拓扑学第四章-紧致性

第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。

尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。

如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的；如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1） 有限子集总是列紧的。

（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。

（3） 若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则A 列紧 ⇒ A 是闭集。

（5） 列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。

人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖； 若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。

即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。

§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。

但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。

所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。

后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。

因此，列紧性并未触及到问题的本质。

进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。

并且从实分析理论中知道：“实数空间R 的子集为有界闭集⇔它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。

这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。

解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？定义3 设X 为拓扑空间，如果X 的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X 为紧致空间。

★ 显然，每一紧致空间也都是Lindel öf 空间（X 的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。

定义4 设A 为拓扑空间X 的非空子集，若A 作为X 的子空间是紧致的，则称A 为X 的紧致子集。

例1 实数集R 不是紧致空间。

因为{(,)}n n n N =-∈为R 的开覆盖，但是中任何有限子集族1122{(,),(,),,(,)}k k n n n n n n ---的并集为1212(max{,,,},max{,,,})k k n n n n n n -，它不能覆盖R ，即没有有限子覆盖（解释：要覆盖R 只有n →∞。

但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。

例2 R 的开区间(0,1)不是紧致的。

因为开区间族：111(,1),(,1),,(,1)23n是(0,1)的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖(0,1)。

例3 R 的子空间1{0}{}A n N n =⋃∈（N 为正整数集）是紧致的。

因为，任给A 的一个开覆盖，中有一个成员包含0，记这个成员为U （开区间）。

于是，开区间U 除了有限个“1n ”外，它要包含A 的所有其余的点，因此，对于A 中的每一个U 未包含的点，从中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。

例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。

● 重新看一下定义4：说A 为拓扑空间X 的紧致子集，是指A 中的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。

因此，下面的定理是必要的。

定理1 拓扑空间X 的子集A 是X 的紧致子集⇔每一由X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。

证明：()⇒ 假设A 是紧致的。

令{}B αα∈Γ=是由X 的开集组成的A 的一个覆盖，那么，{}B A αα⋂∈Γ就是A 中开集所组成的A 的一个开覆盖。

由于A 是紧致的，从而有一个有限子族12{,,,}m B A B A B A ααα⋂⋂⋂可以覆盖A ，即它就是的一个覆盖A 的有限族。

()⇐ 反之，设A 的每一由X 的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。

设{}U αα=∈Γ为A 的由X 的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为12{,,,}n U U U ααα 而12()()()n U A U A U A A ααα⋂⋃⋂⋃⋃⋂= 故A 是X 的紧致子集。

定理2 设为拓扑空间X 的基，若由的成员构成的X 的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则X为紧致空间。

证明： 设是X 的任一开集。

对于A∀∈，则A 是开集，故存在的子族A，使得A B A B ∈=。

令A A ∈= （即，覆盖中所有成员A 的中集族）由()A B A B A B B A X ∈∈∈∈===即，是中成员构成的X 的覆盖。

如果有有限子覆盖，不妨设为12{,,,}.n i B B B B∀∈。

故存在i A ∈，使得i i A B ∈，从而i i B A ⊂。

于是，的有限子集族12{,,,}n A A A 一定是X 的子覆盖。

所以，X 为紧致空间。

定理3 紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。

证明： 设A 是紧致空间X 的闭子集，于是C A 是X 的一个开集。

如果是X 的任一开覆盖，不难看出{,}C A 构成X 的一个开覆盖。

又因为X 是紧致的，故{,}C A 中存在有限集族12{,,,,}C m U U U A 是X 的有限子覆盖，而12{,,,}m U U U 是A 的一个有限子覆盖，即闭集A 的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A 是紧致的。

●下面的几个定理不加以证明的给出。

定理4 每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。

定理5 若12,,,n X X X 均为紧致空间，则积空间12n X X X ⨯⨯⨯为紧致空间。

定理6 设:f X Y →是从拓扑空间X 到Y 的连续映射，若A 是X 的紧致子集，则()f A 是Y的紧致子集。

上述定理的解释：▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。

实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点N ）；2R 的单点紧致化同胚于球面2S 。

同时，从定理4 又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。

即，紧致性不是可遗传性质。

▲定理6说明：紧致集在连续映射下的象也是紧致集。

Hausdorff 空间： 闭集 ⇐ 紧致子集紧致Hausdorff 空间： 闭集 ⇔ 紧致子集另外，由定理9，我们得到如下结论。

推论3 每一紧致的Hausdorff 空间都是4T 空间。

注释：根据紧致Hausdorff 空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。

则由定理9，有不相交邻域，则是4T 空间。

推论4 每一紧致的Hausdorff 空间都是3T 空间。

注释：由紧致Hausdorff 空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8，则是3T 空间。

于是，我们又推出如下关系：★ 对于紧致空间：Hausdorff 空间 ⇔ 正则空间 ⇔ 正规空间注：已知： 正规空间 ⇒ 正则空间 ⇒ Hausdorff 空间 （↖）又，紧致空间是Lindelöf 空间，而对Lindelöf 空间有3T ⇔4T ，于是正则空间 ⇔ 正规空间又由推论3和4，故有（↖）成立。

定理10 从紧致空间到Hausdorff 空间的连续映射必为闭映射。

证明： 设X 为紧致空间，Y 为Hausdorff 空间。

:f X Y →为连续映射。

设A 是X 的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3），则()f A 是Y 的紧致子集（由定理6）。

由推论1，()f A 是闭集。

故f 为闭映射。

定理11 X 为紧致空间，Y 为Hausdorff 空间，:f X Y →是在上的一一连续映射，则f 是同胚。

证明： （提示：只要证明1:f Y X -→是连续的）在第二章§2-5“连续映射与同胚”中定理1（3）已有结论：“:F U V →，若V 的闭集在F 下的原象是闭的，则F 连续”在此，记1,,F f U Y V X -===；于是利用定理10，有1f -是连续的。

故f 是同胚。

★ 关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看。

§4-4 几种紧致性的关系（简介）在微积分学中，实数空间R 的子集A 上，下述命题是等价的：（1）A 是有界闭集；（2）A 的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中每一无限子集都有聚点在A 中；（4）A 中每一序列都有收敛的子序列收敛于A 中的点；★ 同时，（2）可以写成（5）A的每一可数开覆盖都有有限子覆盖（注：由（5）不能推出（2）！即，（5）不是（1）～（4）的等价命题）定义6设X为拓扑空间，如果X的每一可数开覆盖都有有限子覆盖，则称X为可数紧致空间。

●下面的命题都是显然的。

命题1每一紧致空间都是可数紧致空间。

命题2每一Lindelöf的可数紧致空间都是紧致空间。

注释：Lindelöf空间——每一开覆盖有可数子覆盖。

如果它又是可数紧致空间，则每个可数子覆盖都有有限子覆盖，则X每个开覆盖都有有限子覆盖，故X是紧致空间。

●前面介绍了度量空间的列紧性，列紧性也可以移植到拓扑空间中。

定义7设X为拓扑空间，如果X的每一无限子集都有聚点，则称X为列紧空间。

（说明：许多书对列紧的定义不一致）定理12 每一可数紧致空间都是列紧空间。

（不证明）定义8 设X为拓扑空间，如果X中每一序列都有收敛的子序列，则称X为序列紧致空间。

定理13每一序列紧致空间都是可数紧致空间。

C的可数紧致空间都是序列紧致空间。

每一满足第一可数公理1●由上述定理，我们可归纳出如下关系：§4-5 局部紧致与仿紧紧致性是一种很好的拓扑性质，如，紧致空间上的函数有界，并且达到最大、最小值。

但是，E也不是紧致的（n E的闭子集是紧致的）。

紧致性的条件太强，以至于n维欧氏空间n本节介绍紧致性的两个方面推广——局部紧致和仿紧的。

∈都有一个紧致的邻域，则称X为局部紧致定义9设X为拓扑空间，如果X的每一点x X空间。

注释：“x X∈，都有一个紧致的邻域”，表示至少存在一个，并不是说x的所有邻域都是紧致的。