数列求和题的解法探究

一道数列求和题的解法探究

数列是高中数学的重要内容,在高考中每年必考,有基础题,中档题,也有压轴题.其归纳起来主要考查数列的通项及求和两大类问题.其中数列求和题涉及到数学上诸多思想及方法.本文就一道数列求和题的解法进行探究，以供参考。

问题:设n S =()()12197531--++-+-+-n n

,则n S 等于( ) A . n ± B . ()n n 1- C . ()n n 11+- D . n 2

方法一:

分析:由于是一道选择题,所以可巧用 “赋值法”.

可令n =1,由题设得到1S =1-.再考虑答案支选出答案B .

方法二:

分析:通过观察可发现此数列具有正负相间,且正数项和负数项分别成等差数列这一特征.因此可以将正数项和负数项分别进行分组求和.但此数列有多少正数项和负数项呢?还要对项数n 的奇偶性进行讨论.

解：ⅰ:当项数n 为偶数时; 正数项和负数项各有2

n 项 ()[]32951-++++-=n S n +()[]121173-++++n

()22321n n -+-=()2

2123n

n -++

()()2121++--=n n n n n = ⅱ: 当项数n 为奇数时; 正数项有21-n 项,负数项有21+n 项 ()[]12951-++++-=n S n +()[]321173-++++n ()()()()n n n n n n n n n -=-++-=--+++-+-=212122

1

323221121所以

()()⎩⎨⎧-=为偶数

为奇数n n n n S n ,即n S =()n n 1-.故选B . 另解：ⅰ:当项数n 为偶数时; 正数项和负数项各有2

n 项 ()[]32951-++++-=n S n +()[]121173-++++n

()22321n

n -+-=()22123n n -++()()2

121++--=n n n n n = ⅱ:当项数n 为奇数时,1+n 为偶数

由11++-=n n n a S S =()()

()[]112111-+--++n n n n -= 所以()

()⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n 1-.故选B .

方法三：

分析：通过观察可发现此数列具有这样的特征，即第一项与第二项，第三项与第四项，第五项与第六项，……，第1-n 项与第n 项的和都等于2，共多少个2呢？还要对项数n 进行奇偶性讨论.

解：ⅰ:当项数n 为偶数时;共2

n 个2. n n S n =⋅=++++=2

22222 ⅱ:当项数n 为奇数时;

个

21

2222-++++=n n S +()[]12--n =n n 21212-+-⋅n -= 所以()()

⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n 1-.故选B .

方法四：

分析：由此数列的通项()()121--=n a n

n ；其是等差数列与等比数列的积这一类型的数列求和，故用错位相减法.

解：

由n S =()()121531--++-+-n n

()1 ()n S 1-= -+-531()()321--+n n +()()1211--+n n ()2

所以()()21-得：

()()()1212122221211---⋅-++-+-+-=+-n S n n n

n 个

当项数n 为偶数时

n S 2

个

1222221-++-+-+-=n ()12-+n =21+-()12-+n n 2= 所以n S n =. 同理：当项数n 为奇数时，n S n -=

所以()

()⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n

1-.故选B . 通过对以上问题几种方法的探讨，不难看出，实际上所有与项的序号的奇偶性有关的数列求和问题，通过认真审题，抓住数列的通项,灵活地运用分类讨论、转化和化归数学思想，就可将其变为熟悉的，简单的等差数列或等比数列来处理，辅助以适当的解题方法技巧，问题就会迎刃而解。