matlab第四章PPT

（2）把复数特征值对角阵D转换成
实数块对角阵
（3）分解结果的验算
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4.2.3 线性方程的解 1. 线性方程解的一般结论
Am×nx=b 它的解有以下几种可能：
当向量b在矩阵A列向量所张空间中，有准确解。
a）若n=r，则解唯一。（r是矩阵A的秩） b）若n>r, 则解不唯一。 （r是矩阵A的秩）
)
y2
y1
,
y1(0) y2 (0)
1 0
Fra Baidu bibliotekt
且设
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（2）根据上述一阶微分方程组编写M函数文件DyDt.m (3) 解算微分方程
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(4) 画相平面图
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第四章 数值计算
4.1 数值微积分 MATLAB数值计算中，没有专门求极限和导数的指令。
但MATLAB提供了与“求导”概念有关的“求差分”指令：
dx=diff(x) FX=gradient(F) [FX,FY]=gradient(F)
求差分 求一元(函数)梯度 求二元(函数)梯度
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2. 多项式运算函数（表4.4-1）
例4.4 1矩阵和特征多项式，特征值和多项式根。
（1)求矩阵的特征多项式 （2）方阵特征值和特征多项式根
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（3）特征多项式的伴随矩阵
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解微分方程
例4.1-7 求微分方程
d2x dt 2
(1
x2 )
dx dt
x
0,
2,
在初始条件x(0)=1,dx(0) dt
0
情况下的解，并图示。
（1）把高阶微分方程改写成一阶微分方程组
令y1
x，y2
dx dt
, 于是原二阶方程可改写成如下一阶方程组
dy1
dt dy2
y2
(1
y12
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（2） 数值法求解 （A）使用内联对象表示被处理函数。 （B）作图法观察函数零点分布
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（C）利用zoom和ginput指令获得零点的初始近似值。 >>zoom on >>[tt,yy]=ginput(5);zoom off
（D）利用0.1作为初值求精确零点
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例4.1-1 设
f1
(
x)
1
x
cos sin
2 x
x
,
f2
(x)
sin x
x
试用机器零阈值eps替代理论0计算极限
L1(0)
lim
x0
f1(x)
L2 (0)
lim
x0
f2 (x)
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例4.1-2 已知x=sin(t)，求该函数在区间[0, 2π]中的近似导函数。 （1）计算数值导数时，自变量的增量取得过小（eps）
三重(闭型)数值积分
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例4.1-4 求 I 1 ex2 dx 0
（1） 采用符号计算获得具有32位精度的积分值
（2）采用trapz计算积分
（3）采用字符串表达被积函数
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例4.1-5 求 s 2 1 x ydxdy 10
颜色 黄色 粉红 亮蓝 大红 绿色 蓝色 白色 黑色
标点
· ○ × ＋ －
： －· (--)
线型 点线 圈线 ×线 ＋字线 实线 星形线 虚线 点划线
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4.1.3 计算精度可控的数值积分 数值积分有闭型算法(Closed-type)，开行算法(Open-type)。
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2.矩阵的标量特征参数 MATLAB指令： rank(A) 秩
trace（A）迹 det（A） 行列式
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例4.2-3 矩阵标量特征参数计算示例
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4.2.2 矩阵的变换和特征值分解
[R,ci]=rref(A) 借助初等变换把A变换成行阶梯矩阵R
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4.2.4 一般代数方程的解 [x, favl]=fzero(fun,x0) [x, fval]=fsolve(fun,x0)
求一元函数零点指令的最简格式 解非线性方程组的最简单格式
例4.2 9求f (t) sin2 t0.1t ge 0.5 | t |的零点。
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4.2 矩阵和代数方程
4.2.1 矩阵运算和特征参数 1.矩阵运算 表4.2-1 矩阵运算含义及相应符号
例4.2-1已知矩阵 A24 ， B43，采用三种不同的编程
求这两个矩阵的乘积。C23 A24B43
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（确定解：不唯一，准确解）
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3.矩阵逆 如果n×n矩阵A和B，满足AB=In×m，那么B称作A的逆，
并采用符号A-1记述之。
MATLAB提供一个求矩阵逆的指令如下：
A_1=inv(A) 求非奇异方阵A的逆，使A*A_1=I
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例4.1-6
已知y (x )ge|sin(x )|,
在 / 2 x / 2区间，
求函数的极小值。
（1）采用优化法 （2）图形法
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4.1.5 常微分方程的数值解
[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0) 采用4阶Runge-Kutta数值积分法
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例4.4-2 构造指定特征根的多项式。
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4.4 多项式运算和卷积
4.4.1 多项式的运算函数 1.多项式表达方式的约定
MATLAB约定降幂多项式a(x) a1xn a2xn1 ... an x an1
用以下系数行向量表示：a [a1, a2 ,...an , an1]
即把多项式的各项系数依降幂次序排放在行向量的元素位置上。
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（2） 计算数值导数时，自变量的增量取得适当
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4.1.2 数值求和与近似数值积分
m
Sx=sum(X)
沿列方向求和 Sx(k) X mn (i, k)
i 1
Scs=cumsum(X) 沿列方向求累计和
St=trapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数ｙ关于自变量 ｘ的积分
当向量b不在矩阵A列向量所张空间中，则无准确解，但存在 最小二乘解。
a) 当A列满秩时，存在唯一的最小二乘解。 b) 当A列不满秩时，存在最小范最小二乘解和最少非零元素最
小二乘解。
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2. 除法运算解方程
x=A\b
运用左除解方程Ax=b
说明： A在变量x的左边，所以A必须在“\”的左边 若xC=d， 则使用“右除”，即指令为x=d/C
区别：是否需要计算积分区间端点
S1=quad(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Simpson法计算积分 S1=quadl(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Lobatto法求数值积分 S2=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 二重(闭型)数值积分 S3=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
X=null(A)
A矩阵零空间的全部正交基，满足AX=0
Z=orth(A)
A矩阵值空间的全部正交基， 满足span(Z)=span(A)
[V,D]=eig(A)
A矩阵的特征值、特征向量分解，使AV=VD
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例4.2-7 简单实阵的特征值分解。
（1）特征值分解
Sct=cumtrapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量 x的累计积分
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例4.1-3
求积分s(x)= /2 y(t)dt,其中y 0.2 sin t。 0
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字母 y m c r g b w k
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1 5 9 13 例4.2 8求方程 2 6 10gx 14的解。
3 7 11 15 4 8 12 16 如何确定解得性状（唯一与否，准确与否）；
如何求特解和齐次解；
如何检查解得正确性。
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（1）创建待解方程的A和b （3） 求特解和通解，并对由它们 （2）检查b是否在A的值空间中 构成的全解进行验算
（1）符号计算法
（2） 数值积分法
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4.1.4 函数极值的数值求解 两条求极小值的优化指令：
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) 求一元函数在区间（x1,x2)中极小值
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options) 单纯形法求多元函数极值点