浅谈量子力学中的绘景变换

H
, FH
]
(3.4)
若算符中显含时间t 则应加上下面一项的
贡献
dFH dt
= ∂FH ∂t
+
i [H h
H
, FH
]
(3.5)
这个方程称为海森保方程。
海森保绘景与经典力学的对应关系，比
薛定谔绘景更为直接和相似，且处理微扰问
题时更为方便。但由于它处理的都是算符方
程，因此在解具体问题时不如直接解薛定谔
将（2.1）式代入（3.1），易知在任何时刻，
海森保绘景中的波函数都是一个与时间t
无关的即
| ψ (t ) >=U −1(t ,t 0 )U (t ,t 0 )| ψ (t 0 ) >= 常数 所以
i
h
∂ ∂t
|
ψ
H
(t
)
>=
0
(3.3)
对（3.2）式求导，利用（2.5）式可得
dFH dt
=
i h
[H
我们也可以将力学量平均值的变化，归结为
,
H
]
=
2ω ih
[sz
, ]sx = 2ωsy波函数与算符都随时间变化。 我们将相互作用绘景中的绘景分解为
式中ω = eh 求平均值得，即得 2μc
d dt
sx
=0
(3a)
d dt
sy
= −2ω sz
(3b )
d dt
sz
= 2ω sy
(3c )
初始条件为
sx
③相互作用绘景：将①②中的理解综合 起来，就可以看出，相互作用绘景在量子力 学中的作用，与部分随刚体转动的参照系在 经典力学中的作用是相通的。
结论
虽然三种绘景之间存在不少差异，但在 有限物体的量子力学体系中，不同绘景在物 理上是等价的，物理上可观测的结果不会因 为绘景的选择而不同。三种绘景都各有自己 的特点，在处理量子力学的相关问题时，应 根据具体情况选择最适合的绘景。
由（2.3）（2.4）及U 不显含时间t 可得
U
(t
,t
0
)
=
−
e
i h
H
S
(t
−t
0
)
(2.5)
采用薛定谔绘景的优点是计算比较方便，求
解薛定谔方程往往可以归结为求解较简单
的微分方程。当体系与外界存在相互作用
时，如果 H S 比较简单时，可以用微扰论处
理。缺点是对于微扰不易处理的问题，它就 无能为力了。
q(S) n
i
qn(I) (t)
= ehH0St
q( S ) n
ψH (t)
=
i
eh
HSt
ψS (t)
ψI (t) = ehi H0St ψS (t)
态矢运动方 程
i
h
∂ ∂t
ψ S(t )
= H S ψ S(t )
FH
(t)
=
i
eh
Hst
−i
FSe h
Hst
特别是HH = HS
i
h
∂ ∂t
ψ H (t )
=0
FI
(t)
=
i
eh
H0St
FS
−i
eh
H0st
特别是H0I = H0S
ih∂∂t ψI (t) =H1I ψI (t)
ih∂∂t FH(t)=[FH(t),HH]
(FH(t)显含时间t)
ih∂∂t FI(t)=[FI(t),H0I]
(FI (t) 显含时间t)
②海森保绘景：类似于随刚体一起转动 的坐标系。波函数在随它一起运动坐标系中 描述，因此它的位置坐标没有变化，但海森 保绘景中的测量仪放在这一随动坐标系中， 它是变化的。
1 薛定谔绘景
在薛定谔绘景中，我们把力学量（不
显含时间 r ）的平均值及测量值的概率 分布随时间的演化完全归于波函数ψ
随时间的演化，而刻画力学量的算符本 身不随时间变化。
设 体 系 在 t0 时 刻 的 状 态 波 函
ψ (t 0 ) ，由运动方程求得体系在任一时
U (t ,t 0 )，它满足
| ψ (t ) >=U (t ,t 0 )| ψ (t ) > (2.1)
将两式相加.减，得到
d (a+ b) = −iω(a+ b) dt d (a− b) = i ω(a− b) (6) dt
解为
a(t ) + b(t ) = [a(0+ b(0)]e−iωt = e−iωt a(t ) − b(t ) = [a(0− b(0)]eiωt = eiωt (7)
由（7）式易得
=
t =0
sy
t =0 = 0, sz
=h t =0 2
(4)
由（3）式容易解出
sx
t
=
sx
=0
t =0
(5)
注意 sx 为守恒量，由于t = 0 时其平均值为
H I = H 0 + H1 , H 0 为一对应于海森保绘
景的相互作用量， H 1 为相互作用微扰项。
同求解海森保绘景一样，对薛定谔绘景中的 态矢和波函数做一变换，我们得到相互作用 绘景中的态矢与波函数
dFI dt
=
i h [H0I
,
FI ] (5.5)
② FS 显含时间 t 时
dFI dt
=
i h
[
H
0
I
,
FI
]
+
∂FI ∂t
(5.6)
其中 H0I = T (t, t0 )H0T −1(t, t0 )
若令 H1 = H , H0 = 0 则（5.4）式蜕变
为薛定谔方程；若令 H0 =H,H1=0 则（5.5）
[S
,
H]
(1)
容易得到
在海森保绘景与薛定谔绘景中完全相同。
4.相互作用绘景
d dt
sx
=
1 ih
[sx
d dt
sy
=
1 ih
⎡⎣sy
d dt
sz
=
1 ih
[sz
, H]=0
,
H
⎤⎦
=
2ω ih
⎡⎣sx
由于波函数及算符都是不能测量的，波
, sy ⎤⎦ = −2函ωs数z 及(2绘)景是否随时间变化可以人为定义。
浅谈量子力学中的绘景变换
杜小珍 物理学基地班 2008213571
【摘要】量子力学的绘景概念是经典力学中参照系概念的推广，本文梳理了量子力学中
常见的三种绘景及其关系，并讨论了三种绘景各自的优缺点，同时由所得结果表明物理结论
和绘景的选择无关。 【关键词】量子力学 绘景变换
刻t 的波函数ψ (t ) 。我们定义一个时间
将上式代入薛定谔方程，可得
i
h
∂ ∂t
U(t
,t
0
)|
ψ(t
0
)
>=
HsU(t
,t
0
)|
ψ(t
0
)
>
(2.2)
由| ψ (t ) > 的任意性知U (t ,t 0 )满足
i
h
∂ ∂t
U (t ,t 0 ) =
H SU (t ,t 0 )
(2.3)
在（2.1）中令t = t 0 易得
U (t ,t 0 ) = 1 (2.4)
a(t ) = cosωt ,b(t ) = −i sinωt (8)
0，所以 sx t = 0式(3c) + i * 式(3b), 得到
代入式（2），即得
χ(t
)
=
⎡ cosωt ⎢⎣−i sinωt
⎤ ⎥⎦
(9)
χ +(t ) = [cosωt i sinωt ] (9' )
d dt
sz + isy
三个绘景的比较如下表所示
5 三个绘景与经典力学中参照系 的对比
量子力学中的绘景概念是经典力学中参
照系概念的推广。在经典力学中刚体的运动
可以用不同的惯性参考系来研究，即：（1）
相对实验室静止的固定参考系；（2）与刚体
一起转动的随动参考系；（3）部分随钢体转
动的参考系。
将量子力学中的波看作经典力学中的刚
2.海森保绘景
在海森保绘景中，体系的态矢本身不随时
间变化，力学量平均值及概率分布随时间的 演化归结为算符随时间的变化。
一般在推导海森保绘景时，采用一个幺正 变换来实现。在海森保绘景中，把薛定谔绘
景中描述物理状态的态矢| ψ (t ) > 和算符 F
进行一个对应于 1 中变换算 符的幺正变换
| ψ H (t ) >= U −1(t ,t 0 )| ψ S(t ) > (3.1) FH (t ) = U −1(t ,t 0 )FSU (t ,t 0 ) (3.2)
式蜕变为（3.4）式，即海森保方程。 相互作用绘景在三种绘景中最具有普适性，
薛定谔绘景
Q 表象基矢
q (S ) n
与时间无关
态矢变换关 系
ψ S (t)
=
e−
i h
H
S
t
ψ
(0)
算符变换关 系
FS = FS (0)
（除个别显含时间者外）
但由于用它处理问题时，态矢及力学量都随 时间变化而使问题大为复杂。
(5.3)
利用薛定谔方程形式在不同绘景下的
不变性，由（5.1）及（5.3）可以解得
ih
∂ ∂t
ψ I (t)
= H1I