工程制图第四章常用曲线与曲面教材

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机械制图第四章常用曲线与曲面

面垂直线，这样在平行于轴线的投影面
上的投影，即为左右、前后中上下极限位置素线的投影；在垂直于轴线投影面上的投影为一个或多个同心圆，其中最大的一个圆叫赤道圆，最小的一个圆叫
喉圆。
三、回转面上的点
作辅助线求回转面上的点。
a '•
(a1 ')
•
a''
a1 ' '
§4-4 螺旋线与螺旋面
一、螺旋线螺旋线是空间曲线。以圆柱为导面时形成圆柱螺旋线，以圆锥面或圆弧面为导面时形成圆锥螺旋线或圆弧面螺线。
2、圆的投影一般为椭圆。当圆所在的平面为投影面平行面时，它在该投影面的投影仍为圆。
O'
X
O
另外的投影为平行投影轴的直线，长度等于圆的直径。
当圆垂直投影面时，它在该面的投影为倾斜于投影轴的直线，长度等于圆的直径。另外的投影为椭圆，椭圆由它的长短轴决定，长轴是投影面垂直线，短轴是投影面平行线，均过圆心。
时，对于某一投影来说，圆上只有一对相互垂直的直径投射后为椭圆的一对相互垂直的共轭直径：长、短轴。
长轴平行投影面，反映实长（等于圆的直径），短轴与长轴垂直（为最大斜度线），实长等于圆的直径，投影长由作图来决定。
D
P
c
b
5、椭圆的投影一般还是椭圆，空间椭圆的长短轴在投射后一般为投影椭圆的一对共轭轴。
O'
X
O
处于特殊位置时圆的投影与作图方法 c 1 a o d
铅垂面上圆的 b 投影可以利用换面法求出圆实形。
2
X
Dcosβ1 a
β1
cd a1 o1 c1 源自11bd121
b1

机械制图电子教案-04第四章+曲线与曲面

第四章曲线与曲面§4.1 曲线的基本概念§4.2 空间曲线§4.3 曲面的形成与分类§4.4 直线面§4.5 曲线面§4.1 曲线的基本概念一、曲线的形成和分类曲线可分为两类：若曲线上所有的点都在同一平面内称为平面曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

若曲线上任意四个连续点不在同一平面内称为空间曲线，如螺旋线等。

曲线可看作是点在连续运动时描绘的轨迹，也可以看作是平面与曲面或两曲面相交形成。

二、平面曲线投影的一般性质（1）平面曲线的投影在一般情况下仍为平面曲线，平面曲线上点的投影必定在平面曲线的同面投影上。

（2）平面曲线所在平面垂直投影面时,曲线在该投影面上的投影为一直线。

（3）平面曲线所在平面平行投影时，曲线在该投影面上的投影反映实形。

三、圆的投影1.铅垂面上圆的投影圆所在的平面为一铅垂面，因此圆的水平投影重影为一直线，长度即为圆的直经D；它的正面投影为一椭圆，其长轴为圆的铅垂直经CD的投影c′d′，长度即为圆的直经D；短轴为圆的水平直经AB的投影a′b′，长度等于ABcosβ=Dcosβ，作图时短轴长度可根据投影关系作出。

求出椭圆长短轴后，即可作出椭圆。

2.处于一般位置时圆的投影作图方法一：用换面法作图已知圆的直径为D，圆心O在平面MNKL上，先作圆的水平投影，则保留四边形水平投影，将正面投影变换成垂直面，即以V1代替V面，则在V1/H体系中圆处于垂直面，可根据圆在垂直面上的作图方法作出其投影。

圆的正面投影也可类似的作出。

方法二：最大斜度线法投影面上椭圆的长轴位于过圆心O 的与该投影面平行的直线投影上。

水平投影中椭圆的长轴位于水平线AB 的水平投影ab 上，正面投影中椭圆的长轴位于正平线EF 的正面投影e ′f ′上，长轴的大小等于圆的直经，可直接作出。

投影面上椭圆的短轴位于过圆心O 的该投影面的最大斜度线的投影上，过O 点的对H 面的最大斜度线为CD ，由于CD⊥AB，它们的水平投影互相垂直，即cd⊥ab。

第4章曲线和曲面优秀课件

C0连续的线性插值
C2连续的样条插值
• 光顺光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：
（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。
第二节Hermite多项式
已知函数f(t)在k+1个点{ti}处的函数值和导数值{f (j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1，要求确定一个N = m0 + m1 + … + mk - 1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：
Q1(0)
Q1(1) Q2(0)
Q2(1)
（3）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G1连续性
Q1(0)
Q1(1) Q2(0)
Q2(1)
•曲线段间C1、C2和G1、G2连续性定义（4）Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0和C1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C2连续性
在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个
参数t的一个函数式，则曲线上每
一点笛卡尔坐标参数式是：
，， xx(t) y y(t) z z(t)
把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：
P (t) [x (t) y (t) z(t)]
关于参数t的切矢量或导函数是： P '( t ) [ x '( t )y '( t )z '( t ) ]
g 2 (t)
(t t0 )(t t1 ) (t2 t0 )(t2 t1 )

工程制图第六讲

不规则曲线—任意平面的曲线
曲线规则曲线—螺旋线
空间曲线
不规则曲线—任意空间的曲线
平面曲线
§4-2 平面曲线
平面曲线——曲线上所有的点都位于同一平面内。（一）平面曲线的投影特性（4点） 1、平面曲线的投影一般仍为平面曲线，当其所在平面平行于投影面时，则在投影面上面时，则在投影面上
4-2
四心扁圆法
C、四心扁圆法（已知长、短轴AB、CD）
步骤： 1、作互相垂直的两直线，取长短轴。 2、以O为圆心，OA为半径作圆交DC于E。３、以C为圆心，CE为半径作圆交AC于F。４、求AF的中点P，过P作AF的垂线交 AB， CD于O1，O2，对称求O3，O4。 5、以O2、O4为圆心，CO2为半径画大圆弧。 6、以O1、O3为圆心，AO1为半径画小圆弧。
圆柱螺旋线
（二）圆柱螺旋线
1、形成一动点在正圆柱表面上绕其轴线作等速回转运动，同时沿圆柱的轴线方向作等速直线运动，则动点在圆柱表面上的轨迹称为圆柱螺旋线。 2、术语 (a) 导圆柱面轴线直径线数—n
(b)旋向（右旋：可见部分自左向右升高。左旋：可见部分自右向左升高）
(c) 导程—S 螺距—t S=nt 螺旋角升角
三、分类曲面可根据其母线是直线还是曲线而分为直线面和曲线面。曲面可以由直线也可由曲线形成的，仍为直线面。掌握（圆）柱，（圆）锥，一般回转面。
常见曲面
§4-5常见曲面
一、柱面 1、柱面的形成——直母线沿曲导线运动，且始终平行于直导线而形成的曲面。 2、柱面的画法：画出导线MN、曲导线A1B1的投影，轮廓线AB、AA1、BB1，还有转向轮廓线CC1的投影。
反之
面可见——线可见——点可见面不可见——线不可见——点不可见

建筑工程制图第4章曲线与曲面立体的投影

两圆柱位置不同时相贯线的变化趋势
(a)
(b)
(c)
(d)
4.5 旋转楼梯
平螺旋面
螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
1．平螺旋面
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
4.5 旋转楼梯
Thanks
5 3
4.3 平面与曲面立体截交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。Fra bibliotek● ●
e′
●
c d′
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●
a′
b′
截交线的空间 E 形状？截交线 D C 的投影特性？ A
B
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●
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●
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4.3 平面与曲面立体截交
例4:圆锥被正平面截切，补全主视图。
● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线的空间 E 形状？截交线 D C 的投影特性？ A
底圆母线素线顶圆轴线
4.2 曲面立体及其表面上的点
例1：绘制圆柱的三视图。 O A
O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
例2：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
1′

4″
1″

3

(2)

2″

3
利用投影的
积聚性 O A
2 1

4

3
O1 A1
相贯线相贯线

工程制图第四章4-1

第四章回转体及其投影曲面体的表面由曲面或曲面与平面构成，最常见的曲面体是回转体。

本章主要讨论曲面体的构成要素曲线、曲面的投影特征；回转体的投影；平面与回转体相交、回转面与回转面相交，交线的投影。

§4-1 曲线、曲面的投影曲线、曲面和直线、平面一样都是构成立体表面形状及其轮廓线的几何元素。

掌握曲线、曲面的投影特征，有利于学习曲面立体的投影作图，本节将概括介绍曲线、曲面的形成、分类及常见曲线、曲面的投影特征。

一、曲线1.曲线的基本知识（1）曲线的形成工程上常用的曲线都具有一定规律，称为规律曲线。

规律曲线的形成通常有下列三种形式：图4-1 曲线的形成1) 动点的运动轨迹L（图4-1a），即动点A在运动方向连续改变下所形成的轨迹。

2) 两面的交线L，平面与曲面或者曲面与曲面的交线（图4-1b）。

3) 直线族或曲线族的包络线L，即与直线族中每一条直线都相切的曲线L，或与圆族中每一个圆都相切的曲线L（图4-1c）。

（2）曲线的分类平面曲线曲线上所有的点都在同一平面内，如圆、椭圆、双曲线等。

空间曲线曲线上任意连续的四点不在同一平面内。

如圆柱螺旋线等。

（3）曲线的投影特征1) 曲线的投影一般仍为曲线，平面曲线在特殊情况下（平面曲线所在平面垂直于投影面时）可投影为直线（图4-2a）。

2）点在曲线上，点的各面投影均在曲线的同面投影上。

因此，取曲线上若干个点，求出这些点的投影，并依次光滑地连接这些点的同面投影，就可得曲线的投影。

这是作曲线投影的基本方法（图4-2a）。

3) 曲线上某点的切线的投影，一般情况下，该切线的投影也过切点与曲线的投影相切（图4-2b）。

但当曲线的切线垂直于投影面时，切线在该投影面上的投影积聚为一点，曲线的该面投影则在该点形成一个尖的回折点（图4-2c）。

根据曲线的这些投影特性，可以作出曲线的投影和检查曲线投影的正确性。

图4-2 曲线的投影特征2.常见平面曲线（圆）的投影圆是最常见的一种规律曲线，下面介绍特殊位置平面内的圆的投影。

工程制图第4章基本立体及其表面交线讲课版PPT课件

的半个母线圆形成的环面称内环面，远离轴线的半个母线圆形成的环面称外环面。
4.２立体表面的取点
一、立体表面取点的方法步骤
1、根据已知立体表面上点的一个投影及其可见性，判断该点在立体上的位置；
2、求第二个投影。根据立体的投影情况有两种求法： ①积聚性法：如果立体在某个投影图中的投影有积聚性，
可直接在其有积聚性的投影图中得到点的第二个投影。 ②辅助线法：如果立体在各投影图中的投影都没有积聚性，
4.1 基本体的三视图
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
构形
一、画基本体三视图的方法和步骤
• 立体是具有三维坐标的实心体，不存在其它轮廓线，不研究内部。研究立体的投影是研究立体表面的投影。
• 立体是有具体形状和尺寸大小的形体。画三视图时，主要用长、宽、高方向的相对坐标，与投影轴无关，从这里开始不再画出投影轴。
别为圆锥面不同方向的两
a
●s
பைடு நூலகம்
c
条转向轮廓线的投影。
b
3.圆球
O
⑴ 圆球体的形成
⑵ 球圆体球的的表三面视是图球面。
⑶ 其轮中廓：线球的面投是影圆与母曲线以它的
直径为面轴可旋见转性而的成判。断
a′
c″
O1
c′
a″
b′
b c
a
b″
圆们(视(视的图影性(对它３开４１２2球分13三图图)Ｈ上对的Ｗ左Ｖ前分的))始的别—轮最面边—个称参析判画布画大的的画—廓直是—中考画与断视出图的转点出圆线圆三心基出曲径圆图球:水向可正侧球；素；线准球选面视相球体平轮见分体线作；体三的图圆廓。的等三别的为的个可Ｂ线ＡＣ左！的个俯投为画主圆见为，圆方三，向个它转和

第四章曲线与曲面

圆柱表面取点
c' a'
素线法
(c") a"
(b' )
b"
b
a
c
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
1
a
2.圆锥面
土木工程制图
圆锥由圆锥面和底面组成。圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA 称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
4.3 回转面
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生
成的称为旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线素线下底圆
纬圆
赤道圆
土木工程制图
b) 投影图
一、圆柱面
(b) 投影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上线段的投影
a' c' e' e" c"
d'
d"
b'
c d b
e
a
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以它的直径为回转轴旋转而成。
土木工程制图

工学画法几何及土木工程制图曲线和曲面

§6-3 直纹面
四、双曲抛物面
第29页/共51页
§6-3 直纹面
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。
水渠边坡渐变段
道路边坡过渡段
第30页/共51页
§6-3 直纹面
对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、BC为交叉直导线，以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。
第17页/共51页
§6-2 曲面概述
二、曲面的投影
外形轮廓线外形线
第18页/共51页
§6-2 曲面概述
第19页/共51页
§6-2 曲面概述
三、曲面上点的投影
素线法纬圆法
素线法动画
纬圆法动画
第20页/共51页
解：2r
（点击鼠标看过程）
第10页/共51页
§6-1 曲线
其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径1’2’、3’4’。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点5’、6’、7’、8’，用八点法画出正面投影椭圆。
第11页/共51页
§6-1 曲线
第34页/共51页
§6-3 直纹面
七、旋转单叶双曲面
OO旋转单叶双曲面OO旋转轴
第35页/共51页
§6-3 直纹面
第36页/共51页
§6-3 直纹面
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。

《曲面与曲线》课件

曲面与曲线在数学中有着悠久的历史，它们是几何学的重要研究对象。随着数学理论的发展，曲面与曲线的性质和形态不断被深入研究和探索。
近年来，数学家们利用现代数学工具，如微分几何、拓扑学等，对曲面与曲线进行了更深入的研究，发现了许多新的性质和定理。这些研究成果不仅丰富了数学理论，也为其
他学科提供了重要的数学工具。
曲面在建筑设计中的应用广泛，如桥梁、建筑立面、屋顶等。曲面设计能够带来流畅、自然的视觉效果，增强建筑的
现代感和艺术感。
曲面可以有效地解决建筑结构问题，如受力、稳定性等。通过合理的曲面设计，可以优化建筑结构，提高建筑的稳定
性和安全性。
曲面设计能够创造出独特的空间效果，如流动的空间、丰富的光影效果等。曲面设计能够打破传统建筑的沉闷感，为人们提供更加舒适、愉悦的居住和工作
曲线的定义与分类
总结词
描述曲线的定义，并按照不同的标准对其进行分类。
详细描述
曲线是二维空间中连续变化的点的集合，它可以由二维坐标系中的一个变量确定。根据不同的标准，曲线可以分为多种类型，如直线、圆、抛物线等。
曲面与曲线的几何特性
总结词
描述曲面和曲线的几何特性，包括形状、方向、弯曲程度等。
详细描述
曲面和曲线的几何特性包括它们的形状、方向和弯曲程度等。例如，球面的几何特性是中心对称，其表面上的点都与球心保持相同的距离；而直线的几何特性是无限长且没有弯曲。
Part
02
曲面与曲线的数学表达
曲面的参数方程
曲面的参数方程定义
参数方程的应用
曲面由参数方程表示，通常包含三个参数变量，如x(u,v)、y(u,v)和z(u,v) ，其中u和v是参数。
曲面与曲线的计算机渲染

最新04-画法几何及工程制图-第4章-常用曲线与曲面东华大学第六版精品课件

2021/11/9
东华大学第机十械九页(，jī共x2i7è页)工。程学院
19
§4.4 螺旋线与螺旋面-正螺旋面-正螺旋面的表示法
O a12
S
2021/11/9
a1 a2
a0
L O
O a0
a6
表达(biǎodá)正螺旋面通常要画出曲导线（螺旋线）、直导线（轴线）及若干直素线。
a6
a1
a2
东华大学第机二械十页(，jī共x2i7è页)工。程学院
2021/11/9
东华大学第机二十械二页(j，īx共i2è7)页工。程学院
22
§4.4 螺旋线与螺旋面-斜螺旋面-斜螺旋面的形成(xíngchéng)
一直母线沿着曲导线为圆柱螺旋线及直导线为圆柱轴线运动，且始终与轴线成相同夹角(jiā jiǎo)而形成的曲面称为斜螺旋面。
2021/11/9
东华大学第机二十械三页(j，īx共i2è7)页工。程学院
当圆处于一般位置(wèi zhi)时，则在各投影面上的投影均为椭圆。可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。
2021/11/9
最大斜度(xiédù)线法
东华大学第五机页，械共2工7页程。学院
5
§4.1 圆的投影-处于一般位置(wèi zhi)时圆的投影与作图方法-变换投影面法
特别(tèbié)注意：水平投影的短轴gh和正投影的短轴g h 并不一一对应。
一直母线(mǔxiàn)沿着一曲导线运动且始终平行于直导线而形成的曲面称为柱面。
导线
A
曲导线
Ⅰ
母线
B
Ⅱ
柱面的形成 (xíngchéng)
2021/11/9
东华大学第九机页，械共2工7页程。学院