奥数-平行四边形-lec7一学

第七讲四边形（一）

一、平行四边形。

1.平行四边形的定义

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“”表示，例如：平行四边形ABCD 记作“ABCD”。

2.平行四边形的性质

①平行四边形对边相等

②平行四边形对角相等

③平行四边形对角线互相平分

3.平行四边形的判定

①两组对边分别相等的四边形是平行四边形

②对角线互相平分的四边形是平行四边形

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

如何判定一个四边形，有3个判定定理和一个定义，共有四种基本方法。

4.三角形的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于三角形的第三条边，且等于第三条边的一半。

【例1】ABCD的周长等于28cm，两邻边之比是3：4（AB＜BC），求它各边之长。

【例2】如图19-3所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于O，周长为80cm,△AOB的周长比△BOC 的周长大12cm，求这个平行四边形的各边周长。

【例3】求证：两组对角相等的四边形是平行四边形。

【例4】如图19-5所示，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AF=CE，求证：四边形

BEDF是平行四边形。

练习：

1.在ABCD中，若∠Ａ－∠Ｂ＝４０°，则∠Ａ＝，∠Ｂ＝．

2.平行四边形的周长为54cm，两邻边的差是5cm，则这两边的长度分别是.

3.ABCD的周长是40cm，△ABC的周长是25cm，则对角线AC的长为.

4.平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（）

A．内角和360 B.外角和360

C．不稳定 D.对角线互相平分

5.能确定平行四边形的大小和形状的条件是（）

A. 已知平行四边形的两邻边

B. 已知平行四边形的相邻两角

C. 已知平行四边形的两条对角线

D. 已知平行四边形的一边、一对角线和周长

6.如图19-16，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当

E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定时平行四边形（）

**=CF B.DE=BF

C. ∠ADE=∠CBF

D. ∠AED=∠CFB

7.如图19-18所示，在ABCD中，对角线AC和BC相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，

那么m的取值范围是( )

A.1＜m＜11

B.2＜m＜22

8.**＜m＜12 D.5＜m＜6

(嵊州2004)如图19-20所示，点P是ABCD内一点，已知，S△PAB=7，S△PAD=4，那么S△PAC为

（）A．4 B.3.5

C．3 D.无法确定

9.如图19-30所示，在ABCD中，∠ABC的平分线交CD的延长线于E，求证：∠BCD的平

分线垂直平分BE。

10.已知如图19-32所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边的中点，求证：四边形EFGH

是平行四边形。

11.已知如图19-38所示，在等腰△ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E，使得BE=AB，

连结CE，求证：CD=1

2

CE

12.已知如图19-40所示，AB=AC，延长BC到D，使得CD=BC，DF⊥BD交BA的延长线于F，

交AC的延长线于E，求证：CE=1

2

BF

二、特殊的平行四边形.

1.矩形.

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形。

【例1】下列说法正确的是

A．一组对边相等的平行四边形是矩形

B．一组对角相等的平行四边形是矩形

C．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形

D．有一对邻角相等的平行四边形是矩形

【例2】已知矩形的对角线长为13，周长为34，求这个矩形的面积。

【例3】如图19－64所示，已知在直角△ABC中，∠C＝90°,BC=3,AC=4,D是AB的中点，求CD 的长。

矩形的判定

当然我们可以利用矩形的定义“有一个角是直角的平形四边形是矩形”来判定一个四边形是矩形，除此之外，还有：

①对角线相等的平行四边形是矩形;

②有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形的四个角都是直角，但是判别一个四边形是矩形，只要知道有三个角是直角就可以了，毕竟，知道三个内角是直角，根据四边形的内角和是360°,则相当于知道四个角都是直角;根据定义或第一个差别方法，得首先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明有个内角是直角或对角线相等。

【例4】如图19－65所示，在平行四边行ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,求证：四边形ABCD是矩形。

【例5】 如图19－66所示，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB=MC,求证：四边形

ABCD 是矩形。

练习：

1. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是 （ ）

A ．对边相等 B.对角线互相平分 C.对角相等 D.对角线相等

2. 已知矩形ABCD ，对角线AC 、BD 交于O,在这样的图形中，直角三角形，等腰三角形的个数分

别是 （ ）

3. **个，４个 B.２个，４个 C.４个，２个 D.2个，２个

已知一边长为 a cm 的矩形的面积与一腰长为 a cm 的等腰直角三角形的面积相等，则矩形的周长为 （ ）

4. ** cm B.3a cm C.4a cm D.5a cm

如图19－100所示，矩形ABCD 中，点E 是BC 的中点，且AE 平分∠BAD ，CE=2,则CD 的长为 （ ）

** B.3 C.4 D.5

5. 一个矩形的对角线等于长边的一半与短边的和，则短边与长边的比是 （ ）

6. **:3 B.3:4 C.3:5 D.4:5

如图19－103所示，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=3:2，则∠BDE 的度数为（ ）

A. 12

B. 18

C. 22

D. 36

7. 菱形的一条对角线长是另一条的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为 （ ） A.S B.S 21 C.S 321 D. S 52

1 8. （河南2004）如图19－106，在长方形ABCD 中AB=3,BC=2,E 为BC 的中点，F 在AB 上，且

BF=2AF.则四边形AFEC 的面积为________.

9. 如图19-115所示,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若AD=10,AB=6,

则四边形EFGH 的面积为________.

10. （海安2005）如图19-138所示,长方形纸片ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D 与点B 重

合，折痕为EF 的长分别为 （ ）

**, B. 4, C. 5, D.5,