分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质

1、分式函数的概念

形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221

x y x x +=+，

212x y x +=-，41

3

x y x +=+等。

2、分式复合函数

形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221

12x x

y +=-，sin 2

3sin 3x y x +=

-

，y =

等。

※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b

y ax ab x

=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21

1

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，

即函数211

x y x -=-的图像可以经由函数1

y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

12

111211

y y y x x x =

−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数21

1

x y x -=

-的图像，如下：

单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；

值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？

【小结】(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d

x x c ≠- ；

（2）值域：{|}a

y y c

≠；

（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d

c c

-∞--∞；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a

c c

-；

（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；

（6）图象：如图所示

问题2：(0)b

y ax ab x

=+

≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1

y x x

=+的图像，并结合函数图像指出函

数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1

y x x

=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-

函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x =

函数的图像如下：

x O

y

x

O y

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)b

y ax a b x

=+

>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；

（2）值域：{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b b

a a

-∞∞上是增函数， 在区间,0)b b

a a

上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；

（6

例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1

y x x

=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1

y x x

=-的图像 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以判断出1

y x x

=-

的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞x

O

y

y x =x

O

y

y x

=1y x

=

y ax

=b a

b a

-

2ab

2ab

-x

O

y

函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：

【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--

与1

y x x

=-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b

y ax a b R ab x

=+∈≠的图像呢？

函数1

y x =--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】()y x x x x =--

=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1

y x x =-的图像

与1

y x x

=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：

x

O y

x

O

y

y x

=1y x

=x

O

y

y x

=-x O

y

y x

=-1y x

=-