2014年辽宁省高考文科数学真题试题(有答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设a,b,c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．84π-B ．82π- C ．8π- D ． 82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ．10a d <10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =.14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求： （Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()BC -的值.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D-BCG 的体积.附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0，有01x x π+>.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014辽宁省高考数学参考答案1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D 10.Ａ 11.B 12.C 13.20 14.18 15.12 16.1- (17)解：（Ⅰ）由2B A B C ⋅=得，c o s 2c a B =．又1c o s3B =．所以6ca =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =．所以2292213a c +=+⨯=．解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==．因为a c >．所以3,2a c ==．（Ⅱ）在ABC ∆中，sin B ===．由正弦定理得，2sin sin 339c C B b ==⋅=．因a b=>，所以C为锐角．因此cos C == 79=．于是cos(B )cos cos sin sin C B C B C -=+1723393927=⋅+=．18. （Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算．得22112212211212(n n n n )n x n n n n ++++-=2100(60102010)70308020⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯10021= 4.762≈．由于4.762 3.841>．所以有 0095/的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． （Ⅱ）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间{121122123112=(,,),(,,),(,,),(,b ,)a a b a a b a a b a b Ω，123113212(,b ,),(,b ,),(,b ,),a b a b a b 223(,b ,)a b ，213(,b ,)a b ，}123(,b ,)b b ．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i 1,2=．b j 表示不喜欢甜品的学生，j 1,2,3=． Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则{112123113212223A (,b ,),(,b ,),(,b ,),(,b ,),(,b ,),a b a b a b a b a b =}213123(,b ,),(,b ,)a b b b ．事件A 是由7个基本事件组成．因而7()10P A =．19. （Ⅰ）证明：由已知得ABC DBC ∆≅∆．因此AC DC =．又G 为AD 中点，所以CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC ．又//EF AD ．所以EF ⊥平面BCG ．（Ⅱ）在平面ABC 内．作AO CB ⊥．交CB 延长线于O ．由平面ABC ⊥平面BCD ．知AO ⊥平面BDC ．又G 为AD 中点，因此G 到平面BCD 距离h 是AO 长度的一半．在AOB ∆中，s i n 603A O AB =⋅所以01111sin12033222D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=． G FEB CDAO20. （Ⅰ）设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>．则切线斜率为0x y -．切线方程为0000y (x x )x y y -=--．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y==时，00x y 有最大值．即S 有最小值．因此点P 的坐标为．（Ⅱ）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．点1122A(x ,y ),B(x ,y)．由点P 在C 上知22221a b +=．并由22221,x ya b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222620b x b ++-=．又12,x x 是方程的根，因此122212262x x b bx x b⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由11y x =22y x =得12AB x =-=．由点P 到直线l 的距离为及2PAB S AB ∆==得429180b b -+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=．21. （Ⅰ）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+->，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=--<．2()4022f ππ=->．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =． （Ⅱ）当(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=-+-+．令t x π=-．记()()u t g t π=-=- t cos 211sin t t t π-++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（Ⅰ）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈时，'()0u t >．从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π∈，使得0()u t =．设10(,)2x t πππ=-∈．100()()()0g x g t u t π=-==．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>．22. （Ⅰ）因为PG PD =．所以PDG PGD ∠=∠．由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠．又由于PGD EGA ∠=∠，故DBA EGA ∠=∠． 所以,DBA BAD EGA BAD BDA PFA ∠+∠=∠+∠∠=∠从而由于AF EP ⊥，所以090PFA ∠=，于是090BDA ∠=．故AB 为圆的直径．（Ⅱ）连接BC DC 、．由于AB 是直径，故090BDA ACB ∠=∠=．在Rt BDA ∆和Rt ACB ∆中，AB BA =，AC BD =．从而Rt BDA Rt ACB ∆≅∆．于是DAB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．故//DC AB ．由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（Ⅰ）得，ED AB =．23. （Ⅰ）设11(,y )x 为圆上的点，经变换为C 上点(x,y)．依题意，得11,2,x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得22()12yx +=．即曲线C 的方程为2214y x +=．故C 的参数方程为cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅱ）由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2,x y =⎧⎨=⎩不妨设12(1,0),(0,2)P P ．则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =．于是所求直线方程为111(x )22y -=-．化为极坐标方程为2cos 4sin ρθρθ- 3=-，即34sin 2cos ρθθ=-．24. （Ⅰ）33,[1,),()1,(,1),x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤．故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由2()1681g x x x =-+4≤得2116x-44≤（），解得：1344x -≤≤．因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，故304MN x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．当x MN ∈时，()1f x x =-，故22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+()x f x =⋅(1)x x =-14=-211()24x -≤．。