2 ） ∑ fjei2п kyj= （ 1 ＋ cosпk ） ∑fjei2п kyj k=2n+1时，系数为0，这就是21轴平行b轴的消光条件，即在b 方向存在21螺旋轴时，oko的衍射中，k为奇数的衍射点都不存 在。
(1
2
cos2 2 HKL cos2 2 sin 2 HKL cos2 HKL
m
)e2
M
T
AV
第二章 衍射峰位置的测量和应用
1. 测量方法： 1）峰顶法、 眼估法、 微分法、 拟合法 2）中点法 3）质心法
2. 点阵常数的测定和应用
1）依据：d和点阵常数的关系式
如：立方晶系
1 H 2 K 2 L2
In a crystal, the distance d is defined by the lattice and must
be invariant under a lattice transformation T which is made
up of integer multiples of the lattice basis vectors, a,b and c.
•倒易点阵（Reciprocal Space）及衍射仪设计原理 -反射球及晶体的衍射方向 _理解: 1)单晶体、多晶体、织构材料、择优取向、非晶体、部分结 晶 2)单晶体的衍射 3)粉末衍射原理 4)衍射仪的设计原理
单晶旋转
倒空间形成以O为
球心，dHKL为半径 的倒易球
hkl
C