傅里叶级数收敛定理及其推论

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傅里叶级数是级数理论的重要内容，傅里叶级数 收敛定理是傅里叶级数的一个基本定理．傅里叶分析 的主体研究部分是对三角级数的研究．而在自然界中， 许多现象都具有周期性．如：机械运动、天体运动、 交流电变化等等．因此，傅里叶级数理论在数学物理 以及工程中都具有重要的应用，而且它也是学习调和 分析、小波分析等课程的理论基础．
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讨论了傅里叶级数收敛定理的条件，将傅 里叶级数收敛定理的条件中的“f ( x)在[−π , π ]上 按段光滑”减弱为“函数f ( x)在[−π , π ]上可积， 并且它每一点x ∈[−π , π ]处的广义左、右导数 皆存在”，得到了傅里叶级数收敛定理的推 广形式.
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1 例1 求∑(−1) . 3 (2n −1) n=1
例2 设 f ( x )为[ −π , π ]上可积函数.证明： 若 f ( x )的傅里叶级数在[ −π , π ]上一致收敛于 f ( x )，则成立帕赛瓦尔（parseval）等式： a0 2 ∞ f 2 ( x ) dx = + ∑ ( an 2 + bn 2 ) π ∫− π 2 n =1 这里 an , bn为 f ( x )的傅里叶系数. 1
π
∞
n−1
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傅里叶级数收敛定理及其推论
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论文选题背景Biblioteka Baidu
十九世纪初，法国数学家傅里叶开创了“傅里 叶分析”这一重要分支，而傅里叶级数是在研究偏 微分方程的边值问题提出来的．在傅里叶分析的发 展史上，一开始就对傅里叶收敛问题有极大的争 议．而对此问题，在国际上先后有杜布瓦—雷蒙、 费耶尔等人做出了巨大的贡献.
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1 引言 2 预备知识 3 傅里叶级数收敛定理及其推论 4 傅里叶级数收敛定理的应用 结束语 致谢
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结合数学分析教材以及参考资料，对傅里叶级 数收敛定理及其推论和应用进行了系统地归纳、总 结．首先，介绍了傅里叶级数，广义左导数、广义 右导数的定义，接着给出了傅里叶级数收敛定理， 并利用贝塞耳不等式和黎曼-勒贝格定理证明了傅 里叶级数收敛定理．