谈“一线三等角”优秀课件
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一线三等角专题PPT课件
【活动二】 K字型相似基本图形2: 条件：B，D，C三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α 结论： △ BDE∽ △ CFD 证明：
F
E
α B
α
α
D
C
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以等腰三角形为背景
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1.如图，等边△ABC中，边长为6，D 是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1.5 ，FC=1时，求BE
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2.如图，在△ABC中，AB=AC=8 ，AC=10 ， D是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且∠ADE=∠C ．
(1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果BD=x ，EC=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x的四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5， 点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．当 点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: AD=3:2，求点P的坐标．
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4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,D 是BC的中点，∠EDF=∠B, 求证：△BDE∽△DFE.
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感谢您的观看！
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F
E
α B
α
α
D
C
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以等腰三角形为背景
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1.如图，等边△ABC中，边长为6，D 是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1.5 ，FC=1时，求BE
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2.如图，在△ABC中，AB=AC=8 ，AC=10 ， D是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且∠ADE=∠C ．
(1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果BD=x ，EC=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x的四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5， 点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．当 点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: AD=3:2，求点P的坐标．
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4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,D 是BC的中点，∠EDF=∠B, 求证：△BDE∽△DFE.
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感谢您的观看！
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谈“一线三等角”优秀课件
在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到 广大数学师生的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其 种类多、图形美、内涵丰富， 常常成为中考能力考察的核心。 而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多 中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近 些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈。其中有些试题， “一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开； 另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所 给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地 予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。
．
（提示:若a>0,b>0; 则a+b≥
）
以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试 题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变换， 但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式 解决问题． 两道题都 着重考查学生在图形 变换过程中的观察理解、直观 感知、推理转 化等数学能力和思想．
数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部 分。
著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于 入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学 就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学 的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。
因此，师生加强中考数学解题研究，有着极其重要的 现实意义。
；
（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则
m的值是
。
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为 命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有 “一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而 这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与 联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图 中的几何模 型．两道题均较好地体现了对 “四基”的综合考查， 提升了学生思维的层 次性和灵活性．
一线三等角专题课件
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC中点，点D、E分别在AB、 AC上，若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=4 2，CE=3，则DE的长为 5
3
பைடு நூலகம்究
探究：如图①，在等边△ABC中,AB=4, 点D 、 E分别为边BC、
AB上的点,连结AD、DE,若∠ADE=60°,BD=3,求BE的长。
拓展：如图②,在△ABD中,AB=4,点E为边AB上的点,连结
追根溯源
这是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明 勾股定理的弦图．
追根溯源
例题
感知：如图①，直线经过正方形顶点，且正方形在直线的上方，作AB⊥
L于点，DF⊥L于点F，可知：△ABC≌△CFD.（不需证明）
应用1：如图②，将图①中的正方形ACDE绕点C顺时针旋转，使直线L与
边DE相交，作AB⊥L于点B，DF⊥L于点F，求证： △ABC≌△CFD.
DE,若∠ADE=∠ABD=45°,若DB=3 2 , SΔADE = 5
SΔBDE
3。
应用2：如图③，
，相邻两条平行线间的距离相等，正方形ABCD
的四个顶点分别在这四条平行线上,连结BD，则BD与l2 相交所成的α锐角
的正切值为
.
练习
感知：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，
点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.(不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上， 当∠B=∠C=∠APD时，求证： AB •CD = PC • BP .
—— 长春市数学教研组
复检
1.相似三角形有哪些判定方法？ 2.相似三角形怎样找对应边？
探究
（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°,图中有没有 相似三角形? 说明理由。
3
பைடு நூலகம்究
探究：如图①，在等边△ABC中,AB=4, 点D 、 E分别为边BC、
AB上的点,连结AD、DE,若∠ADE=60°,BD=3,求BE的长。
拓展：如图②,在△ABD中,AB=4,点E为边AB上的点,连结
追根溯源
这是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明 勾股定理的弦图．
追根溯源
例题
感知：如图①，直线经过正方形顶点，且正方形在直线的上方，作AB⊥
L于点，DF⊥L于点F，可知：△ABC≌△CFD.（不需证明）
应用1：如图②，将图①中的正方形ACDE绕点C顺时针旋转，使直线L与
边DE相交，作AB⊥L于点B，DF⊥L于点F，求证： △ABC≌△CFD.
DE,若∠ADE=∠ABD=45°,若DB=3 2 , SΔADE = 5
SΔBDE
3。
应用2：如图③，
，相邻两条平行线间的距离相等，正方形ABCD
的四个顶点分别在这四条平行线上,连结BD，则BD与l2 相交所成的α锐角
的正切值为
.
练习
感知：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，
点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.(不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上， 当∠B=∠C=∠APD时，求证： AB •CD = PC • BP .
—— 长春市数学教研组
复检
1.相似三角形有哪些判定方法？ 2.相似三角形怎样找对应边？
探究
（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°,图中有没有 相似三角形? 说明理由。
一线三等角优秀课件
B
D
D
E
AC
E
D
AC
E
思考：以上图形有什么共同点？
一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找
活动三 图形辨析 强化理解
• 下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出 “一线三等角”的基本图形所形成的相似三角 形（要求对应的顶点写在对应的位置）
A
2 1 B
D
E
3 C
A E
1 B
2 F
D
G 3
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，两三角形还相似吗？
解： △CPA∽△PDB 理由：∵∠CPD=∠CAB
∠CPA+∠BPD=∠CPA+∠C
∴∠EC=∠BPD
又∵∠CAB=∠EBD ∴1800-∠CAB=1800-∠EBD 即∠PAC=∠PDB ∴△CPA∽△PDB
活动二抽象模型，揭示本质
B
AC B
• （3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。
活动五 收获分享
1、通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、本节课的学习过程，对你今后思考问题有什
么启示？
D 理由：∵∠A=∠BCD=∠E= α°
•
∠ACB+∠DCE=1800-α°
•αα
A• •
C
∠CDE+ ∠DCE=1800-α°
α
∴∠ACB= ∠CDE
E 又∵∠A=∠E
•
∴ △ABC∽△ECD
活动二抽象模型，揭示本质
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°， △ABC与 △ECD是否相似？并说明由。
《相似三角形的判段——“一线三等角”》公开课教学PPT课件(终稿)
思考
等腰ABC中AB AC，D是BC中点，有MDN B, 请找出图中所有的相似三角形.
上题中，若AB
AC
பைடு நூலகம்10,
BC
12,
SDMN
1 4
SABC ,
求MN长.
思考
变式1.在等腰ABC中，AB AC 10, BC 12, D是BC上任 一点，MDN B,若DM AB，是否有可能使SDNC 4SDMB，如果有可能求BD的长.
问题探究
变式2：在平面直角坐标系中，直线l1：y 2x 4与 x轴y轴分别交于A, B两点.将OAB沿l1翻折. （1） 求O的 对 称 点P的 坐 标.
（2） 直 线l2过 点P， 且 与直 线l1的 夹角 是45， 求 两直 线l1， l2的 交点 坐 标.
回顾反思
1、“一线三等角”模型的特征，以及模型的 提炼、变式和运用 2、从复杂图形中提炼,还原，创设出基本模 型、快速灵活运用基本结论、反思、拓展.
变式2.在等腰ABC中，AB AC 10, BC 12, D是BC上任一 点，MDN B,若BD 4，是否存在这样的位置，使DMN 成为直角三角形, 若存在求BM长.
相似三角形的判断—— “一线三角形”
情景再现
在等边ABC中，D是BC边上的一点，把 ABC折叠，使点 A落
在BC边上的点 D处，折痕为 MN.若 BD 2，请求出 AM 的值.
DC 3
AN
一线三等角
有三个相等角 三个相等角的顶点在一直线上
抽象模型
常见一线三等角图形
点P在线段AB上
点P在线段AB延长线上
问题探究
问题：如图在ABC中，AB AC 5, BC 8,点 D，E分别在BC, AC上，连接AD, DE,使1 B (1)当BD 2,求线段CE的长.
最新一线三等角模型PPT课件
结胸者
治法：泻热逐水，峻药缓攻。
3 x
y 1 x2 4 3 x2 4 3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2021/3/10
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2021/3/10
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 3
样？
改t为an BAO 1 2
，解法是否一
2021/3/10
2a
9 a9
2
9 2a
9
a
主证： 大便秘结 腹满硬痛
病机：燥实内阻，腑气壅滞。 治法：攻下实热，荡涤燥结。
潮热 谵语 (烦躁、心中懊憹) 手足漐漐汗出 反不能食 喘冒不能卧 脉沉迟
方药：大承气汤 枳实五枚：行 气 消 痞 厚朴半斤：宽 中 除 满 芒硝三合：软 坚 润 燥 大黄四两：泻 热 荡 实
鉴别: 三承气汤皆用于治疗阳明腑实证。 调胃承气汤重在泻热，故全身热毒内盛的证候 偏重者宜用； 小承气汤重在通腑，故腹部的实证表现为主者 宜用； 大承气汤泻热与通腑之力俱重，故全身热毒内 盛的证候和腹部的实证表现两组证候皆重者宜用之。
一线三等角模型ppt课件
一线三等角模型
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
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13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
一线三等角模型ppt(共22张PPT)
（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
没边相等证相似.
若不存在，请说明理由．
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
（（21）01如2成图都①），(当本点小Q题在满E线分段10A分C)上，且HAP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； 若（A2）B=根k据A图E，象A写C出= k在A第F，一试象探限究内H，E当与取H何F之值间时F的，数y1量＜关y2系？，并说明理由.
FQ之延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为
一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点
H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，
并说明理由. 有边相等证全等;
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
有边相等证全等;
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图
中所有的相似三角形，并证明你的结论．
已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以 OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（ 不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的
一个特殊图形的应用——一线三等角模型
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题型，快 速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量，提高做题速 度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩。因此，平时教 学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
《一线三等角模型》课件
在建筑设计中，一线三 等角模型可防止建筑形 态过于普通化，同时保 证建筑的美学性与功能 性。
一线三等角模型的应用领域
室内设计
可以用于设计会议室、酒店等 场所。
建筑设计
可以用于设计公共建筑、景观 等。
家具设计
可以用于设计桌椅、灯具等家 具。
建模方法
1
建立坐标系
根据设计需求，建立二维坐标系。
2
构造一线三等角模型的形式
《一线三等角模型》PPT 课件
本PPT课件将介绍一线三等角模型的建模方法和应用，以及如何用Python实 现该模型。
什么是一线三等角模型？
1 基本概念
一条长度为1的线段在 平面上，等分成三段， 依次连接首尾得到一个 三角形，这即为一线三 等角模型。
2 特性
3 优点
等边、等角、狭长、占 用空间小、视觉上飘逸、 新颖。
上海环球金融中心 建筑设计
建筑主体外形线条流畅，中 心部分采用一线三等角模型 造型，整个建筑寓意成长、 挑战和超越。
实战演示
1
怎样运用Python实现一线三等角模型
介绍程序员如何使用Python语言进行一线三等角模型的建模和参数化，方便后 续分析应用。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
实战演示案例
通过一线三等角模型和Python语言实现的案例，展示该模型方法和应用的可行 性。
总结
一线三等角模型的应用前景
这一模型的美学和实用性优点促进了其在设计领域中的广泛应用，未来发展前景广阔。
未来的研究与发展方向
未来的研究将着重在拓展该模型的应用领域，提高建模准确性和自动化程度。
在坐标系中，通过角平分线和圆心等方法构造出一线三等角模型。
3
最新一线三等角模型的研究教学讲义ppt课件
推广3：如果一个四边形有一组对角相等，那么 我们称它为半对角相等的四边形.如图1中的四 边形ABCD，其中∠B=∠D。解决下列问题：
考题赏析：
2015年第8题
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在 边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝1/2∠ADC D．∠ADE＝1/3∠ADC
•
• 今天，我对自己的过错深感惶恐不安！我辜 负了国家对我的培养，辜负了社会对我的信任，
也辜负了影迷对我的喜爱！在此，我再次向大家
诚恳道歉！请大家原谅！
•
我相信，经过这次整顿，我会讲规矩、遵秩
序、重责任，在把好的作品献给大家的同时，也
要监督公司管理，守法经营，诚实守信，争做富
有文化内涵的好公司【这句浓缩一下就是
“我……争做富有文化内涵的好公司”，主语和
宾语不搭配，最后一句应改为“使公司更加富有
文化内涵”或者“使公司成为富有文化内涵的好
公司”。另外“讲规矩、遵秩序、重责任”三个 动宾短语之间，不用顿号，而用逗号。】
• 再次向社会，向一直支持我的影迷，向关 爱我的朋友家人【“朋友家人”容易产生 歧义，应改为“朋友和家人”】，真诚的 【“的”应为“地”】说一句，对不起！
2.常见类型
3.考题赏析
4.问题推广
• 推广1：如图1，已知四边形ABCD中， ∠B=∠C， AF、DE分别是∠BAD与∠CDA的 平分线。
• 结论：△ABF∽△ECD。
推广2：
已知：已知四边形ABCD中，∠B=∠C， AF、DE 分别是∠BAD与∠CDA的平分线，且E，F重合。
结论：（1）△ABE∽△ECD∽△DEA； （2）BE=CE； （3）BE2=AB×CD。
初中数学冀教版九年级上册《一线三等角》优质课公开课课件省级比赛获奖课件
-----
相似基本模型之一：一线三等角
复习目标：
能熟练运用“一线三等角” 基本模型解决相似三角形中的相关问题
已知：如图所示，在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点， 射线DN过点A,射线DM交AC于点E,并且∠ADE=∠B. N
问：
A
10
E B
M
D 12
∟
C
已知：如图，在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的 ， 任一点 射线DN过点A,射线DM交AC于点E,并且∠ADE=∠B. N A 问：
2
∟
O
∟
t
P
5-t
C
x
y
若n=2.
作以OC为直径的半圆，是否存在某一 时刻使AQ与半圆相切？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.
B (0,4)
Q
D
(5,n) A (5,2)
n 2
O
∟ ∟
当t=2.5， 即p为OC中点
x
t
P 5-t
C
又 到 总 结 时
“一线三等角”是构造相似的一个模型。 是重要的一种破题利器,自然也是我们解题的 突破口。在多数平面直角坐标系为背景的题目 中，手握这一宝剑就能无往而不胜。善于还原 这一基本模型，或通过添加辅助线构造这一模 型。
1 问： 若S△DEF= 4 S△ABC,则线段EF是多少？
A
N F H M E
10
B
12
D
C
实际操练
（今年我市一模第26题改编）
如图，A(5,n)、B（0,4）,n>0.动点P从原点 O出发以每秒1个单位的速度向右运动，连接AP做 射线PQ⊥AP，PQ交y轴于点Q.设点P的运动时间是 t秒（t>0）. 若n=2.在点P的运动过程中，点Q与点B是否 存在距离最短的情况？若存在，请求出这个最短 距离；若不存在，请说明理由.FB DC
一线三等角模型 ppt课件
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
2020/9/8
一线三等角模型
15
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角模型
2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标：
用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
2020/9/8
特别是“一线三直角”辅助线的构造
一线三等角模型
3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
一线三等角模型
最特殊 考到概 率最大
4
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
思考：若把
tanBAO
3 3
样？
改t为anBAO
1 2
，解法是否一
2020/9/8
一线三等角模型
10
2a
9 a 9
2
9 2a
9
a
2
(可直接使用)一线三等角(公开课).ppt
人教版数学九年级下
最新课件
1
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
最新课件
2
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
最新课件
3
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
（点E与点D、C不重合），且∠OEF=120°，设DE=X，CF=y，求y与x的
函数关系式。
y
DE
C
1
F
O2
x B
最新课件
9
思维开放 展示提高 如图，AB=BC,点E为BC的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90° 连接AF,找出图中所有的相似三角形，并证明。
A
B
最新课件
E 图4
F C
10
课堂小结
最新课件
12
三角形？并说明理由。
BA
最新课件
BA CE
E
C
图2
DF
EC 4
抽象模型，揭示实质
如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
最新课件
α
E
5
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
最新课件
6
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
最新课件
1
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
最新课件
2
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
最新课件
3
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
（点E与点D、C不重合），且∠OEF=120°，设DE=X，CF=y，求y与x的
函数关系式。
y
DE
C
1
F
O2
x B
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9
思维开放 展示提高 如图，AB=BC,点E为BC的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90° 连接AF,找出图中所有的相似三角形，并证明。
A
B
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E 图4
F C
10
课堂小结
最新课件
12
三角形？并说明理由。
BA
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BA CE
E
C
图2
DF
EC 4
抽象模型，揭示实质
如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
最新课件
α
E
5
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
最新课件
6
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
八年级全等模型第1讲一线三等角课件
斜边中点定理
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
全等三角形单元复习： 一线三等角模型课件(16张PPT)2024-2025学年人教版八年级上学期
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
(3)请你猜想：当∠为多少度时，∠ + ∠ = 120°，并说明理由.
(2)∵∠ = 40°
1
2
∴∠ = ∠ = (180° − 40°) = 70°
∴ ∠ + ∠ = 110°
又∵△ ≌△
∴∠ = ∠
∴∠ + ∠ = 110°
∴∠ = 70°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ + ∠ = 90°
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴∠ = 90°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ = ∠ = 90°
在 △ 和 △ 中，
=
ቊ
=
∴ △ ≌ △ （HL）
∴ = , =
∴ = + = + .
(2)∵ △ ≌ △
∴∠ = ∠
∵∠ + ∠ = 90°
∴ = + .
模型2：“一线三等角”（两个三角形在直线同侧）
利用“一线三等角”可以证明三角形全等，反过来，由三角形全等可以反推，这也
是常考点，具体模型如下：
拓展模型：若、、三点在一条直线上，∠ = ∠ = ， △ ≌△ ，则有
∠ = .
证明：∵△ ACP ≌△ BPD
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
(3)请你猜想：当∠为多少度时，∠ + ∠ = 120°，并说明理由.
(2)∵∠ = 40°
1
2
∴∠ = ∠ = (180° − 40°) = 70°
∴ ∠ + ∠ = 110°
又∵△ ≌△
∴∠ = ∠
∴∠ + ∠ = 110°
∴∠ = 70°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ + ∠ = 90°
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴∠ = 90°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ = ∠ = 90°
在 △ 和 △ 中，
=
ቊ
=
∴ △ ≌ △ （HL）
∴ = , =
∴ = + = + .
(2)∵ △ ≌ △
∴∠ = ∠
∵∠ + ∠ = 90°
∴ = + .
模型2：“一线三等角”（两个三角形在直线同侧）
利用“一线三等角”可以证明三角形全等，反过来，由三角形全等可以反推，这也
是常考点，具体模型如下：
拓展模型：若、、三点在一条直线上，∠ = ∠ = ， △ ≌△ ，则有
∠ = .
证明：∵△ ACP ≌△ BPD
2023中考数学专题复习-一线三等角(课件)
y
五、链接
一线三等角遇函数
A
如图，已知平面直角坐标系xOy中，
点A（m，6），B（n，1）
为两动点，其中0<m<3，连接OA,OB, OA⊥OB。
B4 2
1 3
（1）求证：mn=－6；
C
OD
x
分析：
①有1想2作3，要求mn的值就要求出A点和B点的坐标，作
BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点 ②根据变式3的分析由3个垂直得∠AOB=∠BCD=∠ADO=90°， ∠2+∠4=90°∠2+∠3=90°可得∠3=∠4 ③由∠BCD=∠ADO=90°∠3=∠4得△CBO △DOA .
A
变式1：已知：如图，AB⊥BC，
ED⊥CD，点C在BD上，AC⊥CE，
AC=CE.
E
求证：△ABC≌△CDE 分析：
┐13 2
┌
B
C
D
①由AB⊥BC，ED⊥CD，AC⊥CE，得∠B=∠3=∠D=90°；
②运用一线三直角， 由∠B=90°得∠A+∠1=90°， 由 ∠3=90° 得∠2+∠1=90°,得∠A=∠2
在△CEB和△ADC中，
2.如何证∠∠△43==∠∠C一52EB线≌三△渗直A透D角C数？模形型结在合综思合想题、中类的比运思用想。、 数学
模型的创B新C=应AC用思想。
∴△CEB ≌△ADC(AAS)
∴BE=DC=0.8cm,CE=AD=2.5cm
∴DE=CE-CD=2.5-0.8-1.7cm
三、说拓展延伸——图形变
由平角的定义 ∠2 +∠3+∠1=180°；
②由等式性质得∠A=∠2；
③由∠B=∠D，∠A=∠2,AC=CE得△ABC≌△CDE
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你会证明勾股定理吗？ 你能用至少三种方法证明勾股定理吗？
“一线三等角”是一个常见的相似模型， 指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成 的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐 角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区 叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在 这里我们统一称为“一线三等角”。
．
（提示:若a>0,b>0; 则a+b≥
）
以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试 题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变换， 但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式 解决问题． 两道题都 着重考查学生在图形 变换过程中的观察理解、直观 感知、推理转 化等数学能力和思想．
数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部 分。
著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于 入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学 就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学 的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。
因此，师生加强中考数学解题研究，有着极其重要的 现实意义。
在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本 模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但 解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教 学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入 研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利 用 在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进 行挖掘与提炼．只有让学生学会自主地反思、推进、提炼， 才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对 一些基本模型和结论的挖 掘，能更好地弄清问题的本质，为 解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学 生的解题能力，发展学生的思维水平．
内作矩形ABCD，使AD= ，则点C的坐标为_______
，点D的坐标为_______．
（变式题2）（2019•潮南区模拟）如图，在平面直角坐 标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上 ，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时 针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对 应点C1的坐标为 （- ， ） 。
（2015·连云港·16）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，
∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3， l1与l2之间的距离是1， l2
与l3之间的距离是2， l1、l2、l3分别经过A、B、C，则边
AC的长为
。
（变式题1）如图，在平面直角坐标系中，直线
yLeabharlann =1 2x
+
2
与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限
（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1
的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向
旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是
。
本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较 好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运 动的同时，自发地利用题中所 蕴含的特殊角，展开 适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经 验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层 考查，有着较好的考试信度与效度．
（2017·泰安·14）如图，在正方形ABCD中，M为 BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E， 若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
F
（2017·丽水·16）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分
别交x轴、y轴于点A、B，已知点C（2,0）。
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是
；
（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则
m的值是
。
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为 命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有 “一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而 这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与 联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图 中的几何模 型．两道题均较好地体现了对 “四基”的综合考查， 提升了学生思维的层 次性和灵活性．
在我们的上一年的，一模中主要考察的 是“一线三直角”。
△ADB∽△CEA
△ADB∽△CEA ∽△CAB
△ADB∽△CEA ∽△CAB
最特殊 考到几 率最大
△ADB∽△CEA △ADB∽△CEA △ADB∽△CEA
1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、
BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，
在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到 广大数学师生的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其 种类多、图形美、内涵丰富， 常常成为中考能力考察的核心。 而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多 中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近 些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈。其中有些试题， “一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开； 另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所 给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地 予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。
过点C1作C1N⊥x轴于点N， 过点A1作A1M⊥x轴于点M
（变式题3）如图，在平面直角坐标系中，点A
（0, 2 3 ），点B（4,0），点C在第一象限内，若
△ABC为等边三角形，则点C的坐标为
。
上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方法、数学模型于图形之 中．题中的 “特殊角”是解题的关键，也是 搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来 源与“脚手架”． 这几道题实质上都是考查 学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有 效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．
GF．已知AG⊥GF，AC= 6 ，则AB的长为
．
（2017·四川绵阳·17）将形状、大小完全相同的两个等腰三角
形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底
边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，
AD:AB=1:3，则
MD
12 MA DN
的最小值为
通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发 现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、 完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构， 因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给 的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定 线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便 会油然而生，豁然开朗。