高考理科数学总复习教学案数列

解析： 设等差数列 { an} 的公差为 d，
a2＝－ 3，
a1＋d＝－ 3，
∵
即
S5＝－ 10， 5a1＋10d＝－ 10，
a1＝－ 4，
∴可得
∴ a5＝ a1＋4d＝0.
d＝ 1，
n ∵ Sn＝ na1＋
n－ 1 2
d＝
1 2(
n2－9n)，∴当
n＝4 或
n＝ 5
时， Sn 取得
最小值，最小值为－ 10.
差为 md 的等差数列．
(6)若 { an} 是等差数列，则
Sn n
也成等差数列，其首项与
{ an} 首项
1 相同，公差是 { an} 公差的 2.
(7)若 { an} 是等差数列， Sm，S2m，S3m 分别为 { an} 的前 m 项，前 2m
项，前 3m 项的和，则 Sm， S2m－ Sm，S3m－ S2m 成等差数列．
(8)S2n－ 1＝ (2n－1) ·an.
(9)两个等差数列 { an} ， { bn} 的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为 abnn＝
S2n－ 1
T2
n－
.
1
6． 等比数列的相关公式 (1)通项公式
通项公式
an＝ a1qn－ 1 (揭示首末两项的关系 )
通项公式的推广 an＝amqn－m
(揭示任意两项之间的关 系)
)
A ．11
B．10
C．6
D．5
解析： 由 am－1－ a2m＋ am＋1＝1 可得 2am－ a2m＝ 1，即 am2 － 2am＋1＝
a1＋a2m－ 1 2m－ 1
0，解得 am＝ 1，由 S2m－1＝
2
＝ am×(2m－1)＝11，可
得 2m－1＝11，得 m＝6，选 C.
答案： C
6． [2019 惠·州调研 ] 已知各项均为正数的等比数列 { an} 中， a1＝
或
q＝－
1 2(舍去
)，所以
an＝2n－ 1，
∴ Sn＝ a1＋a2＋… ＋an＝1＋2＋ …＋ 2n－ 1＝ 2n－ 1.
优解：当 n＝1 时，21－1－1＝0≠ a1,212≠a1，排除 B，D；若 Sn
＝ 2n－1，则 S2＝ 22－ 1＝ 2，得到 a2＝ 2－1＝ 1，这时 a1＝ a2＝ a3＝ a4＝a5
1,2a3， a5,3a4 成等差数列，则数列 { an} 的前 n 项和 Sn＝( )
A ． 2n－ 1
B．2n－1－ 1
C． 2n－1
D． 2n
解析： 通解：设 { an} 的公比为 q(q>0) ，由题意知 2a5＝2a3＋3a4，
∴ 2a3q2＝ 2a3＋3a3q，∴ 2q2＝ 2＋ 3q，∴ q＝ 2
第 5 讲 数列 调研一 等差数列与等比数列 ■备考工具 —————————————— 1． an 与 Sn 的关系 若数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则 S1 n＝1 ， an＝ Sn－ Sn－ 1 n≥ 2 . 2．已知 Sn 求 an 时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用， 分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论， 特别注意 an＝ Sn－Sn－1 中需 n≥ 2. (2)由 Sn－ Sn－1＝ an 推得 an，当 n＝1 时， a1 也适合“ an 式”，则 需统一“合写”． (3)由 Sn－ Sn－1＝ an 推得 an，当 n＝1 时， a1 不适合“ an 式”，则
答案： 0 －10 10．[2019 全·国卷Ⅰ ]记 Sn 为等比数列 { an} 的前 n 项和．若 a1＝13，
a24＝a6，则 S5＝ __________.
解析：通解：设等比数列 { an} 的公比为 q，因为 a42＝a6，所以 (a1q3)2
＝ a1q5，所以
a1q＝1，又
a1＝13，所以
1 1－ 8
7 ＝ (－ 8)× 8＝－
7. 若
a5＝－ 2 a8＝ 4
，则 aa85＝ q3＝－ 2，所以 q6＝ (－ 2)2＝4，q9＝ (－2)3＝－ 8.由
a5＋a8＝ a1q4＋ a1q7＝ a1q(q3＋q6)＝ a1q(－ 2＋ 4)＝ 2，得 a1q＝ 1，故 a2 ＋ a11＝a1q(1＋ q9)＝a1q(1－ 8)＝ 1×(－7)＝－ 7.故选 D.
答案： A
2．[2019 全·国卷Ⅲ ]已知各项均为正数的等比数列 { an} 的前 4 项
和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )
A ．16
B．8
C．4
D．2
解析： 设等比数列 { an} 的公比为 q，由 a5＝ 3a3＋4a1 得 q4＝3q2＋
4，得 q2＝4，因为数列 { an} 的各项均为正数，所以 q＝2，又 a1＋a2 ＋ a3＋ a4＝a1(1＋q＋ q2＋ q3)＝ a1(1＋ 2＋4＋ 8)＝15，所以 a1＝1，所以 a3＝a1q2＝4.
S4＝ 0， 解法二：设等差数列 { an} 的公差为 d，∵ a5＝0，
4× 3 ∴ 4a1＋ 2 d＝0，
a1＋4d＝5，
a1＝－ 3，
解得
选项 A，a1＝2×1－5＝
d＝ 2.
－3；选项 B，a1＝3×1－10＝－ 7，排除 B；选项 C，S1＝2－8＝－ 6， 排除 C；选项 D，S1＝12－2＝－ 32，排除 D.故选 A.
A ．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C． Sn＝ 2n2－8n
D． Sn＝12n2－ 2n
解析： 解法一：设等差数列 { an} 的公差为 d，
S4＝0， ∵
∴
4×3 4a1＋ 2 d＝0，
a5＝ 5，
a1＋4d＝5，
a1＝－ 3， 解得
d＝ 2，
n n－1 ∴ an＝a1＋(n－1)d＝－ 3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋ 2 d＝ n2－4n.故选 A.
答案： D
4．[2019 福·州质检 ]等比数列 { an} 的各项均为正实数，其前
和为 Sn.若 a3＝4，a2a6＝64，则 S5＝ ( )
A ．32
B．31
n项
C． 64
D． 63
解析： 通解：设首项为 a1，公比为 q，因为 an>0，所以 q>0，由
a1·q2＝4
a1＝ 1，
条件得 a1q·a1q5＝ 64 ，解得 q＝2
，所以 S5＝31，故选 B.
优解：设首项为 a1，公比为 q，因为 an>0，所以 q>0，由 a2a6＝ a24＝64，a3＝ 4，得 q＝2， a1＝1，所以 S5＝ 31，故选 B.
答案： B
5．[2019 广·州综合测试一 ] 设 Sn 是等差数列 { an} 的前 n 项和，若
m 为大于 1 的正整数，且 am－1－a2m＋am＋1＝1，S2m－1＝ 11，则 m＝ (
或 a8＝－ 2
a5＝－ 2 a8＝ 4
a5＝4 .若
a8＝－ 2
，则 aa85＝ q3＝－ 12，所以
q6＝ －12 2＝ 14， q9＝
－12
3＝－
1 8.由
a5＋a8＝ a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝ a1q － 12＋14 ＝ 2，得
a1q＝－ 8，故
a2＋ a11＝ a1q(1＋ q9) ＝ a1q
(2)前 n 项和公式
a1 1－qn Sn＝ 1－q q≠1 ，
na1 q＝ 1
a1－ anq 或 Sn＝ 1－q q≠1 ，
na1 q＝ 1 .
7． 等比数列的性质
若 { an} 为等比数列，则
(1){ a2n} ，
1 an
，{ c·an}( c≠0)都是等比数列．
(2)各项及公比都不为 0.
8． 等比数列项的运算性质
＝ 1，不满足 2a3， a5,3a4 成等差数列，排除 C，选 A.
答案： A
7． [2019 福·建宁德模拟 ] 等差数列 { an} 中， a4＝9，a7＝15，则数 列{( －1)nan} 的前 20 项和等于 ( )
A ．－ 10
B．－ 20
C． 10
D． 20
解析： 设等差数列 { an} 的公差为 d，由 a4＝9，a7＝15，得 a1＋3d
若 m＋ n＝p＋q(m，n， p， q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq. (1)特别地，当 m＋ n＝2k(m， n， k∈N* )时， am·an＝a2k.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首
末两项的积，即 a1·an＝a2·an－ 1＝…＝ ak·an－ k＋ 1＝… .
9 a1＋a9 优解：设等差数列 { an} 的公差为 d.S9＝ 2 ＝9a5＝27，a5＝3，
8 a1＋a8 又 a2a5＋a8＝0，则 3(3－3d)＋3＋3d＝0，得 d＝2，则 S8＝ 2 ＝
4(a4＋a5)＝ 4(1＋3)＝16. 答案： 16
9．[2019 北·京卷 ] 设等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn.若 a2＝－ 3， S5＝－ 10，则 a5＝________，Sn 的最小值为 ________．
调研二 数列求和
■备考工具 ——————————————
1．求数列的前 n 项和的方法
(1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式
n Sn＝
a1＋an 2
n ＝ na1＋
n－ 1 2
d .
②等比数列的前 n 项和公式
a．当 q＝ 1 时， Sn＝ na1； a1 1－ qn a1－ anq
b．当 q≠1 时， Sn＝ 1－q ＝ 1－q .
答案： C
3．[2019 太·原一模 ] 已知等比数列 { an} 满足 a5＋a8＝2，a6·a7＝－ 8，
则 a2＋ a11＝(
)
A．5
B．－ 5
C．7
D．－ 7
解析： 设{ an} 的公比为 q，由等比数列的性质可得 a5·a8＝a6·a7＝
a5＝ 4
－ 8，所以 a5， a8 是方程
y2－ 2y－ 8＝0 的两根，得
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程 中消去中间项，只剩有限项再求和．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘 构成的数列求和．
(5)倒序相加： 把数列正着写和倒着写再相加， 例如等差数列前 n
项和公式的推导方法．
q＝3，所以
S5＝a1
1－q5 1－ q
＝
1 3×
1－35
1－3
＝
121 3.
优解：设等比数列 { an} 的公比为 q，因为 a42＝a6，所以 a2a6＝ a6，
所以
a2＝ 1，又
1 a1＝3，所以
q＝3，所以
S5＝
a1
1－ q5 1－ q
13× 1－35 ＝ 1－3
＝
121 3.
答案：
121 3
＝9，a1＋6d＝15，解得 a1＝3，d＝2，则 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，数
列{( －1)nan} 的前 20 项和为－ 3＋5－7＋9－11＋13－…－39＋41＝2
＋2＋…＋2＝ 2×10＝20.故选 D.
答案： D 8．[2019 江·苏卷 ]已知数列 { an}( n∈N*)是等差数列， Sn 是其前 n 项和．若 a2a5＋ a8＝ 0， S9＝27，则 S8 的值是 ________． 解析：通解：设等差数列 { an} 的公差为 d，则 a2a5＋ a8＝(a1＋ d)(a1 ＋ 4d)＋ a1＋7d＝a21＋ 4d2＋ 5a1d＋ a1＋ 7d＝ 0，S9＝ 9a1＋36d＝ 27，解得 a1＝－ 5，d＝2，则 S8＝8a1＋28d＝－ 40＋56＝16.
S1 n＝ 1 ， 数列的通项公式应分段表示 (“分写” )，即 an＝ Sn－Sn－1 n≥ 2 .
3． 递增数列： an＋1>an，递减数列： an＋ 1<an. 4．等差数列的通项公式及前 n 项和的公式 (1)an＝a1＋(n－1)d；
n n－1 d n a1＋ an (2)Sn＝ na1＋ 2 ＝ 2 . 5． 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若 { an} 是等差数列，且 k＋l ＝m＋n(k，l ，m，n∈N*)，则 ak ＋ al＝am＋an. (3)若{ an}是等差数列，公差为 d，则 { a2n} 也是等差数列，公差为 2d. (4)若{ an} ，{ bn} 是等差数列， 则{ pan＋qbn}( p，q∈N*)也是等差数 列． (5)若 { an} 是等差数列，则 ak，ak＋m，ak＋2m，… (k，m∈ N* )组成公
9．等比数列前 n 项和的性质
若 Sn 是等比数列的前 n 项和，则当 q≠－ 1 时， Sn， S2n－Sn，S3n
－ S2n，…成等比数列．
■自测自评 ——————————————
1．[2019 全·国卷Ⅰ ]记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和．已知 S4＝0，
a5＝5，则 ( )