高考数学一轮复习讲义 第36课时 平面向量的基本概念及线性运算 理

课题：平面向量的概念及其线性运算
考纲要求：①了解向量的实际背景 ②理解平面向量的概念及向量相等的含义. ③理解向量的几何表示 ④掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ⑤掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. ⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义.
教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．
定零向量与任一向量向量的线性运算：加法（减法）法则：三角形法则 ；平行四边形法则；
AB BC AC +=（BC AC AB =-） AB AC AD
+= 3.向量共线的判定定理和性质定理： ()1判定定理： 0a ≠，若存在一个实数λ 使得
，则b 与a 共线.
即 ()
0a b ≠⇒∥a ()
0a ≠
()2性质定理：若b 与非零向量．．．．a 共线，则存在一个实数λ，使得 .
b ∥a ()0a ≠⇒ 存在R λ∈，使得 ()
0a ≠
4.平面向量基本定理：如果12,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ， 一对实数12,λλ，使 ，其中，不共线的向量12,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组 .
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减和数乘运算. 基本知识方法
1.充分理解向量的概念和向量的表示；
2.数形结合的方法的应用；
3.用基底向量表示任一向量唯一性；
4.向量的特例0和单位向量，要考虑周全；
5.用好“封闭折线的向量和等于零向量”；
6.由共线求交点的方法:待定系数,λμ.
a
b
a b -
A C B
b
a b +
a b - a A B
C D
典例分析：
考点一 向量的基本概念
问题1．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由.
()1若向量a 与b 同向，且a b >，则a b >；
()2若向量a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； ()3对于任意向量若a b =且a 与b 的方向相同，则a b =； ()4由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行； ()5向量a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；
()6向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； ()7起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量. ()8若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥
()9若,R λμ∈，且a b λμ=，则a 与b 共线. ()
10AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.
考点二 向量的线性运算
问题2．()1（08全国Ⅰ文）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD = .A 2133b c + .B 5233
c b - .
C 2133b c - .
D 12
33
b c +
()2若点O 为ABC △的外心，且OA OB OC +=，
则ABC △的内角C ∠=
()3(03新课程)O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P
满足(
),[0,)||||
A B A C
O P O A A B A C λλ=++∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC △的 .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心
()4（07江西）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点， 过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的 两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =， 则m n +的值为
()5（07陕西）如图，平面内有三个向量OAOB
OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =OC OA OB
λμ=+(),R λμ∈，
则λμ+的值为
()6(09安徽文)在平行四边形ACBD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或
AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+=
问题3． (07届高三石家庄模拟)如图，在ABC △中， 点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =，
A
A
O
B
C
AM 与BN 相交于点P ，求:AP PM 的值
考点三 向量的共线问题
问题4．()1（08海南文）平面向量a ，b 共线的充要条件是
.A a ，b 方向相同； .B a ，b 两向量中至少有一个为零向量；
.C x R ∃∈，b a λ=； .D 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=.
()2（07洛阳模拟）设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，
则实数λ=
课后作业：
1.考查下列四个命题：①对于实数m 和向量,a b ，恒有(
)
m a b ma mb -=-；②对于实
数m 和向量,a b ()m R ∈，若ma mb =，则a b =；③ma nb =(),,,0m n R a b ∈≠，
则m n =；④a b =，b c =，则a c =，⑤若a b ∥，则存在唯一的R λ∈，使得b a λ=；⑥以O 为起点的三个向量,,a b c 的终点,,A B C 在同一直线上的充要条件是
c a b λμ=+(),,1R λμλμ∈+=.则其中正确的命题的序号分别是
2.已知ABC △中，O 是ABC △内的一点，若0,OA OB OC ++=则O 是ABC △的
.A 重心 .B 垂心 .C 内心 .D 外心
3.若,,,A B C D 是平面内的任意四点，给出下列式子：①AB CD BC DA +=+；
②AC BD BC AD +=+；③AC BD DC AB -=+.其中正确的有：.A 0.B 1.C 2.D 3
4.设,a b 为非零向量，则下列命题中,真命题的个数是______
①||||a b a b a +=-⇔与b 有相等的模； ②||||||a b a b a +=+⇔与b 的方向相同； ③||||||a b a b a +<-⇔与b 的夹角为锐角； ④||||||||||a b a b a b +=-⇔≥且a 与b 方向相反．
5.若非零向量,a b 满足a b a b +=-，则a 与b 所成的角的大小为
6.向量||8,||12a b ==，则||a b +的最大值和最小值分别是
7.设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是
8.已知,a b 是两个不共线的非零向量，它们的起点相同，且1
,,()3
a t
b a b +三个向量的终
点在同一条直线上，求实数t 的值.
9.已知四边形ABCD 的两边,AD BC 的中点分别是,E F ，求证：1
()2
EF AB DC =
+
走向高考：
10.(06全国Ⅰ)设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++= 如果向量1b 、2b 、3b ，
满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30︒后与i b 同向，其中1,2,3i =，则
.A 1230b b b -++=；.B 1230b b b -+=；.C 1230b b b +-=；.D 1230b b b ++=
11.（05山东）已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-
则一定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C D .D ,,A C D
12.（07全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，
13CD CA CB λ=+则λ= .A 23.B 13 .C 13- .D 23
-
13.（07北京）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，
且20OA OB OC ++=，那么 .A AO OD = .B 2AO OD =
.C 3AO OD = .D 2AO OD =
14.（05全国Ⅰ）ABC △的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，
)(m ++=，则实数m =
15.（06江西）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC
=+，且A B C ，， 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于
.A 100 .B 101 .C 200 .D 201
16.（06福建）已知1OA =，3OB =0OA OB ⋅=,点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，
设OC mOA nOB =+ (),m n R ∈，则m n =.A 31 .B 3.
C 3
3
.D 3
17.（06上海文）在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 .A AB DC =.B AD AB AC +=.C AB AD BD -=.D 0AD CB +=
18.（08广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =
B
A C
D
.
A 1142a b + .
B 21
33
a b + .
C 11
24
a b + .
D 12
33
a b +
19.（06湖南文）如图：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成
的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对(),x y 可以是
.A )43,41( .B )32,32(- .C )43,41(- .D )57,51(-
A。