拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换
第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。
若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。
另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。
拉普拉斯变换
工程数学 --------- 积分变换
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例1. 设函数 f1(t) t, f2(t) sin t, 求 f1(t) * f2 (t).
解:
t
t *sin t sin( t )d
0
cos(t ) t
t
cos(t )d
00
t sin t
工程数学 --------- 积分变换
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象函数微分性质
1[F(s)] tf (t)
或
[tf (t)] d [ f (t)]
ds
一般地
1[F (n) (s)] (1)n t n f (t)
或
[t n f (t)] (1)n F (n) (s)
工程数学 --------- 积分变换
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工程数学 --------- 积分变换
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例2. 求函数 f (t) u(t )的Laplace 变换.
解: [u(t )] es [u(t)] 1 es
s 例3. 求函数 f (t) ebt cos at的 Laplace 变换.
解:
[cos
at]
s2
s
t
1[ 1
s
s
1 2
] 1
t
sin tdt
0
1 cost
工程数学 --------- 积分变换
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例11. 计算积分 1 cos t etdt.
0
t
解: [1 cos t ]
t
ds s s(s2 1)
1 [ ss
s
s2
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
拉普拉斯变换(研究生)
(1) L a f1 (t ) b f 2 (t ) a L f1 (t ) b L f 2 (t ) a F1 (s) b F2 (s)
解:根据(2.1) 式,当Re(s)>0时,有
F (s) L u (t )
0
1 st e dt e .2】求f(t)=e kt 的拉氏变换(k为实数) 解: 当Re(s)>k时,有
kt L e
k t st
k L sin kt 2 s k2
k (6) L sinh kt 2 s k2
s (7) L cosh kt 2 s k2
(8) L (t ) 1
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§2 拉普拉斯变换的性质 1. 线性性质: 设a , b为常数,且 L f1 (t ) F1 (s), L f 2 (t ) F2 (s) 则有
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
2ks 【例2.3】求L[tsinkt] (答案: 2 2 2 ) (s k )
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(1)
t t e dt e 0
0
1
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0t b t 【例1.5】求周期三角波 f (t ) 2b t b t 2b
且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换(P74 例5)
第七章拉普拉斯变换
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在电路分析中有着广泛的应用。
通过将电路中的各个元件抽象成数学模型，我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。
本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。
首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。
拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数，s是复变量，f(t)是待变换的函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质，这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。
在电路分析中，我们常常需要求解电路中的电压和电流。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路，我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程，然后求解得到电路中的电流和电压。
另外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。
稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应，而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。
此外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。
频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。
通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。
这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。
除了以上应用之外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳定性和控制系统的性能。
通过将电路的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的极点和零点，从而判断系统的稳定性。
同时，拉普拉斯变换还可以用来分析控制系统的性能指标，如稳态误差、超调量和响应时间等。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
拉普拉斯变换
定义
定义
一个定义在区间的函数,它的拉普拉斯变换式定义为称为的象函数，称为的原函数。 通常用表示对方括号里的时域函数作拉氏变换，记作
定义式
ห้องสมุดไป่ตู้
定义式
式中，是复变量的函数，是把一个时间域的函数变换到复频域内的复变函数。 为收敛因子。 为一个复数形式的频率，简称复频率，其中实部恒为正，虚部可为正、负、零。
拉普拉斯变换
工程数学中常用的一种积分变换
01 定义
03 存在条件 05 实例
目录
02 定义式 04 公式概念 06 基本性质
07 发展历史
09 应用定理
目录
08 联系
基本信息
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参 数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着 广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着 重要作用。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上， 拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化 上都有广泛的应用。
谢谢观看
存在条件
存在条件
表达式中，右边的积分为有限值。
公式概念
公式概念
拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后 再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示， 而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏 变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为 复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是 将复数域信号变为时域信号。
第十二章 拉普拉斯变换
第十二章 拉普拉斯变换第一节：拉普拉斯(Laplace)变换概念与性质一、拉普拉斯变换的概念1、定义1、设函数()f t 的定义域为[0,)+∞，如果广义积分 ()()0pt F p f t e dt +∞-=⎰在参数p 的某一区间内收敛，则称该式为()f t 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，并记为：()L f t ⎡⎤⎣⎦ ，即()()()0ptL f t F p f t edt +∞-⎡⎤==⎣⎦⎰其中，()F p 称之为()f t 的“像函数”，而()f t 称之为()F p 的“像原函数”，也称之为()F p 的拉普拉斯“逆变换”，记作；()1L F p -⎡⎤⎣⎦，即()()1f t L F p -⎡⎤=⎣⎦说明：（1）因定义中只要求()f t 在0t ≥时有定义，为讨论方便，今后总假定在0t <时，()0f t =（2）在更深入的讨论中，参数p 可在复数范围内取值，由此可见，求函数()f t 的拉普拉斯变换，实质上就是通过广义积分转换成一个新的函数()F p ，它是一种“积分变换”。
拉普拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，在工程技术领域有着广泛和重要的应用。
例1、求单位阶梯函数()01t h t t <⎧=⎨≥⎩ 的拉普拉斯变换 解：根据拉普拉斯变换的定义，知()01ptL h t e dt +∞-⎡⎤=∙⎣⎦⎰，该广义积分在0p >时收敛，（100px p e e -∞>→→=）， 而广义积分：0001111|pt pt p e dt e e p p e p+∞--+∞∙∞⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰ ()0p >所以，()()0110ptL h t e dt p p+∞-⎡⎤=∙=>⎣⎦⎰例2、求指数函数 ()at f t e = 的拉普拉斯变换 解：()()()()0p a t pt at pt L f t F p f t e dt e e dt e dt +∞∞∞----⎡⎤===∙=⎣⎦⎰⎰⎰由例1可知，当0p a p a ->→>时收敛，且有；()1at L e p a p a⎡⎤=>⎣⎦-例3、求函数 ()f t at = 的拉普拉斯变换 解：()0pt L at at e dt ∞-=∙⎰()1ptpt pt pt pt pt a a a at e dt td e te e dt te e C p p p p ------⎡⎤⎡⎤∙=-=--=-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 当100t pt p e e →+∞-∞>→−−−→=，110t pt pt t e pe →+∞−−−→===∞()()210000a aL at p p p p ⎡⎤=--+-=>⎢⎥⎣⎦用类似的方法还可得：()22sin (0)L t p p ωωω=>+()22cos (0)pL t p p ωω=>+附录：常用函数的拉普拉斯变换： 1、()()()1f t t F p δ=→=2、()()()()110f t h t t F p p==≥→= 3、()()1!n n n f t t F p p +=→= 4、()()2a f t at F p p =→= 5、()()1at f t e F p p a=→=- 6、()()()1at af t e F p p p a -=-→=+7、()()()21at f t te F p p a =→=- 8、()()()1!n at n n f t t e F p p a +=→=- 9、()()22sin f t t F p p ωωω=→=+10、()()22cos pf t t F p p ωω=→=+ 11、()()()22sin cos sin p f t t F p p ϕωϕωϕω+=+→=+ 12、()()()22cos sin cos p f t t F p p ϕωϕωϕω-=+→=+13、()()()2222sin p f t r t F p pωωω=→=+ 14、()()()22222cos p f t r t F p pωωω-=→=+15、()()()22sin at f t e t F p p a ωωω-=→=++ 16、()()()22cos at p af t e t F p p a ωω-+=→=++17、()()()()222111cos f t at F p a p p a=-→=+ 18、()()()()()at bt a b f t e e F p p a p b -=-→=--19、()()f t F p =→=20、()()f t F p =→=2、定义2（狄拉克Dirac,简称δ函数或称单位脉冲函数）设：()00100t t t t εδεεε<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 当0ε→时，()()0lim t t εεδδ→=称之为狄拉克函数，简称为δ函数。
《电路分析》拉普拉斯变换
《电路分析》拉普拉斯变换电路分析是电路理论的一部分，其主要目的是通过建立数学模型，研究电路中电压、电流等参数的变化规律及相互之间的关系。
拉普拉斯变换是电路分析中常用的数学工具之一，可以将时域中的电路方程转化为复频域中的代数方程，方便求解和分析。
拉普拉斯变换的基本概念是将一个函数f(t)变换为变量s的函数F(s)。
数学上，拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，s为复数变量，F(s)为拉普拉斯变换后的函数，f(t)为原函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、平移性质、微分性质等，这些性质使得电路中的微分方程和积分方程可以很方便地通过拉普拉斯变换转化为代数方程。
在电路分析中，拉普拉斯变换可以应用于求解电路中的电压和电流。
通过变换，可以将电路中的微分方程转化为代数方程，然后对代数方程进行求解。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的电路，可以利用拉普拉斯变换将电路方程转化为复频域中的代数方程，然后通过求解代数方程得到电路中的电压和电流的复频域表达式，最后再进行逆变换得到时域中的电压和电流的解析表达式。
拉普拉斯变换的另一个重要应用是可以用于描述电路中的单位阶跃响应和冲击响应。
单位阶跃响应是指在电路中加入一个单位阶跃信号后电路的响应情况，而冲击响应是指在电路中加入一个冲量信号（冲击函数）后电路的响应情况。
通过拉普拉斯变换，可以将电路中的阶跃响应和冲击响应转化为复频域中的代数方程，从而方便求解和分析。
总之，拉普拉斯变换在电路分析中起着非常重要的作用，它使得电路中的微分方程和积分方程可以通过转化为复频域中的代数方程进行求解和分析。
拉普拉斯变换的应用可以帮助我们更好地理解和掌握电路的特性和行为。
在实际电路设计和故障诊断中，掌握拉普拉斯变换的原理和应用，对于提高电路分析和设计的能力都具有重要意义。
9.1拉普拉斯变换的概念
0
1 e e dt Re s s
t st
L[e ]
0
1 e e dt Re s 0 s j
jt st
从上述例子可以看出
(1) 即使函数以指数级增长，其 Laplace 变换仍然存在； (2) 即使函数不同，但其 Laplace 变换的结果可能相同。
特点 变换的结果均为分式函数。
记为 f (t )
1
[ F ( s )] .
t 注 f ( t ) 的 Laplace 变换就是 f ( t )u( t ) e 的 Fourier 变换。
例
P213 例 9.1
[1]
0
1 1 st s t , e 1 e dt s s 0
0
(Re s 0) (Re s 0) (Re s 0)
使得函数在 t < 0 的部分补零(或者充零)；
(2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 e t ( 0) ， 使得函数在 t > 0 的部分尽快地衰减下来。
t 这样，就有希望使得函数 f ( t ) u( t ) e 满足 Fourier
变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。
1. Fourier 变换的“局限性”？ 广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。 广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如 eat (a 0) 等 仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人 感到不太满意。
拉普拉斯变换
1的拉氏变换为
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[ f (t a)(t a)] eapF( p)
无锡职业技术学院数学教研室
(2)在使用该性质时,不能忽视假设条件a 0和当t 0时,f (t)=0
否则会引起混乱.该性质表明,f (t a)的拉氏变换等于f (t)的拉氏变
换乘以因子eap .
例7 求£[(t a)],(a 0).
(t
)
注:(1)此处定义的函数 (t)是广泛意义下的函数,它不能用逐点
的对应来定义(讲清该函数涉及大纲外的内容[实变函数与泛函分
析]);
(2)上述极限也不是通常定义的极限,在通常意义下,
lim
0
(t
)是
不存在, 只有广泛意义下, 这个极限才有效.
显然,对任何 0,有
无锡职业技术学院数学教研室
第一个积分为零,对于第二个积分,令t a u,则
£[ f (t a)] f (u)e p(au)dt eap f (u)e pudu eap F ( p)
0
0
说明: (1)在这个性质中, f (t a)表示函数f (t)在时间上滞后a个
单位,所以这个性质也常称为延滞性性质.也常表示为
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
8-1,2拉普拉斯变换的概念
L[ f (t )] sF ( s ) f (0)
若f ( t ), f ( t ), , f ( n ) ( t )都是像原函数, 则
L[ f
( n)
( t )] s F ( s ) s
n
n 1
f ( 0) s
n 2
(0) f ( n1) (0) f
像函数微分性质
L[ f 2 ( t )] F2 ( s ), 则有
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s )F2 ( s ),
L [ F1 ( s )F2 ( s )] f1 ( t ) f 2 ( t ).
卷积定义
1
f1 ( t ) f 2 ( t )
f1 (t ) f 2 ( )d
Ts 2Ts 3Ts
L[ f ( t )] F1 ( s ) e
F1 ( s ) e
F1 ( s ) e
T 0
F1 ( s )
st
F1 ( s ) L[ f ( t )] 1 e Ts
F1 ( s) f1 (t )e dt
17
例4 求L[| sint |]. 全波整流后的正弦波
解: T , L[| sint |]
F1 ( s ) 1 Ts Ts 1 e 1 e
e 1 1 e Ts
st
| sin t |
T t
T
0
e
st
sintdt
T 0
分部积分两次
( s sint cos t ) s2 2
1 e Ts
即像原函数都满足 f ( t ) 0, t 0
拉普拉斯变换与控制理论
拉普拉斯变换与控制理论拉普拉斯变换是一种在控制理论中广泛应用的数学工具。
它通过将时域函数转换为复频域函数，方便了对信号和系统的分析与设计。
本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念、性质以及在控制理论中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种复变量函数的变换形式，它将时间域函数转换为频域函数。
设时域函数为f(t)，其拉普拉斯变换为F(s)，表示为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示频域。
拉普拉斯变换的定义域为实数域，变换结果为复数域。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有诸多重要的性质，以下是常用的性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
2. 平移性质：将时域函数f(t)向右平移t0个单位，其拉普拉斯变换为e^(-t0s)F(s)。
3. 时域微分性质：将时域函数f(t)微分n次，其拉普拉斯变换为s^nF(s) - s^(n-1)f(0) - s^(n-2)f'(0) - ... - f^(n-1)(0)。
4. 频域微分性质：将时域函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)频域微分n次，其结果为(-1)^n d^nF(s)/ds^n。
5. 时域积分性质：将时域函数f(t)积分，其拉普拉斯变换为1/sF(s)。
6. 初始值定理：当t→0时，时域函数f(t)的值与其拉普拉斯变换在s=∞处的极限值相等。
7. 终值定理：当t→∞时，时域函数f(t)的值与其拉普拉斯变换在s=0处的极限值相等。
三、拉普拉斯变换在控制理论中的应用拉普拉斯变换在控制系统的建模、分析和设计中起到了重要的作用，以下是几个常见的应用场景：1. 传递函数的求解：传递函数是控制系统中描述输入与输出之间关系的重要工具。
通过对系统的微分方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数，并进一步进行频域分析与设计。
如何理解拉普拉斯变换
如何理解拉普拉斯变换拉普拉斯变换诞生于19世纪初期，是一种非常重要的数学工具，常常应用于求解微分方程和控制理论中。
理解拉普拉斯变换是掌握应用该变换的重要前提，本文将分步骤介绍如何理解拉普拉斯变换。
1. 了解“变换”和“函数”首先，我们需要明确一个概念，那就是“变换”和“函数”。
变换是数学上对数值进行操作的过程，而函数则是数值之间的映射关系。
如果我们使用一种特定的方法（即变换）操作某些函数，那么我们可能会得到新的函数，这时我们就需要理解这个方法的内涵和外延。
2. 了解拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t)转化为另一个函数F(s)的方法，其中s是复数。
它的定义式为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt这里的∫表示积分，e^(-st)是指数函数的反函数，s是一个复数，它的实部和虚部的值分别对应着变换后函数的振幅和相位。
3. 了解拉普拉斯变换的性质为了更好地理解拉普拉斯变换，我们需要知道它具有哪些性质，这些性质能够帮助我们更加方便地应用该变换。
（1）线性性质：如果f(t)和g(t)分别对应着F(s)和G(s)，那么它们的加权和af(t)+bg(t)将对应着aF(s)+bG(s)，其中a和b是常数。
（2）时移性质：如果f(t)对应着F(s)，那么f(t-a)将对应着e^(-as)F(s)。
换句话说，把f(t)向右移动a个单位的过程相当于在F(s)上进行缩放，缩放因子为e^(-as)。
（3）频移性质：和时移类似，将f(t)中的t替换为t-a后对应的F(s)可以看作是对F(s)进行伸缩，伸缩因子为e^(as)。
（4）初始值定理：如果在t=0时，f(t)和f'(t)均有限，那么F(s)的值等于f(0)。
（5）终值定理：如果f(t)在t趋近于正无穷时趋于0，那么F(s)的值等于f(t)在无穷大时的极限值。
4. 例子这里给出一个简单例子，通过该例子加深对拉普拉斯变换的理解。
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[e a t ]
s [cos a t ] 2 ; 2 s a a [sin a t ] 2 . 2 s a
1 ; sa
(1) L(3t 2 2sin 5t 6cos3t 4e2t ) (2) L(4t 3 3sin 4t 5cos 2t 6e2t ) (3) L(3t 2sin t 7 cos 4t 5et 的存在域一般是一个右半平面 Re s c , 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 f (t ) 等价于函数 f ( t ) u( t ) . 比如
1 ( 2 [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 s ( ) 2 . 2 2 s ja s ja s a
10
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a a m! Γ ( m 1) 拉 m (6) [ sin a t ] 2 . (3) [ t ] m 1 ; 2 m 1 斯 s a s s 变 jat s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (6) [ sin a t ] ( 0 e e dt 0 e 2j
即当t+时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数 函数， 0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉 斯变换 st F (s) f (t )e dt
在半平面Re(s)> 0上存在.
0
5
§9.1 Laplace变换的概念
第 1 1 st s t , 九 练习1 [1] 0 1 e dt s e s 0 章 P214
(Re s 0) (Re s 0) (Re s 0)
拉 普 拉 斯 变 换
例 9.1
[u(t )]
0
u( t ) e
s t
dt 0 1 e
s t
1 dt , s 1 dt , s
[sgn t ]
P215 [e ] 例 9.2 P216 例9.3
解：当Re(s)>0时， 用分部积分法，得
[tn](s)=
n st t e dt 0
t st t e dt e s 0
n st
n n 1 st n t e dt s 0 s 0 n n 所以有 L [t ]( s ) L [t n 1 ](s ) s 1 当n=1时，有[t](s)= s 2 2 2 当n=2时，有 [t ](s)= 3 s
12
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
课后练习 P235：习题九 2（1）（2）（5）（6）(可用上面的公式计算).
13
13
§9.1 Laplace变换的概念 第 附：人物介绍 —— 拉普拉斯 九 章 拉普拉斯 拉 普 拉 斯 变 换 Laplace，Pierre-Simon (1749～1827)
f(t)= -1 [F](t).
2
第 例 1 求阶跃函数 u ( t )= 九 章 解：当Re(s)>0时， 拉 普 拉 斯 变 换
0
1, 0,
st
t 0; 的拉普拉斯变换. t 0
[u](s)= f (t )e dt
e
st
s
0
1 s
例2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数.
(G 函数简介)
m 1 m s t m m 1 s t t e dt t e 0 0 s s s
[ t m 1 ]
m ( m 1) s2
[t
m2
m! ] m s
m! [ 1 ] m 1 . s
9
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 1 (4) [ e a t ] 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; ; sa s s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) [ cos a t ] 2 ; 2 普 s a m! Γ ( m 1) 拉 (3) [ t m ] m 1 ; m 1 斯 s s 变 ja t s t 1 jat s t 换 e dt ) 解 (5) [ cos a t ] ( 0 e e dt 0 e 2
at
0
sgn t e
s t
dt 0 1 e
s t
a t s t e e 0
1 1 (a s )t , (Re s Re a ) e dt sa as 0
要点 进行积分时，确定 s 的取值范围，保证积分存在。 6
§9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
0
f (t )e st dt
在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的 函数记为
F (s) L [ f ](s )
0
f (t )e st dt .
称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉 普拉斯变换(或称为象函数). 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的 拉普拉斯逆变换(或称为原象函数)，记作
解： 当Re(s)>Re(a)时，
at st
1 ( s a ) 1 e [f](s)= e e dt sa sa 0 0 1 at 即 [e u(t)](s)= , Re(s)>Re(a) sa
3
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
例3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中 n是正整数.
e st
0
1.
8
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 m! Γ ( m 1) 拉 (3) [ t m ] m 1 ; m 1 斯 s s 变 m s t 1 m s t 换 m t de 解 (3) [ t ] 0 t e d t s 0
法国数学家、天文学家
天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一。 分析概率论的创始人，应用数学的先躯。
因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿
和天体力学之父。 14
§9.1 Laplace变换的概念 第 附：人物介绍 —— 拉普拉斯 九 1749 年 3 月 23 日，生于法国卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日。 章 拉 普 拉 斯 变 换
1
[ 1 ] 1. s
7
§9.1 Laplace变换的概念 第 四、几个常用函数的 Laplace 变换 九 1 章 (1) [1] = [ u( t ) ] ; s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; 普 拉 斯 变 换 s t [ ( t ) ] ( t ) e dt (2) 解 0
1 ( 2j [ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 a ( ) 2 . 2 2 j s ja s ja s a
11
§9.1 Laplace变换的概念 第 4、常用 Laplace 变换公式： 九 1 章 (1) [1]= [u( t ) ] ; (4) s 拉 (2) [ ( t ) ] 1; (5) 普 m! Γ ( m 1) 拉 (6) ; (3) [t m ] m 1 m 1 斯 s s 变 换 练习 求拉普拉斯变换：
n
n 1 st t e dt 0
[tn](s)=
n! s n 1
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第 九 章 普 拉 斯 变 换
定理1（存在性定理）：若函数f(t)满足下列条件： (1) 在t0的任意有限区间上分段连续； (2) 存在常数 M >0 与 0 ，使得 0 拉 t
f (t ) Me 0 , t 0
(返回)
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1795 年任巴黎综合工科学校教授。
1816 年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长。 1827 年 3 月 5 日，卒于巴黎。 曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长。 发表的天文学、数学和物理学的论文有 270 多篇。 专著合计有 4000 多页。其中最有代表性的专著有： 《天体力学》 、 《宇宙体系论》 和 《概率分析理论》 。
第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
第九章 Laplace 变换
§9.1 Laplace 变换的概念 §9.2 Laplace 变换的性质 §9.3 Laplace 逆变换 §9.4 Laplace 变换的应用
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第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.1 拉普拉斯变换定义
定义8.1 设函数f(t)当t 0时有定义，而且积分