9整数的分拆
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
高斯小学奥数二年级(上)第11讲整数分拆初步
前续知识点：二年级第一讲； XX 模块第 X 讲 后续知识点： X 年级第 X 讲； XX 模块第 X 讲
砍树工
砍树工
小淘
小虎 小熊
小熊
小熊
棵棵 ！
小虎
小熊
把里面的人物换成相应红字标明的人物．
整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题． 所谓整数的分拆， 就是把一个自然数表示
成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆．
【提示】 本题有个限制条件，每人至少三块，那么在分拆的时候，分拆的数不能小于
3．
小高共有 10 块香草蛋糕，每天至少吃 2 块，3 天吃完，可能的吃法一共有多少种？ 练习 4
例题 5
把 8 个桃子全部分给丁丁、阿呆和阿瓜，要求每个人都 有桃子，而且丁丁分得的桃子数比阿呆少，可能的分法 一共有多少种？
一年级我们已经学过了将一个整数拆分成两个数的和的问题．试着做一做例题
1，回顾一
下以前学过的知识．
例题 1
萱萱买了一些篮球和足球，一共 10 个，且两种球的个数 不一样多．请问：两种球的个数可能有多少种不同的情 况？
【提示】 审题，找到关键条件，在分拆时一定要时刻关注关键条件．一定要有序去思考，这样 才能不重不漏．
7 2 1 4， 7 2 2 3 ， 7 2 3 2 ， 7 2 4 1，
7 3 1 3 ， 7 3 2 2 ， 7 3 3 1，
7 4 1 2， 7 4 2 1，
7 5 1 1． 共有 5 4 3 2 1 15 （种）．
10. 练习 4 答案： 15 简答：三步曲：第一步：拆 10；第二步：分 3 天吃完，就意味着将 10 拆成 3 份；第三步：限制条 件是每天至少吃 2 块，就说明从 2 开始分拆，让第一天每次都固定．当这种情况全部拆分完后， 让第一天的逐渐增加． 即 10 2 2 6， 10 2 3 5 ， 10 2 4 4 ， 10 2 5 3 ， 10 2 6 2 ，
数字拆分
第五讲 整数分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
把5拆成几个自然数相加的形式,共有多少种不同的拆分方法?(0除外)整数 6有多少种不同的分拆方式？从1—9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出。
知识导航例题精讲 例题1 例题2 练习1 练习2把整数10分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？兔妈妈拔了12个萝卜，它要把这些萝卜捆成三捆，然后送给自己的三个兔宝宝吃，每堆至少要捆1个，并且三堆分到的萝卜数量都不相同，可以怎么分呢？某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各1枚，如果他想买一件7分钱的商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分、15分的商品呢？他又该如何付款？现有5分硬币1枚，2分硬币3枚，1分硬币6枚，若从中取出6分钱，有多少种不同的取法？六只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个苹果，现在要从这六个箱子里取出55个苹果，每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？七只箱子分别放有1个，2个，4个，8个，16个，32个，64个苹果，现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法?例题3 练习3 例题4 练习5 例题5 练习4六个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿，共有多少种不同的取法？七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿，共有多少种不同的取法？有些人认为8是个吉利的数字，于是他们得到的东西都希望用数字“8”表示。
六年级下册奥数第七讲整数的分拆 例题 习题 通用版(例题含答案)
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题、把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之与n=ｎ１+n2+…＋nｍ(n1≥n2≥…≥nm≥1)的一种表示法,叫做n的一种分拆、对被加项及项数ｍ加以一些限制条件,就得到某种特别类型的分拆、早在中世纪,就有关于特别的整数分拆问题的研究。
１742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于６的偶数都能够写成两个奇质数的与”,这就是著名的哥德巴赫猜想,中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果、下面我们通过一些例题,简单介绍有关整数分拆的基本知识、一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法能够把6表示为若干个自然数之与？解:依照分拆的项数分别讨论如下:①把６分拆成一个自然数之与只有1种方式;②把6分拆成两个自然数之与有3种方式6=５+1=4＋2=3＋３;③把6分拆成3个自然数之与有3种方式6=4+1＋1=３+2＋1=2+2＋2;④把6分拆成4个自然数之与有2种方式６=3＋1+１+１=2＋2+1+1;⑤把6分拆成5个自然数之与只有1种方式6=２+1＋1＋１+１;⑥把６分拆成６个自然数之与只有1种方式6＝1+１+１＋1＋1＋1、因此,把6分拆成若干个自然数之与共有１+3+3＋２＋１+1＝11种不同的方法。
说明:本例是不加限制条件的分拆,称为无限制分拆,它是一类重要的分拆、例２有多少种方法能够把1994表示为两个自然数之与?解法1:采纳有限穷举法并考虑到加法交换律:１994＝1９９3+1＝１+1993=1992+２＝2＋1９9２=998＋９９６＝９96+998=9９７+997因此,一共有997种方法能够把1９94写成两个自然数之与。
解法2:构造加法算式:因此,只须考虑从上式右边的1993个加号“＋”中每次确定一个,并把其前、后的1分别相加,就能够得到一种分拆方法;再考虑到加法交换律,因此共有997种不同的分拆方式。
说明:应用本例的解法,能够得到一般性结论:把自然数n≥2表示为两个自然数之与,一共有k种不同的方式,其中例3有多少种方法能够把100表示为(有顺序的)3个自然数之与?(例如,把3+５+92与5+３＋92看作为１０0的不同的表示法)分析本题仍可运用例1的解法2中的处理方法、解:构造加法算式因此,考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个,并把它们所隔开的前、中、后三段的１分别相加,就能够得到一种分拆方法、因此,把100表示为3个自然数之与有种不同的方式。
三年级数学奥数讲义-整数的分拆(PDF,通用版,无答案)
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆 方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分： 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想： 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：3，少2，无1
2．不相同：
2
1
【例4】(★★★) 100这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积 最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它 们的和最小？ 最小为多少？这两个数分别为多时， 它们的和最大，最大是多 少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数 的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇一、引言随着春季班的推进，我们来到了三年级奥数的第10讲——整数的分拆。
整数分拆是数学中一个有趣且实用的领域，通过学习这一讲，同学们将能够掌握整数分拆的基本概念和方法，并在实际问题中灵活运用。
二、整数分拆的概念与方法1.整数分拆的含义整数分拆，指的是将一个整数拆分成若干个正整数的和。
在数学中，整数分拆有着广泛的应用，如求解最值问题、优化问题等。
2.整数分拆的方法整数分拆的方法主要包括：质因数分解、同余分拆、最简分拆等。
这些方法在解决不同类型的问题时有所侧重，接下来我们将通过实例来了解。
三、整数分拆的强化篇1.强化分拆的定义与特点强化分拆，是指在常规整数分拆的基础上，对拆分后的整数进行进一步的优化。
强化分拆的特点如下：（1）强化分拆追求拆分方式的简洁性；（2）强化分拆注重运用数学原理，如数论、组合数学等；（3）强化分拆强调解题策略的多样性。
2.强化分拆的实例解析以下是一个利用强化分拆求解最值问题的实例：题目：已知正整数n，求n(n+1)(n+2)(n+3)的最小值。
解：通过强化分拆，可以将n(n+1)(n+2)(n+3)转化为(n^2+3n)(n^2+3n+2)。
进一步拆分为(n^2+3n)[(n+1)+(n+2)]，然后利用基本不等式，得到最小值为24。
四、整数分拆在奥数中的应用1.题目类型一：利用整数分拆求解问题例题：求解不等式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|≥4。
解：将不等式转化为四个绝对值之和的形式，然后根据整数分拆的原理，讨论x的取值范围，求解得到x∈[-1,4]。
2.题目类型二：利用整数分拆优化问题例题：已知四个数a、b、c、d，求a^2+b^2+c^2+d^2的最小值。
解：利用整数分拆，将a、b、c、d分为两组，使得两组数的和相等。
然后根据平方差公式，将原式转化为一个关于和的形式，进一步求解得到最小值。
3.题目类型三：整数分拆与组合数的联系例题：求解组合数问题C(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m!的性质。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。
整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。
通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。
二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。
这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。
2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。
这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。
3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。
这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。
4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。
这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。
三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。
可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。
在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。
总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆整数的分拆是数学中一个重要的概念，也是三年级奥数春季班的一部分内容。
所谓整数的分拆，就是把一个整数表示为若干个正整数的和的形式。
首先，我们来看一个例子。
假设我们要把整数5分拆成若干个正整数的和。
从1开始，我们可以找到一组分拆方式：5=1+1+1+1+1。
这就是把整数5分拆成5个1的和。
同样，我们还可以找到其他的分拆方式，如：5=2+2+1或者5=3+1+1。
这里需要注意的是，分拆的方式可以有很多种，但是分拆的正整数的个数是有限的。
那么如何确定一个整数的所有分拆方式呢？我们可以利用递归的方法来求解。
假设n是一个正整数，我们要求n的所有分拆方式。
如果n等于1，那么分拆方式只有一种，即n=1。
如果n大于1，那么我们可以将n分拆成两部分。
第一部分是一个正整数i，i可以从1取到n-1。
第二部分是n-i。
例如，当n=5时，我们可以将5分拆成1和4、2和3等。
然后，我们可以递归地求解这两部分的所有分拆方式，最后将它们合并在一起，就得到了n的所有分拆方式。
这个方法可以表示为如下的递归公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)其中f(n)表示n的分拆数。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求整数5的所有分拆方式。
根据递归公式，我们可以先求解f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，然后将它们相加，即f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)。
由于f(1)等于1，那么我们可以依次求解f(2)、f(3)、f(4)的值。
f(2)=f(1)+f(0)=1+1=2f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=3+2+1=6所以，f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=6+3+2+1=12。
这就是整数5的所有分拆方式的个数。
通过上面的例子，我们可以看出，求解整数的分拆方式主要是利用了递归的思想。
递归的过程就是不断地将原问题转化为更小的子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。
09 整数分拆
1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P．3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数．如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2m－1个奇约数．6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆．2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少．选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天．3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。
小升初数学之整数的分拆
小六数学资料（教师用卷）第十一讲整数的分拆知识要点：整数的拆分，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一种分拆。
1、要求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆的过程按一定的顺序进行。
2、特殊要求的分拆有特殊的解题方法。
比如分成两个自然数的和，然后要使乘积最大，就必须使这两个数的差最小。
如果分成若干个自然数的和并使其积最大，就要充分考虑分成3或2，并且2的个数不多于2个。
（因为3个2相乘小于2个3相乘）这也是著名的哥德巴赫猜想。
例题1、两个小朋友用玩具枪打靶。
他们每人打了两发子弹，靶子上有1到6环。
甲一共打中6环，乙一共打中5环。
如果没有哪两发子弹是打在同一个环带内，并且弹无虚发，你知道他们俩打中的分别是哪几环吗？解析：已知汤姆两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求吉米每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。
由于题意得，没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：甲打中的是1和5环，乙打中的是2和3环。
例题2、小明用身上的1分、2分、5分的硬币各4枚，想买2角3分的一件商品，他应该如何付款？共有多少种不同的支付方法？解析：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分。
因为全部1分和2分都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分。
当使用3枚5分时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分最多4枚，最少2枚，可有23=15+(2+2+2+2) 23=15+（2+2+2+1+1）23=15+（2+2+1+1+1+1）共3种支付方法。
当使用4枚5分时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分，或者不使用。
从而有23=20+(2+1) 23=20+（1+1+1）共2种支付方法。
所以一共有3+2=5种支付方法。
例题3、试把1999分拆成8个自然数的和，使其乘积最大。
解析：要使分拆的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1.因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
第七讲 整数的分拆
第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆【实用版】目录1.整数的分拆概念介绍2.整数的分拆方法讲解3.整数的分拆练习题及解答4.总结与展望正文【整数的分拆概念介绍】整数的分拆，是指将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是任意整数，包括正整数、负整数和零。
整数的分拆在奥数中是一个重要的知识点，可以帮助孩子们提高逻辑思维能力和计算能力。
【整数的分拆方法讲解】整数的分拆方法主要有以下几种：1.直接拆分法：将整数直接拆分成若干个整数的和，这种方法适用于较小的整数。
2.借位拆分法：当整数的位数较大时，可以采用借位的方法进行拆分。
例如，将一个五位数拆分成若干个整数的和，可以先借一位，将五位数变成四位数，然后再进行拆分。
3.补数拆分法：对于一个较大的整数，可以先找到其补数，然后将补数拆分成若干个整数的和，再将补数的每一位取相反数，得到的结果即为原整数的分拆结果。
【整数的分拆练习题及解答】例题 1：将整数 36 拆分成若干个整数的和。
解答：36 可以拆分成 1+2+3+4+5+6+7+8+9，即36=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
例题 2：将整数 12345 拆分成若干个整数的和。
解答：12345 可以拆分成 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15，即 12345=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。
【总结与展望】整数的分拆是奥数中的一个基本知识点，掌握了整数的分拆方法，可以帮助孩子们更好地解决奥数问题。
在实际应用中，整数的分拆可以用于解决各种数学问题，如数论问题、组合问题等。
第四讲 整数的拆分
第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。
【要求】1.拆成的数的和必须等于这个数n。
2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。
【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。
2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。
例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
数字8和9的分解方法
数字8和9的分解方法
从加法的角度来看，数字8可以分解为5+3，2+6，1+7等。
而数字9可以分解为5+4，3+6，1+8等。
这些分解方法可以帮助我们在加法运算中更灵活地使用这些数字。
从乘法的角度来看，数字8可以分解为24，18，而数字9可以分解为33。
这些分解方法有助于我们在乘法运算中更好地理解数字的组合方式。
另外，从数学概念的角度来看，数字8可以分解为2的立方，即2^3，而数字9可以分解为3的平方，即3^2。
这些分解方法可以帮助我们理解数字的幂运算。
从图形的角度来看，我们可以将数字8分解为一个正方形和一个长方形，而数字9可以分解为一个正方形和一个小正方形。
这些分解方法有助于我们在几何图形中更好地理解数字的组合方式。
综上所述，数字8和9的分解方法可以从加法、乘法、数学概念和图形等多个角度进行讨论，这些分解方法有助于我们更全面地理解和运用这些数字。
二三年级奥数：整数的拆分习题与解析答案
第十讲拆数游戏【思维策略】按要求把一些数分解成几个数相加的形式，这不仅可以提高运算能力，更能促进你积极地去思考问题，分析问题，使你的头脑更聪明。
怎样才能找到全部答案，不出现差错呢？分析数的时候，一定要弄懂题中要求，使分析的过程按一定的顺序进行，如果要拆成规定的个数，可以按从大到小的顺序拆；如果没有规定个数，可以按从少到多的顺序拆。
只有这样，才能的找到符合题意的所有分拆方式。
【例题1】像15+51＝66这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，而和是66的两位数一共有多少对？思路导航：个位与十位两个数相加是6，即（）+（）＝6，不难得出这样的情况：1+5＝6，2+4＝6，如果是3+3＝6，则个位数与十位数相同，不合要求。
解：这样的两位数有两对：15+51＝66，24+42＝66。
练习11.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，各是55，问这样的两位数有多少对？2.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数叫做倒序数，像这样的和是88的倒序数共有多少对？3.有这样一道算式，16+61＝77，把16和61这样的两个数叫做倒序数，像这样的和在100以内的倒序数有多少对？【例题2】五个连续自然数的和是40，这五个数按从小到大排列的顺序是怎样的？思路导航：五个连续自然数的和是40，应该先找到五个数中间的一个数，用40÷5＝8，8是中间数，比8小的两个数是6、7，比8大的两个数是9、10。
解：这五个连续自然数按从小到大的顺序排列是：6，7，8，9，10。
练习21.四个连续自然数的和是18，这四个数按从小到大排列的顺序是怎样的？2.小明用5天时间做了25道数学题，他每天都比前一天多做一道，这五天里，小明每天各做几道题？3.15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？【例题3】把10分拆成三个不同的数相加的形式（0除外），共有多少种不同的分拆方法？思路导航：分拆时，可以按从大到小顺序排列，由题意可知，所拆的三个数必须不同，因此最大数为7，最小数为1。
《9的分解》幼儿园大班数学PPT课件
学习9的分解。 1.创设情境，引导幼儿思考：玲玲想把这9个苹果 放到2个篮子里，一共有几种分法呢？ 2.出示教学课件，幼儿学习9的分解方法。 3.教师总结：9个苹果一共有8种分解方法，并用 相应的分解式进行记录。 4.引导幼儿观察分解式并找出规律：左边篮子放 的苹果数量增多 ，右边篮子放的苹果数量减少，左 边每增加一个，右边就相对减少一个， 但合起来的 总数都是9。
活动目标 1. 学习9的分解，知道9分成两份可以有8种分法，并 用分解式记录结果。 2. 在操作活动中，熟练掌握数的分解中两个部分数递 增递减和互换规律。 3. 能将分解的知识进行迁移、类推和综合概括。
活动准备 1. 教师用材料：教学课件《9的分解》。 2. 幼儿操作材料：用篮子装好和孩子数量相应的不完 整的花和花瓣；学具“保护羊群”；
9 ︿ ④⑤
第五种分法：
9 ︿ ⑤④
第六种分法：
9 ︿ ⑥③
第七种分法：
9 ︿ ⑦②
第八种分法：
9 ︿ ⑧①
总结：9个苹果一共有以下8种分解方法。
9 ︿
①⑧
9
︿
②⑦
9
︿
③⑥9︿④⑤ Nhomakorabea9
︿ ⑤④
9
︿ ⑥③
9
︿ ⑦②
9
︿ ⑧①
Thanks very much !
谢谢观看！
妈妈从超市里买了9个苹果回家。
玲玲想把这9个苹果放到2个篮子里，一共有几种分 法呢？请小朋友们帮玲玲分一分，并记录下来。
我们可以按照左边逐个递增，右边逐 个递减的方法进行，并用分解式进行记录。
9 ︿
○○
第一种分法：
9 ︿ ①⑧
第二种分法：
9 ︿ ②⑦
二年级奥数知识点：整数的分拆
例1 ⼩兵和⼩军⽤玩具枪做打靶游戏，见下图所⽰.他们每⼈打了两发⼦弹.⼩兵共打中6环，⼩军共打中5环.⼜知没有哪两发⼦弹打到同⼀环带内，并且弹⽆虚发.你知道他俩打中的都是哪⼏环吗? 解：已知⼩兵两发⼦弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4;同理，要求⼩军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3. 由题意：没有哪两发⼦弹打到同⼀环带内并且弹⽆虚发，只可能是： ⼩兵打中的是1环和5环，⼩军打中的是2环和3环. 例2 某个外星⼈来到地球上，随⾝带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各⼀枚，如果他想买7分钱的⼀件商品，他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他⼜将如何付款? 解：这道题⽬的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进⾏分拆. 7=1+2+4 9=1+8 10=2+8 13=1+4+8 14=2+4+8 15=1+2+4+8 外星⼈可按以上⽅式付款. 例3 有⼈以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够⽤“8”表⽰才好.现有200块糖要分发给⼀些⼈，请你帮助想⼀个吉利的分糖⽅案. 解：可以这样想：因为200的个位数是0，⼜知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8. 这样由8×5=40及200-40=160， 可知再由两个8作⼗位数字可得80×2=160即可. 最后得到下式：88+88+8+8+8=200. 例4 试将100以内的完全平⽅数分拆成从1开始的⼀串奇数之和. 解：1=1×1=12=1(特例) 4=2×2=22=1+3 9=3×3=32=1+3+5 16=4×4=42=1+3+5+7 25=5×5=52=1+3+5+7+9 36=6×6=62=1+3+5+7+9+11 49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13 64=8×8=82 =1+3+5+7+9+11+13+15 81=9×9=92 =1+3+5+7+9+11+13+15+17 100=10×10=102 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19. 观察上述各式，可得出如下猜想： ⼀个完全平⽅数可以写成从1开始的若⼲连续奇数之和，这个平⽅数就等于奇数个数的⾃乘积(平⽅). 检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平⽅数分拆，看其是否符合上述猜想. 121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 结论:上述猜想对121和144两个完全平⽅数是正确的. 例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的⾃然数之和，有多少种不同的写法? 解：将1～9的九个⾃然数从⼩到⼤排成⼀列： 1，2，3，4，5，6，7，8，9. 分析先看最⼩的1和的9相加之和为10不符合要求. 但⽤次⼤的2和的9相加，和为11符合要求，得11=2+9. 逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6. 可见共有4种不同的写法. 例6 将12分拆成三个不同的⾃然数相加之和，共有多少种不同的分拆⽅式，请把它们⼀⼀列出. 解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的⾃然数之和，三个数中最⼩的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9. 下⾯进⾏变化，如从9中取1加到2上， ⼜得12=1+3+8. 继续按类似⽅法变化，可得下列各式： 12=1+4+7=2+3+7， 12=1+5+6=2+4+6. 12=3+4+5. 共有7种不同的分拆⽅式. 例7 将21分拆成四个不同的⾃然数相加之和，但四个⾃然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆⽅式，请你⼀⼀列出. 解：也可以先从的数9考虑选取，其次选8，算⼀算21-(9+8)=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第⼀个分拆式：21=9+8+3+1， 以这个分拆式为基础按顺序进⾏调整，就可以得出所有的不同分拆⽅式： 21=7+6+5+3}以7开头的分拆⽅式有1种 ∴共有11种不同的分拆⽅式. 例8 从1～12这⼗⼆个⾃然数中选取，把26分拆成四个不同的⾃然数之和. 26=8+7+6+5}以8开头的分拆⽅式共1种不同的分拆⽅式总数为： 10+10+8+4+1=33种. 总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆⽅式，必须使分拆过程按⼀定的顺序进⾏.。
神奇的9
10进制在世界范围内的普及和标准化，奠定了整个数学大厦的基石，而我们今天要学习的神奇的“9“和10也有千丝万缕的关系，”弃9法“等实用的方法也应运而生。
今天就让我们步入数字的海洋，来看一看9有哪些神奇之处。
神奇的9第九讲【知识点睛】1.弃九法：⑴一个数除以9的余数，和这个数的数字和除以9的余数相同。
【112564832除以9的余数等于（1+1+2+5+6+4+8+3+2）除以9的余数】⑵可将数任意截断，每一部分除以9的余数和的余数就是原数除以9的余数。
【1234567891011…2016除以9的余数和（1+2+3+…+2016）除以9的余数相同】*注意：余数具有可加性、可减性（同余定理）、可乘性、可乘方性，没有“可除性”（有在一定条件下满足的“慎除性”）。
2.加法数字谜的一条规律：⑴在竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个9。
⑵减法竖式可转换为加法竖式。
3.三阶幻方（九宫格，洛书）的特殊性质：8条线（3行、3列、2对角线）的三数之和都是15，且15的不计顺序的正整数分拆也恰好有8种。
4.同余符号：一个数a与它的各个数位数字和b除以9的余数相同，这句话可用数学符号表示为：【例题精讲】【例1】（1）求7123021除以9的余数；（2）求7813×1768除以9的余数；（3）求 uu uu除以9的余数。
【练一练1】（1）求6354279816除以9的余数；（2）求12345×67890除以9的余数；（3）求 除以9的余数。
【例2】将1～2013写成一排：1234……20122013，求这个数除以9的余数。
【练一练2】检验此式是否正确：135987984＋981252341＝1117241325。
【例3】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.【练一练3】1234×99999乘积的各位数字之和为_____.【例4】已知2的29次方( ∀)由9个不同数字组成，那么缺少哪个数字？【练一练4】A的数字之和为100，B的数字之和为50，A-B借了5次位，则A-B的差的数字之和为____。
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第九讲整数的分拆
例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？
解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：
小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.
例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？
解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.
7=1+2+4
9=1+8
10=2+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=1+2+4+8
外星人可按以上方式付款.
例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.
解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.
这样由8×5=40及200-40=160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.
最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.
解：1=1×1=12=1（特例）
4=2×2=22=1+3
9=3×3=32=1+3+5
16=4×4=42=1+3+5+7
25=5×5=52=1+3+5+7+9
36=6×6=62=1+3+5+7+9+11
49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13
64=8×8=82
=1+3+5+7+9+11+13+15
81=9×9=92
=1+3+5+7+9+11+13+15+17
100=10×10=102
=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
观察上述各式，可得出如下猜想：
一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积（平方）.
检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.
121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.
例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？
解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9.
分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.
但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.
逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
可见共有4种不同的写法.
例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.
解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9.
下面进行变化，如从9中取1加到2上，
又得12=1+3+8.
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12=1+4+7=2+3+7，
12=1+5+6=2+4+6.
12=3+4+5.
共有7种不同的分拆方式.
例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.
解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，
以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：
21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种
∴共有11种不同的分拆方式.
例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.
26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：
10+10+8+4+1=33种.
总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.
习题九
1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.
3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.
7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？
8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？
9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分？
10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.
11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个？
习题九题答
1.解：共有2种不同的分拆方式：
15=9+6
15=8+7
2.解：共8种.
3.解：共12种.
4.解：共6种.
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
5.解：同第4题答案.
6.解：同第4题答案.
7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：
87=64+16+4+2+1.
8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.
即得100=64+6+6+6+6+6+6.
9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000=888+88+8+8+8.
10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3=75（分）.
所以其余的7枚硬币的价值是：
100-75=25（分）.
将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）
25=1+1+1+1+1+10+10.
所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.
11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，4）.。