平行线的性质与判定(典型例题)

G 1
∴ DB // EC （ 同位角相等，两直线平行）
B
C
∴∠D=∠FEC( 两直线平行，同位角相等)
∵∠C=∠D（ 已知）
∴∠FEC=∠C（ 等量代换）
∴DF//AC（ 内错角相等，两直线平）行
∴∠F=∠A( 两直线平行，内错角相等)
例10.已知：如图，已知AB、CD被EF所截，EG平分 ∠BEF，FG平分∠EFD，且∠1+∠2=900，
即 C＝180°－ D ＝180°－100°＝80° 答：梯形的另外两个角分别为65°、80°
2.如图，已知AD//BC,∠B=300,DB平分∠ADE，
求∠DEC
A
D
B 解：∵AD//BC （已知 ）
E
C
∴∠ADB=∠B=300 （两直线平行,内错角相等 ）
∵DB平分∠ADE（已知 ）
∴∠ADE=2∠ADB=600
例1.如图，∠1= ∠2°， ∠3=70 °，求∠4
A
1 EG
3
B
C2
5 F
4D H
解：∵∠2=∠5 （对顶角相等 ） 又∵∠1= ∠2（已知 ） ∴∠1= ∠5（等量代换 ）
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行 ） ∴∠3+∠4=180°（ 两直线平行，同旁内角互补） ∴∠4=180°-∠3=110°
例7.如图，若AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2
求证：BE//CF
证明：
A
BF
1
∵AB⊥BC,BC⊥CD（ 已知）
∴ ∠ABC= ∠BCD=900（ 垂直的定义）
∵∠1=∠2（ 已知）
2
E
C
D
∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2（ 等式的性）质
即∠EBC=∠BCF ∴ BE// C（F 内错角相等，两直线平行）
（ 平角定义
）
32
C
D
例6.完成推理填空：
如图，已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证：BD//CE
证明：
∵∠A=∠F
DE
F
∴AC//DF（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠D= ∠1 （ 两直线平行,内错角相等）
∵ ∠C=∠D（ 已知 ） ∴∠1=∠C（ 等量代换 ） A
1 BC
∴BD//CE（ 同位角相等，两直线平行）
平行线的判定与性质的 综合运用
｛ 性质
两直线平行
1.同位角相等 2.内错角相等
请注意:
判定 3.同旁内角互补
1.由_角__的__关__系__得到_两__直__线__平__行__的结 论是平行线的判定; 用途：说明直线平行
2.由_两__直__线__平__行___得到_角__相__等__或__互__补___的 结论是平行线的性质. 用途：说明角相等或互补
∴∠A=∠C=600 （ 同角的补角相等)
例4.如图，∠A+∠C=1800，∠D=∠E,则AB与EF平行
吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
解：∵∠A+∠C=1800（ 已知 ）
∴AB//CD（同旁内角互补， 两直线平行） 又∵∠D=∠E（ 已知 ）
∴EF//CD（ 内错角相等，两直线平行） ∴AB//EF（ 两直线都与第三条直线平行，
又∵AD//BC（已知 ）
∴∠DEC=∠ADE=600 （ 两直线平行，内错角相等)
例3.如图，AD//BC，AB//CD,点E在CB的延
长线上，∠C=500，求∠A A
D
E
B
C
解：∵AD//BC（ 已知 ）
∴∠D+∠C=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）
又∵AB//CD（ 已知 ）
∴∠D+∠A=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=∠B（ 已知 ）
∴∠ADE=∠B（等量代换）
∴ DE // BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
例9.已知：如图，∠1=∠2,∠C=∠D.
求证：∠F=∠A.
D
E
F
证明:
2
∵∠1=∠2( 已知)
H
∠1=∠DGF( 对顶角相等) ∴∠2=∠DGF（ 等量代换） A
求证：CD//HF
证明：
∵∠1=∠ACB（ 已知 ）
∴ DE // BC （ 同位角相等，两直线平行
）
∴∠2= ∠DCB（ 两直线平行,内错角相等 ） ∵∠2=∠3（已知 ）
∴∠3= ∴ CD
∠DCB （ 等量代换
）
// HF （同位角相等，两直线平行
D
H
A
1E 2
3
B
F
C
例12.如图，AB//CD,P为AB和CD之间的一点，已知 ∠1=420，∠2=350，求∠BPC的度数。
那么这两条直线也平行)
例5.如图，易拉罐的上下底面AB//CD，用吸管吸饮 料时，若∠1=1100，则∠2= 700 ，理由可叙 述如下：
∵AB//CD( 已知 ） ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角A相等
1 ）
B
∵∠1=1100（ 已知
）
∴∠3=1100（ 等量代换 ）
∴∠2= 1800-∠3=700
求证：AB//CD
证明： ∵EG平分∠BEF，
A
E
B
FG平分∠EFD（已知
）
1G
∴ ∠BEF=2∠1
2
C
D
∠DFE=2∠2（ 角平分线的定义 ） F
∵∠1+∠2=900（已知
）
∴∠BEF+∠DFE=1800（ 等式的性质 ∴AB//CD( 同旁内角互补，两直线平行
） )
例11.如图，已知∠1=∠ACB,∠2=∠3,
例2、如图有一块梯形的玻璃，已知量得 ∠A＝115°，∠D＝100°，请你想一想，
梯形的另外两个角各是多少度。
解：∵AD∥BC （已知）
A
D
∴ A ＋ B＝180°
(两直线平行，同旁内角互补) B
C
即 ∠B＝ 180°－ A＝180°－115°＝65°
∵AD∥BC （已知）
∴ D＋ C＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
A
提示：过P作PE//AB。D
A
B 1
P
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1B P
2C
E
2
D
C
一、选择题（每小题4分，共24分） 1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数 是（ B）
A．0 B．1 C．2 D．3
12
1
2
2
1
1
2
2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在 原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（B ） A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50° C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
例8已知：如图，∠1+∠2=1800，∠3=∠B。 A
求证：∠AED=∠C.
证明：
∵∠1+∠2=1800（已知 ） ∠1+∠DFE=1800（平角的定义）
∴ ∠2 = ∠DFE（ 同角的补角相等） B ∴ AB // EF （ 内错角相等，两直线平行 ）
D
E
3
2
F1
C
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）