量子力学中的力学量

(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E

2 2 2a 2

n

12
2
,

(
x)

A cos
n

12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
n
k , a
(n 1,2,3, )
E

2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
)

(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn


2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0

1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
n个节点。
λ=2n+1 n=0,1,2,3…
这样，我们首先得到了能量本征值：
En

n
1 , n
2

0,1,2,3...
(3.2 5)
现在H(ξ)的方程成为：
d 2Hn
d 2
2
dH n
d
2nH n
0.
(3.2 6)
而不难验证下面的函数正满足这个方程:
H n ( ) (1) n e 2
三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：
En

n

1 , n
2

0,1,2,3,
(3.2 8)
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势 场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位
置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则
V (x)

1 2
V
(0)
x
2
这里，含V ′(0) 的一次项由于平衡位置V ′(0)=0而消失，
也由于是稳定振动而有V′ (0)＞0。除非振动的幅度较大，否则 不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如， 原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐 振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在 其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以 化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭 加。 一. 方程的化简
线性谐振子的势能函数是：
U (x) 1 2 x 2
2
(3.2 1)
其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：
d 2
dx 2


2E
2

2 2
2
x2

0.
(3.2 2)
在方程中做如下的无量纲化变换：
x x,

则方程变成：
d 2
dx2

2E
2
(x)

0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2

k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
a
（奇宇称）
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En

2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
1
An
, a
（与n无关）
最后，波函数是：
Hale Waihona Puke Baidu
1 n
n(x)
第三章 量子力学中的力学量
§ 3.1 一维无限深势阱
一、一维无限深势阱和方势阱
一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶 格”， 以及从高维问题约化下来的一维问题。 一维无限深势阱的势能函数是：
{0
U(x)= +∞
在势阱外，必有：
(x) o
|x|＜a; |x|≥a .
|x|>a
在势阱内，满足方程:
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
因而，
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,

B sin
ka

0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
sin ( x a). a 2a
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d 2 ( 2 ) ( ) 0. d 2
, 2E


(3.2 3)
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
dn
d n
e 2 .
(3.2 7)
它称为n次Hermitian多项式。
H0 1, H1 2 ,
头五个Hermitian多项式是:
H 2 4 2 2, H3 8 3 12 , H 4 16 4 48 2 12,
H5 32 5 160 3 120.
四.几率分布:
在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的
几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。
能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让