人教版九年级数学上典中点课后作业21.2.4公式法解方程(A)(含答案)
人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案
人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案一元二次方程的求根公式一元二次方程当时.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时原方程有两个不等的实数根；②当时原方程有两个相等的实数根；③当时原方程没有实数根.题型1：利用△判断根的情况1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】C【解析】【解答】解：∵a=1 b=-4 c=5∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0∴方程没有实数根.故答案为：C.【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.【解析】【解答】解：原方程中a=−3b=−4c=1∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−3)×1=28故答案为：28．【分析】利用根的判别式求解即可。
【变式1-2】下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣1＝0B．x2﹣x﹣3＝0C．x2﹣4x＋4＝0D．x2﹣x＋2＝0【答案】D【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0 ∴方程有两个不相等实数根故本选项不符合题意；B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项不符合题意；C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项符合题意；D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0 ∴方程没有实数根故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。
【变式1-3】判断关于x的方程(x−3)(x−2)=p2根的情况并说明理由.【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：方程整理为一般式得x2−5x+6−p2=0∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2)=25−24+4p2=4p2+1而4p2≥0∴1+4p2＞0 即Δ＞0∴方程有两个不相等的实数根.【解析】【分析】先将方程化为一般形式再求出判别式△的值根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0）”中△＞0时方程有两个不相等的实数根△=0时方程有两个相等的实数根△＜0时方程没有实数根据此判断即可.题型2：利用根的情况确定字母取值范围2.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根则k的取值范围是（）A．k≤1B．k<1C．k≥−1D．k>−1【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根所以△=b-4ac>0 把a、b、c代入求出k的值。
21.2.2公式法九年级数学人教版(上册)(解析版)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二十一章 一元二次方程21.2.2 公式法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号【答案】B【解析】∵D =（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程22530x x -+=有两个不相等的实数根．故选B ．2．方程(x －5)(x ＋2)＝1的解为A ．5B ．－2C ．5和－2D ．以上结论都不对【答案】D【名师点睛】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，注意只有当D ≥0时，.3．用公式法解方程4y 2=12y +3，得到A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =【答案】D 【解析】4y 2=12y +3，4y 2−12y −3=0，a =4，b =−12，c =−3，b2−4ac=(−12)2−4×4×(−3)=192>0，y=，故选D．4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为A．B．C．2或3 D．或【答案】A【解析】∵方程有两个相等的实根，∴D=k2−4×2×3=k2−24=0，解得：k=．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当D=0时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的关键．5．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是A．B．C．且D．且【答案】D【名师点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.6．关于的一元二次方程的根的情况是A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【答案】A【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式D=b2−4ac ．当D＞0时，方程有两个不相等的实数根；当D=0时，方程有两个相等的实数根；当D＜0时，方程没有实数根．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．方程x2﹣4x﹣3=0的解为__________．【答案】【解析】故答案为：【名师点睛】考查一元二次方程的解法，常用的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.根据题目选择合适的方法.8．关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x +2=0有实根，则m 的最大整数解是__________．【答案】m =4．【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：（1）D ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）D =0，方程有两个相等的实数根；（3）D ＜0方程没有实数根．9．若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是__________．【答案】4【解析】∵关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，∴D =42﹣4a =16﹣4a =0，解得：a =4．故答案为4．10．已知关于x 的一元二次方程有两个相等实数根，则m 的值为______．【答案】0【解析】∵关于x 的一元二次方程（m −1）x 2−（2m −2）x −1=0有两个相等的实数根，∴D =（2m −2）2+4（m −1）=0，且m −1≠0，∴110m -+=，m ≠1.解得，m =0．故答案是0．【名师点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：（1）D ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）D =0⇔方程有两个相等的实数根；（3）D ＜0⇔方程没有实数根．11．已知方程组有两组不相等的实数解，则的取值范围是_________．【答案】且【解析】,把方程组有两组不相等的实数解故答案为：且.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解方程：【答案】=4=144．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】时，方程有两个不相等的实数根．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程+x﹣，+x（）2=﹣+（）+）=，+=（=，公式是x=；故答案为：四；x=；（2）x2﹣2x=24，配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得：x﹣1=±5，解得：x1=6，x2=﹣4．【名师点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.。
人教版九年级数学上册 21.2.4 课后作业：方案(A)部分
21.2.4 公式法——公式法解方程课后作业：方案（A ）一、教材题目：P12 T1（3）（4）（5）、 T ２，Ｐ17 T5、T8、T91. 解下列方程：(3)3x 2－6x －2＝0；(4)4x 2－6x ＝0；(5)x 2＋4x ＋8＝4x ＋11；2．求第21.1节中问题1的答案．5．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0；(2)x 2－2x －14＝0；(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11；(4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0；(6)x 2＋25x ＋10＝0.8．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm ，面积是7 cm 2.求斜边的长．9． 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？二、补充题目：部分题目来源于《典中点》7．已知a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根中较小的根．(1)求a 2－4a ＋2 016的值；(2)化简求值1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a－1a .8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点B 开始沿AB 边向点A 以1 cm /s 的速度移动．点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动．如果P ，Q 分别从点B 同时出发，问几秒钟时△DPQ 的面积等于12 cm 2?(第8题)答案一、 教材1.解：(3)a ＝3，b ＝－6，c ＝－2.Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0.方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±602×3. 即x 1＝3＋153，x 2＝3－153.(4)a ＝4，b ＝－6，c ＝0.Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×4×0＝36＞0.方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±362×4，即x 1＝0，x 2＝32. (5)移项，合并同类项，得x 2－3＝0，a ＝1，b ＝0，c ＝－3.Δ＝02－4×1×(－3)＝12＞0.方程有两个不等的实数根x ＝0±122×1. 即x 1＝－3，x 2＝ 3.2．解：x 2－75x ＋350＝0，a ＝1，b ＝－75，c ＝350，Δ＝b 2－4ac ＝(－75)2－4×1×350＝4 225＞0.方程有两个不等的实数根x ＝－（－75）±4 2252×1，即x 1＝5，x 2＝70. 检验：当x ＝70时，盒底的长和宽都为负数，不合题意．所以取x ＝5，即铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．5．解：(1)a ＝1，b ＝1，c ＝－12，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1×(－12)＝49＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－1±492×1＝－1±72，即x 1＝3，x 2＝－4. (2)a ＝1，b ＝－2，c ＝－14，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝3＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－（－2）±32×1， 即x 1＝3＋22，x 2＝－3＋22. (3)方程可化为x 2＋2x －3＝0，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－2±162×1＝－2±42，即x 1＝－3，x 2＝1.(4)方程可化为x 2＋4x －2＝0，a ＝1，b ＝4，c ＝－2，Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－2)＝24＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－4±242×1，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(5)a ＝1，b ＝2，c ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×0＝4＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－2±42×1， 即x 1＝0，x 2＝－2.(6)a ＝1，b ＝25，c ＝10，Δ＝b 2－4ac ＝(25)2－4×1×10＝－20＜0，方程无实数根．8．解：设长的直角边长为x cm ，则短的直角边长为(x －5) cm ，所以列方程为12x(x－5)＝7，可化为x 2－5x －14＝0，因式分解，得(x －7)(x ＋2)＝0，x 1＝7，x 2＝－2(舍去)，所以长直角边长为7 cm ，短直角边长为2 cm ，斜边长为72＋22＝53 (cm )．点拨：先列方程求出两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长．9．解：设共有x 家公司参加商品交易会．12x(x －1)＝45，方程可化为x 2－x －90＝0，即(x －10)(x ＋9)＝0，x 1＝10，x 2＝－9(舍去)，所以共有10家公司参加商品交易会．二、 典中点7．解：(1)∵a 是方程x 2－4x ＋1＝0的实数根，∴a 2－4a ＋1＝0，∴a 2－4a ＋2 016＝a 2－4a ＋1＋2 015＝2 015.(2)解方程x 2－4x ＋1＝0，得x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.∴a ＝2－3，∴a －1＜0.原式＝（a －1）2a －1－（a －1）2a （a －1）－1a＝a －1－1－a a （a －1）－1a ＝a －1＋1a －1a＝a －1.当a ＝2－3时，原式＝2－3－1＝1－ 3.8．解：设x s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.由题意，得12×6－12（6－x ）2－x 2－6（12－2x ）2＝12. 解得x 1＝6＋26(不合题意，舍去)，x 2＝6－26，∴在(6－26)s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
21.2.2 公式法 初中数学人教版九年级上册课后练习(含答案)
21.2.2 公式法一、单选题1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）A．B．C．D．4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤15．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（）A．B．C．或D．或6．形如的方程，下列说法错误的是（）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）A．B．C．D．10．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（）A．B．C．D．二、填空题11．方程的解为________．12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．13．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________ 14．已知关于的一元二次方程，若，则________．15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为__．17．一元二次方程，当=________时，方程有两个相等的实根；当_______时，方程有两个不相等的实根；当=______时，方程有一个根为0．18．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．三、解答题19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．20．若关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围．21．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：，①，②．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．23．已知：关于x的方程，（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案1．C【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．4．A【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式. 5．D【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；【详解】把代入方程，得，即，所以，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．6．D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．7．C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．8．D【分析】根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．【详解】把x=−1代入方程得出a−b+c=0，∴b=a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴a=c，故选D．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.9．B【分析】利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．【详解】解方程得．设是方程的较大的实数根，，，，则，只有B符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．10．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．【详解】方程有两根，且．求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，所以，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．11．或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【详解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．12．9【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．a<1【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a＝1，b＝2，c＝a，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．【详解】∵a=1，b=m，c=6，∴∴m=.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.15．0【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4，∴故答案为0【点睛】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．16．且【分析】根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，∴∴且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．17．-1 ＞-1 0【分析】先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．【详解】∵，，，，当，即时，方程有两个相等的实根；当，即时，方程有两个不等实根；令，则有，即时，方程有一个根为0．故答案为：；；0．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．18．且k≠0【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：﹣≤k＜且k≠0故答案为﹣≤k＜且k≠0．点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．19．；，或．【分析】(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．【详解】∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，∴，解得；由原方程，得，解得，∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，∴，且是完全平方形式，∴，或，解得，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．【分析】确定a、b、c，计算，根据方程没有实数根得关于m的不等式，继而根据一元二次方程的定义可得答案．【详解】∵，，，∴，∵方程无实数根，∴，解得，又根据一元二次方程的定义，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．21．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【详解】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．22．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：，，．不论为何值都不等于，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．23．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．（2）当a=1为底边时，则b=c，∴△=(k-2)²=0，解得：k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∴△ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∴1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∴方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∴1、1、2不能构成三角形，综上所述：△ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键。
人教版数学 九年级上册 21.2.2 公式法 课后练习题
一、单选题
1. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．
2. 若关于x的方程有两个实数根，则a的最大整数值为（）A．-1 B．0 C．1 D．2
3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是
（）
A．B．C．且D．且
4. 若方程有两个不等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A．m=1
B．C．且D．且
5. 不解方程，判别方程的根的情况（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．无实数根
二、填空题
6. 若关于的一元二次方程有实数根，则常数的范围是_____．
7. 一元二次方程根的判别式的值为__________．
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
______．
三、解答题
9. 计算
(1)x2+6x﹣2＝0(配方法)
(2)已知关于x的方程2x2+(k﹣2)x+1＝0有两个相等的实数根，求k的值．
10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
11. 解方程：（1）
（2）。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法检测(含解析)新人教版
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21.2.2 公式法测试时间：15分钟一、选择题1。
一元二次方程x2-=2x的解是（）A.x=B。
x= C.x=D。
x=2。
(2018辽宁葫芦岛建昌期末)一元二次方程x2—4x+3=0的解是( ）A。
x=1 B.x1=—1,x2=-3 C.x=3 D.x1=1,x2=33。
(2018广东汕头潮南期末）下列的一元二次方程中,有实数根的是( ) A。
x2-x+1=0 B。
x2=-x C.x2-2x+4=0 D。
(x-2）2+1=04.(2018四川泸州泸县一模）关于x的方程x2+2x—1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（)A。
k≥0B。
k>0 C.k≥-1 D。
k〉-1二、填空题5。
一元二次方程3x2—4x—2=0的解是。
6。
关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根,则实数k的取值范围是.7.等腰三角形的边长是方程x2—2x+1=0的两根，则它的周长为.三、解答题8。
用公式法解方程：x2+x-3=0。
9.用公式法解一元二次方程.(1）2x-1=-2x2;（2)3x2+1=2x;（3)2(x-1)2—（x+1）(1—x)=(x+2）2。
人教版九年级上册数学 21.2.2：公式法 作业
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．C
11． a 1
16
14．3 17．1．
12．-1 15．四．
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 4，求 m 的值． 20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果 x=﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21．如图，是小明的作用，请你认真阅读，解答下列问题：
九年级上册数学 21.2.2 公式法 作业
一、单选题 1．已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＞2
B．a＜2
C．a＜2 且 a≠1
D．a＜－2
2．一元二次方程 x2﹣2x﹣1＝0 的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ 2 ，x2＝1﹣ 2
D．x1＝1+ 3 ，x2＝1﹣ 3
3．关于 x 的一元二次方程 x2 − 2x + k = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若关于 x 的一元二次方程 x2 + 6x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ）
从而达到“降次”的目的，又如 x3 = x x2 = x( px − q) = …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法
九年级数学上册第二十一章21.2.2公式法解一元二次方程课后作业新版新人教版
21.2.2 公式法解一元二次方程1．方程mx 2－4x ＋1＝0(m ≠0)的根是( )． A.4121==x xB.m mx -±=422,1 C.mmx -±=4222,1 D.mm m x -±=422,1 2．方程03322=++x x ( )． A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的有理根 C.没有实数根D.有两个相等的无理根3．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值为( )． A.－4 B.3 C.－4或3D.21或32- 4.定义：如果一元二次方程ax 2+6x+c ＝0(a ≠0)满足a+b+c ＝0，那么我们称这个方程为凤凰方程，已知ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c5.用求根公式解得的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两根互为相反数，则（ ） A ．b ＝0 B ．c ＝0 C ．b 2－4ac ＝0 D ．b+c ＝06.下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x+c ＝0一定有实数根的是（ ） A ．a>0 B ．a ＝0 C ．c ＝0 D ．c>07.对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，有下列说法： ①若a+c ＝0，则方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根；②若方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根，则方程cx 2+bx+a ＝0也一定有两个不相等的实数根；③若c 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若m 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有b 2－4ac ＝(2am+b)2成立. 其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m ______．9．若方程2x2－(2m＋1)x＋m＝0根的判别式的值是9，则m＝______．解答题(用公式法解一元二次方程)10．x2＋4x－3＝0．11．3x2－8x＋2＝0．12.已知关于x的一元二次方程mx2－2(2m+1)x+4m－1＝0.（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根？（2）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（3）当m为何值时，方程无实数根？13.已知关于x的一元二次方程x2－(2k+1)x+k2+k＝0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值.参考答案1．B ． 2．D ． 3．C ． 4.A 5.A 6.C 7.D8．＞－1． 9．m ＝2或m ＝－1．10．.72,7221--=+-=x x 11．⋅-=+=3104,310421x x 12.解：b 2－4ac ＝4(2m+1)2－4m(4m －1)＝20m+4.（1）当20m+4＝0，即15m =-时，方程有两个相等的实数根.（2）当15m >-且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根.（3）当15m <-时，方程无实数根.13.（1）证明：∵∆＝(2k+1)2－4(k 2+k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）解：一元二次方程x 2－(2k+1)x+k 2+k ＝0的解为x =，即x 1＝k ，x 2＝k+1. 当AB ＝k ，AC ＝k+1，且AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AB ＝k ，AC ＝k+1，且AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1＝5，解得k ＝4.∴k 的值为5或4.。
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初中数学试卷桑水出品21.2.2公式法预习要点：2．用公式法解一元二次方程3x 2-2x+3=0时，首先要确定a 、b 、c 的值，下列叙述正确的是（ ） A ．a=3，b=2，c=3 B ．a=-3，b=2，c=3 C ．a=3，b=2，c=-3D ．a=3，b=-2，c=33．用公式法解方程6x-8=5x 2时，a 、b 、c 的值分别是（ ） A ．5、6、-8B ．5、-6、-8C ．5、-6、8D ．6、5、-84．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，b 2-4ac ＞0）的根是（ ） A ．b ±b 2−4ac 2a B ．−b +b 2−4ac 2a C ．−b ±b 2−4ac 2 D ．−b ±b 2−4ac 2a5．（2016•桂林）若关于x 的一元二次方程方程（k-1）x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜5B ．k ＜5，且k≠1C ．k≤5，且k≠1D ．k ＞56．（2016•邵阳）一元二次方程2x 2-3x+1=0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2-4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．8．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为，确定的值，当时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2= 求得方程的解．9．（2016•上海）如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．10．（2016•泰州二模）关于x的方程（a-6）x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是．同步小题12道一．选择题1．用公式法解方程x2-x=2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a=1，b=1，c=2 B．a=1，b=-1，c=-2C．a=1，b=1，c=-2 D．a=1，b=-1，c=22．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．x 2+2x+1=0B ．x 2+x+2=0C ．x 2-1=0D ．x 2-2x-1=03．用公式解方程-3x 2+5x-1=0，正确的是（ ） A ．x=−5±136B ．x=−5±133C ．x=5±136D ．x=5±1334．（2016•昆明）一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定5．（2016•河北）a ，b ，c 为常数，且（a-c ）2＞a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根D ．有一根为06．（2016•自贡）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x-（m-2）=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞1 B ．m ＜1C ．m≥1D ．m≤1二．填空题7．（2016•长春）关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是．9．（2016•青岛）已知二次函数y=3x 2+c 与正比例函数y=4x 的图象只有一个交点，则c 的值为 ． 10．（2015秋•闸北区期中）方程x 2-5x=4的根是 ．三．解答题 11．解方程： （1）x 2-3x-1=0． （2）x 2+4x-2=0． （3）x 2-6x+3=0．12．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．答案：21.2.2公式法预习要点：1．b2-4ac Δ=b2-4ac （1）两个不等（2）两个相等（3）无2．【分析】首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可．【解答】解：3x2-2x+3=0，a=3，b=-2，c=3．故选：D3．【分析】将原方程化为一般式，然后再判断a、b、c的值．【解答】解：原方程可化为：5x 2-6x+8=0；∴a=5，b=-6，c=8； 故选C，进行选择即可．，故选D5．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程方程（k-1）x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴⎩⎨⎧ k −1≠0 △＞0 ，即⎩⎨⎧ k −1≠0 42−4(k −1)＞0 ，解得：k ＜5且k≠1．故选B6．【分析】代入数据求出根的判别式△=b 2-4ac 的值，根据△的正负即可得出结论． 【解答】解：∵△=b 2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B 7．四正数平方根的求解8．【分析】根求根公式的解题步骤进行填空．【解答】解：利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一般式方程，确定a ，b ，c 的值，当△求得方程的解．． 9．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出结论．10．【分析】分两种情况进行讨论，①a=6，②a≠6得出△≥0这一条件，然后解不等式即可．的最大值为8．同步小题12道1．【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．【解答】解：将方程整理得：x2-x-2=0，这里a=1，b=-1，c=-2，故选B2．【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：A、△=22-4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12-4×1×2=-7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0-4×1×（-1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B3．【分析】求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．，故选C4．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2-4x+4=0中，△=（-4）2-4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B5．【分析】利用完全平方的展开式将（a-c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵（a-c）2=a2+c2-2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B6．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，∴△=b2-4ac=22-4×1×[-（m-2）]≥0，解得m≥1，故选C7．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22-4m=0，∴m=1，答案：1．8．【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．9．【分析】将一次函数解析式代入到二次函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中，得：4x=3x2+c，即3x2-4x+c=0．10．【分析】先把给出的方程进行整理，找出a，b，c的值，再代入求根公式进行计算即可．，．．11．解：（1）∵a=1，b=-3，c=-1，∴b2-4ac=9+4=13，，；（2）移项得：x2+4x=2，配方得：x2+4x+4=2+4，即（x+2）2=6，（3）∵a=1，b=-6，c=3，∴△=b2-4ac=36-12=24，12．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2-4×1×（m2-1）=4m+5＞0，（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，即x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=-3．。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3解一元二次方程-公式法练习新
2018-2019学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 解一元二次方程-公式法同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 解一元二次方程-公式法同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3解一元二次方程—公式法学校：___________姓名：___________班级:___________一．选择题（共12小题）1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x,下列叙述正确的是( )A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5,c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5,c=﹣32．用公式法解方程4y2=12y+3,得到( ）A．y=B．y=C．y=D．y=3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜54．若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2 B．m＜﹣1 C．1＜m＜2 D．0＜m＜15．方程x2﹣3|x|﹣2=0的最小一个根的负倒数是（)A． B．C． D．6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间( ）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，07．一元二次方程x2﹣4x+3=0的解是（）A．x=1 B．x1=﹣1，x2=﹣3 C．x=3 D．x1=1，x2=38．以x=为根的一元二次方程可能是( ）A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=09．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1,3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1,﹣3，﹣1 D．﹣1，3，110．方程2x2﹣6x+3=0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）A．3 B．2 C．1 D．11．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是（）A．1+B．C．D．12．关于x的方程x（x+6）=16解为（)A．x1=2，x2=2 B．x1=8,x2=﹣4 C．x1=﹣8，x2=2 D．x1=8,x2=﹣2二．填空题（共6小题）13．方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式是,求根公式是．14．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的:小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．15．已知x=(b2﹣4c＞0）,则x2+bx+c的值为．16．已知代数式7x(x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x= ．17．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为,确定的值，当时，把a，b，c的值代入公式，x1,x2= 求得方程的解．18．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为．三．解答题(共5小题）19．（1)用配方法解方程：3x2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4=0．20．x2﹣2x﹣15=0．(公式法）21．用适当的方法解方程:（1）(5x+3）2﹣4=0；(2）2x2﹣4x+1=0．22．（1）解一元二次方程:x2﹣3x=1（2）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，求四边形ABFD 的周长．23．〔1〕若，则x的取值范围是；〔2〕在〔1〕的条件下，试求方程x2+|x﹣1|﹣3=0的解．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题)1．解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选：B．2．解：∵4y2=12y+3∴4y2﹣12y﹣3=0∴a=4，b=﹣12,c=﹣3∴b2﹣4ac=192∴y==．故选C．3．解:一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴x=，则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，故选:A．4．解：∵a=1，b=1,c=﹣1,∴△=1﹣4×1×（﹣1)=5＞0，则x=，∴方程的较大根m=，∵2＜＜3，∴＜＜1,故选:D．5．解：设|x｜=y此方程变形为y2﹣3y﹣2=0，解得:y=，∴|x|=或｜x｜=＜0（舍）,则x=或x=﹣，∴最小的根为﹣，它的负倒数是=，故选：A．6．解：解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，∴a=，∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，即1＜a＜．故选:C．7．解:a=1，b=﹣4,c=3△=16﹣12=4＞0x=解得:x1=3,x2=1；故选D．8．解:根据求根公式知，﹣b是一次项系数，二次项系数是1或﹣1，常数项是﹣c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．9．解：方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，则a,b，c依次为﹣1；3;﹣1．故选：A．10．解：2x2﹣6x+3=0，这里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==，即p=；2x2﹣2x﹣1=0,这里a=2,b=﹣2，c=﹣1，∵△=4+8=12，∴x==，即q=,则p+q=+==2．故选：B．11．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0中，a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴x==，∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是．故选：B．12．解：原方程变形为:x2+6x﹣16=0,x==∴x1=﹣8，x2=2，故选：C．二．填空题(共6小题）13．解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．14．解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．15．解：∵x=（b2﹣4c＞0),∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．16．解：根据题意得：7x（x+5)+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．17．解：利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一般式方程,确定a，b，c的值，当△＞0时，把a，b，c的值代入公式,x1，x2=求得方程的解．故答案是:一般式方程；a，b，c;△＞0；．18．解:方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即(x﹣6)2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2,不能构成三角形,舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+三．解答题(共5小题）19．解：（1）两边同除以3,得x2﹣4x+3=0，移项,得x2﹣4x=﹣3，配方，得x2﹣4x+4=﹣3+4，（x﹣2）2=1，x﹣2=±1,x1=3,x2=1;（2）∵a=3，b=﹣9，c=4，∴△=b2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根为x=，x1=,x2=．20．解:∵x2﹣2x﹣15=0．∴a=1,b=﹣2，c=﹣15，∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，∴x=，∴x=5或﹣3．21．解：（1）方程整理得：（5x+3)2=4，开方得：5x+3=2或5x+3=﹣2，解得:x1=﹣，x2=﹣1；(2）这里a=2,b=﹣4,c=1,∵△=16﹣8=8，∴x==．22．解：（1）这里a=1，b=3，c=﹣1,∵△=9+4=13,∴x=．（2)∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴CF=AD=2cm，AC=DF，∵△ABC的周长为16cm，∴AB+BC+AC=16cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．23．解：（1)∵=|x﹣1｜=1﹣x，∴x﹣1≤0，即x≤1．故答案为x≤1．（2）由x≤1，方程化为：x2﹣x﹣2=0，则（x﹣2)（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．。
人教版 九年级上册数学 21.2 解一元二次方程(含答案)
人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程一、选择题（本大题共10道小题）1. 一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2. 若一元二次方程x 2-2kx+k 2=0的一根为x=-1，则k 的值为 ( )A .-1B .0C .1或-1D .2或0 3. 方程x 2－2020x ＝0的根是( )A ．x ＝2020B ．x ＝0C ．x 1＝2020，x 2＝0D ．x ＝－2020 4. 一元二次方程x 2－4x －1＝0配方后可化为( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x ＋2)2＝5C ．(x －2)2＝3D ．(x －2)2＝55. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx －1＝0根的判别式的值为( )A ．1－m 2B ．m 2－4C ．m 2＋4D ．m 2＋16. 若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )A ．k <－1B ．k >－1C ．k <1D ．k >17. 对于二次三项式－x 2＋4x －5的值，下列叙述正确的是 ( )A ．一定为正数B ．一定为负数C ．正、负都有可能D ．一定小于－1 8. 用换元法解方程x x －1－x －1x －2＝0时，如果设x x －1＝y ，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式是( )A ．y －1y －2＝0B ．y －2y －1＝0C ．y 2－2y －1＝0D ．y 2－y －2＝09. 如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A．k＞－14B．k＞－14且k≠0C．k＜－14D．k≥－14且k≠010. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝－1D．有两个相等的实数根二、填空题（本大题共8道小题）11. 方程x－1＝2的解是________．12. 一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则此三角形的周长是________．13. 已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则+c的值等于.14. 一元二次方程4x2＋12x＋9＝0的解为__________．15. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．16. 2019·成都已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为________．17. 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2－2x＝－1.(第一步)x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)(x－1)2＝0.(第三步)x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；(2)请写出此题正确的解答过程．18. 若一元二次方程x2－2x－3599＝0的两根分别为a，b，且a＞b，则2a－b的值为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 解方程:5x(3x-12)=10(3x-12).20. 2019·呼和浩特用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根．21. 关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．22. 阅读理解：先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，所以m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0，所以m＋n＝0，n－3＝0，所以m＝－3，n＝3.问题：(1)若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求x y的值；(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c 的取值范围．人教版九年级数学21.2 解一元二次方程-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b2－4ac的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2. 【答案】A[解析]把x=-1代入方程得1+2k+k2=0，解得k1=k2=-1，故选A.3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】B[解析] ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝22－4×1×(－k)＝4＋4k＞0，∴k＞－1.7. 【答案】B[解析] ∵－x2＋4x－5＝－(x2－4x＋4)－1＝－(x－2)2－1＜0，∴原式的值一定为负数．8. 【答案】C[解析] 已知xx－1＝y，那么原方程可化为y－1y－2＝0，去分母，得y2－1－2y＝0.整理，得y2－2y－1＝0.9. 【答案】B10. 【答案】A[解析] 由题意得x＝－1是方程x2＋4x＋c－2＝0的一个根，∴(－1)2＋4×(－1)＋c－2＝0，解得c＝5.∴原方程为x2＋4x＋5＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×5＝－4＜0，∴原方程没有实数根．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】x ＝5 【解析】方程两边平方得，x －1＝4，解得 x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解．12. 【答案】13 [解析] 解方程x 2－6x ＋8＝0，得x 1＝2，x 2＝4.∵2，3，6不能构成三角形，∴舍去x ＝2.当x ＝4时，三角形的周长＝3＋4＋6＝13.13. 【答案】2 [解析]根据题意得:Δ=4-4a (2-c )=0，整理得4ac -8a=-4，4a (c -2)=-4. ∵方程ax 2+2x +2-c=0是一元二次方程，∴a ≠0，等式4a (c -2)=-4两边同时除以4a ，得c -2=-，则+c=2.14. 【答案】x 1＝x 2＝－32 [解析] 原方程可化为(2x ＋3)2＝0，所以x 1＝x 2＝－32.15. 【答案】－2018 [解析] 根据题意，得a ＋b ＝－1，ab ＝－2020，∴(a －1)(b －1)＝ab －(a ＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.16. 【答案】－2 [解析] 根据题意，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k －1，∴x 12＋x 22－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝4－3(k －1)＝13，解得k ＝－2.故答案为：－2.17. 【答案】解：(1)一 移项时没有变号(2)x 2－2x ＝1.x 2－2x ＋1＝1＋1.(x －1)2＝2.x －1＝±2.所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.18. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:由5x (3x -12)=10(3x -12)，得5x (3x -12)-10(3x -12)=0，∴(3x -12)(5x -10)=0，∴5x -10=0或3x -12=0，解得x 1=2，x 2=4.20. 【答案】解：原方程化为一般形式为2x 2－9x －34＝0，x 2－92x ＝17，x 2－92x ＋8116＝17＋8116，(x －94)2＝35316， x －94＝±3534，所以x 1＝9＋3534，x 2＝9－3534.21. 【答案】 解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(2m －1)＝4－8m ＋4＝8－8m≥0，∴m≤1.又∵m 为正整数，∴m ＝1，此时方程为x 2－2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝1.22. 【答案】解：(1)因为x 2＋2y 2－2xy ＋4y ＋4＝0，所以x 2－2xy ＋y 2＋y 2＋4y ＋4＝0，所以(x－y)2＋(y＋2)2＝0，则x－y＝0，y＋2＝0，解得x＝－2，y＝－2，所以x y＝(－2)－2＝1 4.(2)因为a2＋b2＝12a＋8b－52，所以a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，即(a－6)2＋(b－4)2＝0，则a－6＝0，b－4＝0，解得a＝6，b＝4，所以2＜c＜10.。
21.2.4 公式法解方程
题意，所以(3＋2 2)s或(3－2 2 )s时△PDQ的面积为
35 cm2.
人教版 九年级上
第二十一章 一元二次方程
第2节 解一元二次方程 第4课时 公式法解方程
习题链接
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1B
2A 3D
4C
5D
答案显示
6
x1＝
1＋ 13 2
，x2＝
1－ 13 2
7 (3＋2 2 )s或(3－2 2 )s时 △PDQ的面积为35 cm².
夯实基础·逐点练
3x2＋(－1) x＋(－4)＝0
整合方法·提升练
解：设xs时△PDQ的面积为35cm2，即S矩形ABCD－S△ADP
－ －
12S×△P6B×Q －(12S－△D2CxQ)＝＝3152，×解6 －得x121×＝132＋x2－
1 2
2
(6 － x)•2x ，x2＝3－
2 2 ，因为当其移动(3＋2 2 )s或(3－2 2)s时均符合
夯实基础·逐点练
x＝－b
b2－4ac ＝ －2
2a
24 2
2 ＝－
2± 2
2
4．【中考•淄博】一元二次方程x2＋2 2 x－6＝0的根
是( C )
A．x1＝x2＝ 2 C．x1＝ 2 ，x2＝－3 2
B．x1＝0，x2＝－2 2 D．x1＝－ 2 ，x2＝3 2
夯实基础·逐点练
5．【中考•泰安】一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的
求方程ax2＋bx＋c＝0的根． b＋1＝0 ， c＋3＝0，
解
：
依题意，得a2－2a＋1
x2－x－3＝0
＝0且b＋b＝1＝－10且c＋c＝3＝－03，
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 学案(含答案)
公式法班级：_____________姓名：__________________组号：_________一、旧知回顾1．用配方法解方程：。
二、新知梳理2．对照前面归纳的步骤解一般形式的一元二次方程(在这里，为什么要强调？若，情况又如何？)。
（1）一元二次方程的求根公式是_______________________。
（2）一元二次方程的根的情况与的符号之间的关系是_________________。
2630x x -+=20(0)ax bx c a ++=≠240b ac -≥240b ac -<20(0)ax bx c a ++=≠20(0)ax bx c a ++=≠24b ac -学前准备完成情况3．用公式法解方程：。
三、试一试4．利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况。
（1）； （2）； （3）。
225x x -=22410x x --=296x x =-(2)(35)0x x --=5．解方程：（1）； （2）。
★通过预习你还有什么困惑一、课堂活动、记录 1．写出一元二次方程的根的判别式。
2．如何用根的判别式来判定一元二次方程根的情况？3．写出一元二次方程的求根公式，并归纳用公式法解一元二次方程的步骤。
二、精练反馈 A 组：02632=--x x 522-=+x x 20(0)ax bx c a ++=≠课堂探究1．解下列方程： （1） ； （2）； B 组： 2．解方程：（1）； （2）；三、课堂小结1．一元二次方程求根公式的推导过程以及公式的形式。
2．一元二次方程的根的情况与的符号之间的关系。
3．用公式法解一元二次方程的求解步骤。
强调：（1）运用求根公式解一元二次方程要注意两个前提条件有两个：①；②。
（2）当时，方程有两个相等的实数根，不要误认为只有一个实数根。
四、拓展延伸（选做）212308x x -+=2321x x x -+=+112842+=++x x x 010522=++x x 20(0)axbx c a ++=≠24b ac -0a ≠0∆≥0∆=1．解关于的方程：。
人教版九年级数学上典中点第二十一章解码专训二(含答案)
解码专训二：几种常有的热点考点名师点金：一元二次方程题的种类特别丰富，常有的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的状况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只需我们掌握了不一样种类题的解法特色，就能够使问题变得简单，了然．一元二次方程的根1．(2015·州兰 ) 若一元二次方程ax2－ bx－ 2 015＝ 0 有一根为x＝－ 1，则 a＋b＝ ________．2．若对于x 的一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0 有一根为－1，且a＝4－ c＋c－ 4－2，（a＋ b）2 016求 2 015c的值．一元二次方程的解法3．用配方法解方程x2－ 2x－1＝ 0 时，配方后所得的方程为()A．(x＋ 1)2＝0B． (x －1)2＝ 0C． (x＋ 1)2＝ 2D． (x－ 1)2＝ 24．一元二次方程x2－ 2x－ 3＝ 0 的解是 ()A．x1＝－ 1， x2＝3B． x1＝1， x2＝－ 3C． x1＝－ 1， x2＝－ 3D． x1＝ 1，x2＝ 35．选择适合的方法解以下方程：(1)(x － 1)2＋2x(x － 1)＝ 0；(2)x2－ 6x－ 6＝0；(3)6 000(1 － x)2＝ 4 860；(4)(10＋ x)(50 － x)＝ 800；(5)(中考·山西 )(2x － 1)2＝ x(3x ＋ 2)－7.一元二次方程根的鉴别式6．(2015·北河 )若对于x 的方程x2＋ 2x＋ a＝ 0 不存在实数根，则 a 的取值范围是() A．a＜ 1B． a＞ 1C． a≤ 1 D． a≥ 17．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a， b， c.此中a＝ 5，若对于x 的方程x2＋ (b ＋ 2)x ＋ (6－ b)＝ 0 有两个相等的实数根，求△ ABC的周长．一元二次方程根与系数的关系8．已知α，β是对于x 的一元二次方程x2＋ (2m＋ 3)x ＋ m2＝ 0 的两个不相等的实数根，且知足 1＋ 1＝－ 1，则m 的值是 ()α βA．3B．1C．3或－1 D．－3或 19．(2015·充南)已知对于x 的一元二次方程(x－ 1)(x －4)＝ p2， p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p 为什么值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明原因)．10．对于x 的方程 ax2－ (3a＋ 1)x＋ 2(a＋ 1)＝ 0 有两个不相等的实数根x1， x2，且有x1＋ x2－ x1x2＝ 1－ a，求 a 的值．11．设x1，x2是对于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为什么值时， x12＋ x22有最小值？最小值是多少？一元二次方程的应用12．(2015乌·鲁木齐)某商品此刻的售价为每件60 元，每礼拜可卖出300 件．市场检查反应：每降价 1 元，每礼拜可多卖出20 件．已知商品的进价为每件40 元，在顾客得优惠的前提下，商家还想获取 6 080 元的收益，应将销售单价定为多少元？13．小林准备进行以下操作实验：把一根长为 4 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不行能等于 48 cm2. ”他的说法对吗？请说明原因．新定义问题14．(中考·厦门)若x1，x2是对于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数 )，则称方程 x2＋ bx＋ c＝0 为“偶系二次方程”．如方程 x2－ 6x － 27＝ 0，x2－ 2x－ 8＝ 0，x2＋ 3x －27＝0， x2＋ 6x－ 27＝ 0， x2＋ 4x＋ 4＝ 0 都是“偶系二次方程”．4判断方程 x2＋ x－12＝ 0 是不是“偶系二次方程”，并说明原因．解码专训二1．2 015点拨：把x＝－ 1 代入方程中获取a＋b－ 2 015＝ 0，即 a＋ b＝ 2 015.2．解：∵a＝4－c＋c－4－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.又∵－1是一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的根，∴ a－ b ＋ c＝ 0，∴ b＝ a＋ c＝－ 2 ＋ 4＝ 2.∴原式＝（－2＋ 2）2 016＝ 0.2 015 ×43．D 4.A5．解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0，(x－ 1)(x － 1＋ 2x)＝0，(x－ 1)(3x － 1) ＝ 0，x1＝ 1，x2＝1 . 3(2)x2－ 6x－ 6＝0，∵ a＝ 1， b＝－ 6， c＝－ 6，∴b2－ 4ac＝ (－6)2－ 4×1×(－ 6)＝ 60.∴x＝6±60＝ 3± 15，2∴x1＝ 3＋ 15， x2＝ 3－ 15.(3)6 000(1 － x)2＝ 4 860，(1－ x)2＝0.81，1－x＝±0.9，x1＝ 1.9， x2＝ 0. 1.(4)(10＋ x)(50 － x)＝ 800，x2－ 40x＋ 300＝0，x1＝ 10， x2＝ 30.(5)(2x － 1)2＝ x(3x ＋ 2)－ 7，4x2－4x ＋ 1＝3x2＋2x－7，x2－ 6x＋ 8＝0，x1＝ 2，x2＝4.6．B27．解：∵对于x 的方程 x ＋(b ＋2)x ＋ (6－ b)＝ 0 有两个相等的实数根，当 a 为腰时，△ ABC 周长为 5＋5＋ 2＝ 12.当 b 为腰时， 2＋ 2＜ 5，不可以组成三角形．∴△ ABC 的周长为 12.8．A9．(1)证明：化简方程，得x2－ 5x＋ 4－ p2＝ 0.＝(－ 5)2－ 4(4－ p2)＝ 9＋ 4p2.∵ p 为实数，则 p2≥0，∴ 9＋ 4p2＞ 0.即＞ 0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当 p 为 0， 2，－ 2 时，方程有整数解．(答案不独一 )点拨： (1) 先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的鉴别式b2－4ac＝ (－ 5)2－ 4×1×(4－ p2 )＝ 9＋ 4p2，易得， 9＋ 4p2＞ 0，进而得证．(2)一元二次方程的解为2x＝ 5± 9＋ 4p，若方程有整数解，则9＋ 4p2一定是完整平方数，故当p＝0、 2、－ 2 时， 9 2＋ 4p2分别对应9、25、 25，此时方程的解分别为整数．10．解：由题意，得x1＋x2＝3a＋1，x1x2＝2（ a＋ 1），∴3a＋1－ 2（ a＋1）＝ 1－a，a a a a∴ a2－ 1＝ 0，即 a＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[ －(3a＋ 1)] 2－ 4a·2(a＋ 1)＞ 0，即 (a－ 1)2＞0，∴ a≠1，∴ a＝－ 1.11．解：∵方程有两个实数根，∴221＝ (2a) － 4(a＋ 4a－ 2) ≥0，∴ a≤.2又∵ x1＋ x2＝－ 2a， x1x2＝ a2＋ 4a－2，∴x12＋ x22＝ (x1＋ x2) 2－ 2x1x2＝2(a－2)2－4.12122的值最小．∵ a≤，且 2(a－ 2)≥0，∴当 a＝时， x1＋ x222221211此时 x1＋ x2＝ 22－ 2－ 4＝2，即最小值为2.点拨：此题中考虑Δ≥0进而确立 a 的取值范围这一过程易被忽视．12．解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－ x) 元，每礼拜的销量为(300＋ 20x)件．依据题意，得(60－ x－ 40)(300 ＋ 20x)＝ 6 080.解得 x1＝ 1， x2＝ 4.又要顾客得优惠，故取x＝ 4，即销售单价为56 元．答：应将销售单价定为56 元．13．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm，则较长的一段为(40－ x) cm，由题意，得x 2 4＋40－ x2＝12， x ＝ 28.当 x＝ 12 时，较长的一段为 40－ 12＝ 28(cm)，当 x ＝ 58，解得 x412＝ 28时，较长的一段为40－ 28＝ 12＜28(舍去 )．∴较短的一段为12 cm，较长的一段为 28 cm.(2)小峰的说法正确．原因以下：设剪成的较短的一段为m cm，则较长的一段就为 (40－ m) cm，由题意得m240－ m222－ 4×416 4＋4＝ 48，变形为 m － 40m＋ 416＝0.∵＝ (－ 40)＝－ 64＜ 0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不行能等于48 cm2.14．解：不是．原因以下：解方程 x2＋ x－ 12＝ 0，得 x1＝－ 4， x2＝ 3.|x1|＋ |x2|＝ 4＋ 3＝ 2×|3.5|.∵ 3.5 不是整数，∴方程 x2＋ x－ 12＝ 0 不是“偶系二次方程”．。
人教版九年级数学上册：第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法(有答案).docx
初中数学试卷桑水出品21.2.3因式分解法预习要点：1．先因式分解，使方程化为两个一次式的等于的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即。
3．（2016•湖州一模）方程x（x−5）=0的根是（）A．x=0 B．x=5C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=−54．（2016•洪泽县一模）一元二次方程x2−2x=0的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0C．x=0 D．x1=2，x2=15．（2016•丹棱县模拟）方程x（x−3）=5（x−3）的解的情况是（）A．x=3 B．x=5C．x1=3，x2=5 D．无解6．（2008•江干区模拟）方程（x−3）2=x−3的根是．7．（2016•苏州模拟）方程x（x−2）=−（x−2）的根是．8．x2+(p+q)x+pq型的式子的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积pq；一次项是这两个数的和p+q，此类型的式子可以直接因式分解为(x+p)(x+q)。
则一元二次方程x2−4x=12的根是（）A．x1=2，x2=−6 B．x1=−2，x2=6C．x1=−2，x2=−6 D．x1=2，x2=6同步小题12道一．选择题1．一元二次方程x（x−1）=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=−1 D．x=0或x=12．（2016•咸阳模拟）方程x2−5x=0的解是（）A．x1=x2=5 B．x1=x2=0 C．x1=0，x2=5 D．x1=−5，x2=03．（2016•沈河区一模）方程x2=3x的根是（）A．3 B．−3或0 C．3或0 D．04．（2016春•招远市期中）已知一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程（x−2）（x−4）=0的根，则这个三角形的周长为（）A．13 B．11 C．13或11 D．155．方程x（x−2）+x−2=0的解为（）A．x=2 B．x1=2，x2=1 C．x=−1 D．x1=2，x2=−16．（2016•天津）方程x2+x−12=0的两个根为（）A．x1=−2，x2=6 B．x1=−6，x2=2 C．x1=−3，x2=4 D．x1=−4，x2=3二．填空题7．（2016•秦淮区二模）已知关于x的一元二次方程3（x−1）（x−m）=0的两个根是1和2，则m的值是．8．（2016•延平区一模）方程x（x−4）=0的解是．9．（2016•富顺县校级模拟）若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2−12x+32=0的两根，则等腰三角形的周长为．10．（2015•盘锦）方程（x+2）（x−3）=x+2的解是．三．解答题11．(1)（2016•山西）2（x−3）2=x2−9．(2)（2016•安徽模拟）解方程：x（x−3）=x−3．（3）x（x−1）+2（x−1）=0；12．（2016•许昌二模）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：（1）小明的解法从第______步开始出现错误；此题的正确结果是______．（2）用因式分解法解方程：x（2x−1）=3（2x−1）答案：21.2.3因式分解法预习要点：1．乘积 0 02．降次3．【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程x（x−5）=0，可得x=0或x−5=0，解得：x1=0，x2=5．故选C4．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x−2）=0，x=0或x−2=0，所以x1=0，x2=2．故选B5．【分析】观察方程发现等式的左右两边都有因式x−3，所以我们把x−3看成一个整体，把等号右边的式子移到等号的左边，然后提取公因式后，可化为两式相乘为0的形式，即可求出方程的两个解．【解答】解：x（x−3）=5（x−3），x（x−3）−5（x−3）=0，（x−3）（x−5）=0，∴x−3=0或x−5=0，∴x1=3，x2=5．故选C6．【分析】把（x−3）看作整体，移项，分解因式求解．【解答】解：（x−3）2=x−3，（x−3）2−（x−3）=0，（x−3）（x−3−1）=0，∴x1=3，x2=4．7．【分析】首先移项，进而提取公因式（x−2），分解因式后解方程即可．【解答】解：x（x−2）=−（x−2），移项得：x（x−2）+（x−2）=0，∴（x−2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=−1．答案：x1=2，x2=−1．8．【解答】解：方程整理得：x2−4x−12=0，分解因式得：（x+2）（x−6）=0，解得：x1=−2，x2=6，故选B同步小题12道1．【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程x（x−1）=0，可得x=0或x−1=0，解得：x=0或x=1．故选：D2．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程分解得：x（x−5）=0，可得x=0或x−5=0，解得：x1=0，x2=5，故选C3．【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x−3）=0，方程就可转化为两个一元一次方程x=0或x−3=0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2=3x，∴x2−3x=0，∴x（x−3）=0，∴x=0或x=3，故选C4．【分析】利用因式分解法解方程（x−4）（x−2）=0得到x1=4，x2=2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．【解答】解：（x−4）（x−2）=0，x−4=0或x−2=0，所以x1=4，x2=2，因为2+3＜6，所以x=2舍去，所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长=3+6+4=13，故选：A5．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：分解因式得：（x−2）（x+1）=0，可得x−2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=−1．故选D6．【分析】将x2+x−12分解因式成（x+4）（x−3），解x+4=0或x−3=0即可得出结论．【解答】解：x2+x−12=（x+4）（x−3）=0，则x+4=0，或x−3=0，解得：x1=−4，x2=3．故选D7．【分析】根据已知方程即可得出m=2，得出答案为即可．【解答】解：∵3（x−1）（x−m）=0，∴x−1=0，x−m=0，∴x1=1，x2=m，∵关于x的一元二次方程3（x −1）（x−m）=0的两个根是1和2，∴m=2，答案：2．8．【分析】根据方程即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x−4）=0，x=0，x−4=0，x1=0，x2=4，答案：x1=0，x2=4．9．【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理得到等腰三角形的三边只能是4，8，8，进一步求出周长即可．【解答】解：∵一元二次方程x2−12x+32=0，∴解方程得：x1=4，x2=8，∵等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2−12x+32=0的两根，∴若三角形的腰长为4则4+4=8，构不成三角形，故排除，∴三角形的腰长为8，底边长为4，∴三角形的周长=8+8+4=20，答案：20．10．【分析】先移项，再提取公因式，求出x的值即可．【解答】解：原式可化为（x+2）（x−3）−（x+2）=0，提取公因式得，（x+2）（x−4）=0，故x+2=0或x−4=0，解得x1=−2，x2=4．答案：x1=−2，x2=4．11．解：（1）方程变形得：2（x−3）2−（x+3）（x−3）=0，分解因式得：（x−3）（2x−6−x−3）=0，解得：x1=3，x2=9．（2）x（x−3）=x−3x（x−3）−（x−3）=0，（x−3）（x−1）=0，解得：x1=3，x2=1．（3）x（x−1）+2（x−1）=0，（x−1）（x+2）=0，x−1=0，或x+2=0，x1=1，x2=−2；12．【分析】（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可；（2）提取公因式（2x−1）可得（2x−1）（x−3）=0，然后解两个一元一次方程即可．解：（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，3x2−8x（x−2）=0，x（3x−8x+16）=0，x（5x−16）=0，（2）x（2x−1）=3（2x−1），（2x−1）（x−3）=0，2x−1=0或x−3=0，。
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21.2.4 公式法——公式法解方程
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P12 T1（3）（4）（5）、T２，Ｐ17 T5、T8、T9
1. 解下列方程：
(3)3x2－6x－2＝0；
(4)4x2－6x＝0；
(5)x2＋4x＋8＝4x＋11；
2．求第21.1节中问题1的答案．
5．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0；
(2)x2－2x－1
4＝0；
(3)x2＋4x＋8＝2x＋11；
(4)x(x－4)＝2－8x；
(5)x2＋2x＝0；
(6) x2＋25x＋10＝0.
8．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2.求斜边的长．
9．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
7．已知a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根中较小的根．
(1)求a 2－4a ＋2 016的值；
(2)化简求值1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a
－1a .
8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点B 开始沿AB 边向点A 以1
cm /s 的速度移动．点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动．如果P ，Q 分别从点B 同时出发，问几秒钟时△DPQ 的面积等于12 cm 2?
(第8题)
答案
一、 教材 1.解：(3)a ＝3，b ＝－6，c ＝－2.
Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0.
方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±602×3. 即x 1＝3＋153，x 2＝3－153
. (4)a ＝4，b ＝－6，c ＝0.
Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×4×0＝36＞0.
方程有两个不等的实数根x ＝－（－6）±362×4，即x 1＝0，x 2＝32
. (5)移项，合并同类项，得x 2－3＝0，a ＝1，b ＝0，c ＝－3.Δ＝02－4×1×(－3)＝12＞0.
方程有两个不等的实数根x ＝0±122×1
. 即x 1＝－3，x 2＝ 3.
2．解：x 2－75x ＋350＝0，a ＝1，b ＝－75，c ＝350，
Δ＝b 2－4ac ＝(－75)2－4×1×350＝4 225＞0.
方程有两个不等的实数根
x ＝－（－75）±4 2252×1
，即x 1＝5，x 2＝70. 检验：当x ＝70时，盒底的长和宽都为负数，不合题意．所以取x ＝5，即铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．
5．解：(1)a ＝1，b ＝1，c ＝－12，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1×(－12)＝49＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－1±492×1＝－1±72
，即x 1＝3，x 2＝－4. (2)a ＝1，b ＝－2，c ＝－14
，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×⎝⎛⎭⎫－14＝3＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－（－2）±32×1
， 即x 1＝3＋22，x 2＝－3＋22
. (3)方程可化为x 2＋2x －3＝0，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16
＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－2±162×1＝－2±42
，即x 1＝－3，x 2＝1. (4)方程可化为x 2＋4x －2＝0，a ＝1，b ＝4，c ＝－2，Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－2)＝24
＞0，方程有两个不等的实数根x ＝－4±242×1
，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. (5)a ＝1，b ＝2，c ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×0＝4＞0，
方程有两个不等的实数根x ＝－2±42×1
， 即x 1＝0，x 2＝－2.
(6)a ＝1，b ＝25，c ＝10，
Δ＝b 2－4ac ＝(25)2－4×1×10＝－20＜0，方程无实数根．
8．解：设长的直角边长为x cm ，则短的直角边长为(x －5) cm ，所以列方程为12
x(x －5)＝7，可化为x 2－5x －14＝0，因式分解，得(x －7)(x ＋2)＝0，x 1＝7，x 2＝－2(舍去)，所以长直角边长为7 cm ，短直角边长为2 cm ，斜边长为72＋22＝53 (cm )．
点拨：先列方程求出两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长．
9．解：设共有x 家公司参加商品交易会．
12
x(x －1)＝45，方程可化为x 2－x －90＝0，即(x －10)(x ＋9)＝0，x 1＝10，x 2＝－9(舍去)，所以共有10家公司参加商品交易会．
二、
典中点 7．解：(1)∵a 是方程x 2－4x ＋1＝0的实数根， ∴a 2－4a ＋1＝0，
∴a 2－4a ＋2 016＝a 2－4a ＋1＋2 015＝2 015.
(2)解方程x 2－4x ＋1＝0，得x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. ∴a ＝2－3，∴a －1＜0.
原式＝（a －1）2a －1－（a －1）2a （a －1）－1a
＝a －1－1－a a （a －1）－1a
＝a －1＋1a －1a ＝a －1.
当a ＝2－3时，原式＝2－3－1＝1－ 3.
8．解：设x s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.
由题意，得12×6－12（6－x ）2－x 2－6（12－2x ）2
＝12. 解得x 1＝6＋26(不合题意，舍去)，x 2＝6－26， ∴在(6－26)s 时，△DPQ 的面积等于12 cm 2.。