2016江苏高考数学卷word版(理)及参考答案
2016年江苏高考数学试题及答案
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是______．6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______．9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是______．14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC +（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC +（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．祝福语祝你考试成功!。
2016年江苏高考数学试卷及答案
2016年江苏高考数学试卷及答案【篇一：(精校版)2016年江苏数学高考试题文档版(含解析)】科网解析团队教师与学而思培优名师团队制作，有可能存在少量错误，仅供参考使用。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：21n1n样本数据x1,x2,?,xn的方差s??xi?x，其中x??xi．ni?1ni?12??棱柱的体积v?sh，其中s是棱柱的底面积，h是高．1棱锥的体积v?sh，其中s是棱锥的底面积，h为高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1. 已知集合a???1,2,3,6?，b??x|?2?x?3?，则a?b?．【答案】??1,2?；【解析】由交集的定义可得a?b???1,2?．2. 复数z??1?2i??3?i?，其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5；【解析】由复数乘法可得z?5?5i，则则z的实部是5．x2y23. 在平面直角坐标系xoy中，双曲线??1的焦距是．73【答案】【解析】c?2c?4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0.1；【解析】x?5.1，s2?10.42?0.32?02?0.32?0.42??0.1． ?55.函数y 【答案】??3,1?；【解析】3?2x?x2≥0，解得?3≤x≤1，因此定义域为??3,1?． 6. 如图是一个算法的流程图，则输出a的值是．【答案】9；【解析】a,b的变化如下表：则输出时a?9．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】5； 6【解析】将先后两次点数记为?x,y?，则共有6?6?36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有?4,6?,?5,5?,?5,6?,?6,4?,?6,5?,?6,6?六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305?． 36628. 已知?an?是等差数列，sn是其前n项和．若a1?a2??3，s5?10，则a9的值是．【答案】20；【解析】设公差为d，则由题意可得a1??a1?d???3，5a1?10d?10，解得a1??4，d?3，则a9??4?8?3?20．【解析】画出函数图象草图，共7个交点．2bx2y210. 如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点，直线y?2ab与椭圆交于b,c两点，且?bfc?90?，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得f?c,0?，直线y??b?b?b与椭圆方程联立可得b?，c?2??2??， 2???????????????????b????b?由?bfc?90?可得bf?cf?0，bf??，c?cf?c????????，22????c3131则c2?a2?b2?0，由b2?a2?c2可得c2?a2，则e??．a4442?x?a,?1?x?0,?11. 设f?x?是定义在r上且周期为2的函数，在区间??1,1?上f?x???2?x,0?x?1,?5??5??9?其中a?r，若f????f??，则f?5a?的值是．?2??2?2【答案】?；51?5??1?【解析】由题意得f????f??????a，2?2??2?1?9??1?21f???f?????， ?2??2?5210113?5??9?由f????f??可得??a?，则a?，2105?2??2?则f?5a??f?3??f??1???1?a??1?32??．55?x?2y?4?0,?12. 已知实数x,y满足?2x?y?2?0, 则x2?y2的取值范围是． ?3x?y?3?0,??4?【答案】?,13?；?5?【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下x2?y2为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中a点距离原点最近，此时距离为原点a到直线2x?y?2?0的距离，d??x2?y2??min?4， 5图中b点距离原点最远，b点为x?2y?4?0与3x?y?3?0交点，则b?2,3?，则?x2?y2?max?13．????????13. 如图，在△abc中，d是bc的中点，e,f是ad上两个三等分点，ba?ca?4，????????bf?cf??1， ????????则be?ce的值是．7； 8?????????????????????????【解析】令df?a，db?b，则dc??b，de?2a，da?3a， ????????????????????????????????????则ba?3a?b，ca?3a?b，be?2a?b，ce?2a?b，bf?a?b，cf?a?b， ?????????2?2?????????2?2?????????2?2则ba?ca?9a?b，bf?cf?a?b，be?ce?4a?b，【答案】?????????????????2?2?2?2?25?213由ba?ca?4，bf?cf??1可得9a?b?4，a?b??1，因此a?,b?，88?????????2?24?5137因此be?ce?4a?b???．88814. 在锐角三角形abc中，sina?2sinbsinc，则tanatanbtanc的最小值是．【答案】8；可得sinbcosc?cosbsinc?2sinbsinc（*），由三角形abc为锐角三角形，则cosb?0,cosc?0，tanb?tanc(#)，1?tanbtanctanb?tanc?tanbtanc，1?tanbtanc2?tanbtanc?2由tanb?tanc?2tanbtanc可得tanatanbtanc??1?tanbtanc，令tanbtanc?t，由a,b,c为锐角可得tana?0,tanb?0,tanc?0，由(#)得1?tanbtanc?0，解得t?1 2t22tanatanbtanc????，111?t?tt11?11?1111??????，由t?1则0?2???，因此tanatanbtanc最小值为8，2tt?t2?4tt42当且仅当t?2时取到等号，此时tanb?tanc?4，tanbtanc?2，解得tanb?2c?2a?4（或tanb,tanc互换），此时a,b,c均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）54⑴求ab的长；⑵求cos?a??的值．6??【答案】⑴．【篇二：2016年高考试题(数学)江苏卷解析精校版】txt>一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC+⋅∠===⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba b θ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OB E ∆ CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
（A） （B） （C） （D）
（2）设 ，其中 是实数，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等差数列 前 项的和为 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（4）某公司的班车在 ， ， 发车，小明在 至 之间到达发车站乘
坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（21）（本小题满分12分）
已知函数 有两个零点．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 是 的两个零点，证明： ．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图， 是等腰三角形， ．以 为圆心，
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线 与⊙ 相切；
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。晖军頷损铖榄煬种撵摈賠宽櫬皱鳏趨飩黌埡蕭弳龉鶘鈉縝飆徠賻繭蓟閏贐錳寿袄帐鲍農亏厩壙届线鱿舊赞龅诨銨续呓恽习餓圇权匭姍鋇顓员贺頻轨稅個燜够镍鏽鐘闔鹌兹約侣蜆况脹鍔飯裝饱匮繼谗贱馍党漸啭锴泺媯黄繞橫钫。
（11）平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面
， 平面 ，则 所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数 ， 为 的零点， 为
图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为
（A）11（B）9（C）7（D）5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。懾圇贄疗锈鎳沒蚀棧屨惭綻釗滄脓玑鲚窑濘盡湊鏇鷥錠閾胆竞繪锖缨肾糁勱萤哝鹩灤詎資纪緱赢诽麩讥鹰鋪鏑竖囂饨斷壇钶钟睾嬷韫薈殮禄阏铈鉻質铪稱悫惨茔俦牵鈣頃赢痙悫鹤担隱遞訟兴踬讽栈涣瀏锣辫闡綢務盜儉謁骄隊。
2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2A B x x ∴=<<，故选D ．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易． （2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=，故选B ．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易． （3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】解法一：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=，选C ． 解法二：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得11,1a d =-=，()1001100119998a a d ∴=+-=-+=，故选C ． 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易． （4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==，故选B ．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：2234m n m n ++-=，解得21m =，1030n n +>⎧∴⎨->⎩，解得13n -<<，故选A ．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易． （6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=解得2r =，2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等． （7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xf x x e =-为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法2：2()2xf x x e =-为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时， '0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101a b c >><<，，则（ ） （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22a b c ===，，易知C 正确．解法2：当0α>时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增，故A 选项错误；当1a >时，a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴，当01c <<时，log log a b c c >，故D 选项错误；c c ab ba <可化为()c a ab b<，由指数函数知，当1a >时，()x f x a =在(0,)+∞上递增，故B 选项错误；log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <，1111abbb b a <<<，故选C ．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等． 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===，，时，框图运行如下： 1、012x y n ===，，；2、1232x y n ===，，；3、3632x y n ===，，，故选C ．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易． （10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C的标准线于D 、E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】B【解析】解法1排除法：当4p =时，不妨令抛物线方程为28y x =，当y =1x =，即A 点坐标为(，所以圆的半径为3r =，此时D 点坐标为(-，符合题意，故B 选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为2P ⎛- ⎝，则圆的半径为r =，22834p r -=-，即A 点坐标为⎭，所以22=，解得4p =，故选B ． 【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等． （11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//a 平面11CB D ，a 平面ABCD m =，a 平面11ABA B n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合，则11m B D =，1n CD =，故直线m 、n 所成角为60o ，，故选A ． 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9ω=，则周期29T π=，区间[]44ππ-，刚为94T ，且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，恰好符合题意，故选B ．解法2：由题意知152()24369T πππ≥-=，所以29Tπω=≤，故选B ．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量(),1m =a ，()1,2=b ，且222+=+a b a b ，则m = ． 【答案】2-【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知a b ⊥，故20a b m ⋅=+=，所以2m =-；解法二（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】(52x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==，令532r-=，解得4r =，454525210C -∴=⨯=． 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】64【解析】由1310a a +=，245a a +=解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==，27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等． （16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
【真题】2016年高考数学(理科)课标卷Ⅰ(Word版含答案解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )A. B. C. D.2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.23.已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,也可借助数轴或韦恩图解决.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.3.C 设{a n}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得a n=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.方法总结已知条件中有具体的a n、S n的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、a n、S n这5个量中知三求二.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-=.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为×πR3,即π=×πR3,解得R=2.故其表面积为×4π×22+3××π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时, f '(x)<0;当x0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B错;易知y=log c x是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;x=,y=6,此时x2+y2>36,输出x=,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连结AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60°,其正弦值为.选A.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相对位置关系.为此适当扩形是常用策略.向右、向前扩展(补形)两个全等的正方体,则m、n 或其平行线就展现出来了.12.B 依题意,有(m、n∈Z),∴又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈, f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求ω的最大值,正面入手运算量偏大,不妨对ω取特殊值进行检验.二、填空题13.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.14.答案10解析T r+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.15.答案64解析设{a n}的公比为q,于是a1(1+q2)=10,①a1(q+q3)=5,②联立①②得a1=8,q=,∴a n=24-n,∴a1a2…a n=23+2+1+…+(4-n)==≤26=64.∴a1a2…a n的最大值为64.16.答案216 000解析设生产产品A x件,产品B y件,依题意,得设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为此时E max=216 000.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(Ⅱ)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,S△ABC=absin C.18.解析(Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分)(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分)又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4).则cos <n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.(12分)方法总结对于立体几何问题的求解,首先要熟练掌握平行与垂直的判定与性质,尤其是面面垂直的证明,寻找平面的垂线往往是几何证明的关键.19.解析(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)解后反思本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.20.解析(Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)解后反思本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其是对“弦长”问题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能力的要求也非常高.21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a).(2分)(i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x1<x2.由(Ⅰ)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x 2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x2-(x2-2).(10分)设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.(12分)22.证明(Ⅰ)设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O的半径,所以直线AB与☉O相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C 1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)所以|f(x)|>1的解集为.(10分)。
2016年高考数学江苏省理科试题及答案解析版
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）【2016 江苏（理）】已知集合 A={ - 1, 2, 3, 6} , B={x| - 2 V x V 3}，则 A AB= _____ 【答案】{ - 1, 2}【解析】 解：•••集合 A={ - 1, 2, 3, 6} , B={x| - 2V x V 3}, ••• A n B={ - 1, 2},【2016江苏（理）】复数z= （1+2i ） （3- i ）,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 _______ , 【答案】5【解析】 解：z= （1+2i ） （3 - i ） =5+5i , 则z 的实部是5,【答案】2 , I• c =Uw 5 护=顶,【2016江苏(理)】已知一组数据4.7, 4.8, 5.1 , 5.4 , 5.5，则该组数据的方差是 _ 【答案】0.1【解析】 解：•••数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5的平均数为：—1工=匸(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5 ) =5.1,5•该组数据的方差： 2 1 2 2 2 2 2 s=〒[(4.7 -5.1)+ (4.8 -5.1) + ( 5.1 - 5.1) + ( 5.4 -5.1) + ( 5.5 -5.1)]=0.1 ・【2016江苏（理）】函数y= ： 「 ■-的定义域是 【答案】[-3, 11【解析】解：由3 - 2x - x 2%得：x 2+2x - 3包）,解得：x €[ - 3 , 1 ],【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的【2016江苏（理）】在平面直角坐标系2X2 y3a= ； b=二2xOy 中，双曲线专■=1的焦距是【解析】解：双曲线 =1中, 的焦距是2 一【答案】9【解析】解：当a=1, b=9时，不满足a> b,故a=5, b=7 ,当a=5, b=7 时，不满足a>b，故a=9, b=5当a=9, b=5时，满足a> b,故输出的a值为9,【2016江苏(理)】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1 , 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_____ .【答案】卫【解析】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数为n=6 0=36,出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10,出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4, 6), (6 , 4), (5 , 5), (5 , 6), (6 , 5), (6 , 6),共6 个，•••出现向上的点数之和小于10的概率：4 6 5p=1「—.2【2016江苏(理)】已知｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a2=-3 , S5=10 ,贝U a9 的值是—.【答案】20【解析】解：••• ｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=- 3 , S5=10 , 8］+( a^+d)'二- 3••5托4 ,5哲■尹左10解得a仁-4 , d=3 ,• a9= - 4+8 X3=20.【2016江苏(理)】定义在区间［0 , 3冗］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是—.【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx 在区间［0, 3 n上的图象如下:【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆‘1+-’ =1 （a> b>0）的2)，由 / BFC=90 ° 可得k BF?k CF= - 1,_：_=- 1=1，2 2 °化简为b2=3a2- 4c2,由b2=a2- c2,即有3c2=2a2,C两点，且/ BFC=90 °则该椭圆的离心率是【解析】解：设右焦点可得B (-丄a,-2即有【答将y=*代入椭圆方程可得=± a，,一），C•-a _,【解析】 解：作出不等式组对应的平面区域，设Z=x 2+y 2，则Z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方, 由图象知A 到原点的距离最大， 点O 到直线BC : 2x+y - 2=0的距离最小，，即 A （ 2，3），此时 Z =22+32=4+9=13 ,则 z=d 2= 一） 2=十, 故Z 的取值范围是［半,13］, 故答案为：［一，13］.5【2016江苏（理）】设f （ x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1） 上,f (x )I 匕【答案】-二，其中a€R ，若f （-吕）=f （半），则f （5a ）的值是【解析】解：f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1, 1） 上, f （x ）=f —= 丄)丐--1 -.7 i +a，ii••• f (5a ) =f (3) =f (- 1) = - 1+-匸x - 2y+4^0【2016江苏（理）】已知实数x , y 满足2>0,则x 2+y 2的取值范围是得r s-2[尸3点O 到直线BC : 2x+y - 2=0的距离_ 2|【答[x - 2^4=0:- ------------【2016江苏（理）】如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点, -.? -.=4, °T? i;=-1,则n的值是 _.【答案】丄s【解析】解：•/ D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点,••• ¥=□+『. 卜=-二+5 ,「= .1-0+3 I', = - U1+3 ',.•.干？飞=：卩2-「2=- i,'；? '「.=9 下2-辰¥=4,s 8：r| —■ | —■冃|| jw | iH又•••i+2| I , ： =- +2，,【2016江苏(理)】在锐角三角形ABC中，若sin A=2si nBsi nC，贝U tan Ata nBta nC的最小值是____ .【答案】8【解析】解：由sinA=sin ( n- A) =sin (B+C ) =sinBcosC+cosBsinC , sinA=2sinBsinC , 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC ,①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0, cosC>0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC ,又tanA= - tan ( n- A) = - tan (B+C ) = ------------- ------------- --- ② ,1 - tanBtanC门■ ' ?tanBtanC ,1 一t anBtanC由 tan B+ta nC=2ta nBta nC 可得 tan Ata nBta nC=-令 tanBtanC=t ，由 A , B , C 为锐角可得 tanA >0, tanB >0, tanC > 0, 由② 式得1 - tanBtanC V 0,解得t > 1,:■、解答题（共6小题，满分90分）4TT【2016江苏（理）】在厶ABC 中，AC=6 , cosB —, C^ .5 4（1 ）求AB 的长； （2）求cos （A -丄）的值.6【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，D , E 分别为AB , 点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D 丄A 1F , A 1C 1丄A 1B 1.求证： （1）直线DE //平面A 1C 1F ;（2）平面B 1DE 丄平面A 1C 1F .2=- Rtan Ata nBta nC=-（丄迪21「由 t>1 2 * *得,-严= 因此tanAtanBtanC 的最小值为8,当且仅当t=2时取到等号，此时 tanB+tanC=4 , tanBtanC=2, 解得 tan B=2+ 工，tan C=2—『.，ta nA=4 ,（或 tanB , ta nC 互换），此时 A , B , C 均为锐角. …cos 则 tan Ata nBta nC=-2 (tat^BtanC ) 2 1 一t anBtanCBC 的中点,sinB=【解析】解：(1) •/ D, E分别为AB , BC的中点，••• DE为仏ABC的中位线，••• DE // AC ,••• ABC - A1B1C1 为棱柱，•AC // A1C1,•DE // A1C1,•/ A1C1?平面A1C1F,且DE?平面A1C1F,•DE // A1C1F;(2)T ABC - A1B1C1 为直棱柱，•AA 1 丄平面A1B1C1,•AA 1 丄A1C1,又T A1C1 丄A1B1，且AA 1A A1B1=A1, AA1、A1B1?平面AA1B1B,•A1C1 丄平面AA1B1B,•/ DE // A1C1,•DE 丄平面AA1B1B, 又••• A1F?平面AA 1B1B,•DE 丄A1F,又T A1F丄B1D, DE A B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE,•A1F丄平面B1DE , 又T A1F?平面A1C1F, •平面B1DE丄平面A1C1F .【2016江苏(理)】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 (如图所示)，并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.(1 )若AB=6m , P01=2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P01为多少时，仓库的容积最大？【解析】 解：(1) •/ PO i =2m ，正四棱柱的高 010是正四棱锥的高 PO 1的4倍. /• 0i 0=8m ,•••仓库的容积 V=2>62>2+62^8=312m 3,3(2 )若正四棱锥的侧棱长为 6m , 设 P01=xm ，则 010=4xm ， A 101= I - m ，A 1B 1= 下，-m ,则仓库的容积 V=g X(近剤 3" /)2?x+ (近勾36— F ) 2?4X =—^X 3+312X , (O v x3 「「■3v 6),• V = - 26X 2+312 , ( O v x v 6),当 O v x v 2.时，V'> 0, V ( x )单调递增； 当2 ：;v x v 6时，V'v 0, V (x )单调递减； 故当x=2 一时，V (x )取最大值； 即当P01=2 . _；m 时，仓库的容积最大.【2016江苏(理)】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x 2+y 2- 12x - 14y+60=0 及其上一点 A (2, 4).(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于 0A 的直线I 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=0A ，求直线I 的方程； M 上的两点P 和Q ,使得•：+“「=• i.i,求实数t 的取值【解析】 解：(1) ••• N 在直线x=6上，•设N (6, n ),•••圆 N 与 x 轴相切，•••圆 N 为：(x - 6) 2+ (y - n ) 2=n 2, n >0,又圆 N 与圆 M 外切，圆 M : x 2+y 2 - 12x - 14y+60=0，即圆 M : ((x - 6) 2+ (x - 7) 2=25 , • |7 — n|=|n|+5，解得 n=1 ,•••圆N 的标准方程为(x - 6) 2+ (y - 1) 2=1. (2)由题意得 0A=2 口，k °A =2，设 I : y=2x+b ,则圆心M 到直线l 的距离:解得b=5或b= - 15,•直线l 的方程为：y=2x+5或y=2x - 15.(3)设点T (t , 0)满足：存在圆 则 |BC|=2 •.辭BC=2「，，即(3) IN I ^ = li,即 T 】_T 「 一“ 即「〔Fl Ml ，I I 4=I ：' ' I '，又底Ho ,即J (我—2］打牡削，解得t €［2 - 2阿,2+2阿］, 对于任意t€［2 - 2阿,2+2届］，欲使冠二而，此时，I 丑鬥0, 只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为必然与圆交于P 、Q 两点，此时|」=|川，即Z — ll.i,因此实数t 的取值范围为t €［2 - 2「, 2+2.「］,. 【2016江苏(理)】已知函数 (1 )设 a=2, b=_.2① 求方程f (x ) =2的根； ② 若对于任意x€R ,不等式f (2)若 0v a v 1, b > 1，函数 【解析】解：(1 )设 a=2, f (x ) =a x +b x (a >0, b > 0, a 为,b 为).(2x )湘f ( x )- 6恒成立，求实数 m 的最大值； g (x ) =f (x ) - 2有且只有1个零点，求ab 的值.函数 f (x ) =a x +b x (a >0, b >0, a 鬥，b ^l ).b=-.2①方程f (x ) =2;即: =2，可得 x=0 .②不等式f (2x )初f (x )- 6恒成立，即-二2钥令t=^十丄，t 支.2K不等式化为：t 2- mt+4为在t 呈时，恒成立.可得：△<)或L 22-2inl-4>0即：m 2 - 160或m 詔， m € (-汽 4]. 实数m 的最大值为：4.(2) g (x ) =f (x )- 2=a x +b x - 2,ag'(x ) =ax In a+bx In b=ax|丄nr],0 v a v 1, b > 1 可得一-•,令 h(x ) = 1—则h (x )是递增函数，而，Ina v 0, Inb >0，因此，X0=__-lnbaIna+lnb ,1时，h (x 0) =0,)-6恒成立.湘(_x因此 x € (—a, x o )时，h (x )v 0, a Inb > 0,贝 U g' (x )v 0. x € (x o , + a)时，h (x )> 0, a x lnb >0,则 g'(x ) > 0, 则g (x )在(-a, x 0)递减，(x 0, + a)递增，因此g ( x )的最小值为：g (x 0). ①若 g (x 0)v 0, x v Iog a 2 时，a x > _ "、=2, b x > 0，则 g (x ) > 0,因此 x i v Iog a 2,且 x i v x 0时，g (x i )> 0,因此 g (x )在(x i , x 0)有零点, 则g (x )至少有两个零点，与条件矛盾.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 对任意正整数 k (1惑000),若T?｛1 , 2,…，k ｝，求证：S T v &+1 ； (3) 设 C? U , D? U , S C 爲D ，求证：S C +S CP 壹S D . 【解析】 解：(1 )当 T=｛2 , 4｝时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30 , 因此a 2=3，从而a 1= . =1, 故 a n =3n 1,(3 )设 A=?C ( C A D ), B=?D ( C A D ),则 A AB= ?,分析可得 S C =S A +S CAD , S D =S B +S CPD ,贝y S C +S CAD — 2S D =S A — 2S B , 因此原命题的等价于证明 S C^S B ,由条件S C ^S D ,可得S A 爲B ,① 、若 B=?,贝U S B =0 ,故 S A 支S B ,② 、若B 老,由S A ^S B 可得A 老,设A 中最大元素为I , B 中最大元素为 m , 若m 半1 ,则其与S Av a i+1毛m<S B 相矛盾，因为A AB=?,所以I 剂,则I 初+1 ,综上所述,S A 丝S B , 故 S C +S C PD 丝S D .附加题【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A .【选修4—1几何证明选讲】②若g (x 0)> 0，函数g (x ) =f (x )— 2有且只有1个零点，g (x )的最小值为g (x o ),可得 g (x o ) =0 ,由g (0) =a 0 . 0 i +b—2=0 , 因此 x 0=0 , 因此 1□电a可得ab=1.=0,F 1，即lna+lnb=0,In (ab ) =0, ab=1 .【2016江苏(理)】记U={1 , 2, 定义 S T =0 ；若 T={t 1, t 2,…，t k }, …，100}，对数列{a n } (n€N ) 和U 的子集若 T=?,定义S T = I 一 兀LS T =a 1+a 3+a 66.现设｛a n ｝ (n€N )是公比为3的等比数列，且当 T=｛2 , 4｝时，S T =30.+a t+ •• +二+ .例如：T=｛1 , 3, 66}时,(2)2 k — 1S T OH +a 2+ --a k =1+3+3 + --+3~_12~kv 3 =a k+1 S B<a 1+a 2+-a m =1+3+32+1a»+l2 =2即S A 支S ,【2016江苏（理）】如图，在△ ABC中，/ ABC=90 ° BD丄AC, D为垂足，E为BC的中点，求证：/ EDC= / ABD .因为E为BC的中点，所以DE=CE=2B C,2则：/ EDC= / C,由/ BDC=90 ° 可得 / C+Z DBC=90 ° 由Z ABC=90 ° 可得Z ABD+ Z DBC=90 ° 因此Z ABD= Z C,而Z EDC= Z C, 所以，Z EDC=Z ABD .B.【选修4—2:矩阵与变换】点，求线段AB的长.【2016江苏（理）】已知矩阵A=_ 1，矩阵B的逆矩阵B14，求矩阵AB .0 2【解析】解: _1•/ B 11"I0 2• B= (B••• AB=1 20 -212 i=2 20 12 20!=2，又A=1 20 -2C.【选修4—4: 坐标系与参数方程】【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为参数），椭圆C的参数方程为（0为参数），设直线I与椭圆C相交于A , B两(t为• |AB|=—「「，， I 二.【2016 江苏(理)】设 a >0, |x — 1|<—, |y — 2|v 卫，求证：|2x+y — 4|v a .、〒口口 亠 一、cI_ _,1 一巴【 -- ---- ------- -- --- 3可得 |2x+y — 4|=|2 (x — 1) + (y — 2) |则 |2x+y — 4|v a 成立.附加题【必做题】【2016江苏(理)】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l : x — y — 2=0,抛物线C :2y =2px ( p > 0).(1) 若直线I 过抛物线C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2) 已知抛物线 C 上存在关于直线I 对称的相异两点 P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2— p , — p );x - y - 2=0,「.l 与x 轴的交点坐标(2, 0), 0).2s !+ a 33€|x — l|+|y - 2|V =a ,由.\=<os 日L y=2sin6，得2两式平方相加得V3^-y-后Q联立，解得• 「.7【解析】证明：由a >0, |x — 1|v 寻|y - 2|v 冷,Jo代入①并整理得， )-:I.【解析】解:2 •••抛物线C: y =8x.又••• P , Q 关于直线l 对称,.线段PQ 的中点坐标为（2—p ,_ p ）;②因为Q 中点坐标（2 — p , — p ）.(n+1) C一( 3X2X144X3X2X1=7>20_ 4 X 35=0.证明：(2)对任意m €N *,① 当 n=m 时，左边=(m+1) C ：=m+1 , 右边=（m+1） C ：；；=m+1，等式成立.② 假设n=k （k 湘）时命题成立， 即（m+1）C +（ m+2）C +（ m+3）JILJl+LC 加+"k Ct-i +（ k+1）C, =（ m+1）C ：：；，f 2 Vi,k _叮 ■ y丫2,kPQ 一yJ -: y2 屮yj I 2p _2p即:(2)证明：①设点 P (X 1 , y i ) , Q (X 2, y 2),贝U ：码 2二y 22=Zpx 2又PQ 的中点在直线l 上，2填=2 - p ,2占y]4r 2="死旳+ y © yi 2-Fy 23=8p-4p 2yi +y £= -2p y 1/2=4p，即关于y 2+2py+4p 2_ 4p=0，有两个不相等的实数根,2 2•••△ > 0, (2p ) — 4 (4p — 4p )> 0,【2016江苏（理）】（1）求7C ： —4C 卡的值; (2)设 m , n€N *, n >n ,求证：(m+1) C：+(m+2 )C +(m+3 )C+・・+nC | +n ' Ik PQ = — 1，即 y 1+y 2= — 2p ,\17 1当n=k+1时，=(^ft) C ；：；+ (kf2) c£i ，右边=；：」二春左边=(m+1)+ (m+3) ，■二 +(m+2V J1L + (k+1) + (k+2)•••（毗C 豔-（讯）C 常[k+3 -( k — m+1)]=(k+2)c 角, ](nrl-2) ! (k _ ID ) I•'•(讨1) C?：* (k+2)蹲十1 =(m+1) i ：一 ：,•••左边=右边， ••• n=k+1时，命题也成立，• m , n€N *, ng ( m+1) C 二 + ( m+2) C 血 a+1+ (m+3 )C=+・・+nC 九’n~ 1+ (n+1) C 二=n (m+1 ) C ])L +2 n+2 2016年江苏省高考数学试卷（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 2. 、填空题【2016 江苏（理）】已知集合 A={ - 1 , 2, 3, 6} , B={x| - 2< x V 3},则 A A B= 【2016江苏（理）】复数z=（ 1+2i ）（ 3 - i ）,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 3. 2【2016江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线专■- =1的焦距是 4. ____________________________________________________________________________ 【2016江苏（理）】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4, 5.5,则该组数据的方差是_________________ 5. 【2016江苏（理）】函数y= ：「 .-的定义域是 _______________7.【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具） 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ____________28【2016江苏（理）】已知｛a n ｝是等差数列，S 是其前n 项和，若a 1+a 2 = - 3, S 5=10，则 a 9的值是 __________________ .9. [ 2016江苏（理）】定义在区间[0 , 3冗]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点 个数是 _____________ . T2肿10.[2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆—亠 =1 （a >b > 0）a 2b 2的右焦点，直线y=^与椭圆交于B , C 两点，且/ BFC=90 °则该椭圆的离心率2-2y+4>0y 满足伍+y - 2>0 ，则x 2+y 2的取值范围3x-y- 3<Q是 _____________ .13. [2016江苏（理）】如图，在△ ABC 中，D 是BC 的中点，E , F 是AD 上的两个三等分6.【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ______________（X ）=，其中a 灵若（（*）=心），则（（5a ）的值是12. [2016江苏（理）】已知实数X , 是.11. [2016江苏（理）】设f （x ）是定义在 R 上且周期为2的函数，在区间[-1 , 1） 上, f点，•⑦「=4,丨=-1,贝U卜.？』的值是14. ____________ 【2016江苏（理）】在锐角三角形值是 . 二、解答题（共6小题，满分90分）47T 15. 【2016 江苏（理）】在厶 ABC 中，AC=6，cosB==，C=一 .5 4 （1 ）求AB 的长；TT（2 ）求 cos （A - 一）的值.616. 【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，D , E 分别为AB , BC 的中点, 点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D 丄A 1F , A 1C 1丄A 1B 1 .求证： （1） 直线 DE // 平面 A 1C 1F ; （2） 平面B 1DE 丄平面A 1C 1F .17. 【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱 锥P - A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 （如图所示），并要求正四棱柱 的高010是正四棱锥的高 PO 1的4倍.（1 ）若AB=6m , PO 1=2m ，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m ,则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ABC 中，若 sinA=2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小AG2 2 18. 【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M : x +y-12x - 14y+60=0 及其上一点 A （2, 4）.(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2) 设平行于OA的直线I与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线I的方程；(3) 设点T( t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得订|+「=Ti,求实数t的取值①求方程f (x) =2的根；②若对于任意x€R,不等式f (2x)湘f ( x)- 6恒成立，求实数m的最大值；(2)若O v a v 1, b> 1，函数g (x) =f (x)- 2有且只有1个零点，求ab的值.20. 【2016江苏(理)】记U=｛1 , 2,…，100｝，对数列｛a n｝(n3*)和U的子集T,若T=?,S T=a1+a3+a66.现设｛a n｝(n€N )是公比为3的等比数列，且当T=｛2 , 4｝时，S T=30.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)对任意正整数k (1惑O00),若T?｛1 , 2,…，k｝，求证：S T v e k+1 ；(3)设C? U , D? U , S C^S D，求证：S C+S CPD ^2S D.附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .【选修4—1几何证明选讲】21. 【2016江苏(理)】如图，在△ ABC中，/ ABC=90 ° BD丄AC , D为垂足，E为BC的中点，求证：/ EDC= / ABD .C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(a> 0, b > 0, a 力,b 詞).定义S T=0；若T={t 1 , t2, …，t k}，定义ST p%+%+ ••+*.例如: T={1 , 3, 66}时,B.【选修4—2:矩阵与变换】r 1222. 【2016江苏(理)】已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1= I 2 ,求矩阵AB .0 2已知函数f( x) =a x+b x23. 【2016江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I 的参数方程为(2)设 m , n€N , n 身m ,求证：(m+1) C 7L + (m+2) HL (n+1) CI d为参数），椭圆C 的参数方程为.（0为参数），设直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，求线段AB 的长. 24.【2016江苏（理）】 设 a >0，|x - 1|^，|y -2心，求证:|2x+y - 4|< a . 附加题【必做题】25.【2016江苏（理）】 2C : y =2px （ p > 0）.（1）若直线I 过抛物线 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I : x - y - 2=0 ,抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程;（2）已知抛物线C 上存在关于直线I 对称的相异两点①求证：线段PQ 的中点坐标为（2- p , - p ）;(1)求 7C : -4C(tC ' +(m+3 )C;+・・+nC r - n - I【解析】解：（1）•••△ ABC中，cosB=」,。
【真题】2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
范围是
（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3
【答案】A
考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. （6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
（1）设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
（A）
3,
3 2
【答案】D
（B）
3,
3 2
（C）
1,
3 2
（D）
3 2
,
3
考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
（8）若 a b 1，0 c 1,则 （A） ac bc （B） abc bac （C） a logb c b loga c （D） loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析：用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）
数学（理科）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷
2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1,5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．（2)【2016年江苏,2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(3)【2016年江苏,3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b =+=,因此焦距为2210c =．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4。
7，4。
8，5。
1,5.4，5。
5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． (5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤,因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法,难度不大,属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a 1 5 9b 9 7 5 则输出时9a =．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种,概率为305366=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．(8)【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-,510S =，则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ,则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用．(9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键,属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得 0BF CF ⋅=,2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=,由222b a c =-可得 223142c a =，则c e a ==． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力,属于中档题．（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ,若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =,则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性,根据已知求出a 值，是解答的关键．（12）【2016年江苏,12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离,d ==,则()22min 45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点,则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13)【2016年江苏,13，5分】如图,在ABC △中，D 是BC 的中点,,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-,2CE a b =+,BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-, 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______． 【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+,sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（＊)，由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>, 在（＊）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=,又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#),则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由（#）得1tan tan 0B C -<,解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---,221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8, 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=,tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===(或tan ,tan B C 互换)，此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题:本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15,14分】在ABC △中,6AC =，4cos 5B =，π4C =．(1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解:（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=,sinC sin AB ACB =，635=，即:AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A 为三角形的内角，sin A ∴=，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理,考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证: （1）直线//DE 平面11A C F ； (2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1),D E 为中点,DE ∴为ABC ∆的中位线,//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ,111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥,且1111AA A B A =,111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ,又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ,1DE A F ∴⊥,又11A F B D ⊥，1DEB D D =,且1,DE B D ⊂平面1B DE ,1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂,∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明,以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． (17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =,则仓库的容积是多少;(2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大?解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==, 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ,则14m OO x =，11m A O =，11m A B =,()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >,()V x 单调递增,当()x ∈时,()'0V x <,()V x 单调递减，因此,当x =时,()V x 取到最大值,即1m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； (2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上,设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >,又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+,解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ==BC ==1A FEDCBAC 1B 1A 1解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-． (3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =,(TA t =10PQ ≤,10,解得2t⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =,此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，2TA 必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ=,即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣,均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． (1)设2a =,12b =． ①求方程()2f x =的根;②若对于任意x ∈R ,不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；(2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 解：（1）①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由()2f x =可得1222x x +=,则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=,则21x =,0x =．②由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立,令122xx t =+,则由20x >可得2t =≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t mt t t+=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时 等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2）()()22x x g x f x a b =-=+-,()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<,1b >可得1b a >,令()ln ln xb a h x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()h x 递增,而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =， 因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >,则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时,()0h x >，ln 0x a b >， 则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <,log 2a x <时,log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >;x >log b 2时,0x a >，log 22b x b b >=， 则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时,()10g x >,因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时,()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点,与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点,()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =,由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =,则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数的应用,基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．(20)【2016年江苏,20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ,若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N )是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． (1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤)，若{}1,2,,T k ⊆，求证:1T k S a +<；(3）设C U ⊆,D U ⊆,C D S S ≥,求证：2C CDD S S S +≥．解:(1)当{}2,4T =时,2422930T S a a a a =+=+=,因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=． （2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤(3)设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B CDS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-,因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅,则0B S =,所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅,由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ,若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤,即2A B S S >．综上所述,2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．,若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21—A)【2016年江苏，21—A ，10分】（选修4-1:几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒,BD AC ⊥，D 为垂足,E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解:由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒,由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠， 又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键,属于中档题．（21—B ）【2016年江苏，21—B ，10分】（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解:()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21—C ）【2016年江苏,21—C,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．ED CB A解：直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此167AB ==． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21—D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分)(选修4—4:不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<,求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,以及不等式的简单性质,考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22)【2016年江苏，22,10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知直线:20l x y --=,抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程；（2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证:线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --; ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=,∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=． （2)① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-, 又,P Q 关于直线l 对称,1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，122y y p +∴=-,又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --;② 中点坐标为()2,p p --,122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏,23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ,n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解:（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．(2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m mm m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时,左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C2Cm m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+,而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!mk k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+,因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立,综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解:因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+,知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题,解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。
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绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的方差∑=-=ni i x x n s 122)(1其中∑==ni ixnx 11圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高 棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=⋂B A ▲ ． 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是. ▲ ．3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ ．4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.函数y 232x x --的定义域是 ▲ ．6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ ．7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ ． 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ ．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ ．. 11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .(第10题)二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. (1) 若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M: 060141222=+--+y x y x 及其上一点A(2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程； (3) 设点T （t,o ）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。
19. （本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =12.① 求方程()f x =2的根;② 若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
20.（本小题满分16分） 记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U的子集T ，若T =∅,定义T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥I绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵12,02A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦矩阵B的逆矩阵111=202B-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB.C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。
本卷满分为40分。
考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3a，求证：|2x +y -4|＜a .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0). （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）； ②求p 的取值范围.23.（本小题满分10分） （1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C mm +（m +3）+2C mm +…+n –1C mn +（n +1）C mn =（m +1）+2+2C m n .参考答案16171920附加题参考答案。