小波变换课件h5 双正交小波
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第五章 双正交小波
正交小波的性质
• 对称性（√），紧支撑（×） • 对称性 （×），紧支撑（√） • 对称性 （√），紧支撑（√） 光滑性（×）→Harr小波
紧支撑且线性相位(对称性)？ 双正交小波！
5.1滤波器的相位特性
• 在线性系统理论中, 滤波器的传递函数可表达为 H ( ) H ( ) e j ( ) H () 为幅频特性， ( ) 为相频特性。 • 如果 ( ) 可以表示为
hn h2n0 n
n 0 Z / 2, n Z
正交小波：紧支撑＋线性相位？
• 定理5.2 紧支撑正交小波，除Haar小波 之外，不可能是线性相位的。
5.2 双正交小波的基本性质
• 如果有两对函数 ( , ) 与 ( , ) ，其中，尺度 ~ 和 分别生成MRA {V j } 和MRA {V j } ， 函数 ~ 和 则分别张成在下述意义上的补空间 而 ~ {W j } ： {W j } 和 Vj 1 Vj Wj ;Vj 1 Vj Wj
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
function y= biofilter2(n,m) k=(n+m)/2; t(1) = sym(1) ; for p= 2:k t(p) = sym(1) ; for j= 1:p-1 t(p) = t(p) * (k-1+p-1+1-j)/j; end end m0=sym( 0) ; syms z; for j= 1: k m0= m0+ t( j) * ( ( z^( - 1/ 2) - z^( 1/ 2) ) / ( 2* i) ) ^( 2* ( j- 1) ) ; end if n/ 2== fix ( n/ 2)%fix(n)的意义是取小于n的整数(是向零点舍入） m0= m0* ( ( z^( 1/ 2) + z^( - 1/ 2) ) / 2) ^m; else m0= m0* z^( 1/ 2) * ( ( z^( 1/ 2) + z^( - 1/ 2) ) / 2) ^m; end y= collect( m0) ;%返回系数整理后的多项式
并且它们之间还满足如下正交关系：
( x ), ( x m) m ( x m) m ( x ),
( x ), ( x m) 0 ( x m) 0 ( x ),
~ 和 是一对偶对称双正交小波。 • 小波
~ ~ （2） L 2 K ； 2K L • 两者长度均为偶数，并且长度相差２的 偶数倍，两者等长是可能的 。
gk g1k gk g1k ~ 是一对反对称双正交小波。 • 小波 和
hk h1k ;
~ ~ hk h1k
• • • • •
• • • • • • •
>> biofilter2(2,4) ans = 1/4/z+1/2+1/4*z ans = 3/128*z^4-3/64*z^31/8*z^2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z^23/64/z^3+3/128/z^4
>> biofilter2(4,2) ans = 1/16/z^2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z^2 ans = 3/32*z^3-3/8*z^2+5/32*z+5/4+5/32/z3/8/z^2+3/32/z^3
令
~ G( ) e j H ( ) ~ j G( ) e H ( )
2
双正交基本条件
~ ~ 则 H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 1
若令 H () H ()
gk (1)1k h1k ;
分解基
在双正交小波情况下，信号的分解与重构采用不同的基
(a) 分解
(b) 重构
5.5 小波函数的消失矩性质
• 定义5.1 当小波函数 ( x) 满足如下条件时 p x ( x)dx 0 p 0,...N 1 称 ( x) 具有N阶消失矩 ˆ • 定理 5.4 ( x) 具有N阶消失矩，则 ( ) 以 0 为其N重零点。 • 推论5.2 ( x)具有N阶消失矩，则 H () 以 为其N重零点。
• • • • •
>> biofilter2(3,3) ans = 1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z^2 ans = 3/64*z^4-9/64*z^37/64*z^2+45/64*z+45/64-7/64/z9/64/z^2+3/64/z^3
•
• • • •
>> biofilter2(1,5) ans = 1/2+1/2*z ans = 3/256*z^5-3/256*z^411/128*z^3+11/128*z^2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z^23/256/z^3+3/256/z^4 >> biofilter2(5,1) ans = 1/32/z^2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z^2+1/32*z^3 ans = 3/16*z^3-15/16*z^2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z^2
线性相位， 振幅畸变
非线性相位， 振幅无畸变
当滤波器具有线性相位特性时, 输出信号将不产 生相位畸变。这一点对图像信号十分重要，因 为视觉对于相位畸变非常敏感 滤波器如何具有线性相位特性？
定理5.1 滤波器 H ( ) 具有线性相位的必 要与充分条件是它的脉冲响应函数具有如 下关于 的共轭对称性：
Q (sin 2
j
) P (cos ) P(cos )
2
2 N 1
2N
①
~ ② j ~ 2 N 1 ~ 2 cos H ( ) e ( ) P (cos ) H ( ) cos 2 N P(cos ) 2 2
• function [y,t] = biofilter1(n) • t(1) = sym(1) ;%syms是定义符号变量 ；sym则是将字 符或者数字转换为字符。 • for i= 1:n • t(i+1) = t(i) *(n+1-i) /i; • end • for i=1:n • t=t/2; • end • y= sym(0) ; • syms z; • n2= floor(n/2) ;%朝负无穷方式舍入 • for i= -n2:n-n2 • y= y+t(n2+i+1)*z^i; • end
e
j
h( x) e h ( x)
j
j
证明：必要性：
e
j
h( x) ?
……
e h ( x) ?
充分性：
e H ()e
j
j
e H ()e
j ( )
j
j
H ( ) H ( ) e
推论5.1 如果限定脉冲响应 h(x) 为实 函数，那么由式 (5.1.3) 可知，这时 e 2 j 必为实数, 即 2 j e 1 所以实脉冲响函数具有线性相位的必要 与充分条件是 h( x) h( x) 任何实值脉冲响应的数字滤波器具有线 性相位的必充条件是
那么这两对函数称为互为对偶的双正交小波。
Vj Vj ; Wj Wj
Vj Wj ; Vj Wj
5.2.2 双正交小波的二尺度关系
• 二尺度关系
( x) ( x)
~ ( x) ~ ( x)
ˆ ( )
2 hk ( 2 x k ) 2 g k (2 x k ) ~ ~ 2 hk ( 2 x k ) ~ (2 x k ) 2 gk ~
H(
) 2 2 ˆ ˆ ( ) G ( ) ( ) 2 2 ~ ~ ~ ˆ ˆ ( ) H ( ) ( ) 2 2 ~ ~ ( ) G ( ) ( ) ~ ˆ ˆ 2 2 ˆ ) (
~ ~ H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 1 ~ ~ G ( )G ( ) G ( )G ( ) 1 ~ ~ H ( )G ( ) H ( )G ( ) 0 ~ ~ H ( )G ( ) H ( )G ( ) 0
~ ~ （3）L为奇数, L 为偶数或为L偶数, L 为 奇数 序列 { p n }的终点下标和起点下标关于奇 偶性出现矛盾，故此种情况不存在
5.3 构造双正交小波的CDF方法
Step1 给定2M，根据下式计算
M m 1 m x Q( x) m m 0
ˆ f ( ) 在
5.6 提升方案
• 1994年Wim Sweldens提出了一种新的小波构造方 法——提升方案(lifting scheme)，也叫第二代小波 变换(second generation wavelet transform, SGWT)或[整数到]整数小波变换([integer-to]integer wavelet transform, [IT]IWT)。 • 第二代小波变换构造方法的特点是： 1、继承了第一代小波的多分辨率的特性； 2、不依赖傅立叶变换, 直接在时域完成小波变换； 3、小波变换后的系数可以是整数； 4、图象的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方 式无关。
( )
式中α和β为常数，那么称为 性
( ) 具有线性相位特
ˆ ˆ g ( ) H ( ) f ( ) ˆ H ( ) e j e j f ( ) ˆ H ( ) e j ( f ( x ))
f(x) h
g(x)
• 输出信号的相位特性，除了常数β外，与 f ( x 的相位特性 ) 延时为α的输入信号 完全一致
• • • • • •
•
5.4 基于双正交小波的分解与重构
• 任给 f ( x) L2 ( R)
f ( x) aJkJk ( x) d jk jk ( x)
k jJ k
重构基
a jk f ( x), jk ( x)
Hale Waihona Puke Baidu
d jk f ( x), jk ( x)
5.5.2 小波函数的光滑性与消失矩的关系 • 数学上用函数 f ( x) 的频谱 足够 大时的衰减快慢来刻画 f ( x) 的光滑程度 • 定义5.2 如果存在尽可能大的正常数 ， 使 fˆ ( )(1 ) d 成立，则称 f ( x) 具 有光滑指数 ，并记为 f ( x) C 越大，则表明 fˆ ( )衰减愈快，因而 的 f ( x)频域定域性愈好
k
k k n
证明：利用双正交基本条件
~ {hk } 和{hk }的长度 L 和 L
~ ~ （1）L 2K 1; L 2K 1
之间的关系
• 两者长度均为奇数，并且长度相差２的 奇数倍，因而两者不可能等长。
hk hk ~ ~ ; hk hk
gk g2 k
gk g2 k
M 1
Q (sin
2
2
)
Step2 2 ~ ~ 2 Step3 当 L 和 L 均为偶数，M (2N 1) (2N 1) ① ~ ~ 当 L 和 L 均为奇数，2M 2 N 2 N ② H ( ) e cos P(cos ) Step4 H () cos P(cos ) 2
则 H ( ) H ( ) 1
2
gk (1)1k h1k
正交基本条件
5.2.3紧支撑线性相位双正交小波的 ~ {hk } {hk } 和 之间的长度关系
定理5.3 序列{ p n }，除 p 0 1之外，所有 下标为偶数的元素取值为0。 p : h h
n
正交小波的性质
• 对称性（√），紧支撑（×） • 对称性 （×），紧支撑（√） • 对称性 （√），紧支撑（√） 光滑性（×）→Harr小波
紧支撑且线性相位(对称性)？ 双正交小波！
5.1滤波器的相位特性
• 在线性系统理论中, 滤波器的传递函数可表达为 H ( ) H ( ) e j ( ) H () 为幅频特性， ( ) 为相频特性。 • 如果 ( ) 可以表示为
hn h2n0 n
n 0 Z / 2, n Z
正交小波：紧支撑＋线性相位？
• 定理5.2 紧支撑正交小波，除Haar小波 之外，不可能是线性相位的。
5.2 双正交小波的基本性质
• 如果有两对函数 ( , ) 与 ( , ) ，其中，尺度 ~ 和 分别生成MRA {V j } 和MRA {V j } ， 函数 ~ 和 则分别张成在下述意义上的补空间 而 ~ {W j } ： {W j } 和 Vj 1 Vj Wj ;Vj 1 Vj Wj
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
function y= biofilter2(n,m) k=(n+m)/2; t(1) = sym(1) ; for p= 2:k t(p) = sym(1) ; for j= 1:p-1 t(p) = t(p) * (k-1+p-1+1-j)/j; end end m0=sym( 0) ; syms z; for j= 1: k m0= m0+ t( j) * ( ( z^( - 1/ 2) - z^( 1/ 2) ) / ( 2* i) ) ^( 2* ( j- 1) ) ; end if n/ 2== fix ( n/ 2)%fix(n)的意义是取小于n的整数(是向零点舍入） m0= m0* ( ( z^( 1/ 2) + z^( - 1/ 2) ) / 2) ^m; else m0= m0* z^( 1/ 2) * ( ( z^( 1/ 2) + z^( - 1/ 2) ) / 2) ^m; end y= collect( m0) ;%返回系数整理后的多项式
并且它们之间还满足如下正交关系：
( x ), ( x m) m ( x m) m ( x ),
( x ), ( x m) 0 ( x m) 0 ( x ),
~ 和 是一对偶对称双正交小波。 • 小波
~ ~ （2） L 2 K ； 2K L • 两者长度均为偶数，并且长度相差２的 偶数倍，两者等长是可能的 。
gk g1k gk g1k ~ 是一对反对称双正交小波。 • 小波 和
hk h1k ;
~ ~ hk h1k
• • • • •
• • • • • • •
>> biofilter2(2,4) ans = 1/4/z+1/2+1/4*z ans = 3/128*z^4-3/64*z^31/8*z^2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z^23/64/z^3+3/128/z^4
>> biofilter2(4,2) ans = 1/16/z^2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z^2 ans = 3/32*z^3-3/8*z^2+5/32*z+5/4+5/32/z3/8/z^2+3/32/z^3
令
~ G( ) e j H ( ) ~ j G( ) e H ( )
2
双正交基本条件
~ ~ 则 H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 1
若令 H () H ()
gk (1)1k h1k ;
分解基
在双正交小波情况下，信号的分解与重构采用不同的基
(a) 分解
(b) 重构
5.5 小波函数的消失矩性质
• 定义5.1 当小波函数 ( x) 满足如下条件时 p x ( x)dx 0 p 0,...N 1 称 ( x) 具有N阶消失矩 ˆ • 定理 5.4 ( x) 具有N阶消失矩，则 ( ) 以 0 为其N重零点。 • 推论5.2 ( x)具有N阶消失矩，则 H () 以 为其N重零点。
• • • • •
>> biofilter2(3,3) ans = 1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z^2 ans = 3/64*z^4-9/64*z^37/64*z^2+45/64*z+45/64-7/64/z9/64/z^2+3/64/z^3
•
• • • •
>> biofilter2(1,5) ans = 1/2+1/2*z ans = 3/256*z^5-3/256*z^411/128*z^3+11/128*z^2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z^23/256/z^3+3/256/z^4 >> biofilter2(5,1) ans = 1/32/z^2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z^2+1/32*z^3 ans = 3/16*z^3-15/16*z^2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z^2
线性相位， 振幅畸变
非线性相位， 振幅无畸变
当滤波器具有线性相位特性时, 输出信号将不产 生相位畸变。这一点对图像信号十分重要，因 为视觉对于相位畸变非常敏感 滤波器如何具有线性相位特性？
定理5.1 滤波器 H ( ) 具有线性相位的必 要与充分条件是它的脉冲响应函数具有如 下关于 的共轭对称性：
Q (sin 2
j
) P (cos ) P(cos )
2
2 N 1
2N
①
~ ② j ~ 2 N 1 ~ 2 cos H ( ) e ( ) P (cos ) H ( ) cos 2 N P(cos ) 2 2
• function [y,t] = biofilter1(n) • t(1) = sym(1) ;%syms是定义符号变量 ；sym则是将字 符或者数字转换为字符。 • for i= 1:n • t(i+1) = t(i) *(n+1-i) /i; • end • for i=1:n • t=t/2; • end • y= sym(0) ; • syms z; • n2= floor(n/2) ;%朝负无穷方式舍入 • for i= -n2:n-n2 • y= y+t(n2+i+1)*z^i; • end
e
j
h( x) e h ( x)
j
j
证明：必要性：
e
j
h( x) ?
……
e h ( x) ?
充分性：
e H ()e
j
j
e H ()e
j ( )
j
j
H ( ) H ( ) e
推论5.1 如果限定脉冲响应 h(x) 为实 函数，那么由式 (5.1.3) 可知，这时 e 2 j 必为实数, 即 2 j e 1 所以实脉冲响函数具有线性相位的必要 与充分条件是 h( x) h( x) 任何实值脉冲响应的数字滤波器具有线 性相位的必充条件是
那么这两对函数称为互为对偶的双正交小波。
Vj Vj ; Wj Wj
Vj Wj ; Vj Wj
5.2.2 双正交小波的二尺度关系
• 二尺度关系
( x) ( x)
~ ( x) ~ ( x)
ˆ ( )
2 hk ( 2 x k ) 2 g k (2 x k ) ~ ~ 2 hk ( 2 x k ) ~ (2 x k ) 2 gk ~
H(
) 2 2 ˆ ˆ ( ) G ( ) ( ) 2 2 ~ ~ ~ ˆ ˆ ( ) H ( ) ( ) 2 2 ~ ~ ( ) G ( ) ( ) ~ ˆ ˆ 2 2 ˆ ) (
~ ~ H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 1 ~ ~ G ( )G ( ) G ( )G ( ) 1 ~ ~ H ( )G ( ) H ( )G ( ) 0 ~ ~ H ( )G ( ) H ( )G ( ) 0
~ ~ （3）L为奇数, L 为偶数或为L偶数, L 为 奇数 序列 { p n }的终点下标和起点下标关于奇 偶性出现矛盾，故此种情况不存在
5.3 构造双正交小波的CDF方法
Step1 给定2M，根据下式计算
M m 1 m x Q( x) m m 0
ˆ f ( ) 在
5.6 提升方案
• 1994年Wim Sweldens提出了一种新的小波构造方 法——提升方案(lifting scheme)，也叫第二代小波 变换(second generation wavelet transform, SGWT)或[整数到]整数小波变换([integer-to]integer wavelet transform, [IT]IWT)。 • 第二代小波变换构造方法的特点是： 1、继承了第一代小波的多分辨率的特性； 2、不依赖傅立叶变换, 直接在时域完成小波变换； 3、小波变换后的系数可以是整数； 4、图象的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方 式无关。
( )
式中α和β为常数，那么称为 性
( ) 具有线性相位特
ˆ ˆ g ( ) H ( ) f ( ) ˆ H ( ) e j e j f ( ) ˆ H ( ) e j ( f ( x ))
f(x) h
g(x)
• 输出信号的相位特性，除了常数β外，与 f ( x 的相位特性 ) 延时为α的输入信号 完全一致
• • • • • •
•
5.4 基于双正交小波的分解与重构
• 任给 f ( x) L2 ( R)
f ( x) aJkJk ( x) d jk jk ( x)
k jJ k
重构基
a jk f ( x), jk ( x)
Hale Waihona Puke Baidu
d jk f ( x), jk ( x)
5.5.2 小波函数的光滑性与消失矩的关系 • 数学上用函数 f ( x) 的频谱 足够 大时的衰减快慢来刻画 f ( x) 的光滑程度 • 定义5.2 如果存在尽可能大的正常数 ， 使 fˆ ( )(1 ) d 成立，则称 f ( x) 具 有光滑指数 ，并记为 f ( x) C 越大，则表明 fˆ ( )衰减愈快，因而 的 f ( x)频域定域性愈好
k
k k n
证明：利用双正交基本条件
~ {hk } 和{hk }的长度 L 和 L
~ ~ （1）L 2K 1; L 2K 1
之间的关系
• 两者长度均为奇数，并且长度相差２的 奇数倍，因而两者不可能等长。
hk hk ~ ~ ; hk hk
gk g2 k
gk g2 k
M 1
Q (sin
2
2
)
Step2 2 ~ ~ 2 Step3 当 L 和 L 均为偶数，M (2N 1) (2N 1) ① ~ ~ 当 L 和 L 均为奇数，2M 2 N 2 N ② H ( ) e cos P(cos ) Step4 H () cos P(cos ) 2
则 H ( ) H ( ) 1
2
gk (1)1k h1k
正交基本条件
5.2.3紧支撑线性相位双正交小波的 ~ {hk } {hk } 和 之间的长度关系
定理5.3 序列{ p n }，除 p 0 1之外，所有 下标为偶数的元素取值为0。 p : h h
n