数字信号处理4、5-2.1连续时间信号的FT与LT

(1) | X n |最大值的1/10为限；(对单调递减型频谱)
(2) 总功率90%为限。(由Parseval定理求)
系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
语音信号 音乐信号
频率大约为
300~3400Hz， 50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
10
一、连续时间傅里叶变换 T
利用 cosx=(ejx + e–jx)/2 可从三角形式推出：
X n X n e jn

1 2
An
e jn

1 2 (an

jbn )
n的偶函数：an ， An ， |Xn |
n的奇函数: bn ，n
系数X(jn0)称为复傅里叶系数
X n

1 T
T
2 T
x(t )e jn0t
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
• A0/2为直流分量
• A1cos(0t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周
期信号相同
• A2cos(20t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍
一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
4
一、连续时间傅里叶变换
(2)指数形式

x(t) X n e jn0t n
n
n ~ 曲线
O 0 30

7
频谱图示（双边）
幅度频谱
| Xn | | X0 | | X1 |
| X2 |
| X3 |
Xn ~ 曲线
| X4 |
离散谱，对称性
相位频谱 n ~ 曲线

n


特点：离散性;谐波性;收敛性
8
一、连续时间傅里叶变换
(4)周期信号的功率——Parseval等式 周期信号一般是功率信号，其平均功率为
()
Байду номын сангаас

幅度频谱 相位频谱
① x(t)和X(j)是一一对应的。它们是相同信号的不
同表达形式，包含了相同的信息，但自变量不同。
FT将以时间为自变量的函数变成了以频率为变量的
函数，将信号从时域变换到了频域。建立在这种变
换上的系统分析方法称为变换域法。
② FT：连续非周期函数非周期连续函数；
FS: 连续周期函数非周期离散函数。
x(t)

a0 2


an
n1
cos(n0t)

bn
n1
sin(
n0t)
系数an , bn称为傅里叶系数
an

2 T
T
2 T
x(t) cos(n0t) d t
2
bn

2 T
T
2 T
x(t)sin(n0t) d t
2
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
3
T 1/ T

X(j)称为x(t)的频谱密度函数，简称频谱。
x(t)

lim 1 T T

X(
n
jn0 ) Te
jn0t

1
2
X ( j)e jt d

11
一、连续时间傅里叶变换
x(t) CTFT X ( j)
[说明]
|
X ( j) | ~
12
一、连续时间傅里叶变换
③公式的适用条件 （a）能量有限
x(t) 2 dt
（b）Direchlet 条件(充分条件):
有限间断点、有限极值点、x(t)绝对可积

x(t) dt
（c）引入冲激信号，可以表示更多的函数（如周 期信号）
④在频域中用 j 作自变量，目的是为了便于引入
其他形式 将上式同频率项合并，可写为
x(t)

A0 2

n1
An
cos(n0t
n )
式中，A0 = a0
An an2 bn2
n

arctan
bn an
可见：An是n的偶函数， n是n的奇函数。
an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…
拉普拉斯变换
13
一、连续时间傅里叶变换
2. 非周期信号的傅里叶变换(CTFT)
(2)非周期信号的能量密度——Parseval等式
dt
X ( jn0 )
2
5
一、连续时间傅里叶变换
(3)周期信号的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化
的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的 频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即
将An~(n 0)和n~ (n 0)的关系分别画在以ω
2. 非周期信号的傅里叶变换(CTFT)
(1)从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换
T 时，X (虽jn然各0 )频 谱T1 幅T2度T2 x无(t限)e小jn，0t 但d t相对大小仍有
区别，引入频谱密度函数：0 d, n0
X ( j) lim X ( jn0 ) x(t)e jtdt
连续时间傅里叶变换 连续时间拉普拉斯变换
重点：频谱的概念 CTFT和LT的定义对
2
一、连续时间傅里叶变换
1. 周期信号的傅里叶级数(FS) (1)三角形式
设周期信号x(t)，其周期为T，角频率0=2/T，当满 足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为x(t)的傅里叶级数
为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图 和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Xn|~ (n 0)和n~ (n 0)的关系，称为
双边谱。若Xn为实数，也可直接画Xn 。
6
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~
An A1
A0
2
A3
离散谱，谱线
O 0 30

相位频谱
第二章离散时间傅里叶变换 (DTFT)与Z变换
• 2.1 连续时间信号的傅里叶变换(CTFT) 与拉普拉斯变换(LT)
• 2.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) • 2.3 z变换 • 2.4 连续时间信号的抽样及抽样定理 • 2.5 离散信号的ZT、DTFT与连续信号
的LT、CTFT的关系
1
§ 2.1 连续时间信号的傅里叶变换 (CTFT)与拉普拉斯变换(LT)
1
T
T
2 T
2
x2 (t)dt

( A0 )2 2

n1
1 2
An2


|
n
Xn
|2
物理意义：直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的 平均功率之和。
n≥0时， |Xn| = An/2。
这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
9
信号频带宽度的概念
集中信号主要能量的频率范围称为信号的频带 宽度，或简称为信号的带宽，用符号F表示。