湖南省长沙市周南中学2019-2020年高二第一学期第一次月考数学试卷(无答案)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南高二上学期阶段性检测数学试题
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（）A．110B．3353C．35353D．3350【答案】C【解析】每位同学被选中的概率都相等，为35 353.【详解】由题：甲被选中，必须首先要没有被剔除，然后再被选中，所以其概率为3503535 353350353⨯=.故选：C【点睛】此题考查概率的计算，其本质反映了采取此种抽样方法对每个个体公平. 2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是1 2，若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明投篮的结果中与不中概率不相等.【详解】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是12，所以②错误； 若一种彩票买一张中奖的概率是11000，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；“姚明投篮一次，求投中的概率”， 姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误． 故选：A 【点睛】此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.3．写出命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=的否定并判断p ⌝的真假，正确的是（ ）A ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠且为真B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠且为真C ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +=且为假D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠且为假 【答案】A【解析】根据特称命题的否定方式写出命题，并判断真假. 【详解】命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定：p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠，sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭p ⌝是真命题.故选：A 【点睛】此题考查特称命题的否定，并判断命题的真假，关键在于准确写出命题的否定，结合三角函数相关知识判断真假.4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A ．12.5,12.5B ．13.5,13C ．13,12.5D ．13,13【答案】D【解析】根据频率分布直方图的平均数与中位数的计算方式即可求解. 【详解】由题：第一组面积50.040.2⨯=，第二组面积50.10.5⨯=，所以第三组面积0.3 平均数为：0.27.50.512.50.317.5 1.5 6.25 5.2513⨯+⨯+⨯=++=， 设中位数为x ，()0.2100.10.5x +-⨯=，解得13x =. 故选：D 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法，准确计算.5．已知下表所示数据的回归直线方程为5y x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为（ ）x2 3 4 56 y3712m23A ．18B ．20C ．21D ．22【答案】B【解析】根据当7x =时的预测值是28，求出7a =，求出样本点的中心，根据平均数求解. 【详解】当7x =时的预测值是28，2835a =-， 得7a =，4x =，可得13y =，∴()371223513m ++++÷=，得20m =．此题考查根据回归直线特征求已知数据中的值，关键在于准确掌握回归直线必过的点，建立等式求解.6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145S S -=（ ） A ．102S B ．144C ．288D ．()1145a a +【答案】B【解析】根据等差数列求和公式表示出145S S -，根据21832a a +=结合等差数列性质求解. 【详解】由题：等差数列中：()()614218145671499 (14422)a a a a S S a a a ++-=+++===．故选：B 【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A ．“7m =”B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<且7m ≠”【答案】C【解析】先解出曲线表示椭圆的充要条件，再结合选项求解. 【详解】考虑：方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆，则：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即()()5,77,9m ∈，A 是其既不充分也不必要条件，B 是其充分不必要条件，C 是其必要不充分条件，D 是其充要条件.此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据曲线表示椭圆准确求解参数的范围，准确辨析必要不充分条件的集合表示关系.8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.9．已知圆()221:116F x y ++=，定点()21,0F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．22134x y +=B ．221169x y +=C ．22143x y +=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据线段2PF 的中垂线上的点到两端点距离相等，转化成12MF MF +为定值，即可得到椭圆. 【详解】因为线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，2MF MP =，则点M 满足：1211242MF MF F P F F +==>=，故点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，且24a =，22c =，所以椭圆的方程为22143x y +=．故选：C 【点睛】此题考查根据定义方法判定曲线轨迹为椭圆，需要熟练掌握平面图形的几何特征，根据几何关系判定曲线轨迹.10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是12,F F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||MO =（ ） A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【答案】C【解析】根据题意作出图形，由几何知识可知，()1121122MO DF PF PF a ==-=，即可求出． 【详解】如图所示：延长F 2M 交PF 1于D由几何知识可知，PM 垂直平分2DF ，而4a =，所以()11211422MO DF PF PF a ==-==． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．11．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．5B ．7 C ．5 D ．7 【答案】A【解析】延长2QF 交椭圆C 于点M ，在1Rt F MQ ∆和12Rt F MF ∆两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解. 【详解】延长2QF 交椭圆C 于点M ，得1Rt F MQ ∆，12Rt F MF ∆，设2QF m =，则122PF MF m ==，据椭圆的定义有12QF a m =-，122MF a m =-，在1Rt F MQ ∆中，()()()22222323a a m m a m m -+=-⇒=，在12Rt F MF ∆中，()()222225222459c a m m c a c e a -+=⇒=⇒==． 故选：A【点睛】此题考查根据椭圆中焦点三角形结合几何意义求解离心率，关键在于准确找出其中的几何关系，列方程求解.12．已知椭圆22221x y a b+=过定点()1,1，则22222b a b +的最大值是（ ）A ．516B ．12C ．916D ．34【答案】C【解析】根据椭圆经过的点得出等量关系22111a b +=，根据22222211122b a b a b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭构造基本不等式或换元法构造二次函数求解最值. 【详解】由题意有22111a b +=，2222222211121119222216b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+≤= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦．当221112a b =+时取得等号，即2114b =时，取得最大值. 故选：C 【点睛】此题考查根据椭圆上的点的坐标建立等量关系，利用基本不等式或二次函数求解最值，需要注意求最值一定考虑最值成立的条件能否取到.二、填空题13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为______． 【答案】34【解析】至少需要等待10秒才出现绿灯说明该行人在红灯亮起前30秒内到达该路口，根据几何概型求解. 【详解】行人在红灯亮起30秒内到达该路口，则至少需要等待10秒才出现绿灯， 根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率303404P ==．故答案为：34【点睛】此题考查几何概型，关键在于准确识别概率模型，利用长度求解概率.14．设,R a b ∈，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要【解析】()2log 0a b ->一定能推出a b >，但是a b >不能推出1a b ->，所以不能得出()2log 0a b ->，即可得解. 【详解】“()2log 0a b ->”的充要条件是1a b ->，1a b ->是a b >的充分不必要条件，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握其中的逻辑关系，正确识别其中能否相互推出.15．设函数()23f x x x a =-+，已知(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题可得：()0f x ≤有解，只需()min 0f x ≤即可，根据题意求出最小值解不等式得解. 【详解】依题意，只需[]01,3x ∃∈，()00f x ≤，即()min 39024f x f a ⎛⎫==-≤⎪⎝⎭， 就一定(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解， 故94a ≤． 故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题考查根据不等式关系求参数范围，属于能成立问题即有解问题，需要区分清楚能成立与恒成立求参数之间的差别，避免出现混淆.16．设数列{}n a 满足11a =，2180a =，()21nn n a a n n +=++-，则：（1）1352019...a a a a ++++=______； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为______． 【答案】1010 9或10【解析】（1）根据递推关系：当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==，即可求解； （2）当n 为偶数时，()22241k k a a k -=+-结合()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-求出公式，即可得解. 【详解】（1）当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==， 即21211k k a a +-==，1352019...1010a a a a ++++=．（2）由()22241k k a a k -=+-，知()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-()()180412...118021n n n =++++-=+-⎡⎤⎣⎦，于是()21802190122n n n a n n n n+-==+-，由对勾函数的性质知，9n =或10． 故答案为：（1）1010；（2）9或10. 【点睛】此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.三、解答题17．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin sin 2C c A ⋅=⋅. （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积.【答案】（1）6π；（2. 【解析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得cos A ，从而得A ．（2）用余弦定理求得c ，再由三角形面积公式可得三角形面积． 【详解】（1sin sin 2C c A ⋅=⋅，sin sin sin 2A C C A ⋅=⋅， 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos 2A =. 因为0A π<<， 所以6A π=.（2）因为a =b =6A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2650c c -+=， 解得1c =或5c =，均适合题.当1c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==.当5c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==. 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出c ，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．18．“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)60,70内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率．【答案】（1）77.5，77.5 （2）1415【解析】（1）众数的估计值是最高组的中间值，寻找中位数的估计值为x ，使其左右两侧频率相等，列方程求解；（2）求出车速在[)60,65有2辆，车速在[)65,70有4辆，根据古典概型求解概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5． 设中位数的估计值为x ，由()50.010.020.040.350.5⨯++=<，0.350.0650.650.5+⨯=>，得7580x <<． 所以()0.350.06750.5x +⨯-=，解得77.5x =， 即中位数的估计值为77.5．（2）从题图中可知，车速在[)60,65内的车辆数为0.015402⨯⨯=， 车速在[)65,70内的车辆数为0.025404⨯⨯=．记车速在[)60,65内的两辆车为,a b ，车速在[)65,70内的四辆车为,,,c d e f ， 则所有的基本事件有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15个，其中车速在[)65,70内的车辆没有一辆的基本事件只有一个：(),a b ，所以车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率为11411515P =-=． 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求众数和中位数，结合直方图的特征求解频数，利用古典概型求解概率，考查基础知识.19．设双曲线22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ≥，*N n ∈，都有()1n n x -是Γ上的点． （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记12231111...n n n S x x x x x x +=++++++，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）n x = （2）存在，9999m =【解析】（1）根据曲线方程求出2211n n x x --=，得出等差数列{}2n x 的通项公式即可求解；（2）使用裂项相消求和，求得n S ，结合渐近线方程求解. 【详解】 （1）由题，)21213n nx --=，即2211n n x x --=，2n ≥，*N n ∈，故{}2n x 是以211x =为首项，1为公差的等差数列，故2n x n =，又0n x >，于是n x =．（2）由11n n x x +==+得)12231111...1 (1)n n n S x x x x x x +=+++=+++=+++，Γ的渐近线方程为y =，22133m y x S -=的渐近线方程为y =，故333mS =，即199m S ==，故9999m =． 【点睛】此题考查圆锥曲线与数列的综合应用，涉及数列通项的求法，数列的裂项求和，与双曲线几何性质的综合使用.20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的数据，先求出y 关于x 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入－成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑，a y bx =-．【答案】（1） 3.240y x =-+，理想 （2）单价定为7.5元/件时，获得的利润最大 【解析】（1）求出平均数，根据公式求解回归直线方程，结合给定数据检验是否理想； （2）根据单价和销量得出利润关于单价的函数关系，根据函数求解最值. 【详解】 （1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=， 所以239251083.2502.5510b -⨯⨯==--⨯，则()8 3.21040a =--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240y x =-+． 由6月数据有：8x =，此时， 3.284014.4y =-⨯+=， 则14.414.20.20.5y y -=-=<，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． （2）令销售利润为W ，则()()()22.5 3.240 3.2481002.512.5W x x x x x =--+=-+-<<，因为()2153.215100 3.2100802x x W x x -+⎛⎫=-+-≤⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当15x x =-+，即7.5x =时，W 取最大值． 所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大． 【点睛】此题考查求线性回归直线方程，并检验回归直线是否理想，关键在于根据公式准确计算，建立函数模型，求解利润最大的问题.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1，且离心率为2．（1）设过点11,36P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,Q m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）102x y -+= （2）,44⎡-⎢⎣⎦【解析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；（2）设直线AB 的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段AB 的垂直平分线方程，得出m 的表达式，利用函数关系求解取值范围. 【详解】（1）由题意，得2222112b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=．设点()11,M x y ，()22,N x y ，则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 两式相减得()()()()1212121220x x x x y y y y +-++-=， 又1223x x +=-，1213y y +=，代入得1212x x y y -=-，即1MN k =， 故所求直线的方程是1163y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即102x y -+=． （2）（i ）当直线l 与x 轴垂直时，0m =，符合题意．（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-，0k ≠．联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，可得()()2222124210kxk x k +-+-=，易知>0∆．设()33,A x y ，()44,B x y ，线段AB 的中点为C ，则2342412k x x k +=+，()23422112k x x k-⋅=+， 所以()343422212ky y k x x k-+=+-=+， 所以线段AB 的中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，AB CQ ⊥，0k ≠，故直线QC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0x =，得212k y k =+，即212km k =+．当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =时等号成立； 当k 0<时，得()21014122k m k k k -≤==-<+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，当且仅当2k =时等号成立．综上所述，实数m的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【点睛】此题考查求椭圆方程，利用点差法解决中点弦问题，讨论直线与椭圆形成弦的中垂线与坐标轴交点坐标的取值范围，此题也可设直线l 的方程为1x ty =+求解． 22．已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0a >． （1）若命题：“[]01,4x ∃∈，()01f x >”是真命题，求a 的取值范围；（2）若2a =，1>0x ，20x >，121x x =+，求()()12f x f x +的最小值；（3）若1,12t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（1）1a >；（2）4 ；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）[]01,4x ∃∈，()01f x >，结合单调性只需()()max 10f x f =>即可求解； （2）化简()()122221212113log 2log 2log 4f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合基本不等式求解最值；（3）根据单调性()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，转化为()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即可求解．【详解】（1）依题，当120x x <<时，12110a a x x +>+>，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在0,上单调递减．故()()max 10f x f =>，即21log 11a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得1a >．（2）由1>0x ，20x >，121x x =+及基本不等式得，()21212144x x x x+≤=，故()()1222212121111log 2log 2log 22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222121212121111log 24log 24x xx x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()22123log 4log 3444x x ⎛⎫=+≥⨯+= ⎪⎝⎭，等号当且仅当1212x x ==时成立． 故()()12f x f x +的最小值为4． （3）由（1）知()f x 在0,上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考查对数型复合函数相关知识，涉及单调性讨论最值，利用基本不等式求最值，根据不等式恒成立求参数最值，综合性强.。
2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题(20).doc
2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题(20)一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、已知在中，，那么这个三角形的最大角是( )A. B. C. D.2、若数列满足,那么这个数列的通项公式为( )A. B.C. D.3、已知等比数列的前项和为，若，则（）A.115B.116C.125D.1264、在中，若，，则的值为（）A. B. C. D.5、在数列中，，，则等于( )A. B. C. D.6、若等差数列前项和，则（）A.1B.C.0D.任意实数7、中，表示的面积，若，，则（）A. B. C. D.8、数列的前项和为（）A. B. C. D.9、等差数列,的前项和分别为,,若,则（）A. B. C. D.10、中，，，，则的面积等于( )A.B.C.或D.或11、在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.12B.C.8D.1012、在等差数列中，，其前项和为，若，则()A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、在中，已知，两边，是方程的两根，则等于__________．14、中，若，则的形状为__________．15、已知在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则＝__________.16、设数列的通项为，则__________．三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17、设等差数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及其相应的的值.18、在锐角中，内角对边的边长分别是，且, （1）求角；（2）若边，的面积等于，求边长和.19、如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处，且与岛屿A相距海里，渔船乙以海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处.（1）求渔船甲的速度；（2）求的值.20、在数列中，，（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的前项和．21、已知锐角三角形的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．22、已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，，求证：．高二数学10月份月考试题答案解析第1题答案C第1题解析解：设三角形的三边长分别为，及，根据正弦定理,化简已知的等式得：，设，根据余弦定理得，∵，∴．则这个三角形的最大角为．故选C.第2题答案D第2题解析当时,；当时，,所以，故选D.第3题答案D第3题解析∵是等比数列的前项和，∴成等比数列，∴，∴，∴.故选D.第4题答案A第4题解析∵正弦定理，∴.∵，，∴.第5题答案B第5题解析由递推公式得，，，…，，则．时，，则数列是首项为，公差为，，，则第6题答案C第6题解析∵等差数列得.∴当时，.又，且，∴.故选C.第7题答案B第7题解析∵，即，即，∴，故，角为直角，那么，则，，又，∴，∴，∴，故选.第8题答案B第8题解析因为的通项公式是，那么前项和可以裂项求和得到为，因此得到为，选B.第9题答案B第9题解析因为，所以．故选B.第10题答案D第10题解析由正弦定理，解得，故或；当时，，为直角三角形，；当时，，为等腰三角形，，故选D．第11题答案D第11题解析根据等比数列的性质：，∴.故选D.第12题答案D第12题解析由题意得数列也是等差数列，且数列的首项，公差，所以，所以. 第13题答案第13题解析∵，，∴，解得：．第14题答案等腰三角形第14题解析由余弦定理可知,代入中，得,因此答案是等腰三角形.第15题答案第15题解析设等比数列的公比为，∵，，成等差数列，∴，∴，∵各项都是正数，∴，∴，∴.第16题答案第16题解析.第17题答案（1）（2）当时，取到最小值第17题解析（1）设数列的公差为.由已知条件，得，解得，所以；（2）因为，所以当时，取到最大值．第18题答案（1）；（2）第18题解析（1）由及正弦定理得，得，∵是锐角三角形，∴.（2）由面积公式得, 得, 由余弦定理得,,所以.第19题答案（1）（海里/时）；（2）.第19题解析（1）依题意知,海里，（海里），.在中，由余弦定理，可得，解得海里.所以渔船甲的速度为（海里/时）.（2）由（1）知海里，在中，，由正弦定理，得，即.第20题答案略第20题解析（1）∵，∴，．∴为首项，公比的等比数列，（2）∵，∴，．第21题答案（1）；（2）第21题解析（1）∵，∴，∴，由三角形余弦定理得，，结合得；（2）∵，∴.由题意，三角形是锐角三角形得，，，∴.由正弦定理：且，∴.∵，∴，∴.故.第22题答案（1）；（2）略.第22题解析（1）由题意可知，当时，当，两式作差可得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，当时也满足此式，即通项公式为；（2）①，②两式作差可得，即.。
长沙县高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
长沙县高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。
A3B4C5D62． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b c A B C++++等于（ ）A ．BC D3． 在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3 ）D ．（3，4） 4． 已知函数，，若，则（ ）A1B2C3D-15． 方程x=所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 6． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）A ．y=B ．y=2C ．x=D ．y=﹣27． 已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）8． 设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．（，1）B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）C ．（﹣，）D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）9． 10y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．3010．四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．“x 2﹣4x ＜0”的一个充分不必要条件为（ ）A ．0＜x ＜4B ．0＜x ＜2C ．x ＞0D ．x ＜412．在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形二、填空题13．1785与840的最大约数为 ．14．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．15．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．16．已知f （x ）=，则f （﹣）+f （）等于 ． 17．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．18．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .三、解答题19．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且)3(s i n))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆，求c b ,.。
2019-2020学年湖南省长沙市周南中学学业水平合格性考试压题卷一(解析版)
湖南省长沙市周南中学2019-2020学年学业水平合格性考试压题卷一一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，其中{}1,2,3A =，{}1,3,4,5B =，则()U C A B ⋂等于（ ） A ．{}1,3B ．{}1,3,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．{}4,52．为了得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象，只需把3sin y x =上所有的点（ ）A ．先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移6π个单位B ．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移6π个单位 C ．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左移3π个单位 D ．先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移3π个单位3．某公司有员工200人，其中业务员有120人，管理人员20人，后勤服务人员60人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取后勤服务人员（ ） A ．4人B ．5人C ．6人D ．7人4．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b >B ．11a b< C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 5．已知3cos ,52πααπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．17-B ．17C ．7-D ．43-6．在△ABC 中，16,10,sin 3a b A ===，则sin B =（ ）A ．15B ．59C ．3D ．17．圆22(2)1x y -+=与直线3420x y ++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上三种情况都有可能二、填空题8．函数()2log 1y x =+_____．9．已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 10．不等式2280x x -++>的解集是________.11．在等差数列{}n a 中，411a =-，68a =-，则8a =________12．曲线11x y a +=+（0a >且1a ≠）恒过定点P ，则P 点坐标为___________.13．已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学的成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则m =________．14．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为______. 三、解答题15．某校书法兴趣组有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛每人被选到的可能性相同．用表中字母列举出所有可能的结果；设M 为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M 发生的概率．16．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆交于点3(,)5P m 和点5(,)13Q n ，求sin()αβ+的值.17．已知()f x 为定义在[]22-,上的奇函数，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()42xxf x b b R =-⋅∈. （1）求b 的值，并求出()f x 在(]0,2上的解析式；（2）若对任意的(]0,2x ∈，总有()f x m ≥，求实数m 的取值范围.18．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （2）求三棱锥V ABC -的体积.——★ 参*考*答*案 ★——1．D『解析』 『分析』直接根据交集和补集的定义求解即可．『详解』解：∵{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =， ∴{}4,5U C A =， 又{}1,3,4,5B =， ∴(){}4,5U A B C ⋂=， 故选：D ．『点睛』本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题． 2．A『解析』 『分析』把3sin y x =上所有的点横坐标缩短到原来的12倍可得到函数3sin 2y x =的图象，再把3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数3sin 2()3sin(2)63y x x ππ=+=+.『详解』把3sin y x =上所有的点横坐标缩短到原来的12倍可得到函数3sin 2y x =的图象，再把3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数3sin 2()3sin(2)63y x x ππ=+=+，故答案为A『点睛』本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C『解析』 『分析』先求出每个个体被抽到的概率，再用后勤服务人员的总人数乘以此概率，即可求解.『详解』每个个体被抽到的概率等于20120010=， 由于后勤服务人员有60人， 故应抽取后勤服务人员数为：160610⨯=. 故选：C『点睛』本题考查了分层抽样的特征，注意每个个体被抽到的机会均等，属于基础题. 4．D『解析』 『分析』利用不等式的性质对四个选项逐一判断.『详解』选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的； 选项C:当0c时，a c b c >不成立，故本选项是错误的；选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D.『点睛』本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法. 5．A『解析』 『分析』根据角度的范围，使用平方关系，可得sin α，进一步可得tan α，然后利用两角和的正切公式展开，简单计算，可得结果.『详解』由3cos 5α=-且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以24sin 1cos 5αα，则sin tan s 43co ααα==- 则41tan tan134tan 4471tan tan 1143παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅--⋅ ⎪⎝⎭故选：A『点睛』本题考查平方关系以及两角和的正切公式，重在于对公式的应用，考验计算能力，属基础题. 6．B『解析』 『分析』利用正弦定理求得sin B 的值.『详解』由正弦定理得sin sin a b A B=，所以6101sin 3B =，解得5sin 9B =.故选：B『点睛』本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题. 7．C『解析』 『分析』通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.『详解』圆22(2)1x y -+=的圆心坐标是(2,0)，半径是1r =，因为圆心(2,0)到直线3420x y ++=的距离|232|855d ⨯+==，满足d r ，所以圆22(2)1x y -+=与直线3420x y ++=的位置关系是相离， 故选:C『点睛』本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可. 8．(]1,2-『解析』 『分析』要使函数()2log 1y x =+1020x x +>⎧⎨-≥⎩，然后解出即可.『详解』要使函数()2log 1y x =+1020x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤所以函数()2log 1y x =+(]1,2- 故答案为：(]1,2-『点睛』本题考查的是函数定义域的求法，较简单. 9．6-『解析』 『分析』由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案.『详解』因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-『点睛』本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题. 10．{|24}x x -<<『解析』 『分析』将不等式变形，再求出一元二次方程的根，即可写出不等式的解集.『详解』不等式2280x x -++>等价于2280x x --< 由于方程2280x x --=的解为：2x =-或4x = 所以24x -<<故答案为：{|24}x x -<<『点睛』本题主要考查的是一元二次不等式的解法，是基础题. 11．5-『解析』 『分析』直接利用等差数列性质得到答案.『详解』根据等差数列性质：4862+=a a a ，故864216115a a a =-=-+=-. 故答案为：5-.『点睛』本题考查了等差数列性质的应用，属于简单题. 12．(1,2)-『解析』 『分析』令解析式中的指数10x +=，求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标.『详解』解：由于函数xy a =恒经过定点（0，1）， 令10x +=，可得1x =-，代入11x y a +=+得2y =，故函数11x y a+=+（0a >且1a ≠）恒过定点的坐标为(1,2)-.故答案为：(1,2)-.『点睛』本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x 和y 的值，属于基础题．13．4『解析』 『分析』由图中数据算出甲同学成绩的平均数，然后可得乙同学成绩的平均数，然后即可算出m .『详解』依题意，甲同学成绩的平均数为7180818485858799848+++++++=，则7482808687889295868m ++++++++=，解得4m =．故答案为：4『点睛』本题考查的是由茎叶图中的数据计算平均数，较简单.14『解析』 『分析』先设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，根据题意，求出1r =，进而可求出圆锥的高.『详解』设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，由题意，4rl π=π，解得1r =，所以h ==.『点睛』本题主要考查圆锥的相关计算，熟记圆锥的侧面积公式，以及圆锥的结构特征即可，属于基础题型.15．（1）见解析；（2）1.『解析』试题分析：（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题『解析』（1）解：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为共15种。
2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高二上学期第一次阶段性考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高二上学期第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．已知命题:p x R ∃∈， 210x x -+>，则（ ） A ．:p x R ⌝∃∈， 210x x -+≤ B ．:p x R ⌝∃∈， 210x x -+< C ．:p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤ D ．:p x R ⌝∀∈， 210x x -+<【答案】C【解析】Q 命题:p x R ∃∈，210x x -+>的否定是特称命题，故可知其否定为:p x R ⌝∀∈，210x x -+≤故选C2．在ABC V 中， ()2,4AB =u u u v ， ()1,3AC =u u u v ，则CB =u u u v( )A ．()3,7B ．()3,5C ．()1,1D ．()1,1--【答案】C【解析】()()()2,41,311CB AB AC =-=-=u u ur u u u r u u u v ，，故选C3．等差数列{}n a 中，2491136a a a a +++=，则58a a +的值为（ ） A ．12 B ．18C ．9D ．20【答案】B【解析】由等差数列的性质得到，4921158a a a a a a +=+=+，由条件知2491136a a a a +++=58582()18a a a a =+⇒+=．故答案为B ．4．一枚硬币连续投掷三次，至少出现一次正面向上的概率为( )A ．78 B ．38C ．18D ．13【答案】A 【解析】【详解】连掷三次硬币，所有情况共8种：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正，)，(反，正，反，)，(反，反，正)，(反，反，反)，其中至少出现一次正面向上的情况共7种． 故所求概率为：78P =. 故选：A.5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本中的中位数、众数、极差分别是（ ） 1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 9 6 178A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56.D ．45，47，53【答案】A【解析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可. 【详解】解：中位数为45和47平均数，即4547462+=， 众数为45，极差为681256-=， 故选：A. 【点睛】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力. 6．设x ，y ∈R ，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“1xy =” 是“11x y ==且”的必要而不充分条件，所以“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的必要而不充分条件，选B. 7．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位【答案】A 【解析】【详解】sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)62633y x x x x πππππ=+=--=-=-，设x x ϕ→+ ，cos 2()cos(22)y x x ϕϕ=+=+ ，令2,36ππϕϕ=-=-，把函数cos2y x =的图象向右平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=+的图象.选A. 8．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，则向量122e e +u r u u r 在向量12e e -u r u u r 方向上的投影为（ ） A ．12-B ．12C．14-D【答案】A【解析】直接利用向量的数量积，向量的模和向量的夹角运算求出结果. 【详解】解：∵单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，∴121cos 32e e π⋅==u r u u r ，∴121e e -==u r u u r ，∴向量122e e +u r u u r 在向量12e e -u r u u r方向上的投影为： ()()()()221212121221211221222e e e e e e e e e e e e e e +⋅=---+⋅=+⋅-=-u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r u r u u r， 故选: A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模及向量的夹角运算的应用.9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．313B ．213C ．926D ．413【答案】D【解析】通过余弦定理求出AB ，即可得DF AB ，进而可得2DEF ABC D A S B S F ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，根据几何概型的概率公式可得结果. 【详解】解：在ABC V 中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒, 由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =， 所以所求概率为241313DEF ABC S S ==△△. 故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型的概率公式应用问题，是基础题.10．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ） A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ 【答案】C【解析】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得12a =(1+，则sin cos 10θθ=<，θ在第二或第四象限，排除A 和D，又sin cos 10θθ+=而sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C.点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a 的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得1a =即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B.11．已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A．2⎤⎥⎣⎦ B．12⎤⎥⎣⎦ C．⎣⎦D．⎣⎦【答案】B【解析】椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ，∠ABF=α，则∠AF 1F=α．椭圆的离心率e=22c a =1sin cos αα+=14πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，α∈[6π， 4π])14≤sin （α+4π）≤114πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．【详解】椭圆2222x ya b+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e=22ca=1sin cosαα+=124sinπα⎛⎫+⎪⎝⎭，α∈[6π，4π]，∴512π≤α+4π≤2π，则：()2314+≤sin（α+4π）≤1，∴2≤124sinπα⎛⎫+⎪⎝⎭≤3﹣1，∴椭圆离心率e的取值范围：231⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故答案为B 【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.12．在锐角ABC V 中，A ，B ，C 分别为ABC V 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 2B B +=，且满足关系式cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的取值范围是（ ）A ．B ．⎝⎦C ．⎝⎭D ．(3,【答案】D【解析】先通过cos 2B B =，利用辅助角公式可得3B π=，再根据条件cos cos 2sin sin3sin B C A Bb c C+=，利用正弦定理边化角，可得b =a c +利用正弦定理边化角可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而可得取值范围. 【详解】解：cos 2B B =得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2663B πππ<+<，所以3B π=. 在锐角ABC V 中，62A ππ<<，由正弦定理得：cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A Bb c bc b C b C C+++====所以32sin b B==所以()2sin sin 2sin 2sin sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为2363A πππ<+<，所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,23a c ⎤+∈⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形中的最值问题，是中档题.二、填空题13．在约束条件下010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，则()221z x y =-+的最小值为______.【答案】45【解析】根据题意先做出可行域，要求()221z x y =-+的最小值，也就是()1,0这个点到可行域的最小距离的平方，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离. 【详解】 解：作出可行域：可行域为一个直角梯形ABCD ，其中10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2B ，()1,2C ，()1,1D ，()221z x y =-+，表示两点间距离PQ 的平方，其中P 为可行域内任一点，()1,0Q ， 因此PQ 最小值为()1,0Q 到直线210x y -+=112555+=. 故答案为：45. 【点睛】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，是基础题.14．已知函数()()()sin 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=______.【答案】43π 【解析】由函数()f x 的部分图象，求出最小正周期T 得ω；由506f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合ϕ的范围，由正弦函数的图象和性质可求出ϕ的值. 【详解】解：由函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象知，152632T πππ=-=， T π∴=，22Tπω∴==； 又55sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴由正弦函数的图象和性质可得：5226k πϕππ⨯+=+， 即52,3k k Z πϕππ=+-∈，且02ϕπ<<， 43πϕ∴=. 故答案为：43π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题. 15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为__________元．【答案】2400【解析】由频率分布直方图估计这100人的月平均收入为：12500.000250017500.000450022500.000550027500.000550032500.000350037500.00015002400⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故答案为2400.16．数列cos3n n n b a π=的前n 项和为n S ，已知20175710S =，20184030S =，若数列{}n a 为等差数列，则2019S =______． 【答案】666【解析】求得数列{}n b 的前6项之和，再由20175710S =，20184030S =，表示数列{}n a 的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和 【详解】解：设数列{}n a 为公差d 的等差数列，123456245cos coscos cos cos cos 23333a a a a a a ππππππ+++++ ()()1254363611= (22)a a a a a a a a -+--+=-+，由20175710S =，20184030S =，可得()()39201361220102016201715710=-......2a a a a a a a a +++++++++()()3920136122010201620172018114030=-......-22a a a a a a a a a +++++++++两式相减可得2018=3360a ， 由()15710=100833602d d +-，解得4d = ， 则()20182018444712n a a n n =+-⨯=-可得()20192019=4030-=4030-42019-4712=666S a ⨯ 故答案为：666【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为xm ，宽为ym .（1）若菜园面积为272m ，则,x y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值.【答案】(1)长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小.(2)310. 【解析】试题分析：(1)由题意可得72xy =，而篱笆总长为2x y +，利用均值不等式的结论可得菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小.(2)由已知得230x y +=，利用均值不等式可得()1229x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，则12x y +的最小值是310. 试题解析：（1）由已知可得72xy =，而篱笆总长为2x y +； 又因为2224x y xy +≥=，当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立.所以菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小. （2）由已知得230x y +=，又因为()12222225529y x y xx y x y x y x y ⎛⎫+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，所以12310x y +≥，当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立.所以12x y +的最小值是310.18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222()(cos cos )b c a c a C c A +-=+．（Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若3a =，ABC △，求b c +的值．【答案】（Ⅰ）1cos 4A =；（Ⅱ）b c +=【解析】（Ⅰ）由题意结合余弦定理可得()4bccosA c acosC ccosA =+，然后边化角可得4sinBcosA sinB =，据此确定cosA 的值即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA =．结合面积公式可知4bc =．然后利用余弦定理求得a 的值，最后求解b c +的值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()()2222b c ac acosC ccosA +-=+，所以()4bccosA c acosC ccosA =+， 所以4bcosA acosC ccosA =+，所以()4sinBcosA sinAcosC sinCcosA sin A C =+=+， 又A B C π++=，所以4sinBcosA sinB =，因为()0,B π∈，所以0sinB ≠，所以41cosA =，所以14cosA =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知14cosA =，所以sinA ==．因为ABC V 1122bcsinA bc =⋅=，所以4bc =． 由余弦定理可得()()2222252102a b c bccosA b c bc b c =+-=+-=+-，因为3a =，所以()2910b c =+-，所以b c += 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组数据：（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001） 附注：①参考数据：101ii x =∑=14.45，101ii y =∑=27.31=0.850，，b r=1.222．②参考公式：相关系数：r nx y nxy-．回归方程y =b r x +a r中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b r =1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，a r =y -b rx 【答案】（1）见解析；（2）① 1.22206ˆ.95yx =+；②3.385万元． 【解析】（1）由已知条件利用公式ˆr b=，求得r 的值，再与0.75比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将 1.98x =代入所求线性回归方程求出对应的y 的值即可. 【详解】（1）由已知条件得：1022110221100.8501.2220.9970.751.04210ˆiiiix xr by y==-=⋅=⨯=>-∑∑，这说明y与x正相关，且相关性很强．（2）①由已知求得 1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.445ˆˆ0.965x y a y bx===-=-⨯=，所以所求回归直线方程为 1.22206ˆ.95y x=+．②当 1.98x=时， 1.222 1.980.965 3.385y=⨯+=（万元），此时产品的总成本为3.385万元．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i ii ix y x x y==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a=+；回归直线过样本点中心(),x y是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 20．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A CD F--为60︒，DE CF∥，,2CD DE AD⊥=，3DE DC==，6CF=．（1）求证：BF∥平面ADE；（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角B EG D--的余弦值为14．【答案】（1）详见解析；（2）点G满足32CG=.【解析】（1）先证明//BC平面ADE，//CF平面ADE，可得平面//BCF平面ADE，从而可得结果；（2）作AO DE⊥于点O，则AO⊥平面CDEF，以平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t-≤≤，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG的法向量，结合面DEG的一个法向量为()0,0,1n=r，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t=，从而可得结果. 【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ， 又因为BC 不包含于平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ， 而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，(3OB OA AB OA DC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，设()3,,0,15G t t -≤≤，则((3,2,3,0,,3BE BG t =--=-u u u v u u u v ， 设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =u r，则由00m BE m BG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得323030x y z ty z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，取233x t y z t⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，得平面BEG的一个法向量为()2m t =-v，又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =r，cos ,m nm n m n ⋅∴==v vv v v v ，14=， 解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 21．设数列{}n a 满足1n na q a +=，且0q ≠，数列{}nb 满足()1231(1)(22*)n n n b na n a n a a a n N -=+-+-+++∈L ，已知1232mb m b ==，，其中0m ≠；（Ⅰ）当1m =时，求n a 和n b ；（Ⅱ）设n s 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有2430n n s s -+≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，162(2)9nn n b -++-=；（Ⅱ）[]2,3.【解析】（I ）求出1a m =，22a m=-可得公比12q =-，利用等比数列的通项公式可得n a ；利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求得n b ；（II ）利用等比数列求和公式可得n 21132nm S ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由2430n n s s -+≤得[]1,3n S ∈，从而1233111122nnm≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34，进而可得结果. 【详解】（I ）由已知11b a =， ∴1a m =， 又∵2122b a a =+，∴12322m a a +=，解得22a m=-， ∴数列{}n a 的公比12q =-，当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++L , ①()23111 (22)n n n b na n a a a +-=+-+++，② ②-①得23132n n n n a a a a b +-=-+++++L ,111223111123212n n nb n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭；（II ）n11221113212n nm m S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭, 由2430n n s s -+≤得[]1,3n S ∈，1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭Q所以1233111122nnm≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 112n⎛-∴⎫- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34， 因为对于任意的正整数n ，都有1233111122nnm≤≤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 42233m ∴≤≤，解得23m ≤≤， 即所求实数m 的取值范围是[]2,3. 【点睛】本题主要考察一元二次不等式的解法、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ，点210(2,)3H 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于,P Q 两点，问：2PF Q ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要确定,a b 的值，题中焦点说明1c =，点H 在椭圆上，把H 坐标代入标准方程可得,a b 的一个方程，联立后结合222a b c =+可解得,a b ；（2）定值问题，就是让切线绕圆旋转，求出2PF Q ∆的周长，为此设直线PQ的方程为y kx m =+（0,0)k m ，由它与圆相切可得,m k的关系，m =，下面来求周长，设()()1122,,,P x y Q x y ，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后得一元二次方程，可得1212,x x x x +，由弦长公式12PQ x =-得弦长，再求得22,PF QF （这也可由焦半径公式可得），再求周长22+PF QF PQ +，可得定值．试题解析：（1）由题意得222222219{{440891a b c a b a b -===∴=+= 所以椭圆方程为22198x y +=（2）由题意，设PQ 的方程为()0,0y kx m k m =+PQ Q 与圆228x y +=相切，=m =由()22222{89189720198y kx mk x kmx m x y =+∴+++-=+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则212122218972,8989km m x x x x k k--+==++12PQ x ∴=-=2689km k -==+ 又()()()22222212111111181999x PF x y x x ⎛⎫=-+=-+-=- ⎪⎝⎭()211119333PF x x ∴=-=-，同理()222119333QF x x =-=- ()221221666389kmPF QF x x k∴+=-+=++ 222266+668989km kmPF QF PQ k k ∴+=+-=++（定值）【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合．【名师点睛】若直线y kx b =+与椭圆相交于两点1122(,),(,)A x y B x y，则12AB x =-12y y =-，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．。
湖南省长沙市周南中学高二上第一次月考理科数学试题(无答案)
湖南省长沙市周南中学高二上第一次月考理科数学试题（无答案）高二数学(文科)一、选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只要一项为哪一项契合标题要求的)1.命题〝0122＜，+-∈∃x x R x 〞的否认是A.0122≥+-∈∀x x R x ，B.0122＞，+-∈∃x x R x C.0122≥+-∈∃x x R x ， D.0122＜，+-∈∀x x R x2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不统一的事情是A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D.恰有一个黑球与恰有两个红球3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且152332=-S S ,那么数列{}n a 的公差为A.-5B.-4C.3D.64.从区间[]10，随机抽取n 2个数，，，，，，，n n y y y x x x ⋯⋯2121构成n 个数对()()，，，，2211y x y x …，()，，n n y x 其中两数的平方和小于4的数对共有m 个,那么用随机模拟的方法失掉的圆周率π的近似值为 A.m n 4 B.m n 2 C.n m 4 D.nm 2 5.变量x 和y 的统计数据如下表：依据上表可得回归直线方程，∧∧+=a x y 7.0据此可以预告事先6=x ,=yA.8.9B.8.6C.8.2D.8.16.设，R ∈θ那么〝1212π＜π-θ〞是〝21sin ＜θ〞的 A 充沛不用要条件 B.必要不充沛条件C.充要条件D.既不充沛也不用要条件7.输入实数12=x ,执行如下图的流程图,那么输入的x 是A.25B.103C.102D.518.等比数列{}n a 中,，，425421=+=+a a a a 那么=+1110a aA.8B.16C.32D.649.假定y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x 那么y x x 2+=的最大值为 A.0 B.1 C.23 D.2 10.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,100.适当分组后在第一组采用复杂随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中,編号落入区间[]4001，的人做间卷A,编号落入区间[]750401，的人做问卷B,其他的人做问卷C ，那么抽到的人中,做问卷C 的人数为A.12B.13C.14D.1511.:命题p :关于x 的不等式m x x x ＞2241+-的解集为{}；，R x x x ∈≠0|命题:q ()()xm x f 25--=是减函数,假定”“q p ∨为真命题,〝q p ∧〞为假命题,那么实数m 的取值范围是A.()21，B.(]1，∞-C.[)21，D.()1-∞-， 12.集合(){}(){}，，，，，，，，Z y x y x xy B Z y x y x y x A ∈≤≤=∈≤+=22|1|22定义集合()()(){}B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕22112121|，，，，时,那么B A ⊕中元素的个数为 A.30 B.45 C.49 D.77二、填空题(每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上)13.把二进制数()211001化为十进制数等于___________.14.某学校高一,高二、高三年级的先生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的先生中抽取容量为50的样本,那么应从高二年级抽取_________名先生.15.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (0＞k 且1≠k )的点的轨迹是圆.先人将这个圆称为阿氏圆.假定面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 与A 、B 距离之比为，2,当P 、A 、B 不共线时,△PAB 面积的最大值是______.16.等边三角形ABC 的边长为4,其外接圆圆心为点O,点P 在△ABC 内,且OP=1,∠BAP=θ,当△APB 与△APC 的面积之比最小时,θsin 的值为__________.三、解答题(本大题共7小题,共70分解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(此题10分)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边区分为，、、c b a 且0cos sin =-A b B a .(1)求角A 的大小；(2)假定，，252==b a 求△ABC 的面积。
湖南省长沙市周南实验中学2019-2020年人教版初三第一学期第一次月考数学试卷(word版、无答案
长沙市周南实验中学2019-2020学年第一学期第一次月考试卷初三 数学本试卷共4页，26小题，满分120分，考试用时120分钟一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共36分）1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为（ ）A.2B. 1C. 1-D. 2-3. 在平面直角坐标系中，点A （2-，1）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（ ）A.（2-，1）B.（2，1-）C.（2，1）D.（2-，1-） 4. 用配方法解一元二次方程2650x x --=，此方程可化为（ ）A. 234x -=（）B. 2314x -=（）C. 294x -=（）D. 2914x -=（）5. 已知点A （2-，1y ）、B （1，2y ）、C （2，3y ）都在函数2(1)y x =-的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 213y y y << 6. 一元二次方程2450x x -+=的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7. 抛物线232y x =-的顶点坐标是（ ）A.（3，2-）B.（3-，2）C.（0，2-）D.（3，0） 8. 如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是232cm ，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（ ）A. 1064632x ⨯-⨯=B. 1026232x x --=（）（）C. 10632x x --=（）（）D. 2106432x ⨯-=9. 下列四个图形中哪些图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④ 10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交边AD 、BC 于E F 、两点，则阴影部分的面积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线443y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把AOB ∆绕点A 顺时针旋转90︒后得到AO B ''∆，则点B '的坐标是（ ）A.（3，4）B.（4，5）C.（7，4）D.（7，3） 12. 如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（1-，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴，给出五个结论：①0a b c ++=，②0abc <，③20a b +>，④1a c +=，⑤当11x -<<时，0y <；其中正确的结论的序号（ ）A. ①③⑤B. ②③④C. ①③④D. ②③⑤二、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共18分）13.一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的第8题图 第10题图 第11题图高度h （米）关于运行时间t （秒）的函数解析式为2111804h t t =-++020t ≤≤（） 那么网球到达最高点时所需的时间是 秒 14. 在中秋晚会上，同学互送礼物，经统计送出的礼物共有110件，则参加晚会的同学共 人. 15. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为5万件和6.05万件，假设该公司每月的投递总件数的平均增长率相同，设增长率x , 请列出方程 . 16. 已知二次函数22(1)1y x =-+，当03x ≤≤时，y 的取值范围 .17. 如图，将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转至A B C ∆''，使点A '落在BC 的延长线上．已知27A ︒∠=，40B ︒∠=，则ACB ∠'= 度. 18. 已知二次函数269y kx x =--的图象与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围 .三、用心做一做，立竿见影（共8题，共计66分）19.（60212(2019)()2π---+-.20.（6分）用合适的方法解方程（每小题3分）.（1）23x x = （2）22+5120x x -=21.（8分）为了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的m 的值为 ；（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数和中位数；（3）若该校九年级共有学生500人，如果体育成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数．22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，A （1，3-）、B （5，2-）、C （3，5-）（1）画ABC ∆关于点O 对称的111A B C ∆；（2）求出111A B C ∆的面积；（3）以B 为旋转中心，画出ABC ∆绕点B 顺时针旋转90︒得到的222A B C ∆，并写出2C 的坐标 .23.（9分）某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y （件）与销售单价x （x 为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w 元，求w 与x 之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？24.（9分）如图，已知ABC ∆中，AB AC =，把ABC ∆绕A 点沿顺时针方向旋转得到ADE ∆，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：AEC ADB ∆∆≌；（2）若2AB =，45BAC ︒∠=，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．25.（10分）已知关于x 的一元二次方程215500mx m x m +--=≠（）（）． （1）求证：无论m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线2155y mx m x =+--（）与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且126x x -=，求m 的值；（3）若0m >，点P （a ，b ）与Q （a n +，b ）在（2）中的抛物线上（点P Q 、 不重合），求代数式2248a n n -+的值．26.（10分）如图，已知抛物线21y ax bx =++经过A （1-，0），B （1，1）两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线1l ：11y k x b =+（1k ，1b 为常数，且10k ≠），直线2l ：22y k x b =+（2k ，2b 为常数，且20k ≠），若12l l ⊥，则12•1k k =-．解决问题：①若直线31y x =-与直线2y mx =+互相垂直，求m 的值；②抛物线上是否存在点P ，使得PAB ∆是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．。
2019-2020学年高二(上)第一次月考数学试卷 (17)-0723(含答案解析)
2019-2020学年高二（上）第一次月考数学试卷 (17)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99+a 100的值为( )A. 3724B. 76C. 1115D. 7152. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 5−a 2=2，则S 15=( )A. 28B. 30C. 56D. 603. 已知等比数列{a n }满足a 2=3，a 2+a 4+a 6=21，则a 4+a 6+a 8=( )A. 21B. 42C. 63D. 84 4. 已知等差数列{a n }的前9项和为45，a 3=−1，则a 7=( )A. 11B. 10C. 9D. 85. 在等比数列{a n }中，a 2a 3a 7=8，则a 4=( )A. 1B. 4C. 2D. 2√26. 设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 7=33，a 2+a 5+a 8=27，若S n 有最大值，则n 的值为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 107. 等差数列{a n }中，S 10=4S 5，则a1d =( )A. 12B. 2C. 14D. 48. 等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A. −24B. −3C. 3D. 8 9. 已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和S n =3n−1+t ，则t 的值为( )A. −1B. −3C. −13D. 110. 在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6=( )A. −1B. 0C. 1D. 611. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=7且4S n =n(a n +a n+1)，则S 10等于( )A. 90B. 100C. 110D. 12012. 在数列{a n }中，a 1=1，3a n a n−1+a n −a n−1=0(n ≥2)，数列{b n }满足b n =a n ⋅a n+1，T n 为数列{b n }的前n 项和．若对任意的n ∈N ∗，不等式λT n <n +12恒成立，求实数λ的取值范围．A. λ<49B. λ<47C. λ<40D. λ<45二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等差数列{a n }中，a 3+a 4=30，则数列{a n }的前6项和为______ ．14. 已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为_________．(i∈15.在如图所示的三角形数阵中，用a i,j(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N∗)，已知a i,1=1−12i−1 N∗)，且当i≥3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即a i,j=a i−1,j−1+a i−1,j(2≤j≤i−1)，若a m,2>100，则正整数m的最小值为______16.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n+3n，则a n=______..三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2,S3=12，求a6的值．(2)在等比数列{a n}中，S3=7,S6=63，求a n．(n∈N∗).18.已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=3−2a n(1)求a2，a3的值；(2)证明：2<a n+1<a n．19.已知数列{a n}中，a1=3，{a n}的前n项和S n满足：S n+1=a n+n2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足：b n=(−1)n+2a n，求{b n}的前n项和T n．20.已知等差数列{a n}的首项a1=4，公差d>0，且a1，a5，a21分别是正数等比数列{b n}的b3,b5 ,b7项．(Ⅰ)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n}对任意n∗均有c1b1+c2b2+⋯+c nb n=a n+1成立，设{cn}的前n项和为T n，求T n．21.某地现有居民住房的总面积为a平方米，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(Ⅰ)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少(可取1.110≈2.6)？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，过10年还未拆除的旧住房总面积占当地住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)？22.已知等差数列{a n}中，S3=21，S6=24，求数列{|a n|}的前n项和T n．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查数列项的求解，利用数列的规律性是解决本题的关键，为中档题． 将数列进行重新分组，根据数列项的规律即可得到结论． 【解答】解：将数列进行重新分组为(11)，(21,12)，(31,22,13)，(41,32,23,14)，…， 则a 99，a 100分别是第14组的第8个和第9个数，分子和分母之和为15， 故a 99=78，a 100=69， 则a 99+a 100=78+69=3724， 故选：A ． 2.答案：B解析：【分析】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和，属于基础题． 【解答】解：由2a 5−a 2=a 5+3d =a 8=2，S 15=15×(a 1+a 15)2=15a 8=30，故选B ． 3.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2=3，a 2+a 4+a 6=21，∴3(1+q 2+q 4)=21，可得q 4+q 2−6=0， 解得q 2=2．则a 4+a 6+a 8=q 2(a 2+a 4+a 6)=2×21=42． 故选：B ． 4.答案：A解析：【分析】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用，属于基础题． 【解答】解：由题意，等差数列{a n }的前9项和为45，所以S9=9(a1+a9)2=9a5=45，∴a5=5，又2a5=(a3+a7)，∴a7=2a5−a3=11．故选A．5.答案：C解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．由等比数列的通项公式可把a2a3a7转化为a43，即可求出a4的值．【解答】解：由于数列{a n}为等比数列，∴a2a3a7=(a1q)(a1q2)(a1q6)=a13q9=(a1q3)3=a43=8，∴a4=2，故选C．6.答案：C解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a4+a7=33，得3a4=33，即a4=11，由a2+a5+a8=27，得3a5=27，即a5=9，∴d=−2，a n=a4+(n−4)d=−2n+19，由a n>0，得n<9.5，∴S n的最大值为S9，∴n=9．故选：C．设出等差数列的公差为d，由a1+a4+a7=33，a2+a5+a8=27，利用等差数列的性质求出a4和a5的值，两者相减即可得到d的值，根据a4和公差d写出等差数列的通项公式a n，令a n大于0列出关于n的不等式，求出解集中的n的最大正整数解即为满足题意n的值．考查学生灵活运用等差数列的性质及等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．7.答案：A解析：【分析】直接利用等差数列的前n项和代入即可求得a1d的值．本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且S10=4S5，∴10a1+10×92d=20a1+4×5×42d，即d=2a1，∴a1d =12．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2·a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，且a1=1，d≠0，解得d=−2，∴{a n}前6项的和为S6=6a1+6×52d=6−30=−24．故选A.9.答案：C解析：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3n−1+t，∴n=1时，a1=S1=1+t；n≥2时，a n=S n−S n−1=3n−1+t−(3n−2+t)=2×3n−2，n=1时上式成立，∴1+t=2×3−1，解得t=−13．故选：C．等比数列{a n}的前n项和S n=3n−1+t，n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n−S n−1，n=1时上式成立，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=12(a2+a6)=12(4+a6)=2，解得a6=0．故选：B．直接利用等差中项求解即可．本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．11.答案：B解析：解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n(a n+a n+1)，可得4S3=3(a3+7)，4S2=2(a2+a3)，4S1=a1+a2，∴a2=3a1，a3=5a1，从而4×9a1=3(5a1+7)，即a1=1，∴a2=3，a3=5，∴4S4=4(a4+a5)，∴a5=9，同理得a7=13，a8=15，…，a n=2n−1，∴S n=n2，经验证4S n=n(a n+a n+1)成立，∴S10=100．故选：B．由题意可得4S3=3(a3+7)，4S2=2(a2+a3)，4S1=a1+a2，运用数列的递推式可得a1=1，a2=3，a3=5，进而得到a n=2n−1，S n=n2，即可得到所求值．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，注意运用数列递推式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：1a n=1+(n−1)×3=3n−2．∴a n=13n−2，∵b n=a n⋅a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，∴T n=13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)，∵λT n<n+12恒成立，∴λ<3n+12n+37≤49(当且仅当n=2时取“=”)，解得λ<49．13.答案：90解析：解：等差数列{a n}中，a3+a4=30，∴数列{a n}的前6项和为S6=6×a1+a62=6×a3+a42=6×302=90．故答案为：90．根据等差数列项的性质，利用前n项和公式，即可求出S6的值．本题考查了等差数列项的性质以及前n项和公式的应用问题，是基础题目．14.答案：10解析：【分析】本题考查等差数列的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．设出项数为2n，由条件得，S偶−S奇=nd，从而解出项数．【解答】解：设项数为2n，则由S偶−S奇=nd得，25−15=2n，解得n=5，故这个数列的项数为10．15.答案：103解析：【分析】本题主要考查合情推理，数列的函数特征，属于难题．根据条件求数列{a n,2}的通项，根据数列的函数特征求解．【解答】解：∵a n,1=1−12n−1， ∴a n−1,1=1−12n−2，(n ≥2)，下面求数列{a n,2}的通项，由题意知a n,2=a n−1,1+a n−1,2，(n ≥3)， ∴a n,2−a n−1,2=a n−1,1=1−12n−2，(n ≥3)，∴a n,2=(a n,2−a n−1,2)+(a n−1,2−a n−2,2)+⋯+(a 3,2−a 2,2)+a 2,2=12n−2+n −52， ∵数列{a n,2}是递增数列，且a 102,2<100<a 103,2， ∴m 的最小值为103， 故答案为103． 16.答案：n ⋅3n−1解析：解：数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n +3n ， 可得a n+13n=a n 3n−1+1，所以数列{a n3n−1}是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列，a n 3n−1=n ，可得a n =n ⋅3n−1． 故答案为：n ⋅3n−1．方程两边同除以3n ，推出数列{a n3n−1}是等差数列，然后求解数列的通项公式．本题考查数列的递推关系式的应用，推出新数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力． 17.答案：解：(1)设公差为d ，a 1=2，S 3=12 ∴2+2+d +2+2d =12， 解得d =2，∴a 6=a 1+5d =12，(2)若q =1，则S 6=2S 3，与已知矛盾，所以q ≠1． 则{S 3=a 1(1−q 3)1−q =7S 6=a 1(1−q 6)1−q =63解得{a 1=1q =2，即a n =2n−1．解析：本题考查了等差数列等比通项公式及求和公式的灵活应用问题，是简单的计算题目． (1)根据等差数列的求和公式和通项公式即可求出，(2)根据等比数列的前n 项和公式建立方程组求出首项和公比即可求a n ．18.答案：(1)解：∵a 1=4，a n+1=3−2a n (n ∈N ∗).∴a 2=3−2a 1=52，a 3=3−2a 2=115．(2)证明：a 1=4，a n+1=3−2a n(n ∈N ∗).∴a n+1−2a n+1−1=3−2a n −23−2a n−1=12⋅a n −2a n −1，又a 1−2a1−1=23． ∴数列{a n −2an−1}是等比数列，首项为23，公比为12， ∴a n −2a n−1=23⋅(12)n−1， 解得a n =1+11−23⋅(12)n−1，由函数y =(12)x 在[0,+∞)上单调递减， 可得：数列{a n }单调递减，∴a n >a n+1>2．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性，考查了推理能力语音计算能力，属于较难题．(1)由a 1=4，a n+1=3−2a n(n ∈N ∗).可得：a 2=3−2a 1，a 3=3−2a 2．(2)由a 1=4，a n+1=3−2a n(n ∈N ∗).可得a n+1−2an+1−1=3−2a n −23−2a n−1=12⋅a n −2a n−1，利用等比数列的通项公式与单调性即可得出．19.答案：解：(1)由S n +1=a n +n 2①， 得S n+1+1=a n+1+(n +1)2②， 则②−①得a n =2n +1． 当a 1=3时满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n +1． (2)由(1)得b n =(−1)n +22n+1，所以T n =b 1+b 2+...+b n =[(−1)+(−1)2+...+(−1)n ]+(23+25+...+22n+1) =(−1)×[1−(−1)n ]1−(−1)+23×(1−4n )1−4=(−1)n −12+83(4n −1)．解析：【分析】(1)由S n +1=a n +n 2，得S n+1+1=a n+1+(n +1)2，两式相减推出数列{a n }的通项公式为a n =2n +1．(2)化简通项公式，利用分组求和法求解数列的和即可．本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)∵a 5=4+4d ，a 21=4+20d ，且a 1，a 5，a 21成等比数列， ∴(4+4d)2=4(4+20d)， 整理得：d 2=3d ， ∵公差d >0， ∴d =3，∴a n =4+(n −1)×3=3n +1． 又b 3=a 1=4，b 5=a 5=16， ∴q 2=4， ∵q >0， ∴q =2， ∴b 1=b3q 2=1， ∴b n =2n−1．(Ⅱ)∵c 1b 1+c 2b 2+⋯+cnb n =a n+1，①∴c 1b 1+c 2b 2+⋯+cn−1b n−1=a n (n ≥2)，②①−②：cnb n =a n+1−a n =3，∴c n =3b n =3⋅2n−1(n ≥2)， 又c 1=b 1a 2=7，∴c n ={7 (n =1)3⋅2n−1(n ≥2)．∴T n =c 1+c 2+⋯+c n =7+3⋅21+3⋅22+⋯+3⋅2n−1=7+3(21+22+⋯+2n−1)=7+6(1−2n−1)1−2=3⋅2n +1．解析：(Ⅰ)依题意，利用等差数列与等比数列的通项表达式通过解方程可求得d =3，q =2，b 1=1，从而可求得数列{a n }与{b n }的通项公式； (Ⅱ)依题意，可求得c n ={7 (n =1)3⋅2n−1(n ≥2)，借助等比数列的求和公式即可求得{c n }的前n 项和为T n ．本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查方程思想与类比思想，考查等比数列的求和公式，属于中档题．21.答案：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a −x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a −x)−x =1.12a −1.1x −x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a −1.1x −x)−x =1.13a −1.12x −1.1x −x ；……由题意得：2.6a −16x =2a.解得x =380a(m 2).即每年应拆除的旧住房面积为3a80m 2 (2)所求百分比为a2−380a×102a=116≈6.3%．∴在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%．第11页，共11页 解析：本题主要考查了数列的应用题，同时考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．(1)利用一年后、二年后找规律得到10年后的住房面积，然后根据10年后该地区的住房总面积恰好比目前翻一翻建立等式，解之即可；(2)先求出在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积，以及当时住房总面积，两值相除即可求出所求．22.答案：解：设公差为d ，∵S 3=21，S 6=24，∴{3a 1+3×22d =216a 1+6×52d =24， 解方程组得：d =−2，a 1=9．∴a n =9+(n −1)(−2)=−2n +11．由a n ≥0，解得n ≤112，即n ≤5．∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0．由数列{a n }的前n 项和为：S n =9n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+10n ．∴当n ≤5时，T n =S n =−n 2+10n ．当n ≥6时，T n =a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−⋯−a n=2S 5−S n=n 2−10n +50．即S n ={−n 2+10n,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6(n ∈N ∗).解析：设公差为d ，由S 3=21，S 6=24，利用等差数列的前n 项和公式可得d ，a 1.分别解出a n ≥0，a n <0.再利用绝对值的意义、等差数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了绝对值数列求和问题、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
湖南省长沙市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷(I)卷
湖南省长沙市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·济南期中) 若命题，则为（）A .B .C .D .2. （2分）有下列说法：（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件；（3）“”为真是“”为假的必要不充分条件；（4）“”为真是“”为假的必要不充分条件。
其中正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）在等差数列中，若是方程的两个根，那么的值为（）A . －6B . －12C . 12D . 64. （2分） (2017高三上·綦江期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣25. （2分）已知等差数列的前n项和为，且则（）A . 11B . 16C . 20D . 286. （2分） (2019高二上·浙江期中) 函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立.则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（）A .B .C . 1D .8. （2分）已知函数f（x）=若f（x）≥kx，则k的取值范围是（）A . （-∞，0]B . （-∞，5]C . （0，5]D . [0，5]9. （2分）数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于9.A . 98B . 99C . 96D . 9710. （2分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A . 求和B . 求和C . 求和D . 求和11. （2分）(2017·东城模拟) 成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5 ，则数列{bn}的通项公式为（）A . bn=2n﹣1B . bn=3n﹣1C . bn=2n﹣2D . bn=3n﹣212. （2分） (2019高三上·浙江月考) 设等差数列，，…，（， )的公差为，满足，则下列说法正确的是（）A .B . 的值可能为奇数C . 存在，满足D . 的可能取值为二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知，，且对任意都有：① ②给出以下三个结论：⑴ ；⑵ ；⑶其中正确结论为________14. （1分）(2019·天津) 设，则的最小值为________.15. （1分）(2018·南充模拟) 在数列中，若( ，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；② 是等方差数列；③若是等方差数列，则( ，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为________(写出所有正确命题的序号).16. （1分）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若数列递增，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·潍坊月考) 设命题：实数满足，命题q：实数x满足.（1）若，若同为真命题，求实数x的取值范围.（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18. （10分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．19. （10分）(2018·佛山模拟) 如图，在平面四边形中， .(Ⅰ)若 ,求；(Ⅱ)若 ,求 .20. （15分） (2019高二上·河南期中) 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？21. （10分）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn ，，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．22. （10分） (2019高一下·宁波期中) 已知数列满足： .（I）求、及数列的通项公式；（II）若数列满足：，，求数列的通项公式.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2022年上学期周南中学高二年级第一阶段考试数学试卷含解析
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
[解] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
两人都付0元的概率为P1＝ × ＝ ，
两人都付40元的概率为P2＝ × ＝ ，
两人都付80元的概率为
【答案】107
【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数列， ，
所以 为第 个奇数，又前 个奇数行内数的个数的和为 ，
前 个奇数行内数的个数的和为 ，故 在第 个奇数行内，所以 ，
因为第 行的第一个数为 ，
解得 ，即 ，所以 .
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
， ， ，
由全概率公式可得 .
故选：B.
8．已知 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 上一点，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据题意，得 ， 或 ，
， ， ， ，
即 ， ，故双曲线 的离心率为 .故选：C.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【答案】
【解析】由 得 ,
∴ , ,解得 ,
14．某气象台统计，该地区下雨的概率为 ，既刮四级以上的风又下雨的概率为 .设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝__________.
答案
解析 由题意知P(A)＝ ，P(AB)＝ ，
故P(B|A)＝ ＝ ＝ .
15．已知平行四边形 中, , , ,平面内有动点 ,满足 ,则 的取值范围为___________．
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周南中学2019年下学期高二年级第一次月考试卷
数 学
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1.79cos 6π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值为( )
A.12
-
B.
C.
12
D.
2
2.全称命题“x R ∀∈，21
04
x x -+
≥”的否定是( ) A.x R ∀∉，2104x x -+
<
B.x R ∃∈，2104x x -+
< C.x R ∃∈，21
04
x x -+
≥
D.x R ∀∈，2104
x x -+
<
3.函数()()3f x x θ=-是奇函数，则θ的一个值是( )
A.π
B.
6
π C.
2
π D.
3
π 4.已知向量(),2a =m ，()1,1a =+n ，若//m n ，则实数a 的值为( )
A.23
-
B.2或1-
C.2-或1
D.2-
5.若tan 2α=，()tan 3βα-=，则()tan 2βα-的值是( )
A.1
B.15
-
C.
57
D.
17
6.设,x y R +∈，且
19
1x y
+=，则x y +的最小值是( ) A.6
B.12
C.14
D.16
7.等差数列{}()
*n a n N ∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =( )
A.4
B.5
C.6
D.7
8.已知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =
，则12231n n a a a a a a +++=( )
A.
()32
123
n -- B.
()32
143
n --
C.(
)1612
n
--
D.(
)1614
n
--
9.已知双曲线方程为()222210,0x y a b a b
-=>>，它的一条渐近线与圆()2
223x y -+=相切，则双曲线的
离心率为( )
B.2
D.10.设等比数列{}n a 的公比为q ，其n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ⋅->，
991001
01
a a -<-.
给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ⋅->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
11.在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2
4y x =的焦点，点A 、B 在抛物线C 上，
且满足4OA OB ⋅=-，43FA FB -=，则FA FB ⋅为( )
A.11-
B.12-
C.13-
D.14
-
12.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC
⊥平面BCD ，BAC ∆与BCD
∆
均为等腰直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=，2BC =，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30的角，则线段PA 长的取值范围是( )
A.⎡⎢⎣⎦
B.⎡⎢⎣⎦
C.⎣
D.3⎣ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.已知tan 3α=，则
226cos 3sin cos 3sin cos 2sin ααα
ααα
-=-__________. 14.已知向量()1,2=a ，(),4x =b ，且//a b ，则-=a b __________.
15.已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.
16.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()22
2210,0x y m n m n
-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第
一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123
F PF π
∠=，则22
12e e +的最小值为
__________. 三、解答题(共70分) 17.(本题10分)
已知2
:10p x mx ++=有两个不相等的负实数根，:q 方程()2
44210x m x +-+=无实数根.
(1)若p 为真，求实数m 的取值范围； (2)若p 为假q 为真，求实数m 的取值范围.
18.(本题12分)
已知函数()212cos 2
f x x x =
-+. (1)求()f x 的最小正周期；
(2)设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()1f C =，若sin 2sin A B =，
试求出a ，b 的值.
19.(本题12分)
如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为1AA 中点.
(1)求BE 与1CD 的夹角余弦值；
(2)求面1D EB 与面ABCD 所成锐二面角的余弦值.
20.(本题12分)
已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，44a =，且21a +是1a 与3a 的等差中项.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记123
1111
n n
T S S S S =
+++
+
，证明：12n T ≤<.
21.(本题12分)
设抛物线2
:4C y x =，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点.
(1)设l 的斜率为2，求AB 的值；
(2)求证：OA OB ⋅是一个定值.
22.(本题12分)
已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>)
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过原点O ，求证：点O 到直线AB 的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求OAB ∆面积的最大值.。