拓扑学第四章-紧致性

第四章 紧致性

紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）

定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；

如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的；

如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）

（1） 有限子集总是列紧的。

（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。

（3） 若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则

A 列紧 ⇒ A 是闭集。

（5） 列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X

中的开覆盖； 若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；

若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。 §4-2 拓扑空间的紧性

在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。

进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道：“实数空间R 的子集为有界闭集⇔它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。

这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。

解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？

定义3 设X 为拓扑空间，如果X 的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X 为紧致空间。

★ 显然，每一紧致空间也都是Lindel öf 空间（X 的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。 定义4 设A 为拓扑空间X 的非空子集，若A 作为X 的子空间是紧致的，则称A 为X 的紧致子集。

例1 实数集R 不是紧致空间。 因为

{(,)}n n n N =-∈为R 的开覆盖，但是中任何有限子集族

1122{(,),(,),,(,)}k k n n n n n n ---

的并集为1212(max{,,,},max{,,,})k k n n n n n n -，它不能覆盖R ，即没有有限子覆盖（解释：要覆盖R 只有n →∞。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。 例2 R 的开区间(0,1)不是紧致的。 因为开区间族：

1

11(,1),(,1),,(,1)23n

是(0,1)的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖(0,1)。

例3 R 的子空间1{0}{

}A n N n =⋃∈（N 为正整数集）是紧致的。 因为，任给A 的一个开覆盖

，中有一个成员包含0，记这个成员为U （开区间）。于是，开区间U 除了有限个“

1n ”外，它要包含A 的所有其余的点，因此，对于A 中的每一个U 未包含的点，从中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。

例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。

● 重新看一下定义4：

说A 为拓扑空间X 的紧致子集，是指A 中的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。

定理1 拓扑空间X 的子集A 是X 的紧致子集⇔每一由X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。

证明：()⇒ 假设A 是紧致的。令{}B αα∈Γ=是由X 的开集组成的A 的一个覆盖，那么，{}B A αα⋂∈Γ就是A 中开集所组成的A 的一个开覆盖。由于A 是紧致的，从而有一个有限子族

12{,,

,}m B A B A B A ααα⋂⋂⋂

可以覆盖A ，即它就是的一个覆盖A 的有限族。

()⇐ 反之，设A 的每一由X 的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设

{}U αα=∈Γ为A 的由X 的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为

12{,,

,}n U U U ααα 而

12()()()n U A U A U A A ααα⋂⋃⋂⋃

⋃⋂= 故A 是X 的紧致子集。 定理2 设为拓扑空间X 的基，若由的成员构成的X 的每一覆盖（自然是开的）都有有

限子覆盖，则X

为紧致空间。 证明： 设是X 的任一开集。对于A

∀∈，则A 是开集，故存在的子族A

，使得A B A B ∈=

。令

A A ∈= （即，覆盖中所有成员A 的中集族）

由

()A B A B A B B A X ∈∈∈∈===

即，是中成员构成的X 的覆盖。

如果有有限子覆盖，不妨设为12{,,,}.n i B B B B

∀∈。故存在i A ∈，使得i i A B ∈，

从而i i B A ⊂。于是，的有限子集族12{,,,}n A A A 一定是X 的子覆盖。所以，X 为紧致空间。 定理3 紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。

证明： 设A 是紧致空间X 的闭子集，于是C A 是X 的一个开集。

如果是X 的任一开覆盖，不难看出{,

}C A 构成X 的一个开覆盖。 又因为X 是紧致的，故{,}C A 中存在有限集族12{,,

,,}C m U U U A 是X 的有限子覆盖，而12{,,

,}m U U U 是A 的一个有限子覆盖，即闭集A 的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A 是紧

致的。 ●下面的几个定理不加以证明的给出。

定理4 每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。

定理5 若12,,

,n X X X 均为紧致空间，则积空间12n X X X ⨯⨯⨯为紧致空间。 定理6 设:f X Y →是从拓扑空间X 到Y 的连续映射，若A 是X 的紧致子集，则()f A 是Y

的紧致子集。 上述定理的解释：

▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。

实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点N ）；

2R 的单点紧致化同胚于球面2S 。

同时，从定理4 又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。